《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）

《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题 1.对于下列命题： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中，正确的有( )． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（2015•海南）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，则∠APB 的度数为（ ） A．45° B．30° C．75° D．60° 3．秋千拉绳长 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高 处踩板离地面 2 米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ). A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4．已知两圆的半径分别为 2、5，且圆心距等于 2，则两圆位置关系是( )． A．外离 B．外切 C．相切 D．内含 5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点 O，交坐标轴于 E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长 为( )． A．12 B．10 C．4 D．15 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )． A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)

7．如图所示，CA 为⊙O 的切线，切点为 A，点 B 在⊙O 上，若∠CAB＝55°，则∠AOB 等于( )． A．55° B．90° C．110° D．120°

A．60° B．90° C．120° D．180° 二、填空题

9．如图所示，△ABC 内接于⊙O，要使过点 A 的直线 EF 与⊙O 相切于 A 点，则图中的角应满足的条件 是________________(只填一个即可).

10．已知两圆的圆心距 为 3， 的半径为 1. 的半径为 2，则 与 的位置关系 为________.

11．如图所示，DB 切⊙O 于点 A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.

第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 15 题图

12．如图所示，⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB=CD，则图中与∠1 相等的角有________________. 13．点 M 到⊙O 上的最小距离为 2cm，最大距离为 10 cm，那么⊙O 的半径为___ _____． 14．已知半径为 R 的半圆 O，过直径 AB 上一点 C，作 CD⊥AB 交半圆于点 D，且

3

2

CD



R

，则 AC 的长 为_____ ___．

15．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧 AB 上一点，连接 BD，并延长至 E，连接 AD，若 AB＝AC， ∠ADE＝65°，则∠BOC＝___ _____． 16.（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1m，水面宽 AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m． 三、解答题 17．如图，

AB

是半圆

O

的直径，过点

O

作弦

AD

的垂线交半圆

O

于点

E

，交

AC

于点

C，

使



BED

 

C

．试判断直线

AC

与圆

O

的位置关系，并证明你的结论； 18．在直径为 20cm 的圆中，有一弦长为 16cm，求它所对的弓形的高。 C A _O B E D

19． 如图，点 P 在 y 轴上， 交 x 轴于 A、B 两点，连结 BP 并延长交 于 C，过点 C 的直线

交 轴于 ，且 的半径为 ， .

(1)求点 的坐标；

(2)求证： 是 的切线；

20. （_{2015•德州）如图，⊙O 的半径为 1，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．}

（1）判断△ABC 的形状： ；

（_{2）试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；}

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选 B． 2.【答案】D； 【解析】作半径 OC⊥AB 于 D，连结 OA、OB，如图， ∵将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O， ∴OD=CD，

∴OD= OC= OA， ∴∠OAD=30°， 而 OA=OB， ∴∠CBA=30°，

∴∠AOB=120°， ∴∠APB= ∠AOB=60°． 故选 D． 3.【答案】B； 【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题， 背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度. 4.【答案】D； 【解析】通过比较两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判断两圆的位置关系． 5-2＝3＞2，所以两 圆位置关系是内含． 5.【答案】B ； 【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径．直径 EF



OE

2



OF

2



10

． 6.【答案】C； 【解析】横坐标相等的点的连线，平行于 y 轴；纵坐标相等的点的连线，平行于 x 轴．结合图形可以发 现，由点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2，1)． 7．【答案】C； 【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由 AC 切 O 于 A，则∠OAB＝35°， 所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°． 8．【答案】C； 【解析】设底面半径为 r，母线长为

l

，则

1 2

3

2

2





r l







r

，∴

l



3

r

，∴

3

2

180

n

r

r





  

， ∴ n＝120，∴ ∠AOB＝120°． 二、填空题 9．【答案】∠BAE=∠C 或∠CAF=∠B. 10．【答案】外切. 11．【答案】147°； 【解析】因为 DB 是⊙O 的切线，所以 OA⊥DB，由∠AOM=66°， 得∠OAM= ，∠DAM=90°+57°=147°.

12．【答案】∠6，∠2，∠5. 【解析】本题中由弦 AB=CD 可知 ，因为同弧或等弧所对的圆周角相等， 故有∠1 =∠6=∠2=∠5. 13.【答案】4 cm 或 6 cm ； 【解析】当点 M 在⊙O 外部时，⊙O 半径

1 (10 2)

2







4(cm)； 当点 M 在⊙O 内部时，⊙O 半径

1 (10 2) 6(cm)

2







． 点与圆的位置关系不确定，分点 M 在 ⊙O 外部、内部两种情况讨论． 14.【答案】

1

2

R

或

3

2

R

； 【解析】根据题意有两种情况： ①当 C 点在 A、O 之间时，如图(1)． 由勾股定理 OC＝ 2 2

3

1

2

2

R





_

_

R



_

_



R





，故

1

1

2

2

AC R

 

R



R

． ②当 C 点在 B、O 之间时，如图(2)．由勾股定理知 2 2

3

1

2

2

OC



R





_

_

R



_

_



R





， 故

1

3

2

2

AC R

 

R



R

． 没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况． 15．【答案】100°； 【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴ ∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°． 在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)， 在解一些客观性题目时，可以使用． 16．【答案】1.6； 【解析】如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m， ∴OE=0.8m， ∵水管水面上升了 0.2m， ∴OF=0.8﹣0.2=0.6m， ∴CF= m， ∴CD=1.6m．故答案为：1.6．

三、解答题 17.【答案与解析】 AC 与⊙O 相切． 证明：∵弧 BD 是∠BED 与∠BAD 所对的弧， ∴∠BAD=∠BED， ∵OC⊥AD， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠BED+∠AOC=90°， 即∠C+∠AOC=90°， ∴∠OAC=90°， ∴AB⊥AC，即 AC 与⊙O 相切. 18.【答案与解析】 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形. 如图，HG 为⊙O 的直径，且 HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm



OH



10

cm BC



1

AB



cm

2

8

，



OC



OB

2



BC

2



₁₀

2



₈

2



₆

cm



CH OH OC







10 6 4

 

cm

CG OC OG





 

6 10 16



cm

故所求弓形的高为 4cm 或 16cm 19.【答案与解析】 (1)连结 . . ， ， . 是 的直径， . ， ， ， ， ， . (2) 过 点 . 当 时， ， . ， ， H A B C O G

， . ， ， 是 的切线. 20.【答案与解析】 （_{1）△ABC 是等边三角形．} 证明如下：在⊙_{O 中}

∵∠_{BAC 与∠CPB 是 所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是 所对的圆周角，} ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠_{APC=∠CPB=60°，} ∴∠_{ABC=∠BAC=60°，} ∴△_{ABC 为等边三角形；} （_{2）在 PC 上截取 PD=AP，如图 1，} 又∵∠APC=60°， ∴△_{APD 是等边三角形，} ∴_{AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．} 又∵∠_{APB=∠APC+∠BPC=120°，} ∴∠_{ADC=∠APB，} 在△APB 和△ADC 中， ， ∴△_{APB≌△ADC（AAS），} ∴BP=CD， 又∵_{PD=AP， ∴CP=BP+AP；} （_{3）当点 P 为 的中点时，四边形 APBC 的面积最大．} 理由如下，如图_{2，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E．} 过点C 作 CF⊥AB，垂足为 F．

∵_S△APB= AB•PE，S△ABC= AB•CF， ∴S四边形APBC= AB•（PE+CF）， 当点_{P 为 的中点时，PE+CF=PC，PC 为⊙O 的直径，} ∴此时四边形_{APBC 的面积最大．} 又∵⊙_{O 的半径为 1，} ∴其内接正三角形的边长_AB= ， ∴_S四边形APBC= ×2× = ．