《二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算,会用它们进行有关实数的四则运 算. 3、了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形如a a
(
0)
的式子叫做二次根式,如3,
1
, 0.02, 0
2
等式子,都叫做 二次根式. 要点诠释:二次根式a
有意义的条件是a
0
,即只有被开方数a
0
时,式 子a
才是二次根式,a
才有意义. 2.二次根式的性质 (1) ; (2) ; (3) . 要点诠释:(1) 一个非负数a
可以写成它的算术平方根的平方的形式,即a
2(
a
)
(a
0
),如2 ( 2) ;
21
(
1
) ;
2(
)
23
3
x
x
(x
0
).(2)
a
2 中a
的取值范围可以是任意实数,即不论a
取何值,a
2 一定有意 义. (3)化简a
2 时,先将它化成a
,再根据绝对值的意义来进行化简. (4)a
2 与(
a
)
2的异同 不同点:a
2 中a
可以取任何实数,而(
a
)
2中的a
必须取非负数; 2a
=a
, 2(
a
)
=a
(a
0
). 相同点:被开方数都是非负数,当a
取非负数时, 2a
=(
a
)
2. 3.最简二次根式 (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数中不含有分母; (3)分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如2,
ab
,3
x
,
a
2
b
2 等都 是最简二次根式. 要点诠释:最简二次根式有两个要求:(1)被开方数不含分母;(2)被开方 数中每个因式的指数都小于根指数 2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类 二次根式. 要点诠释:判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开 方数是否相同,再判断.如2
与8
,由于8
=2 2
,2
与8
显然是同类 二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1.乘除法 (1)乘除法法则: 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法a
b
ab a
(
0,
b
0)
积的算术平方根化简公式:(
0,
0)
ab
a
b a
b
二次根式的除法a
a
(
a
0,
b
0)
b
b
商的算术平方根化简公式:(
0,
0)
a
a
a
b
b
b
要点诠释: (1)当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘(或相除) 的法则,如a b c d
ac bd
.( 2 ) 被 开 方 数 a 、 b 一 定 是 非 负 数 ( 在 分 母 上 时 只 能 为 正 数 ) . 如 ( 4) ( 9) 4 9. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后,将同类二次根式的系数相加减,被开方数 和根指数不变,即合并同类二次根式. 要点诠释: 二次根式相加减时,要先将各个二次根式化成最简二次根式,再找出同类二 次根式,最后合并同类二次根式.如
2 3 2 5 2 (1 3 5) 2
2
. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念与性质 1. x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1) ; (2) ; 【答案】(1) ; (2) . 【解析】(1) 要使 在实数范围内有意义, 则必有 . ∴当 时, 在实数范围内有意义. (2) 要使 在实数范围内有意义, 则必有 . ∴当 时, 在实数范围内有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件,要牢记,只有
a
0
时a
才是二次 根式. 举一反三: 【变式】已知 ,求 的值. 【答案】 解:根据二次根式的意义有 . 将 代入已知等式得 2.把 根号外的因式移到根号内,得( ). A. B. C. D. 【思路点拨】首先分析出 x 的取值范围 x<0,然后再向根号里移
x
,到根号里面 要变成
x
2. 【答案】C. 【解析】由二次根式的意义知 x<0,则 . . 【总结升华】在利用二次根式性质化简时,要注意其符号,要明确a
是非负数,反 过来将根号外的因式移到根号内时,也必须向里移非负数. 举一反三: 【变式】(2015 春 绥中县期中)若(• 3x y+5﹣ )2+ =0,求 x+y 的立方 根. 【答案】 解:由题意得(3x y+5﹣ )2=0,即 3x y+5=0﹣ , =0,即 2x y+3=0﹣ , ∴解得 ∴x+y= 3﹣ , ∴x+y的立方根= . 3.(2016 秋 商水县校级月考)已知• a,b,c 在数轴上的位置如图,化简: + . 【思路点拨】根据数轴得到 a<b<0<c,据此来化简二次根式,去绝对值. 【答案与解析】解:如图所示:a<b<0<c,则 + =|a|+a+b+|c a﹣ +b|+c+b+b = a﹣ +a+b+c a﹣ +b+c+b+b =4b+2c a﹣ . 【总结升华】本题考查了二次根式的性质与化简,实数与数轴.根据数轴求得 a、b、c 的取值范围是解题的关键. 举一反三: 【变式】
ABC的三边长为 a、b、c,则 2 2(
a b c
)
(
a b c
)
= . 【答案】2
c
2
a
. 类型二、二次根式的运算 4.(2015•昆山市一模)计算: (1)
-1 01
3
2
3
2
; (2)
3+1
3 1
( 3)
21
2
5
. 【答案与解析】 解:(1)原式=2 1+3=4﹣ ; (2)原式=2 3﹣ ﹣ ﹣2=﹣ ﹣ .3 【总结升华】此题考查二次根式的混合运算,正确掌握二次根式的性质化简以及乘法 计算公式是解决问题的关键.第 6 页 共 7 页 举一反三: 【变式】计算: 【 答 案 】 5.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,化简: 【答案与解析】 解:∵a、b、c 为△ABC 的三边长, ∴原式 【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和 进行化简. 6.若
0
x
,化简___________
x
xy
xy y
xy y
x
xy
. 【答案】x y
xy
xy
【解析】(
)
(
)
=
(
)
(
)
x
x
y
y
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x
xy
xv
y
x
原式
【总结升华】把分子分母分别分解因式,然后约分,可以简化化简步骤. 举一反三: 【变式】当 2 2 2