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《二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解

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Academic year: 2021

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(1)

《二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解

【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算,会用它们进行有关实数的四则运 算. 3、了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形如

a a

(

0)

的式子叫做二次根式,如

3,

1

, 0.02, 0

2

等式子,都叫做 二次根式. 要点诠释:二次根式

a

有意义的条件是

a

0

,即只有被开方数

a

0

时,式 子

a

才是二次根式,

a

才有意义. 2.二次根式的性质 (1) ; (2) ; (3) . 要点诠释:(1) 一个非负数

a

可以写成它的算术平方根的平方的形式,即

a

2

(

a

)

a

0

),如

2 ( 2) ;

2

1

(

1

) ;

2

(

)

2

3

3

x

x

x

0

).

(2)

(2)

a

2

a

的取值范围可以是任意实数,即不论

a

取何值,

a

2 一定有意 义. (3)化简

a

2 时,先将它化成

a

,再根据绝对值的意义来进行化简. (4)

a

2

(

a

)

2的异同 不同点:

a

2

a

可以取任何实数,而

(

a

)

2中的

a

必须取非负数; 2

a

=

a

, 2

(

a

)

=

a

a

0

). 相同点:被开方数都是非负数,当

a

取非负数时, 2

a

=

(

a

)

2. 3.最简二次根式 (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数中不含有分母; (3)分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如

2,

ab

,3

x

,

a

2

b

2 等都 是最简二次根式. 要点诠释:最简二次根式有两个要求:(1)被开方数不含分母;(2)被开方 数中每个因式的指数都小于根指数 2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类 二次根式. 要点诠释:判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开 方数是否相同,再判断.如

2

8

,由于

8

=

2 2

2

8

显然是同类 二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1.乘除法 (1)乘除法法则: 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法

a

b

ab a

(

0,

b

0)

积的算术平方根化简公式:

(

0,

0)

ab

a

b a

b

二次根式的除法

a

a

(

a

0,

b

0)

b

b

商的算术平方根化简公式:

(

0,

0)

a

a

a

b

b

b

要点诠释: (1)当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘(或相除) 的法则,如

a b c d

ac bd

.

(3)

( 2 ) 被 开 方 数 a 、 b 一 定 是 非 负 数 ( 在 分 母 上 时 只 能 为 正 数 ) . 如 ( 4) ( 9)      4 9. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后,将同类二次根式的系数相加减,被开方数 和根指数不变,即合并同类二次根式. 要点诠释: 二次根式相加减时,要先将各个二次根式化成最简二次根式,再找出同类二 次根式,最后合并同类二次根式.如

2 3 2 5 2 (1 3 5) 2

  

 

2

. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念与性质 1. x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?   (1) ;    (2) ;  【答案】(1) ; (2) . 【解析】(1) 要使 在实数范围内有意义, 则必有 .        ∴当 时, 在实数范围内有意义.    (2) 要使 在实数范围内有意义, 则必有 .        ∴当 时, 在实数范围内有意义.

(4)

【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件,要牢记,只有

a

0

a

才是二次 根式. 举一反三: 【变式】已知 ,求 的值. 【答案】 解:根据二次根式的意义有 .      将 代入已知等式得 2.把 根号外的因式移到根号内,得(  ).   A.    B.    C.    D. 【思路点拨】首先分析出 x 的取值范围 x<0,然后再向根号里移

x

,到根号里面 要变成

 

x

2. 【答案】C.  【解析】由二次根式的意义知 x<0,则 .    . 【总结升华】在利用二次根式性质化简时,要注意其符号,要明确

a

是非负数,反 过来将根号外的因式移到根号内时,也必须向里移非负数. 举一反三: 【变式】(2015 春 绥中县期中)若(• 3x y+5﹣ )2+ =0,求 x+y 的立方 根. 【答案】 解:由题意得(3x y+5﹣ )2=0,即 3x y+5=0 =0,即 2x y+3=0﹣ , ∴

(5)

解得 ∴x+y= 3﹣ , ∴x+y的立方根= . 3.(2016 秋 商水县校级月考)已知• a,b,c 在数轴上的位置如图,化简: + . 【思路点拨】根据数轴得到 a<b<0<c,据此来化简二次根式,去绝对值. 【答案与解析】解:如图所示:a<b<0<c,则 + =|a|+a+b+|c a﹣ +b|+c+b+b = a﹣ +a+b+c a﹣ +b+c+b+b =4b+2c a﹣ . 【总结升华】本题考查了二次根式的性质与化简,实数与数轴.根据数轴求得 a、b、c 的取值范围是解题的关键. 举一反三: 【变式】

ABC的三边长为 a、b、c,则 2 2

(

a b c

 

)

(

a b c

 

)

= . 【答案】

2

c

2

a

. 类型二、二次根式的运算 4.(2015•昆山市一模)计算: (1)

-1 0

1

3

2

3

2

  

 

 

 

; (2)

3+1

 

3 1

( 3)

2

1

2

5

  

. 【答案与解析】 解:(1)原式=2 1+3=4﹣ ; (2)原式=2 3﹣ ﹣ ﹣2=﹣ ﹣ .3 【总结升华】此题考查二次根式的混合运算,正确掌握二次根式的性质化简以及乘法 计算公式是解决问题的关键.

(6)

第 6 页 共 7 页 举一反三: 【变式】计算:   【 答 案 】   5.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,化简:   【答案与解析】 解:∵a、b、c 为△ABC 的三边长,         ∴原式      【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和 进行化简. 6.若

0

x

,化简

___________

x

xy

xy y

xy y

x

xy

. 【答案】

x y

xy

xy

【解析】

(

)

(

)

=

(

)

(

)

x

x

y

y

x

y

y

x

y

x

x

y

y

x

y

x

xy

xv

y

x

原式

(7)

【总结升华】把分子分母分别分解因式,然后约分,可以简化化简步骤. 举一反三: 【变式】当 2 2 2

1

1 2

2

1

1

2

3

a a

a

a

a

a

a

a

时,求的值

. 【答案】 解:

1

2

3,

1 0.

2

3

a

 

a

 

由得

1

2

3

2

3

a

 

代入,原式=3.

參考文獻

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