國小六年級學童平衡槓桿問題之解題規則階層次序研究

國立臺中教育大學數學教育學系在職進修

教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：林原宏 博士

國小六年級學童平衡槓桿問題之解題規則

階層次序研究

研究生：黃雅婷 撰

中

華

民

國

九

十

六

年

六

月

中文摘要

本研究旨在應用 Bart and Krus (1973)提出的次序理論(ordering theory)，來分析 六年級學童在解決平衡槓桿比例理解問題時，所使用的解題規則次序性及階層結 構。往昔有關平衡槓桿的相關研究，大部分著重於解題規則的分析、計分與迷思 概念的分析，並沒有呈現出解題規則的次序性；而就心理計量的相關文獻，次序 理論主要應用於試題階層分析。因此，本研究應用次序理論於解題規則階層結構 分析，有其可行之處。 而相關研究顯示，性別的因素，會影響解題規則的使用，且不同能力值的學 生，所傾向使用的規則並不一致，因此本研究的實證分析中，就不同組別與性別 進行二因子變異數分析。

研究者參考 Siegler (1981)和 Bart and Orton (1991)的研究，自行編製的「平衡 槓桿問題」測驗，共 24 題，包含六種題型，並且依據文獻綜合出六個規則進行分 析。施測樣本是來自中部地區國小六年級學生，共 458 位。研究結果顯示： 一、總分不同的受試者，其在平衡槓桿問題所使用的解題規則次序性及階層有明 顯不同。 二、總分相同但反應組型不同的受試者，其解題規則次序性及階層亦有差異。 三、在解題規則結構圖的比較方面，以專家的結構圖為參考指標，發現組別與性 別的交互作用未達顯著差異，而不同組別的受試者之相似性係數達顯著差 異，但不同性別受試者之間則無差異。 本研究之結果，可提供教學者對此受試者的認知結構有進一步的瞭解，亦可 提供認知診斷與補救教學參考用。 關鍵字：平衡槓桿問題 次序理論 解題規則

Ordering Theory Analysis for Hierarchies of

Problem-Solving Rules on the Balance Scale Task

Abstract

The purpose of this study is to apply the ordering theory in analyzing the problem solving rules and hierarchical structures for balance scale. Most of literatures related to balance scale emphasized on the analyzing performance and misconceptions. However, little is known about the ordering of problem-solving rules. As discussed in related literature, ordering theory is mainly applied to the hierarchical structures test items. It is also worthwhile to apply ordering theory in the investigations of hierarchical structures on problem solving rules for balance scale. There are 458 sixth graders in this study. Subjects of varied gender and different levels of ability are considered to the factors which will influence the adoption of diverse rules. Therefore, two-way ANOVA is used in order to realize the potential influence.

The researcher designed paper-pencil test which consists of 24 items. There are six types of items and each include 4 items. There are 6 rules in accordance with the rule usage of balance scale based on the review of literatures. The results of this research are as follows.

1. Subjects of various total score display varied ordering and hierarchical structures of rule usage in the balance scale task.

2. Subjects with distinct response patterns own different ordering and hierarchical structures of rule usage in the balance scale task.

3. With regard to the similarity index between individualized graphs of each subject and expert, the interaction of group and gender is not significant. There is also no significant difference on gender. However, there is significant difference between groups.

The findings of the study can provide the suggestions for cognition diagnosis and remedial instructions. Finally, some recommendations for future research are discussed.

目錄

第一章 緒論... 1

第一節 研究動機 ... 1

第二節 研究目的 ... 3

第三節 名詞解釋 ... 3

第二章 文獻探討... 5

第一節 平衡槓桿問題 ... 5

第二節 槓桿概念有關之現行教材 ... 16

第三節 規則評量方法 ... 19

第四節 次序理論 ... 25

第五節 精緻試題有向圖分析方法 ... 27

第三章 研究方法... 30

第一節 研究架構 ... 30

第二節 研究樣本 ... 31

第三節 研究工具 ... 31

第四節 資料處理 ... 36

第五節 研究流程 ... 39

第六節 資料分析 ... 40

第四章 結果與討論... 43

第一節 平衡槓桿問題各題的通過率分析 ... 43

第二節 平衡槓桿問題的解題規則階層結構分析 ... 48

第三節 不同組別與性別受試者之解題規則結構圖的差異性 . 59

第五章 結論與建議... 63

第一節 結論... 63

第二節 研究限制 ... 64

第三節 建議... 65

參考文獻... 67

附錄 ... 74

附錄一 Sigler (1976)提出的四個規則樹狀圖 ...74

附錄二 加法規則和 QP 規則樹狀圖...77

附錄三 平衡槓桿問題測驗 ... 78

表目錄

表 2-1 平衡槓桿問題的六種題目類型 ... 10

表 2-2 兒童所使用的解題規則對每種題目類型的答對百分比 ... 11

表 2-3 解決平衡槓桿問題的八項認知操作之假定... 12

表 2-4 九年一貫課程「自然與生活科技」領域與槓桿概念有關之教材

內容細目表... 16

表 2-5 試題

i

和試題

j

的答題人數之列聯表 (

i

≠

j

) ... 25

表 2-6 試題第四題(1,4)vs.(2,2)的作答選項反應與規則的對應關係表

...28

表 3-1 預試受測學生一覽表... 31

表 3-2 正式施測受測學生一覽表... 31

表 3-3 平衡槓桿問題 24 題組合... 33

表 3-4 各類型題號 ... 33

表 3-5 「平衡槓桿問題」的六種解題規則意義... 34

表 3-6 平衡槓桿問題所有題目之反應解釋力與反應區別力 ... 36

表 3-7 本測驗 24 題在各規則下的答案 ... 37

表 3-8 規則一～規則六的 Cronbach α 係數值... 38

表 3-9 規則

i

和規則

j

的反應次數之列聯表(

i ≠ j

) ... 41

表 4-1 平衡槓桿問題各題作答選項百分比 ... 43

表 4-2 平衡槓桿問題各題通過率... 44

表 4-3 Siegler (1976 )的六種類型問題之正確回答百分比與年齡之相

關表...45

表 4-4 不同性別在平衡槓桿問題各題的通過率... 46

表 4-5 不同組別在平衡槓桿問題各題的通過率... 47

表 4-6 編號 077 受試者和專家的解題規則次序關係矩陣之比較 ... 60

表 4-7 不同組別與性別的因子下的相似性係數平均數... 61

表 4-8 相似性係數之二因子變異數分析摘要表... 61

表 4-9 不同組別樣本之相似性係數差異事後比較... 62

圖目錄

圖 2-1 平衡槓桿施力說明圖... 6

圖 2-2 試題第四題(1,4)vs.(2,2)的作答選項反應與規則對應圖 ... 28

圖 3-1 研究架構圖 ... 30

圖 3-2 平衡槓桿問題第一題舉例... 32

圖 3-3 研究流程圖 ... 39

圖 4-1 不同總分之六位受試者的解題規則階層結構圖... 50

圖 4-2 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則階層結構

圖(高分組) ...53

圖 4-3 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則階層結構

圖(中分組) ...56

圖 4-4 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則階層結構

圖(低分組) ...58

圖 4-5 專家的解題規則結構圖... 60

第一章 緒論

本研究旨在應用次序理論，分析國小六年級學童在解決平衡槓桿問題時，所 使用解題規則之階層結構。研究者圖繪受試學童在解決平衡槓桿問題的解題規則 結構圖，並探討其知識結構圖之異同。本章旨在闡述本研究之動機、目的及對本 研究所提及之相關名詞作釋義。

第一節 研究動機

在傳統評量的作法裡面是用總分來代表一個學習者的能力，總分較高即代表 能力較好，但是卻很少顧及到受試者在解決問題時所使用的解題規則(rules of problem-solving)，解題規則有正確與不正確之分，正確的解題規則會產生對的答 案，而不正確的解題規則會產生錯的答案，也可能產生對的答案(林原宏、游森期， 2006)。就評量而言，固然答對的情形可以代表受試者的學習能力，但是不同的解 題規則代表不同的認知結構，認知結構於學習歷程中皆扮演著重要的角色，那麼 該如何瞭解及評估認知結構的內容便成了許多學者研究的重心，因此若分析受試 者在解決問題時所採用的解題規則結構圖，可以更進一步了解學生不同的能力結 構。 在比例理解的發展序列研究中，最先發展的是平衡槓桿問題，因為解決平衡 槓桿問題需要考慮兩個面向：重量和距離，因此特別適合成為發展序列的測驗 (Zelazo & Müller, 2002)。有關平衡槓桿問題的相關研究中，提出了受試者在解決平 衡槓桿問題時，會出現許多解題規則，如：規則一(rule Ⅰ)、規則二(rule Ⅱ)、規 則三(rule Ⅲ)、規則四(rule Ⅳ)、3A 規則(rule 3A)、加法規則(addition rule)、QP 規則(qualitative proportionality rule)與臭蟲規則(buggy rule)等(Klahr & Siegler, 1978; Normandeau, Larivee, Roulin & Longeot, 1989; Siegler, 1976; Van Maanen, Been & Sijtsma, 1989)，但是將這些規則進行綜合分析的研究並不多見，大部分的作法都是 根據答對的資料進行描述性或是統計分析(游光純，2002；賴明照，2004；Bart &

Orton, 1991; Jansen & Van der Maas, 2002; Siegler, 1981)，而沒有針對不同的解題規 則進行階層結構分析，可是解題規則結構代表認知結構，如果能夠用這些解題規 則進行次序性探討，應該會很有意義。

本研究使用 Bart and Krus (1973)提出的次序理論，來分析受試者在解決平衡槓 桿此種比例理解問題時，所使用的解題規則階層及次序性。往昔有關次序理論的 文獻，主要將其應用於測驗試題間的階層分析(Airasian & Bart, 1973)，本研究嘗試 將其應用於解題規則階層結構分析的研究。且郭重吉(1990)亦提出認知結構的描 述，是指以適合的方式來呈現出有關學生認知結構的評估結果，通常可以文字敘 述、圖形表徵、或兩者兼用。所以本研究欲應用次序理論繪出受試者在平衡槓桿 問題的解題規則結構圖有其可行之處。

而相關研究顯示，性別的因素，會影響解題規則的使用(Jansen & Van der Maas, 1997)，且不同能力值的學生，所傾向使用的規則並不一致(樊雪春，1999)。張志 銘(2004)的研究亦顯示男女學生在槓桿測驗的「基本平衡概念」試題上，有顯著差 異存在，在「日常生活運用」試題上，亦有顯著差異存在，而在「測驗總分」上 無顯著差異，因此本研究的實證分析中，要就不同組別與性別，比較其在解題規 則結構圖的差異。關於要如何比較不同組別與性別解題規則結構圖之差異，本研 究參考林原宏、游森期(2006)和 Takeya and Sasaki (1997)的認知圖(cognitive map) 比較方法，以及 Goldsmith, Johnson and Acton (1991)的徑路搜尋(pathfinder)之網路 圖(cognitive network)的方法，先進行專家與生手之解題規則結構圖比較後，再進行 不同組別與性別之解題規則結構圖的比較。

基於上述，研究者自行編製平衡槓桿此種比例理解問題的測驗，以國小六年 級學童為研究對象，應用次序理論來分析受試者的解題規則階層結構，並以二因 子變異數分析(two-way ANOVA)來比較不同組別與性別之解題規則相似係數。

第二節 研究目的

基於上述，本研究的目的可臚列如下： 一、了解受試者在平衡槓桿問題測驗所表現的情形。 二、應用次序理論來分析受試者在解平衡槓桿問題時，使用解題規則的次序階層 結構。 三、研究者就不同組別與性別，以二因子變異數分析(two-way ANOVA)比較其相 似係數，以了解其解題規則結構圖之差異。

第三節 名詞解釋

一、解題規則( rules of problem-solving ) 解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程(Jansen & Van der Maas, 2002)。當解題者面對問題時，會基於既有的知識架構或經驗，採用 適當的方法或策略來解題，因此解題規則可代表解題者的潛在知識狀態。

二、平衡槓桿問題 (balance scale task)

依槓桿上支點、抗力點、施力點三者相互位置的不同，槓桿通常可以分成三 種。第一種槓桿支點在中間，主要是用來改變力量的方向；第二種槓桿抗力點在 中間，省力但費時；第三種槓桿施力點在中間，省時但費力。當槓桿平衡時，施 力力矩＝抗力力矩(施力臂×施力＝抗力臂×抗力)。本研究以第一種槓桿支點在中間 為試題之工具進行施測，請受試者預測槓桿會左邊落下、右邊落下或是平衡，在 本研究稱為平衡槓桿問題。 三、次序理論 (ordering theory)

次序理論為 Bart and Krus (1973)所提出，主要應用於衡量兩試題之間的先備關 係(precondition)之次序關係。先計算出試題之間的次序性係數，並以閾值來決定試 題之間是否有次序關係，有次序關係即用箭頭表示，若無次序關係即沒有箭頭，

因此利用次序理論分析試題，可以呈現試題階層(item hierarchy)。 四、精緻試題有向圖分析(refined item digraph analysis, RIDA)

精緻試題有向圖分析是由 Bart and Williams-Morris (1990)所提出，主要應用於 試題分析。他們提出衡量試題的解題規則診斷功能之兩個指標，分別為反應解釋 力(response interpretability)和反應區別力(response discrimination)。反應解釋力是衡 量反應能被規則所解釋的程度，反應區別力是衡量反應能被規則區別的程度。

第二章 文獻探討

本章將就本研究相關文獻做簡介，共分為五節說明：第一節是平衡槓桿問題， 藉由本節的探討，研究者將介紹國內外與平衡槓桿問題相關的研究；第二節是槓 桿概念有關之現行教材，研究者整理我國九年一貫課程中與平衡槓桿有關的教材 內容細目；第三節是規則評量方法，藉由本節的探討，將更加了解各種規則評量 的方法；第四節是次序理論，藉由本節的探討可以知道次序理論的理論基礎與相 關應用；第五節是精緻試題有向圖分析，藉由本節可以知道精緻試題有向圖的分 析方法，各節的內容分述如下。

第一節 平衡槓桿問題

在比例理解的發展序列裡，最先是進行平衡槓桿問題的估計，平衡槓桿問題 特別適合發展序列的測驗，因為它具有多樣的來源(包含重量和距離)，其特徵是允 許在衝突項目的構造中有條理的不一致(Zelazo & Müller, 2002)。因此，平衡槓桿問 題能被使用在 2 歲～成人此大範圍的年齡之間(Case, 1985; Inhelder & Piaget, 1958; Siegler, 1976; Siegler & Chen, 1998)，相關研究分述如下。

壹、平衡槓桿問題的起源

有關平衡槓桿問題之相關研究，最早起源於 Inhelder and Piaget (1958 )使用平 衡槓桿問題作為比例推理的工具，他們透過諮商訪談的方式(clinical interview)，瞭 解兒童如何解決平衡槓桿問題。在研究的過程中，Inhelder and Piaget 以不同的方 式，將砝碼放在平衡槓桿的兩側，要求兒童想出讓平衡槓桿平衡的方法，並且說 明理由。Inhelder and Piaget 在觀察兒童如何解決平衡槓桿問題中發現，兒童這方 面的能力發展可分為三個階段，每一個階段又分為兩個子階段。

階段一：無法辨認受試者的行動與外在的過程(Ⅰ-A)。 重量補償方面的直覺整合(Ⅰ-B)。

階段二：重量與距離具體的操作，但是無法有系統的將其連結(Ⅱ-A)。 重量與距離相反的調和(Ⅱ-B)。 階段三：原理的發現與解釋(Ⅲ)。 前兩個階段的推理是質的性質，在第三階段是最有力的策略，在此階段兒童 使用比例推理解決平衡槓桿的問題，採用 LW/RW=RD/LD 比例的形式，LW 與 RW 分別是指左右兩邊的重量，LD 和 RD 分別是指左右兩邊力臂的距離。如圖 2-1 所 示： 圖 2-1 平衡槓桿施力說明圖 這三個階段與認知發展的階段(前運思期、具體運思期、形式運思期)相同，兒 童在五到八歲之間，瞭解平衡槓桿的兩邊必須有相同的重量才能保持平衡，但是 在解決混淆性問題時，他們多半憑直覺，沒有一致性的解題原則。處於第二階段 初期的兒童，通常以重量多寡推測平衡槓桿平衡與否，而很少考慮到距離的層面， 到了後期，兒童在解決類似的問題，才會同時考慮重量與距離的問題，發展至十 三歲時，兒童逐漸正確掌握解題規則。

貳、平衡槓桿問題的解題策略

解題時所採用的解題策略正確與否，影響解題的成敗結果。使用錯誤的解題 方法，將會導致解題的失敗(劉祥通，2004)；平衡槓桿問題的解題也是如此，雖然 使用錯誤的規則在某些類型的題目會產生對的答案，但並無法正確解決所有類型 的問題。因此研究者從相關文獻歸納出與平衡槓桿問題有關的解題策略，分述如 下：

一、規則一～規則四

Siegler (1976)假設孩童解決槓桿問題將使用以下四個規則中的一個規則，而研 究者參考 Siegler 所提出解決槓桿問題的四個法則的流程圖後，所整理的規則樹狀 圖，如附錄一所示。 規則一(rule Ⅰ)：如果兩邊的砝碼數量相同，將預期槓桿會平衡；如果砝碼數 量不同，將預期砝碼數量較多的一邊會向下傾斜。在陳義勳(1991)、 游光純(2002)、賴明照(2004)等人的研究也發現有學童認為槓桿兩邊 等重就會平衡，若兩邊砝碼不相等，則認為砝碼多的一邊會向下傾 斜。 規則二(rule Ⅱ)：如果一邊的砝碼數量較多，將預期砝碼數量較多的一邊會向 下傾斜；如果兩邊的砝碼數量相同，則會選距離較遠的一邊。在賴 明照(2004)的研究中亦發現有此類解題規則的受試者。 規則三(rule Ⅲ)：如果兩邊的砝碼數量與距離都相同，將預期槓桿會平衡；如 果兩邊的砝碼數量相同，而距離不相等，則會選距離較遠的一邊； 如果兩邊的距離相等，而砝碼數量不同，則會選砝碼數量較多的一 邊；如果一邊砝碼數量較多，而另一邊距離較遠，就思考混亂或猜 測任何答案。(游光純，2002)於研究中亦發現受試者會將力臂與重量 混淆，當遇到一邊砝碼較多，另一邊力臂長時，則判斷依據出現不 一致的情形。 規則四(rule Ⅳ)：同規則三，除非一邊砝碼數量較多，而另一邊距離較遠，就 會計算砝碼數量與距離的乘積，並預期力矩乘積較大的一邊會向下 傾斜。

二、規則 3A (rule 3A)

Klahr and Siegler(1978)提出規則三的另有規則(alternative pattern of rule 3)，將 「知覺混亂」的另外命名為規則 3A，規則 3A 的使用者注意的焦點在比較大的重

量或距離，並對槓桿是否向比較大的重量或距離的一邊向下傾斜作成一感覺的決 定。賴明照(2004)於研究中亦發現受試者在解決衝突型的問題時有吻合規則 3A 的 現象，有些受試者會以砝碼數的多少作為判斷的策略，有些受試者會以距離的多 少作為判斷的策略。

三、rule I’

Siegler (1981)於研究中發現 rule I’的解題策略，rule I’是指只考慮砝碼數量， 砝碼數量多的一邊就會向下傾斜，但是若兩邊砝碼數量相等，則會隨便猜測一邊 落下，並不會預期兩邊平衡。

四、距離為主的規則(distance-dominant rule)

Siegler (1981)的研究中亦發現距離為主規則(distance-dominant rule)，距離為主 規則是指當兩邊距離相等時，則會預期槓桿保持平衡，若兩邊距離不相等時，則 會預期距離較遠的那邊向下傾斜。

五、加法規則(addition rule)

Normandeau et al. (1989)於研究中表示 Siegler 所提出的規則評量方法似乎沒有 涵蓋解決平衡槓桿問題的所有規則，於是另外提出加法規則，加法規則是指分別 將兩邊的砝碼數量與距離相加，受試者會預期得到的和數較大的一邊向下傾斜。(游 光純，2002)亦發現學童會把兩邊的砝碼數量與到支點的距離分別相加來做比較， 藉此作為槓桿平衡與否的判斷方式。

六、QP 規則(qualitative proportionality rule )

QP 規則亦由 Normandeau et al. (1989)於研究中提出，認為距離較近重量較大 的一邊會與距離較遠重量較小的一邊互相補償，因此在所有衝突題中的槓桿問題 都會預期平衡。賴明照(2004)於研究中發現有近三成的小六受試者遇到一邊砝碼較 多、又另一邊距離較遠的題目時，會將重量與距離互相抵銷。

七、臭蟲規則(buggy rule)

Van Maanen, Been and Sijtsma (1989)研究中提出臭蟲規則，臭蟲規則是將距離 與砝碼數量互補，會以一顆砝碼補一格距離，直到兩邊距離相等為止，並預期兩 邊所剩下的砝碼數多的一邊向下傾斜。游光純(2002)、張志銘(2004)亦有同樣的發 現，有學童會有力臂與重量互補的想法，會以一格力臂補一顆砝碼的想法去判斷。

八、最小距離墜落規則(smallest distance down rule, 簡稱 SDD)

最小距離墜落規則是指當兩邊重量相等時，依比例決定會傾向到最短距離， Siegler and Chen (1998)稱之為規則一的另外類型，而 Jansen and Van der Maas (2002) 稱之為最小距離墜落規則。賴明照(2004)的研究中亦發現當兩邊砝碼一樣多時，有 學童會選擇比較靠近支點的那一邊向下傾斜。

參、平衡槓桿問題的相關研究

Siegler (1976, 1978)與 Siegler and Klahr (1982)提出個體用以解決平衡槓桿問題 發 展 的 層 次 規 則 (a hierarchical set of rules) ， Siegler 的 規 則 評 估 方 法 (the rule-assessment methodology)有兩個基本假設：第一，孩童在推理本質上是有一定 的發展順序，在不同的發展時期使用不同的規則；因此，認知的發展可增進精巧 規則的獲得。第二，規則可以由一系列問題的正確與錯誤答案之具體型式被描述。 根據這個模式，最高的發展規則是使用重量與從支點到兩端距離的交乘積以決定 槓桿是否平衡、右邊向下傾斜或左邊向下傾斜，這個規則被稱為力矩乘積(the product-moment rule)的規則。 Siegler (1976)用來探測孩童解決槓桿問題的平衡桿，在支點兩邊各有四根等距 的釘柱，金屬墊圈可圈入釘柱中。平衡桿可能左邊向下傾斜、右邊向下傾斜或保 持平衡，取決於金屬圈放置在支點兩邊的位置及數量。孩童的任務是實驗者鬆手 時，預期哪一邊將向下傾斜或保持平衡。槓桿問題的工作分析顯示兩個影響結果 的變因-支點兩邊砝碼的數量與砝碼到支點的距離。

Siegler (1976)設計了六種類型的平衡槓桿問題，如表 2-1 所示，用以探究孩童 在解決平衡槓桿問題時所使用的規則。 表 2-1 平衡槓桿問題的六種題目類型 題目類型 內容 第一類平衡題 (balance) 槓桿兩邊的距離與砝碼數量都相同。 第二類重量題 (weight) 槓桿兩邊的距離相同，但是砝碼數量不相同。 第三類距離題(distance) 槓桿兩邊的距離不相同，但是砝碼數量相同。 第四類衝突---重量題 (conflict—weight) 槓桿一邊砝碼較多、距離較短，另一邊砝碼較少、 距離較遠，砝碼較多的一邊會向下傾斜。 第五類衝突---距離題 (conflict—distance) 槓桿一邊砝碼較多、距離較短，另一邊砝碼較少、 距離較遠，距離較遠的一邊會向下傾斜。 第六類衝突---平衡題 (conflict—balance) 槓桿一邊砝碼較多、距離較短，另一邊砝碼較少、 距離較遠，槓桿兩邊會平衡。 表 2-2 顯示 Siegler (1976)研究中兒童使用四個規則解題對每種題目類型的答 對百分比，第一類題目與第二類題目使用規則一～規則四都可以 100％答對。第三 類題目使用規則一的兒童，由於以砝碼的數量為考量，會選「平衡」，答對率為 0 ％；使用其他規則的兒童都可以 100％答對。第四類題目使用規則一、規則二與規 則四的兒童都可以 100％答對，使用規則三兒童的答對機會是 33％。第五類題目 使用規則一、規則二的兒童，會選「砝碼數較多的一邊傾斜向下」，答對率為 0 ％；使用規則三兒童答對機會是 33％，使用規則四兒童答對機會是 100％。第六 類題目使用規則一、規則二的兒童，會選「砝碼數較多的一邊傾斜向下」，答對 率為 0％；使用規則三兒童答對機會是 33％，使用規則四兒童答對機會是 100％。

表 2-2 兒童所使用的解題規則對每種題目類型的答對百分比 題目類型 規則一(%) 規則二(%) 規則三(%) 規則四(%) 第一類平衡題 (balance) 100 100 100 100 第二類重量題 (weight) 100 100 100 100 第三類距離題(distance) 0 100 100 100 第四類衝突---重量題 (conflict—weight) 100 100 33 100 第五類衝突---距離題 (conflict—distance) 0 0 33 100 第六類衝突---平衡題 (conflict—balance) 0 0 33 100 Siegler (1976)研究中亦指出超過 80％的 5-17 歲受試者一貫地使用四個規則中 的一個，五歲的兒童最常使用規則一，九歲兒童最常使用規則二或規則三，13-17 歲者最常使用規則三，任何年齡中只有少數孩童使用規則四。 而 Siegler (1981)在研究中，進行兩次的平衡槓桿問題施測，兩次施測時間相 差一個月。研究結果顯示有 77％的受試者，在兩次施測所使用的解題規則一致； 而規則改變那 23％的受試者中的 71％，第二次測驗所使用的解題規則比第一次測 驗所使用的解題規則進步，其餘的受試者第二次使用的解題規則比第一次退步。 由此可見認知能力會隨時間有所成長。

Spada and Kluwe (1980)在研究中以 949 位中學生為研究對象，採用線性邏輯 測驗模式，探究中學生解決 24 題平衡槓桿試題的情形。Spada and Kluwe 歸納出 解決這些平衡槓桿問題時，所可能需要具備的八項認知操作方式，如表 2-3 所示。 由表可知個體在面對平衡槓桿的問題時，並不只有一個解決方式。依據概念的發 展程度不同，會逐步的考量影響槓桿平衡的因素，例如：砝碼重量、力臂長度。 Spada and Kluwe 在設計 24 題平衡槓桿試題時，是有特別設計的，學生在解決試題

時，都需要使用到表 2-3 中的某些認知操作方式。 表 2-3 解決平衡槓桿問題的八項認知操作之假定 認知操作 認知操作方式 1 注意且能對砝碼重量上的差異進行推論。 2 注意且能對力臂長度上的差異進行推論。 3 當槓桿某一邊砝碼數量(或力臂長度)改變時，懂得改變槓桿另一邊砝 碼數量(或力臂長度)，即知道以相同形式對另一邊補償。 4 當槓桿某一邊砝碼數量(或力臂長度)改變時，懂得改變槓桿另一邊力 臂長度(或砝碼數量)，即知道以不同形式對另一邊補償。 5 當槓桿的某一邊砝碼數量(或力臂長度)改變時，懂得調整槓桿同一邊 的力臂長度(或砝碼數量)。即以不同形式對同一邊補償。 6 能考慮影響槓桿平衡的其他因素。 7 能利用槓桿原理，推論出槓桿平衡時，兩邊砝碼數量與力臂長度的 乘積要相等。 8 當某一邊砝碼數量(或力臂長度)改變時，懂得將同一邊力臂長度(或 砝碼數量)的大小，調整為砝碼數量(或力臂長度)改變倍數的倒數。

Chletsos and Lisi (1989)的研究發現在解平衡槓桿問題時學童會以規則一及規 則二來做判斷，青少年則使用規則三，他們除了依據重量會再進行距離的考量； 而成人則以使用規則三、規則四居多，但也有部分成人歸類於使用規則一及規則 二解題。 Stepans (1994)在教學中發現學生在槓桿問題中的一些典型迷思概念，如：大 多數學生誤用了槓桿原理，會把兩邊的砝碼數與到支點的距離分別相加來做比 較，以作為槓桿是否平衡的判斷(加法規則)，而許多學生對槓桿的應用也有困難， 他們認為愈接近支點需要愈少的力來平衡，有些學生很難理解平衡是因為他們在 比例概念上有困擾，有些學生能正確回應某些情形，但當有兩個以上的力作用時 就不能夠正確回應。 亦有的研究發現，學生在個人及有夥伴的不同情境，及紙筆、會話、操作的 不同形式下，評量其對槓桿解題情形，學生竟有前後不一的答案，可見情境及形

Jansen and Van der Maas (2002)的研究顯示在分析發展序列上應用適當的統計 方法是重要的，他們使用潛在類別分析方法去分析孩子在各種不同平衡槓桿問題 的反應，研究結果清楚顯示 5～19 歲的孩童規則使用的發展序列，且在潛在類別 分析後，將受試者解題規則的使用情形分成七群。研究中亦證實孩子在解平衡槓 桿問題時會使用規則，且不同年紀的孩子使用不同的規則，而在使用規則解題時， 有些受試者會一致地使用同一個規則，有些受試者會使用不一致的規則，特別是 使用規則三時，他們認為孩子為了解決衝突型的問題而使用規則三，但 Siegler 所 提出的規則三遇到衝突題型時會進行猜測，在 Jansen and Van der Maas (1997)中有 提到，孩童在此不一定只是猜測，認為孩童是使用不同的策略，才造成不一致的 反應組型，文中亦指出許多研究者所提出不同於 Siegler (1976)的新規則(策略)。 歐陽鍾仁(1987)在探討形式操作期學童的比例推理能力時，發現要判斷學生能 否運用方程式，表示一物體到支點之間的距離乘上該物體的重量等於另一物體到 支點之間的距離乘以該物體的重量時，可以利用一個槓桿平衡器，將兩個砝碼分 別掛在槓桿的兩邊，先移去一邊的砝碼，詢問學生的解決之道。再將砝碼全部取 下，研究學生在平衡槓桿的解決策略。其結果發現：具體操作期的兒童雖然知道 用砝碼來使槓桿平衡，但不如形式操作期的兒童能指出重量與長度兩者影響平衡 的比例關係。 陳義勳(1991)在國小高年級學生自然科學中力學單元迷思概念之探討中，對國 小高年級 20 名學生的研究，發現大部份學生均有槓桿原理的概念，亦即支點兩端 的力矩均相等就會平衡的概念已形成。但有五位學生有迷思概念，分別將力矩與 重量混淆在一起，誤認等重就會平衡，即 Siegler 提出的規則一。 丁振豐、林清山(1993)在心理計量分析與 Seigler 認知分析對天平槓桿平衡問 題測量之比較研究中，針對 1299 位小學一至六年級的學童進行施測，結果顯示平 衡槓桿問題在 Seigler 認知分析與心理計量分析所得的結果有八成以上相符合，但 在層次三的錯誤類型不符合 Seigler 的理論，丁振豐、林清山推究其原因可能為發

展層次三的受試者遇到「衝突題」的問題時，並不是猜測任何答案。 江文慈(1993)在槓桿認知能力發展的評量與學習遷移歷程的分析動態評量之 應用中，發現四年級學生中，只有一半的學生以重量作為解題的參考，32%的學生 在重量相等時才會考慮距離，約有 12%的學生注意到重量及距離都會影響槓桿的 平衡，但沒有學生能正確的利用重量與力臂的關係來解決槓桿平衡的問題。 鐘樹椽、林菁(1994)於問題引導式電腦合作學習在槓桿學習成就之研究中，探 討電腦應用引導式問題帶領學生在小組合作學習上的學習效果，並比較問題引導 式電腦合作學習與電腦個別學習對學生學習成就之差異。研究發現，電腦合作學 習在提升中難度學習成就上顯著地優於電腦個別學習，但在高難度和低難度學習 成就上，此兩種學習方式就沒有顯著不同了。 樊雪春(1999)在學生科學迷思概念的法則分析與建構取向教學法之實驗效果 研究中，依據 Siegler 之法則評鑑法，評估學生在科學概念四種的使用，將規則一、 規則二、規則三視為迷思概念規則，規則四視為正確概念，研究發現高能力學生 會傾向使用正確法則解題，中能力學生會傾向使用迷思法則(使用法則一、二、三 者皆屬之)解題，接受建構取向教學法的學生在槓桿量表的得分未顯著高於傳統教 學法的學生。 游光純(2002)利用臨床晤談探究國民小學高年級學童對槓桿概念的另有想 法，研究結果發現高年級學童對槓桿概念較共通的另有想法有下面幾點：1.砝碼個 數多者會傾斜的想法，認為砝碼數越多的一邊，重量越重，則槓桿會傾斜向下(即 規則一)；2.力臂與重量混淆的想法，當遇到一邊砝碼數多，一邊力臂長時，則判 斷依據出現不一的情形；3.力臂與重量互補的想法，會以一格力臂補一顆砝碼的想 法去判斷(臭蟲規則)；4.位置高低影響槓桿平衡的想法，認為物體越低重量越重， 也有部分學童認為物體越高重量越重；5.懸掛方式影響槓桿平衡的想法，認為壓在 桿子上的物體比較重；6.線的長短影響槓桿平衡的想法，認為掛物體的線越長物體 會越重。

鄭靜瑜(2002)在資訊科技融入引導發現式教學對國小五年級不同能力學生學 習成就與學習保留之研究-以「槓桿」單元為例中，發現在前測階段，兩組受試者 均未達到規則四的層次；在後測階段，引導發現組學生有 85%的受試者使用規則 四；傳統教學學生有 80%使用規則四，代表兩組學生差異不大，亦即引導教學組 學生之槓桿平衡概念發展與傳統教學組學生之間，沒有顯著的差異。而不同能力 學生在接受引導教學及傳統教學後，在「槓桿學習成就測驗」，不論高低能力的 學生，在引導發現教學組成績皆顯著高於傳統教學組，標準差也較傳統教學組小。 而高成就學生與低成就學生於「學習成就」與「學習保留」測驗的分析結果也顯 示，高能力學生的成績顯著高於低能力之學生，表示高成就學生在兩種測驗中皆 比低能力學生表現為佳。 張志銘(2004)在國小六年級學童槓桿迷思概念之二階層診斷研究中，發現學童 的迷思概念類型有十三種，與本研究相關的有：1.會有重量與力矩相混淆的想法； 2.會有力臂與重量互補的想法；3.男女學生之性別差異，對槓桿迷思概念及運用槓 桿原理於生活中的簡單機械工具之迷思概念，在測驗總分上無顯著差異存在；其 中在「基本平衡概念」試題上，「性別」不同有顯著的差異存在；在「日常生活 運用」試題上，「性別」不同亦有顯著的差異存在；但在「槓桿實驗操作」試題 上，「性別」不同並無顯著的差異存在。 賴明照(2004)在國小高年級學童槓桿迷思概念之研究中，發現國小高年級學童 在「力矩與平衡」、「平衡與改變」、「平衡-改變-平衡」、「力臂與重量」等槓 桿概念上均存有不少的迷思概念，在「標有數字的槓桿及沒有標明數字的槓桿」、 「需要力矩乘積公式解題的題型及不需要力矩乘積公式解題的題型」中使用的策 略有相當大的不同與變化。而研究中亦發現學生使用的解題規則有：規則一、規 則二、3A 規則、QP 規則、加法運算、減法運算、臭蟲規則、距離為主規則，由 此可證實 Siegler 提出的規則評量方法並沒有包括解決平衡槓桿問題的所有規則。 張意欣(2004)的研究目的在探討兩種不同的教材對學童判斷簡單機械省力費

力能力之影響。施測結果發現學生在接受兩種不同的教材後，整體表現並無顯著 差異，但在延宕測驗中發現：實驗組表現顯著優於對照組(p＜.05)；實驗組在三大 類槓桿工具、定滑輪、動滑輪、滑輪組的省力費力判斷上的表現顯著優於對照 組(p＜0.1)。 綜合以上平衡槓桿問題解題的相關文獻，研究者著重探討學童解平衡槓桿問 題所使用的解題規則類型、迷思概念、學習情形及分析受試者所使用解題規則的 方法，但如何呈現和分析每位受試者的解題規則次序性，是一個值得探討的主題。 因此，本研究欲應用次序理論分析受試者於平衡槓桿問題的解題規則階層結構。

第二節 槓桿概念有關之現行教材

本研究以「平衡槓桿問題」測驗為實證研究工具，分析國小六年級學童在平 衡槓桿問題之解題規則的階層結構及次序性。而國內將平衡槓桿問題的課程置於 自然與生活科技領域中，因此研究者從九年一貫「自然與生活科技」領域的課程 綱要(教育部，2003)中整理出與槓桿概念有關之教材內容，如表 2-4 所示。 表 2-4 九年一貫課程「自然與生活科技」領域與槓桿概念有關之教材內容細目表 課題、主題、次主題 教材內容細目 課題：自然界的作用 主題：改變與平衡 次主題：215 運動與力 ＊ 力的作用現象力的作用現象力的作用現象力的作用現象 1b.察覺風、水及手的推力，可使物體運動起來。 ＊ 力的作用力的作用力的作用力的作用 2a.知道物體受力的大小可由形變的程度得知(例如 彈簧拉長、球被壓扁)。 ＊ 壓力壓力壓力壓力 2b.利用壓力可以推動物體(例如用筆管吹紙團、擠 壓裝水的寶特瓶)。 ＊ 物體的位置物體的位置物體的位置物體的位置 2c.知道要表達物體的「位置」，應包括座標、距離、 方向等資料。

表 2-4 九年一貫課程「自然與生活科技」領域與槓桿概念有關之教材內容細目表 (續) ＊ 時間測量時間測量時間測量時間測量 2d.察覺規則性的運動可用來測量時間及方向(例如日 影的改變)。 ＊ 平衡與不平衡平衡與不平衡平衡與不平衡平衡與不平衡 3a.察覺物體受好幾個力的作用，仍可能保持平衡靜止 不動。 3b.實驗發現槓桿原理(例如利用翹翹板懸掛不等重的 東西)。 ＊ 摩擦力的影響摩擦力的影響摩擦力的影響摩擦力的影響 3c.察覺摩擦力會影響運動，摩擦力的大小與接觸面的 性質有關。 ＊ 速度變化速度變化速度變化速度變化。。。。 3e.察覺施力可使物體運動速度改變。 ＊ 平衡平衡平衡平衡 4a.察覺力矩會改變物體的旋轉運動。 4b.知道靜止的物體所受合力為零、合力矩為零。 4c.了解槓桿原理是力矩作用的結果。 ＊ 力的作用形式力的作用形式力的作用形式力的作用形式 4d.知道若以作用形式分，力可分為接觸力和超距力。 ＊ 摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力 4e.探討影響摩擦力的因素。 ＊ 力與運動量的改變力與運動量的改變力與運動量的改變力與運動量的改變 4k.探討物體受力時，運動量改變的現象。 4l.知道物體做加速度運動時，必受力。 課題：生活與環境 主題：生活科技 次主題：412 機械應用 ＊ 簡單機械簡單機械簡單機械簡單機械 3a.知道日常生活中常利用簡單機械(例如槓桿、滑輪、 鏈條、皮帶、齒輪、輪軸等)來做事。 3b.知道鏈條、皮帶、齒輪等裝置可以傳送動力。 3c.知道可利用流體傳送動力。 ＊ 熱機工作原理熱機工作原理熱機工作原理熱機工作原理 4a.由氣體體積、溫度與壓力的關係，知道熱機的工作 原理。 ＊ 簡單機械的原理簡單機械的原理簡單機械的原理簡單機械的原理 4b.知道簡單機械(槓桿、滑輪、輪軸、齒輪、斜面)的工 作原理，並能設計實用的裝置或玩具。

表 2-4 九年一貫課程「自然與生活科技」領域與槓桿概念有關之教材內容細目表 (續) 課題：永續發展 主題：創造與文明 次主題：530 設計與製 作 2a.分析需求。 2b.圖文表達。 2c.選用材料。 2d.改善機能。 3a.考量資源。 3b.變化形式。 3c.使用機具。 3d.加工處理。 4a.製作模型。 4b.規劃製作程序。 4c.測試與調整。 4d.改良技術。 編碼說明：各次主題下之細目編碼：1 代表國小一、二年級、2 代表三、四年級、 3 代表五、六年級、4 代表國中一、二、三年級。a、b…為流水號。例 如：110-1a 為次主題 110 下之第 1 階段(一、二年級)a 項教材「察覺環 境中有…」。 由表 2-4 可看出九年一貫課程中與槓桿概念相關的課程，由低年級到高年級都 是經過特定的編排，透過觀察與實驗讓學生從中發現與學習，而與平衡槓桿直接 相關的教材內容細目為： ＊ 平平平衡與不平衡平衡與不平衡衡與不平衡衡與不平衡 3a.察覺物體受好幾個力的作用，仍可能保持平衡靜止不動。 3b.實驗發現槓桿原理(例如利用翹翹板懸掛不等重的東西)。 ＊ 平衡平衡平衡平衡 4a.察覺力矩會改變物體的旋轉運動。 4b.知道靜止的物體所受合力為零、合力矩為零。 4c.了解槓桿原理是力矩作用的結果。 ＊ 簡單機械簡單機械簡單機械簡單機械 3a.知道日常生活中常利用簡單機械(例如槓桿、滑輪、鏈條、皮帶、齒輪、輪

軸等)來做事。 ＊ 簡單機械的原理簡單機械的原理簡單機械的原理簡單機械的原理 4b.知道簡單機械(槓桿、滑輪、輪軸、齒輪、斜面)的工作原理，並能設計實用 的裝置或玩具。 由上述可知，國小學童於第三階段，即五六年級時才會透過實驗發現槓桿原 理，而有部分版本教科書將此部分教材編入五年級，亦有將此部分編入六年級， 為求全部施測學童都有上過此部分教材，因此本研究的研究對象設定為六年級， 並且於六年級下學期末進行施測。

第三節 規則評量方法

Siegler (1976)提出解題者受既有知識架構或經驗的影響，其解題過程會依循某 種方法或策略。方法或策略在此稱為解題規則，而關於解題規則分析方法的探究， Jansen and Van der Maas (1997) 稱 之 為 規 則 評 量 方 法 論 (rule assessment methodology)。關於解題規則探究的方法，在此分成質性和量性兩大部分說明。

壹、質性的研究取向

最早將晤談方式用於瞭解學童認知發展的是 J-Piaget，其方法是晤談者利用實 物或照片，要求學生對有關現象加以描述、解釋、或預測。晤談之目的在了解學 生做該項回答時背後的想法，因此不論學生答案的對錯，晤談者以一連串的問話 和學生一問一答，直到了解學生可能的想法為止(郭重吉、吳武雄，1990)。因此從 Inhelder and Piaget (1958)從事兒童觀察研究開始，觀察與晤談即為獲得解題者思維 重要方法。透過質性的觀察、晤談或記錄，將蒐集的資料分析歸納，可以獲得解 題者的思考過程及解題策略。且臨床晤談法比紙筆法更能了解學童對於自然現象 解釋的理由，進而了解學童的思考模式(王美芬，1991)。

後續亦有許多文獻使用晤談方法進行研究，例如：Watts (1983a)運用晤談方法 探究學童對力的另有架構；Watts (1983b)利用事例晤談探究學生的能量概念；

Hardiman (1984)利用晤談時的嘗試測驗來啟發學生對槓桿的平衡情形做預測； White and Gunstone (1992)利用 POE 晤談探究學生對於物體平衡、重量與位置高低 間的想法；Halford and Dalton (1995)利用教學前後的晤談，探究 2 到 3 歲孩童對槓 桿平衡題的判斷情形；Welzel (1998)運用紙筆測驗及前後測的晤談來探究學生對機 械的概念；Michelle (1998)運用紙筆測驗及可操作具體物的晤談來探究學生在多樣 化的簡單機械教學前後所呈現對槓桿概念的想法。 一般而言，質性探究所得到結果，可作為提供量性研究的依據。但是質性研 究的樣本數小，不適於做推論，且需注意解題者或研究者的個別特質或因素。

貳、量性的研究取向

量性研究是指以量化的統計與測驗方法分析研究資料，一般而言，量性探究 所得到的結果，可提供推論依據或建立診斷題庫系統的參考。以下分述五種量性 研究取向的分析類別。

一、Seigler 的認知分析

Seigler 發展一系列平衡槓桿測驗，要求兒童預測槓桿的結果，在分析兒童於 平衡槓桿測驗的解題行為後，Seigler(1981)指出兒童是依據瞭解層次，而表現出不 同的解題行為，且認為層次的發展具有一致性，可透過規則一～規則四的獲得， 而在題目上表現進步。Seigler(1976)所設計的紙筆測驗中題目類型有六種：平衡 題、重量題、距離題各 4 題，而衝突---重量題、衝突---距離題、衝突---平衡題各 6 題，共計 30 題，透過兒童在各類型題目的答對率是否達到預設標準，來辨別兒童 所傾向使用的規則。各規則的辨別方式不同，分述如下。 規則一：當兒童有 26 題是依據「重量」來判斷，且在 4 題的距離題中有 3 題預期 槓桿會平衡，則認為此兒童使用規則一解題。 規則二：當兒童有 26 題是依據下列敘述來判斷：當「重量」不等，則只考慮「重 量」；當「重量」相等，則再考慮「距離」。且在 4 題的距離題中有 3 題

規則三：在 12 題非衝突題中，至少有 10 題預測正確，且包含 4 題的距離題中有 3 題預測正確，則認為兒童使用規則三解題。

規則四：在 30 題中，至少有 26 題預測正確。

二、潛在類別分析(latent class analysis)

潛在類別模式的研究起源是由於 IRT 所發展出來的模式，多半是假設受試者 的能力參數的特性是連續的。然而，在某些情況下，這種假設也許不是很恰當， 因此才造成模式與資料間的不適合問題。如果能將該假設予以放寬，允許受試者 的能力參數的特性不是連續的，而是間斷的，也許可以解決並解釋模式與資料間 不適合的現象問題(Rost, 1985, 1988)。 潛在類別模式與試題反應理論模式間最大差別，在於彼此對受試者之能力參 數的屬性的假設不同：前者假設為間斷的，後者假設為連續的。這兩者所使用的 數學模式，都是一樣的深奧、複雜，都是以機率的觀念來表示某位具有某種能力(或 能力類別)的受試者在某個試題上答對之可能性。 潛在類別分析是常見的量性分析方法，此方法利用外顯變數的一連串反應來 建立外顯類別變數與某潛在類別變數間的關係。所謂的外顯類別變數指的是可被 直接觀察或測量到的類別變數，如血型、性別；反之則為潛在類別變數，如態度、 喜好等，其特點在於不需要特別假設母體的分配，可以透過一連串外在線索將資 料分類，而後再檢視分類的結果是否可以恰當地解釋資料(劉家惠，2006)。應用於 解題規則分析，則是依據反應組型將受試者做最佳分類，根據每個類別下之試題 條件機率，來詮釋受試者的解題規則或認知結構(吳毓瑩、林原宏，1996；Jansen & Van der Maas, 2002)。在 Jansen and Van der Maas (2002)的研究中認為 Siegler (1976) 所提出的規則評量方法，似乎無法完全適用，因此應用潛在類別分析方法於平衡 槓桿問題之解題規則分析上。Quinlan, Van der Maas, Jansen, and Rendell (2007)亦應 用潛在類別分析於平衡槓桿問題之前後關係模型的評估上。

試題反應理論是心理計量學的重要理論，此理論的模式相當多，例如：Tatsuoka (1983) 的 規 則 空 間 (rule space)模 式、 Fischer (1973) 的 線 性 邏輯 測驗 模 式 (linear logistic test model)、Mislevy and Verhelst (1990)的混合策略模式(mixture strategies model)、Misailidou and Williams (2003)的診斷比例推理之解題策略的題庫等，說明 如下：

(一) 規則空間(rule space)模式

規則空間是由 Tatsuoka (1983)所發展出的一種認知診斷評量，它是藉由試題評 量的方式，找出受試者的試題反應組型(item response pattern)，進而推論受試者所 擁有的潛在知識狀態(latent knowledge state)。在獲得受試者的潛在知識狀態後，即 能瞭解受試者的知識結構，哪些部分是已經具有良好的聯結關係，哪些部分是需 要再補強的。教師可藉由規則空間所診斷出的學習結果，對受試者進行補救教學。 使用規則空間的評量方法，其所採用的試題必須經過特別的設計，如此才能 從受試者的試題反應，診斷出受試者的知識狀態。而試題所需包含的認知屬性， 要由工作分析來界定，在認知屬性組合和試題反應理論架構下，根據受試者的反 應組型，即可據以推論其可能的解題規則(涂金堂，2003)。 Tatsuoka (1986)將規則空間模式應用於加減法問題一系列的研究中，研究結果 顯示規則空間能夠偵測出學生的解題規則。此理論優點在於可以提供豐富且準確 的診斷訊息，供教學者判斷學習者的學習歷程與學習成果。而最大的限制在於對 於任何概念都需事先建立一套規則空間，以及解決此類問題所有錯誤規則的集 合，但是錯誤規則不容易窮盡，因此不容易編製適用此模式的測驗，此為此理論 應用上主要的限制。

(二) 線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM)

線性邏輯測驗模式是由 Fischer (1973)所發展出來的，是 Rasch 模式的一種延 伸。運用線性邏輯測驗模式的評量方法，即可透過受試者的試題反應組型，推估 出受試者可能因沒有具備某種認知操作的知識或技能，而導致無法答對包含該種

受試者比較容易學習獲得的，而哪些認知操作對受試者是比較艱深的。

Spada and Kluwe (1980)在研究中以 949 名中學生為研究對象，採用線性邏輯 測驗模式，探究中學生解決 24 道平衡槓桿試題的情形。Spada and Kluwe 於研究中 歸納出解決這些槓桿平衡問題時，所可能需要具備的八項認知操作方式。 此模式的優點是比 Rasch 模式更能診斷出受試者因缺乏某種認知操作的知識 或技能，而無法答對包含該種認知操作的試題。但線性邏輯測驗模式是以 Rasch 模式為基礎，再加以擴增對試題難度的探討，而 Rasch 模式常被批評的缺點是並 未考慮鑑別力參數與猜測參數，而這個缺點同樣也出現在線性邏輯測驗模式(涂金 堂，2003)。

(三) 混合策略模式(mixed strategies model)

混合策略模式是由 Mislevy and Verhelst (1990)所提出，他們認為 Fischer(1973) 的線性邏輯測驗模式對於試題的測驗內容，已經關注到不同的認知操作。但這些 不同的認知操作，通常被假定為使用於同一種解題策略，亦即所有受試者會採用 同一種策略，解決所有測驗的試題，而這些試題則包含了各種不同的認知操作。 然而在實際的測驗情境中，受試者通常會使用不同的解題策略進行解題。因此， Mislevy and Verhelst 針對受試者在解題時可能採用不同的解題策略，而發展出新的 診斷評量模式，即是混合策略模式。 混合策略模式假定受試者對同性質的所有試題，可能會採取不同的解題策 略。混合策略模式的這一點假定，是比較符合受試者的真實解題情境，亦即對同 性質的試題，受試者可能會採用不同的解題策略。其次，將受試者的試題反應組 型，透過混合策略模式的估算，可以估算出不同能力值的受試者，選擇不同策略 的概率函數值的高低，據此，可推估不同能力值的受試者，較可能採用何種解題 策略(涂金堂，2003)。 而使用混合策略模式的前提是，評量者必須事先確定受試者可能會採用哪幾 種不同的解題策略，而這個部分則有賴於心理學提供豐富的研究成果，但以目前 教學心理學對於各學科領域的探究成果，可能無法有效滿足評量者的需求，此為

推行混合策略模式的限制。 (四) 解題規則診斷之題庫

Misailidou and Williams (2003)整理相關文獻後進行比例理解試題的編製，並以 Rasch 模式之試題反應理論進行檢驗，以晤談提供診斷詮釋之依據，建立解題規則 診斷之題庫，老師和研究人員可以用此測量和診斷孩子有關比例理解的想法。

四、劇變論(catastrophe theory, CT)

劇變論是由法國數學家 Thom (1975)所發展的數學架構，是一種應用於自然與 物理改變轉移現象的數學機率模型，近年來亦被擴展於社會科學的相關研究中。 Van der Mass and Molenaar (1992)則將劇變論應用於解題規則發展階段的分析，應 用劇變論於解題規則的探討，主要以歐洲 University of Amsterdam 的研究群為主 (Ploeger, Van der Mass, & Hartelman, 2002)。一般而言，劇變論可以解釋解題規則 發展階段的現象，但是此理論較艱深不易理解，因此一般研究較少將劇變論應用 分析上。

五、知識空間(knowledge space)模式

Doignon and Falmagne (1985)所提出的知識空間模式，則是以集合論(set theory) 為理論基礎。其基本假定為任何學習領域的評量，可以將該領域分解成一些問題 或試題的集合，這些試題組合成知識表徵的基本元素。而知識空間的評量模式， 首先要建構可能的知識狀態，在根據學生的反應組型去推估學生學習路徑的可能 機率，由此達到診斷學生學習狀況的目標。此模式最大的優點則在於可以評量出 學習者的知識結構，透過知識空間模式對學習者知識結構的分析，可以診斷出學 習者對各概念之間的異同情形，是否產生適當的連結關係。但知識空間模式在推 估學習者的知識結構時，需要使用到特定的統計軟體(PRAXIS)，且因運用到許多 複雜心理計量公式，因此，知識空間模式尚未普遍的被應用到教學評量領域。 綜合上述相關研究，可知不同的解題規則分析方法，各有其優缺點，研究者

功效。

第四節 次序理論

壹、次序理論的理論基礎

在心理計量的相關研究中，次序理論主要應用於衡量兩試題之間的先備關係 (precondition)之次序性。利用次序理論的分析，可以呈現試題階層(item hierarchy) (林原宏，2005a)。

根據 Bart and Krus (1973)的次序理論，以二元計分的試題 i 和試題 j ( i ≠ j )為 例，其答對(以 1 表示)和答錯(以 0 表示)的人數可用列聯表呈現，如表 2-5 所示(林 原宏、游森期，2006：242)。 表 2-5 試題 i 和試題 j 的答題人數之列聯表 ( i ≠ j ) 試題 j 1 0 總和 1 n11 n10 n1 試題 i 0 n01 n00 n0 總和 n1 n0 N ＝n ＋11 n ＋10 n ＋01 n00 表 2-5 中試題 i 和試題 j 的反應組合共有(1,1) (1,0) (0,1) (0,0)四種，n 即₁₁ (1,1) 是代表試題 i 和試題 j 都答對；n 即₁₀ (1,0)是代表試題 i 答對，而試題 j 答錯；n 即₀₁ (0,1)是代表試題 i 答錯，而試題 j 答對；n 即₀₀ (0,0)是代表試題 i 和試題 j 皆答錯。 其中n 表示不滿足「試題 i 為試題 j 的先備條件」之情形。₀₁ n₀₁/N 的範圍是 0≦ (n₀₁/N)≦1，n₀₁/N 若愈小，表示不滿足試題i 為試題 j 的先備條件之情形越少，

也就是試題 i 可能為試題 j 的先備條件機率越大。因此，Bart and Krus (1973)以閾 值 (threshold)

ε

₍₀<ε <₁₎決定試題 i 與試題 j 是否有次序關係如下：

(一) 若(n₀₁/N)＜ε，表示試題 i 為試題 j 的先備條件，即試題 i 與試題 j 有次序關

(二) 若(n₀₁/N)≧

ε

，表示試題 i 不是試題 j 的先備條件，即試題 i 與試題 j 沒有次

序關係，此時以r ＝ij 0表示，圖繪中 i 沒有指向 j ；

至於閾值

ε

的範圍選定，_{Airasian and Bart (1973)建議 0＜}

ε

＜.2，但在實證研

究中，則由研究者自行決定閾值大小。

貳、次序理論的應用

Bart and Krus (1973)提出次序理論的方法後，其後續的應用研究主要為 J. Piaget 認知發展理論的發展階段之次序性探討。舉例說明如下：

Bart and Airasian (1974)的研究是使用次序理論方法來判斷皮亞傑的七個任務 (包含三項具體操作及四項形式操作)之次序關係， 研究結果支持 具體操作期 (concrete operative period)為形式操作期的先備條件。Bart, Frey, and Baxter (1979) 利用次序理論比較不同背景受試者的形式操作期之基模階層結構差異，發現其基 模階層結構存在共同的特徵。Bart and Mertens (1979)應用於認知發展之形式操作期 (formal operative period)的基模(scheme)之階層結構。該研究顯示在同一基模內的某 些試題是等價的(equivalent)，雖然反應組型不同，但可發現形式操作期的基模階層 結構之特徵。Airasian, Bart, and Greaney (1975)以次序理論分析形式操作期學生的 命題邏輯(propositional logic)之階層結構。而 Jansson (1986)的研究為發展數學課程 中有關邏輯方面的內容之階層，並將所發展的階層與早期的研究做比較，亦研究 不同的語言形式在邏輯推理表現的影響。

林原宏(2006)於研究中利用試題關連結構(item relational structural, IRS)的次序 理論方法，分析「柳橙汁濃度測驗」(Orange Juice Test)中受試者解題規則使用的次 序性及階層關係。林原宏、游森期(2006)於次序理論取向的解題規則階層分析及其 結構圖比較之探究中，應用次序理論於比例理解之解題規則分析和結構圖比較， 並以「柳橙汁濃度測驗」的比例理解為實證研究問題，獲得受試者的解題規則結 構圖。李佳芸、林原宏(2006)亦應用次序理論分析受試者於機率問題中的解題規則

但反應組型不同的受試者，在解題規則階層結構圖中，其解題規則的次序性亦不 同，所蘊含的認知結構也不盡相同。林原宏、陳紹銘(2006)在研究中應用次序理論 方法，分析國小六年級學童的等量公理之概念結構。於次序理論中是以概念當成 分析的變數，研究結果發現，學童等量公理的概念結構可分為六個階層。

綜觀 Bart and Krus (1973)所提出的次序理論，其後續研究主要應用於試題的階 層結構，近來才有研究以解題規則為分析單位。因此，本研究利用次序理論的觀 點，應用於平衡槓桿問題之解題規則的階層結構分析及圖形比較，有其必要與可 行之處。

第五節 精緻試題有向圖分析方法

精 緻 試 題 有 向 圖 分 析 (refined item digraph analysis, RIDA) 是 由 Bart and Williams-Morris (1990)所提出，主要應用於試題分析。因為傳統測驗會對每道試 題，計算其難度(P)與鑑別度(D)，利用這兩個指標診斷學習者的學習歷程，並無法 提供有效的訊息。而認知診斷評量的計分方式，強調測驗的計分能夠提供老師足 夠的診斷訊息，來評估學生的學習歷程。因此 Bart and Williams-Morris 提出衡量試 題的解題規則診斷功能之兩個指標，分別為反應解釋力(response interpretability)和 反應區別力(response discrimination)，說明如下。 反應解釋力用以判斷每道試題中的每個反應選項，是否至少含有一個規則可 解釋此反應選項。試題的反應解釋力最小值為 0，顯示該道試題的每個選項，都沒 有包含一個或一個以上的規則。試題的反應解釋力最大值為 1，顯示該道試題的每 個選項，都包含至少一個規則以上。反應解釋力的數值大小，能提供施測者許多 重要的診斷訊息，因為根據反應解釋力的數值大小，施測者可藉由受試者所挑的 選項，來推論受試者答題時，可能經歷的各種認知運作歷程。反應解釋力數值越 大，越有機會顯現出受試者答題時，可能經歷的各種心理運作歷程(涂金堂，2003)。 反應區別力用以判斷每道試題中的每個反應選項，是否只有一個規則可對

應，即反應選項能被不同規則所區辨的能力。試題的反應區別力最小值為 0，顯示 該道試題的每個選項，都沒有包含一個或一個以上的規則。試題的反應區別力最 大值為 1，顯示該道試題的每個選項，都只包含一個規則。反應區別力的數值大小， 會影響到施測者能否由獲得的相關訊息，正確的推論出受試者答題時，經歷過哪 一種認知運作歷程。反應解釋力數值越大，越有機會推論出受試者答題時，真正 經歷哪一種心理運作歷程(涂金堂，2003)。 以圖 2-2 為例，假設第四題(1,4)vs.(2,2)的三種作答選項反應，可由規則一至規 則六等六種規則對應表示，而規則一至規則六的意義如表 3-5 所示。 圖 2-2 試題第四題(1,4)vs.(2,2)的作答選項反應與規則對應圖 根據圖 2-2 的對應關係，可獲得如表 2-6 的作答選項反應與規則之對應關係 表。表 2-6 中，如果反應能被該規則所對應解釋，則以 1 表示；反之則以 0 表示。 表 2-6 試題第四題(1,4)vs.(2,2)的作答選項反應與規則的對應關係表 規則一 規則二 規則三 規則四 規則五 規則六 列總和disi 選項 1 0 0 1 0 1 0 2 選項 2 1 1 1 0 0 0 3 選項 3 作答選項反應 第四題題目 （ ）4. ○1 _左邊落下 ○2右邊落下 ○3平衡 規則四 規則三 規則二 規則一 3 2 1 規則六 規則五 解題規則

反應解釋力公式為 1 int I i i I =

∑

，其中 I 是反應的數目，當反應 i 對應的列總和dis 大_i

於 0 時，則 inti為 1；反之，當反應 i 對應的列總和dis 等於i 0 時，則 inti為 0。所以，

表 2-6 中該題的反應解釋力為1 1 1 1 3 + + = 。反應解釋力的值域介於

[

0,1 之間，其值

]

愈高，表示該題的反應愈能被規則所解釋(林原宏，2005b)。 反應區別力公式為 1 1 I i disi I =      

∑

，其中 I 是反應的數目，而dis 是反應_i i 的列總和； 如 果 dis =i 0 ， 則 令 1 i dis 為 0 。 所 以 ， 表 2-6 中 該 題 的 反 應 區 別 力 為 1 1 1 7 2 3 3 3 18       + +             = 。反應區別力的值域亦介於

[

0,1 之間，其值愈高，表示該題

]

的反應愈能被不同規則所區別出來 (林原宏，2005b)。 在實證研究的使用上，反應解釋力和反應區別力具有重要價值，包括：(1)在 編製解題規則的認知診斷測驗工具時，此兩項指標可供衡量試題品質的參考，測 驗編製者可據以設計試題的題幹或選項，以提高試題的反應解釋力和反應區別 力；(2)施測後的受試者計分，可將反應解釋力和反應區別力做為計分的依據(涂金 堂，2003)。

第三章 研究方法

本章主要依據研究動機、研究目的以及相關文獻資料，探究本研究採取的研 究方法與實施方式，內容共分為六節，分述如下。

第一節 研究架構

本節根據研究目的及相關文獻，提出研究架構圖，如圖 3-1 所示。 圖 3-1 研究架構圖 國內外平衡槓桿相關研究文獻 國內外比例理解相關文獻 平衡槓桿解題規則分析 平衡槓桿題目類型區分 專 家 審 視 內 容 效 度 編製平衡槓桿測驗試卷 次序理論分析 結構圖理論分析 分析： 1.受試者在平衡槓桿問題測驗所表現的情形。 2.應用次序理論來分析受試者在解平衡槓桿問題時，使用解題規則的 次序階層結構。 3.研究者就不同組別與性別，以二因子變異數分析(two-way ANOVA) 比較其相似係數，以了解其解題規則結構圖之差異。

第二節 研究樣本

壹、預試樣本

本研究的對象為國小六年級學童。預試時以臺灣中部地區二個縣市，四所國 小之六年級學童為對象，受測學童人數如表 3-1 所示。 表 3-1 預試受測學生一覽表 學校代號 班級數 有效樣本數 A 一班 28 人 B 一班 30 人 C 一班 34 人 D 一班 21 人 合計四校 4 班 113 人

貳、正式施測樣本

正試施測的對象是以臺灣中部地區二個縣市，九十四學年度第二學期在學的 六年級國小學童為主，年齡大約是 12～13 歲，其中並不包括私立國小、特殊學校 以及特殊班級的學生，全部樣本數為 479 人，除去資料不全及未完成測驗之樣本 21 人，所得之有效樣本共 458 位，受測學童人數如表 3-2 所示。 表 3-2 正式施測受測學生一覽表 學校代號 班級數 有效樣本數 1 六個班 188 人 2 二個班 63 人 3 三個班 86 人 4 四個班 121 人 合計四校 15 班 458 人

第三節 研究工具

壹、測驗設計依據及測驗編製組成

研究者參考 Siegler (1981)和 Bart and Orton (1991)的研究，自行編製「平衡槓 桿問題」之測驗工具。研究者參考 Siegler (1976)的研究將測驗題目分成如表 2-1 中的六種類型，每一類型設計四道題目，共計 24 題。此測驗經過二位數學教育專 家和二位教學經驗豐富的國小高年級數學科教師審核，以確定測驗內容適合國小 六年級的學童。 研究者於 2005 年的 11 月至 12 月間進行預試，選定臺灣中部地區二縣市之國 小六年級學童四個班共計 113 人，進行施測。施測後測驗的 Cronbach α係數為 0.732，為求測驗更佳品質，再與數學教育專家討論，進行題目數據修改，形成平 衡槓桿問題之正式施測試卷。 正式施測工具是一本五頁共 24 題的試題，第一題舉例如圖 3-2。在圖 3-2 中， 代表槓桿支點左邊 3 格處放 3 個砝碼，槓桿支點右邊 1 格處放 3 個砝碼，請受試 者判斷就圖 1 所示的槓桿會那邊落下(選擇○1左邊落下或○2右邊落下)，若是保持平 衡則選擇○3平衡。為了簡化問題表示，該題用(3,3)vs.(3,1)的組合表示。 本研究的「平衡槓桿問題」共計 24 題，此 24 題的(LW, LD) vs. (RW, RD)組合， 如表 3-3 所示，詳細試題內容請參照附錄三。 圖 3-2 平衡槓桿問題第一題舉例 （ ）1. ○1 左邊落下 ○2 右邊落下 ○3 平衡

表 3-3 平衡槓桿問題 24 題組合 題號 (LW, LD) vs. (RW, RD) 題號 (LW, LD) vs. (RW, RD) 1 (3,3) vs. (3,1) 13 (3,1) vs. (3,1) 2 (4,2) vs. (4,2) 14 (1,4) vs. (1,3) 3 (2,2) vs. (2,4) 15 (2,3) vs. (2,3) 4 (1,4) vs. (2,2) 16 (4,2) vs. (4,3) 5 (3,2) vs. (1,2) 17 (1,4) vs. (2,4) 6 (4,2) vs. (2,3) 18 (4,1) vs. (3,1) 7 (4,2) vs. (3,4) 19 (3,2) vs. (1,3) 8 (1,4) vs. (1,4) 20 (3,2) vs. (2,4) 9 (3,4) vs. (4,1) 21 (3,1) vs. (1,3) 10 (2,4) vs. (4,3) 22 (1,4) vs. (2,1) 11 (3,4) vs. (4,3) 23 (1,4) vs. (2,3) 12 (2,3) vs. (4,3) 24 (1,2) vs. (2,1) 註：1. LW：槓桿中左邊的砝碼數。2. LD：槓桿中左邊放置砝碼的位置與槓桿支點的距離格數。 3. RW：槓桿中右邊的砝碼數。4. RD：槓桿中右邊放置砝碼的位置與槓桿支點的距離格數。 此份測驗工具之題目類型共分為六類，一種類型各有 4 題，共計 24 題，分配 如表 3-4 所示。 表 3-4 各類型題號 題目類型 題號 第一類平衡題 2、 8、13、15 第二類重量題 5、12、17、18 第三類距離題 1、 3、14、16 第四類衝突---重量題 6、10、19、23 第五類衝突---距離題 7、 9、20、22 第六類衝突---平衡題 4、11、21、24

貳、測驗的規則內容

綜合「平衡槓桿問題」相關的研究，研究者根據學童解決此種問題時所採用 的解題規則，可歸納出六種常見的解題規則(Bart & Orton, 1991; Jansen & Van der

Maas, 2002; Normandeau et al., 1989; Siegler, 1976; Siegler, 1981)。這六種解題規則 的意義如表 3-5 所示，其中規則一、規則二、規則三、規則四為 Siegler (1976)所提 出，規則五和規則六為研究者參考文獻而列入，當中只有規則四為正確規則，其 餘皆為錯誤規則。依據規則五和規則六的意義所畫的規則樹狀圖，請參照附錄二。 表 3-5 「平衡槓桿問題」的六種解題規則意義 規則 名稱 規則意義 圖 3-2 中 (3,3)vs.(3,1) 的答案 規則一 根據槓桿左右兩邊的砝碼數來判斷那邊落下，因此： 1. 若 LW ≠ RW，則選擇砝碼數多的那邊落下。 2. 若 LW＝RW，則選擇○3平衡。 ○3平衡 規則二 先根據槓桿左右兩邊的砝碼數來判斷，因此： 1. 若 LW ≠ RW ，則選擇砝碼數多的那邊落下。 2. 若 LW＝RW，則再考慮槓桿兩邊放置砝碼的位置 與槓桿支點的距離： (1) LD ≠ RD，則選擇距離較遠的那邊落下。 (2) LD＝RD，則選擇○3平衡。 ○1左邊落下 規則三 先根據槓桿左右兩邊的砝碼數來判斷，因此： 1. 若 LW ≠ RW ，則再考慮槓桿兩邊放置砝碼的位置 與槓桿支點的距離： (1) LD ≠ RD，且砝碼數較多和距離較遠在同一 邊，則選擇兩者都大的那邊落下。 (2) LD ≠ RD，且砝碼數較多和距離較遠的不在同 一邊，則選擇用猜測的(左邊落下、右邊落下和 平衡都可能) (3) LD＝RD，則選擇砝碼數較多的那邊落下。 2. 若 LW＝RW，則再考慮 LD 和 RD 的關係： ○1左邊落下