82年和92年版國小中年級數學分數教材文字題解題鷹架之比較分析

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國立臺中教育大學

國立臺中教育大學課程與教學研究所

課程與教學研究所

課程與教學研究所碩士在職專班

課程與教學研究所

碩士在職專班

碩士論文

指導教授：游自達博士

82 年和 92 年版國小中年級數學分數

教材文字題解題鷹架之比較分析

研究生：陳佳琳撰

中華民國九十九年一月

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82 年和 92 年版國小中年級數學分數教材文字題解題鷹架之比較分析

摘要

本研究旨在以鷹架理論為基礎，進行 82 和 92 年版中年級分數教材文字題解題鷹架之內容分析。本研究以依據國民小學數學科課程標準以及九年一貫綱要編訂之國小數學中年級分數教材為研究對象，包括課本與教學指引。研究採用「內容分析法」，並利用 Atlas.ti 電腦分析軟體協助進行資料的分析與整合。研究類目經過文獻對話以及研究者與指導教授反覆討論修正後制定，共分為「注意」、「提示」、「示範」、「提問」、「歸納」五類的鷹架類型以及「書寫」和「圖形」兩種表徵的鷹架呈現形式。本研究分析 82 和 92 年版中年級分數教材文字題解題鷹架，以下針對兩點主要的發現加以分述。壹、在不同特質或是不同階段的分數教材中，82 和 92 年版均主要偏重使用『注意』、『示範』兩類鷹架。其中在『示範』鷹架方面，所呈現的內容較偏重程序性、感官知覺。貳、在不同特質或是不同階段的分數教材中，82 年版解題鷹架呼應了「發現」與「探索」的課程理念，重視解題步驟的策略性思考，因而比 92 年版較頻繁使用『提問』鷹架。最後依據研究結果分別對教科書編寫與未來研究者提出相關建議以供參考。關鍵詞：中年級分數教材，解題鷹架

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A comparison and analysis of problem-solving scaffolding in 1993- and 2003-

edition of middle-grade mathematic textbooks

Abstract

Based on the theory of scaffolding, the main goal of this study was to explore the

problem-solving scaffoldings

in middle-grade mathematic textbooks in Taiwan. Fractions learning activities in middle-grade mathematic textbooks, based on elementary school mathematics curriculum standards and Grade 1-9 Curriculum Guidelines, were analyzed. This study employed content analysis and Atlas. ti, computer analysis software, to assist in data analysis and integration. The coding categories developed by the researcher included attending, prompting, modeling, questioning, and concluding. Both written and graphic representations in the textbooks were coded and compared.

The major findings of this study were as follows.

1. In different concepts of fractions in middle grades, both 1993- and 2003- edition frequently used attending and modeling to scaffold students. The textbooks inclined to render the contents of the procedural, sensory perception on Modeling.

2. In different concepts of fractions in middle grades, 1993-edition reflected the discovering and exploring of course philosophy and emphasized on problem-solving steps in strategic thinking. Therefore 1993-edition used more frequently than

2003-edition on questioning.

Furthermore, based on the results of the study, the researcher proposed the recommendations for textbook editors and future researchers with regard to scaffolding of problem solving.

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目

次

第一章緒論第一節研究背景與動機---1 第二節研究目的與問題---3 第三節名詞解釋---4 第四節研究範圍與限制---5 第二章文獻探討第一節鷹架理論探究---7 第二節應用鷹架策略之相關研究---16 第三節 82 年版和92年版數學分數教材分析---18 第三章研究設計與實施第一節研究對象---26 第二節研究方法---27 第三節研究工具---28 第四節資料處理與分析---35 第五節研究信效度---37 第四章結果與討論第一節 82 和92年版在不同特質的分數教材中鷹架使用情形之分析比較---41 第二節 82 和92年版在不同階段的分數教材中鷹架使用情形之分析比較---64 第五章結論與建議第一節結論---82 第二節建議---83 參考文獻---85 附錄一國內外應用鷹架之相關研究---91

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附錄二康軒版 82 年版 90 學年度各冊分數教材相關單元名稱---93 附錄三康軒版 92 年版 97 學年度各冊分數教材相關單元名稱---95 附錄四鷹架類型實例說明---96

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表

次

表 2-3-1 九年一貫課程與分數教材相關的能力指標表---24 表 3-2-1 康軒版 82 年版和 92 年版教科書版本與出版日---27 表 3-3-1 國小中年級數學教科書分數文字題解題之鷹架類型與功能類目表---29 表 3-3-2 國小中年級數學教科書分數文字題解題之鷹架呈現形式類目表---32 表 3-5-1 研究者與兩位編碼者間的相互同意值---39 表 4-1-1 82 年版不同特質的分數教材之五大類鷹架使用次數---42 表 4-1-2 92 年版不同特質的分數教材之五大類鷹架使用次數---43 表 4-1-3 82 和 92 年版不同特質的分數教材之五大類鷹架主要呈現形式---52 表 4-2-1 82 和 92 年版「認識等值分數」分數教材在不同階段之五大類鷹架使用次數---66

(7)

圖

次

圖 2-1-1 教材鷹架概念示意圖---9 圖 2-1-2 表徵系統的分類---14 圖 2-1-3 分數表徵的具體模型圖---14 圖 3-3-1 數學文字題解題例一---34 圖 3-3-2 數學文字題解題例二---34 圖 4-1-1 82年版使用『提問』鷹架提升互動之範例一---45 圖 4-1-2 82年版使用『提問』鷹架提升互動之範例二---46 圖 4-1-3 82年版鷹架使用時機範例一---48 圖 4-1-4 82年版鷹架使用時機範例二---48 圖 4-1-5 82年版鷹架使用時機範例三---49 圖 4-1-6 82年版鷹架使用時機範例四---49 圖 4-1-7 92年版鷹架使用時機範例一---50 圖 4-1-8 92年版鷹架使用時機範例二---50 圖 4-1-9 92年版鷹架使用時機範例三---51 圖 4-1-10 92年版鷹架使用時機範例四---51 圖 4-1-11 82年版在詞彙中使用『集中訊息焦點』之呈現形式範例---53 圖 4-1-12 92年版在詞彙中使用『集中訊息焦點』之呈現形式範例---53 圖 4-1-13 82年版在圖示中使用『集中訊息焦點』之呈現形式範例---54 圖 4-1-14 92年版在圖示中使用『集中訊息焦點』之呈現形式範例---54 圖 4-1-15 82年版使用同一思考邏輯之並列式『類推』的呈現形式範例---55 圖 4-1-16 92年版使用同一思考邏輯之並列式『類推』的呈現形式範例---55 圖 4-1-17 82年版使用不同思考邏輯之並列式『類推』的呈現形式範例---56 圖 4-1-18 92年版使用不同思考邏輯之並列式『類推』的呈現形式範例---56

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圖 4-1-19 82年版使用『比較』的呈現形式範例---56 圖 4-1-20 92年版使用『比較』的呈現形式範例---56 圖 4-1-21 82年版使用並列式『完全示範』之多元表徵呈現形式範例---57 圖 4-1-22 92年版使用並列式『完全示範』之單一表徵呈現形式範例---57 圖 4-1-23 82年版使用並列式『部分示範』的呈現形式範例---58 圖 4-1-24 92年版使用並列式『部分示範』的呈現形式範例---58 圖 4-1-25 92年版使用『引導解題思考』的呈現形式範例---59 圖 4-1-26 82年版在新概念中使用『引導解題思考』的呈現形式範例---60 圖 4-1-27 82年版在舊概念中使用『引導解題思考』的呈現形式範例---60 圖 4-1-28 92年版使用『歸納計算規則』的呈現形式範例---61 圖 4-2-1 82年版在延伸熟練階段使用『引起參與』的呈現形式範例---68 圖 4-2-2 82年版使用『部分示範』圖示之範例---69 圖 4-2-3 92年版在初始經驗階段使用『引起參與』的呈現形式範例---71 圖 4-2-4 92年版在熟練階段中使用並列式『比較』的呈現形式範例---72 圖 4-2-5 92年版使用『後設認知』之範例---74 圖 4-2-6 92年版中年級分數教材地位表---77 圖 4-2-7 82年版第五冊至第十一冊（不含第六冊）分數教材地位表---78

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第一章

緒論

本章主要分成研究背景與動機、研究目的與問題、名詞解釋以及研究範圍與限制等四節，分述如下：

第一節

研究背景與動機

數學學科的主要成份是數學概念的形成與發展，而數學教科書就是將這些抽象的數學概念轉化為具體的課程內容。在目前的數學課室裡，數學教科書不但是學生在學校教育中主要的學習素材，也是老師教學時的重要依據。現行的數學教科書中，以數學文字題的比重佔最高，陳成恭、陳嘉甄、吳南真、蔡隸關(2002) 指出學生對於數學文字題解題的學習確有困難，因此教材解題鷹架在解題過程中如何搭架與拆架，協助學習者進行數學概念理解與澄清，進而形成概念，並建立問題解決能力，是研究者所關心與欲了解的問題。在國小數學教育階段中，有關分數概念的學習向來為數學主要的課程內容。國內外研究(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；陳明宏、呂玉琴，2005； Behr, Lesh,

Post & Silver, 1983)指出，分數是個令學童困擾又複雜的主題，另外從研究者從

事數學科教學經驗亦反映出學童在學習分數概念時容易遭遇困難，一方面是因為在日常生活中使用分數的情境不多，另一方面則是分數具多重意義以及表徵的困難所致，包括分數概念含有不同的子概念，如：等分概念、單位量概念…等，而這些子概念又牽涉「連續量」與「離散量」的不同情境。由於分數具多重意義以及表徵的困難，更加突顯文字題解題鷹架的重要性，研究者關心分數教材文字題中，各類不同表徵呈現形式的解題鷹架提供了什麼樣的協助，來幫助學習者理解複雜的分數概念。其中分數教材依其性質，有部份偏重數學概念，有些則偏重數學計算，因此本研究欲了解在不同特質的分數教材中，其鷹架使用是否有所差

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異，此外亦關心教材解題鷹架是否隨教材的縱向發展，在不同階段中有所變化。臺灣國小數學課程近四十年來主要經歷了四次的修訂，從各次的課程修訂特色來看，主要可分為強調使用教具的數學課程時代(民國67年至民國89年)、強調知識建構的數學課程時代(民國85年至民國92年)、強調能力培養的數學課程時代 (民國90年起)及強調計算能力的數學課程時代(民國94年起)。上述四次數學課程的修訂均有其強調的重點與特色，64年版的課程透過教具操作強調概念抽象化的歷程；82年版的課程強調學生為本的知識建構觀；89年版九年一貫數學學習領域暫行綱要強調數學的內外部連結以培養學生各項能力；92年版九年一貫數學學習領域綱要修訂小組強調數學為科學工具性的特性，強調演算能力的熟練(楊美伶，2003)。過去64年版的數學課程標準，主要由國內數學家所架構，爾後82年版及九年一貫暫行綱要，則改由數學教育家主導，至於目前92年版的九年一貫數學課程綱要，修訂小組又回到數學家身上。由上述可以知道，現行92年版分數教材，不論在課程重點或是理念精神，都和82年版差異顯著。有鑒於新舊課程在教材及教法的理念與設計之間的差別，進而引發了研究者的關注，因此選定82年版與92年版做為分析比較的研究對象，由於至98學年度六年級分數教材是依據九年一貫課程暫行綱要編輯，因此本研究將研究範圍設定在國小中年級數學分數教材。其次考量到教材市佔率以及研究者自身對於教材版本使用的熟悉程度，故選用康軒版作為研究版本。此外研究者整理國內外鷹架相關研究(毛炳楠，2005；吳怡欣，2007；陳彥廷、柳賢，2005；翁瑜璘，2006； Rodgers, 2004)發現，運用鷹架教學策略或使用鷹架教材，對於學生學習有正面的影響。而靜態的書面教材將語言與互動的鷹架橋梁轉換成書寫表徵和圖形表徵，透過不同的鷹架類型和形式，協助學生學習，以達到溝通及認知的目的，同樣符合鷹架所欲提供的功能。由上述可以知道，教材鷹架在數學文字題解題中，同樣扮演了重要的角色。研究者進一步整理相關

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文獻發現，目前多數研究主要關注在教學層面，少有針對教材方面的鷹架作探究，因此研究者希望藉由研究的過程中，深入了解82年版與92年版中年級分數教材文字題解題鷹架，以供未來教材編輯者選編教材之參考。

第二節

研究目的與問題

基於上述動機，本研究之目的旨在以鷹架理論為基礎，針對中年級分數教材之解題部份進行內容分析，透過內容分析了解82年版和92年版中年級分數教材文字題解題鷹架之差異，以供編輯者及教師參考。本研究依據研究動機，歸納出下列研究目的：一、比較分析82和92年版不同特質的分數教材之鷹架使用情形。二、比較分析82和92年版不同階段的分數教材之鷹架使用情形。根據上述兩項研究目的，本研究針對以下幾個研究問題進行探究：一、82年和92年版不同特質的分數教材，其鷹架的使用情形各為何？ (一)82年和92年版在偏重數學概念的分數教材中，鷹架的使用情形各為何？ (二)82年和92年版在偏重數學計算的分數教材中，鷹架的使用情形各為何？二、82年和92年版分數教材在不同階段中，鷹架的使用情形各為何？ (一)82年和92年版分數教材在初始經驗階段中，鷹架的使用情形各為何？ (二)82年和92年版分數教材在延伸熟練階段中，鷹架的使用情形各為何？

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第三節

名詞解釋

本研究基於對研究問題的探討，提出幾個重要的名詞，以釐清在研究中所指稱的意涵，茲就其定義分別說明如下：

壹

壹、

、

、鷹架

、

鷹架

「鷹架」係指專家幫助新手去完成新手無法自行達成的目標或解決的問題 (Wood, Bruner & Ross, 1976)。故本研究所定義之鷹架乃指在中年級數學分數教材文字題解題中，透過不同表徵呈現形式的各類鷹架來提供學習者協助，將學習的責任逐漸轉移給學習者。

貳

貳、

、

、鷹架的類型

、

鷹架的類型

本研究所定義之鷹架類型乃研究者參考教學鷹架之相關研究並進行教材解題鷹架之內容分析初探，最後歸納出中年級數學分數教材文字題解題鷹架總共分為五類，包括:「注意」、「提示」、「示範」、「提問」、「歸納」，以下分別加以說明。「注意」指呈現情境圖、示意圖或是具體操作活動來引起參與，並透過不同線條、顏色或符號來協助集中訊息焦點；「提示」指使用句子提供有邏輯、系統的解題資訊，或是透過兩個以上的比較圖示提供對比資訊，指出解題關鍵，協助解題者發現規則；「示範」指透過句子、圖示或是算式等表徵形式，完整或部分呈現解題或計算步驟；「提問」指透過問句引導思考，協助組織策略、澄清想法、發現關係或規則，或是檢核解題後的後設認知，以達成策略的計畫、監控和評估；「歸納」指在解題後使用句子指出重點，協助形成數學概念及理解數學計算規則。

參

參、

、

、鷹架的呈現形式

、

鷹架的呈現形式

一般的教學鷹架主要透過書寫表徵、圖形表徵或口語表徵形式來達到鷹架的

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功能，而靜態的書面教材則將動態的互動轉化為書寫表徵或圖形表徵的方式呈現。本研究之教材鷹架呈現形式包含書寫表徵和圖形表徵，其中書寫表徵包括數學符號及文字。

肆

肆、

、

、不同特質

、

不同特質

不同特質的

不同特質

的

的中年級分數教材

中年級分數教材

本研究之中年級分數教材內容，依照分數概念的特質可以分為兩部分，一為偏重數學概念，一為偏重數學計算。其中偏重數學概念的分數教材包括：「初步認識分數」、「認識真分數、假分數和帶分數」、「認識等值分數」；而偏重數學計算的分數教材包括：「同分母分數的加減」、「假分數、整數和帶分數的互換」、「分數乘以整數」。

伍

伍、

、

、不同階段的中年級分數教材

、

不同階段的中年級分數教材

本研究中，不同階段的分數教材是指同一分數概念出現在不同的冊別，為了溝通方便，在分數概念第一次出現的部份，本研究稱它叫做「初始經驗階段」，至於第二次以後出現的部份，則稱它做「延伸熟練階段」。

第四節

研究範圍

研究範圍與限制

研究範圍

與限制

壹

壹、

、

、研究範圍

、

研究範圍

本研究範圍主要分為研究對象及研究內容兩部分，以下分別加以說明：一、研究對象本研究中所指的「國小中年級數學分數教材」乃依據九年一貫課程綱要所編定之92年版97學年度康軒版教材作為內容分析的範圍，國小中年級數學分數教材

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的內容包含「初步認識分數」、「同分母分數的加減」、「認識真分數、假分數和帶分數」、「假分數、整數和帶分數的互換」、「分數乘以整數」、「認識等值分數」。由於82年版在分數教材的階段安排上和92年版有所差異，因此對照92 年版的中年級分數教材內容，82年版的分數教材內容會橫跨中、高年級兩個階段，在此特別加以說明。二、研究內容本研究的研究內容主要在探究中年級數學分數教材五大類解題鷹架的使用情形，包括使用次數、使用時機和呈現形式，其中五大類鷹架包括「注意」、「提示」、「示範」、「提問」、「歸納」；鷹架的呈現形式包括書寫和圖形表徵。

貳

貳、

、

、研究

、

研究

研究限制

研究

限制

本研究限制主要分為研究對象及研究方法兩部分，以下分別加以說明：

一、研究對象的限制由於至 98 學年度，六年級為加入銜接補強活動之暫行綱要教材，因此本研究不納入高年級教材，僅以「國小中年級數學分數教材」作為研究對象。其中本研究分別選擇 82 年版 90 學年度和 92 版 97 學年度教材，均分別屬於同一學年度，因此無法就同一版本在不同學年度之間的縱向改變，加以分析探究。其次在本研究所選定的分數教材範圍內，出現在 92 年版的「同分母分數的大小比較」、「簡單異分母分數的比較」，因 82 年版之研究版本並沒有類似的活動，故不在本研究的比較討論之列。二、研究方法的限制本研究的研究方法係採用內容分析法，並輔以 Atlas.ti 電腦分析軟體協助進行資料的分析與整合。在研究的交叉檢證方面，由於無法推論教科書編輯者的想法，因此僅能就研究者自身主觀的課程知覺，加以分析教材的內容。

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第二章

文獻探討

本章主要分為三節，第一節首先探討鷹架理論的內涵，接著進一步探究鷹架理論在分數教材的應用；第二節分析應用鷹架策略之相關研究，以作為本研究教材鷹架分析之參考；第三節進行82年版和92年版數學分數教材分析，說明兩版本的數學課程基本理念與特性以及分數教材處理。

第一節

鷹架理論探究

本節首先探討鷹架理論的內涵，包括鷹架理論的意義與主要概念，並說明鷹架的類型、原則以及呈現形式，再進一步探究鷹架理論在分數教材的應用。

壹

壹、

、

、鷹架理論的內涵

、

鷹架理論的內涵

「鷹架」(scaffolding)一詞最早是指建造房子時所架設的木架，後來Wood, Bruner 和 Ross (1976)將「鷹架」一詞應用在教育，指專家幫助新手去完成新手無法自行達成的目標或解決的問題，即當新手不知道如何完成一項任務時，專家可以提供示範以協助他們，而這些協助應建立在新手當時的認知基礎上，當專家有系統的給予指導時，新手較易超越原來的層次。

Wood, Brunner 和 Ross(1976)指出了鷹架的六種功能，包括:

一、引起動機(recruitment)：引發學習者參與，在學習過程中引發參與的動機及持續學習之意願。

二、降低學習負擔(reduction in degree of freedom)：經由教學內容之系統組織化，減輕學生學習的負擔，以專注於所從事的事物。

三、持續引導(direction maintenance)：透過明確的學習目標，引導孩子專注在學習目標上而不分心。

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習目標之間的差距。

五、挫折控制(frustration control)：幫助學生挫折的控制與調適，並給予成功的經驗。

六、示範(demonstration)：提供示範供學習者參考。

在學習中如欲搭建有效的鷹架，達到上述的鷹架功能，必須配合學生的「潛在可能發展區」(Zone of Proximal Development，ZPD)。Vygotsky(1978) 指出學童有兩個發展水準：一個是「實際的發展水準」，即未經協助下所能表現的水準，另一個是「可能的發展水準」，即在協助下所能表現的水準，界於「實際的發展水準」和「可能的發展水準」之間的區域，就是「潛在可能發展區」。在潛在可能發展區內，學生表現的技巧和行為是動態和持續改變的，他認為教育的作用在於教師利用各種方式促進學生發展，以幫助學生從「協助表現」進步到「獨立表現」

根據國外研究者(Dickson, Chard & Simmons, 1993； Judithann, 1993) 的看法，可以知道鷹架理論具備幾個重要的概念，包括：一、鷹架建立在學習者的認知基礎與學習經驗上。二、鷹架是暫時性的支持，是一種持續的動態過程，學習責任在學習過程中逐漸由專家轉移至新手。三、鷹架透過工具、任務、老師或同儕來提供支持。一個學習環境至少存在四個要素，包括有利的脈絡、資源、工具及鷹架，其中鷹架就像是學習者與學習內容之間的橋樑，扮演著學習支持及學習引導的角色，適時地提供學習者必要的協助。Pahl(2002) 指出在教育情境上，鷹架可能包括示範、給線索、提示、暗示、分解提問、放聲思考的示範和直接教學等。此外鷹架的使用應符合示範(modelling)、支持(support)及漸弱(fading)三個特性，其中漸弱支持是鷹架不可或缺的一部分，在教學進行中，給的學習支持應該越來越少，以便學習者能夠自力學習。為了達成這個目的，Pahl(2002) 認為能夠從兩個

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責任釋放教材承擔所有責任教材與學生共同承擔責任學生承擔所有責任責任分擔教材提供示範與支持學生邊緣參與教材與學生互動學生增加參與拆移教材鷹架學生核心參與完成責任的分屬面向來使學習支持逐漸減弱，包括：逐漸減少支持的供應量和逐漸減少學習支持的使用。在學習材料的支持與引導的過程中，同樣必須交互運用搭架和拆架，將學習的責任逐漸轉移給學生。根據幾位研究者的看法(Dickson, Chard & Simmons,

1993； Judithann, 1993； Pahl, 2002) ，研究者將之綜合整理成下圖的教材鷹架概念示意圖。圖2-1-1 教材鷹架概念示意圖從教材鷹架概念示意圖中可以知道，教材鷹架主要可分為三個階段，第一階段由教材承擔所有責任，透過使用各種不同表徵呈現形式的鷹架來提供主要的示範和支持，此時學生參與程度較低；在第二個階段，教材在和學生進行互動中，將學習責任逐漸由教材轉移至學生身上，學生在此一階段的參與程度也有所提升；到了最後第三個階段，學習責任則由學生完全承擔，學生進行核心參與學習，教材鷹架也在此一階段拆除。綜合上述可以知道，鷹架理論是一種幫助學生主動學習與建構知識系統的策

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略。其中在學習材料方面，教材鷹架應在學生的潛在可能發展區內，提供暫時性的鷹架，並在學習過程中逐步撤除鷹架，將學習責任由教材轉移到學習者身上，使學生從「依賴解題」到「獨立解題」。貳貳貳貳、、、、鷹架的類型與原則鷹架的類型與原則鷹架的類型與原則鷹架的類型與原則 Roehler 和 Cantlon(1996) 根據鷹架不同的功能，將鷹架分為五類：第一類的鷹架是「提供解釋」(Offering explanations)：解釋包含敘述性和前置性知識、條件性或狀況性知識、程序性知識，亦即學習可獲得的理解、為什麼以及如何運用和何時運用的相關知識。

第二類鷹架是「引起參與」(Inviting student participation)：在教師提供完成任務所需要的想法、感覺或實行的說明後，學習者有機會表達和分享他們所知道和理解的部分。

第三類鷹架是「證實與澄清」(Verifying and clarifying student

understandings)：在學習活動中，教師對學生的學習進行評估和分析，以檢核學

生新獲得的理解。

第四類鷹架是「示範」(Modeling of desired behaviors)：在給定的狀態內，顯示學生應該如何感覺、思考、行動的教學行為。包括放聲思考示範，將如何做的過程示範出來；大聲說出，提問和產生評論的示範；演出示範，運用完成任務的行動作示範。

第五類鷹架是「提供線索」(Inviting students to contribute Clues)：針對難題或爭議，鼓勵學生透過同儕或師生之間的合作討論，提供解決任務的線索，以達成解題。

此外，Hannafin, Land 和 Oliver(1999) 指出鷹架可由工具、教師、專家或同儕提供，並根據不同的學習情境，分為下列四種學習鷹架：

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導學生思考什麼內容。二、後設認知鷹架(metacognitive scaffolds)：指導學生在學習活動中如何思考，幫助學生培養後設認知的技能。三、程序鷹架(procedural scaffolds)：引導學生如何利用現有的特點來達成學習目標，幫助學生使用特殊的工具或面對新的學習環境。四、策略鷹架(strategic scaffolds):引導學生運用相關策略，包括使用提示、準則或問題來作為鷹架。上述四種學習鷹架，其共同目的都在於提供學習者協助，以有效解決問題。因此不論在工具、教師、專家或同儕方面，應視不同的學習情境需求，提供適切的鷹架或是適切的交互使用鷹架，以期發揮鷹架的最大效果。此外在鷹架策略實施原則方面，以下就國內外研究者(潘世尊，2002;

Greenfield, 1984; Wood, Bruner & Ross, 1976)的主張加以說明：

Wood等人(1976)認為實施鷹架策略應注意下列原則：一、讓任務充滿趣味；二、簡化任務；三、持續追求目標；四、標出重要特徵與原則；五、控制孩子解決問題時的失敗經驗；六、描述即將表現目標。 Greenfield(1984) 提出教學鷹架六個主要原則：一、實際教學活動中，由專家以適當能力充當學習者的鷹架。二、支持的程度依學習者的程度而調整。三、學習者的能力增進時，支持的數量隨之減少。四、支持的多少與工作難度成正比。五、支持以逐步漸近與隨時校正的方式進行。六、支持以導向內在化為目標，逐漸使學習者能夠獨立自主。另外，潘世尊(2002)亦提出教學鷹架搭建的原則：一、機動調降期望學生發展出來的解題能力層次；二、由抽象到具體提供解題線索及提示，若不行，最後再用講解及示範的方式；三、學生真的需要時才提供協助。由上述可知，在執行鷹架策略時，不論是在情境上的營造，或是技術上的執

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行，都要考慮到學習者本身的學習狀態與能力，當學生進行問題解決時，適時的給予適當的協助，當學生對學習內容越來越熟練，能力有進步時，逐步拆除提供的鷹架，直到學生能完全獨立進行問題解決時，方能拆除所有鷹架。參參參參、、、、鷹架的呈現形式鷹架的呈現形式鷹架的呈現形式鷹架的呈現形式鷹架的功能在於提供協助，透過搭架與拆架的過程，將學習責任逐漸轉移到學習者身上。在動態的教學活動中，鷹架透過口語、文字和圖像表徵等方式，以做為訊息溝通的工具。專家根據新手的學習反應，提供即時的互動與回饋，並在過程中逐步釋放學習責任。至於在靜態的教材部分，鷹架則是透過文字和圖像表徵符號來提供學習者協助，並且將學習責任逐步轉移。鷹架透過互動，將學習責任轉移至學習者身上，而過程中的良好互動必須仰賴有效的溝通。其中溝通係指送訊者(sender)將語言、符號等訊息(message)，經由適當的表達方式，使收訊者(receiver)表現出預期反應的一種歷程(舒緒緯， 1990)。從溝通的角度來看，不論是口語、文字或是圖像表徵，都是溝通的重要工具。其中動態教學和靜態教材兩者最大的差別在於動態的教學活動，能透過溝通和學習者進行即時的溝通回饋，根據學習者的立即反應來調整鷹架內容。而靜態的教材解題，呈現的是非即時的互動，雖無法就學習者立即的反應，隨時改變教材鷹架所呈現的文字或圖像表徵，但和動態的教學活動相同的是，兩者同樣強調鷹架的漸弱原則。因此教材鷹架在過程中同樣會逐步減少示範和支持的供應量，將學習責任轉移至學習者身上，如圖2-1-1所示。在解題過程中，教材扮演送訊者的角色，以文字和圖像表徵方式來呈現符合漸弱原則的鷹架內容，將符號訊息傳送到學習者身上，引導學習者在使用教材時，能夠進行自我反思和對話，從依賴解題進步到獨立解題。綜合上述可知，教材解題鷹架透過文字、圖像表徵的呈現形式，亦能達成溝通的目的，有助於學習者解題，並進一步提升問題解決能力。

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肆肆肆

肆、、、、教材鷹架與教材鷹架與教材鷹架與分數教材教材鷹架與分數教材分數教材分數教材

目前鷹架理論的應用主要可以分為教學層面和教材層面，其中在靜態的教材層面，同樣強調交互運用搭架和拆架，將學習的責任逐漸轉移給學生。研究者分析不同鷹架類型所提供的功能(Hannafin, Land & Oliver, 1999； Roehler & Cantlon,

1996)，發現在鷹架的運用上，十分強調後設認知的重要性。在教材層面，教材

解題鷹架透過靜態的不同表徵提供支持，以協助發展概念、檢核策略、組織程序，並透過後認認知的計畫、監控和評估，協助學習者進行解題的反思。此外根據相關文獻(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；陳明宏、呂玉琴，2005； Behr, Lesh, Post

& Silver, 1983)可以知道，分數概念的學習對學生學習實有困難，主要在於分數的表徵十分多元。因此為了能夠進一步了解教材鷹架在分數教材的運作情形，以下將先針對分數教材表徵進行探究，接著再說明後設認知的內涵。一一一一、、、、分數教材表徵與教材鷹架分數教材表徵與教材鷹架分數教材表徵與教材鷹架分數教材表徵與教材鷹架相關文獻(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；陳明宏、呂玉琴，2005； Behr,

Lesh & Post, 1983)顯示，國小的分數向來是較難處理的教材，在於分數的學習需

要將具體操作轉變為抽象的思維，而學生在分數的學習上，也經常在分數表徵的理解與轉換中遇到困難。

表徵是將不同事物以不同種類符號來代表的歷程，就認知心理學的訊息處理角度來看，是指訊息處理的過程中，將訊息編碼轉譯成另一種形式，以便處理的歷程(張春興，1989)。Lesh, Post 和 Behr (1987) 將表徵分為真實腳本、具體操作物、靜態圖形、口語、書寫符號五類，如圖2-1-2所示，經由真實腳本、具體操作物、靜態圖形等具體情境，再慢慢抽象化為口語、書寫符號等表徵。

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圖 2-1-2 表徵系統的分類資料來源：出自 Lesh et al.(1987: 34) 其中在分數圖形表徵方面，主要分為三種(支毅君，1995)，包括：集合模型 (子集合/集合模式)、區域模型(部分/整體模式)和線段模型(數線模式)，如圖 2-1-3所示(以二分之一為例)。分數表徵的具體模型集合模型區域模型線段模型圖 2-1-3 分數表徵的具體模型圖資料來源：出自支毅君(1995：6) 此外在分數教材的相關研究中，分數概念的學習是如此不容易，相關研究顯示(Behr, Lesh & Post, 1983；Janvier, 1978) 藉由加強表徵間的轉換有助於概念的學習。Behr, Lesh 和 Post(1983) 指出學童能否在不同的表徵方式中自由轉換，表示其對概念意義的掌握或對問題情境的理解程度，當學生具有以下條件才可算是了解一個概念：(一)學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間；(二)在給 0 1 具體操作物靜態圖形書寫符號口語真實腳本具體操作物

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定的表徵系統內，必須能很有彈性的處理這個概念；(三)必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。透過強化或改善轉換能力有助於學生學習和運用基本的數學概念。從上述討論可以知道，分數表徵在分數學習中扮演了重要的角色。因此，在分數教材中，教材鷹架應提供多元分數表徵的示範，使學習者對於分數的意義有更多的認識。另外在教材中應多安排表徵轉換的活動，如：『你會用畫圖的方式做做看嗎？』，要求學生進行表徵之間的轉換，透過要求進行表徵間轉換活動的鷹架協助，以協助學生理解分數的相關概念。二二二二、、、後設認知與教材鷹架、後設認知與教材鷹架後設認知與教材鷹架後設認知與教材鷹架後設認知是指一個人對自己認知歷程的知識和覺察(Mayer,1987)，包括了計劃、監控、評估等要素。涂金堂(1995)指出數學解題的成功與否，除了是否具備足夠的數學知識外，解題者對於本身解題歷程是否有分析、監控、調整等行為，亦是一個重要的關鍵，即學生是否知道自己在解題時所寫下每個步驟的涵義，是否知道解題策略及解題方法的使用原因。當學生注意到他們正在使用的認知歷程，以及當他們學習控制這些歷程時，往往可以增加學習遷移的效果 (Wittrock,1986)。有關後設認知與數學解題的相關研究(林清山、張景媛，1993；涂金堂，1999；鍾政廷，2002)指出，後設認知與數學解題表現有顯著正相關，也就是後設認知能力越佳的學生，其解題成功的機率越高，其數學解題表現越好。由此可知，後設認知對數學解題的成功與否，佔有重要的影響力。此外根據Paik(1991) 後設認知教學的研究發現，經過後天學習可以提升後設認知能力，有助於數學學習，提升數學解題能力。因此，在分數教材中應注意是否安排了協助進行後設認知有關計畫、監控和評估的解題鷹架，以提醒學習者在解題過程中，隨時持續進行解題的反思，藉此

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增加學習者的參與程度，並使教材鷹架能隨時間的推移逐漸減少示範和支持，使學習者從「依賴解題」到「獨立解題」。

第二節

應用鷹架策略之相關研究

檢視國內外文獻發現，鷹架策略應用的相關研究多將焦點放在教學上，如鷹架教學流程、鷹架教學策略等，但有關教材鷹架的研究卻不多見。因此研究者歸納整理近年來國內外不同領域應用鷹架之相關研究，如附錄一所示，以作為本研究教材鷹架分析之參考。根據國內外鷹架相關研究，研究者依照研究領域與主題、研究方法與對象、運用鷹架之情形加以分析探究，以作為本研究之啟示，茲說明如下：壹壹壹壹、、、、研究領域與主題研究領域與主題研究領域與主題研究領域與主題從附錄一以及其他近來的研究可知，目前應用鷹架理論的研究領域廣泛分布，如數學教育(如：毛炳楠，2005；翁瑜璘，2006；陳彥廷、柳賢，2005； Jenni,2008)、語文教育(如：吳怡欣，2007；許淑玫、游自達，2000；張馨云， 2001；)、網頁教學(如：高台茜，2004)等。從近年來的研究方向可知，國內外鷹架應用的研究雖不少，但是多數研究將焦點放在教學鷹架策略上，有關教材的鷹架分析研究較為少見。在這些研究中，有分析教師的教學鷹架類型，如：數學領域中，毛炳楠(2005) 研究一位國小四年級數學教師的教學鷹架，將數學教師教學鷹架策略依性質分為檢核、引導、挑戰三類；英文領域中，吳怡欣(2007)研究一位國小四年級英語教師的教學鷹架，將鷹架分為「注意鷹架」、「認知鷹架」與「後設認知鷹架」三類，並歸納出14種教學鷹架策略。因為教學領域的不同，教師應用的鷹架策略也

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有所差異，但從研究結果可知不同的教學鷹架策略均符合鷹架應用的原則。此外有關教材鷹架的研究多是由研究者自行研發，再進行實驗研究，透過實驗組與對照組的比較，以了解實施經過鷹架設計的教材後，對學生學習的成效有何影響，如翁瑜璘(2006)指出使用註解算式擬題法，使得學生在學習的過程中獲得正向的學習態度及學習動機，並且提昇了學生的解題能力。貳貳貳貳、、、、研究方法與對象研究方法與對象研究方法與對象研究方法與對象在研究方法方面，多數研究採用質性研究。然而針對不同的目的，有些研究者將鷹架概念設計成教學方案，進行準實驗研究，以比較實驗組與控制組兩組之間的學習成果，如附錄一中的翁瑜璘(2006)、侯慧芳(2007)。此外也有將鷹架運用至個案研究中，如附錄一中，陳彥廷、柳賢(2005)設計「準備階段」、「鷹架輔助階段」以及「持續應用階段」三階段的鷹架教學，以探究一名五年級學童的數學學習；吳怡欣(2007)透過教室場域觀察，歸納出一名英語教師的教學鷹架包含「注意鷹架」、「認知鷹架」與「後設認知鷹架」三類，共十四項教學鷹架策略。綜合以上研究發現，由於不論是教學或是教材中的鷹架均屬於複雜的架構，因此多數研究者選用質性研究方法來進行研究，較能深入探究鷹架策略背後的內涵。參參參參、、、、運用鷹架之情形運用鷹架之情形運用鷹架之情形運用鷹架之情形由附錄一可知，在不同領域中，教師所使用的鷹架策略雖不盡相同，但均符合鷹架使用原則。其次在相同領域中，也會因關注的焦點不同，而發展出不同的鷹架類目。此外由於不同領域的知識概念有所差異，因此在相關鷹架教材的設計上也會有不同。但整體而言，國內外研究顯示運用鷹架教學策略或使用鷹架教材，對於學生學習均有正面的影響。雖然多數研究將重點放在教學鷹架策略的研究，但這些研究對於教材鷹架分

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析仍有所啟發，因為數學教材乃是將語言與互動的鷹架橋梁轉換成書寫表徵和圖形表徵，透過不同的鷹架類型和形式，協助學生學習，以達到溝通及認知的目的，因此和教學鷹架上有相似之處。研究者從整理鷹架相關研究文獻發現，雖然國內外研究中有關教學的鷹架策略無法完全類推至教材鷹架，但是仔細檢視教材內容不難發現有些教學鷹架策略常出現在教材中，如毛炳楠(2005)、吳怡欣(2007)、許淑玫、游自達(2000)等人在教學鷹架策略中均有提出的示範鷹架，在數學教材中時常出現，數學教材中會安排解題示範以供學生參考，並透過不同的鷹架策略，如提示、比較、分析等策略，來鷹架學生的數學概念。另外像是Jenni (2008) 所提出的引起動機的問題、刺激數學思維的問題、問題的評估、問題的最後討論等四類鷹架問題，亦時常出現數學教材的提問中。綜合上述結果可知，將鷹架理論運用在實際教學或教材內容中，不論對教師的教學或學生的學習，都具有相當正向的幫助。此外研究者整理國內外鷹架研究發現，目前鮮少有將鷹架理論直接運用在教材分析的研究上，突顯了教材鷹架研究的必要性，也激發研究者對此研究之興趣。

第三節

82

82 82年版和

82 年版和

年版和92

年版和

92 92年版數學分數教材分析

92 年版數學分數教材分析

年版數學分數教材分析

教科書是教材最重要的組成部分，也是教室活動中師生「教」與「學」互動的主要具體媒介，教師教學的重要參考資料，同時教科書也是學生學習的主要材料。因此本節首先分別說明82年版和92年版的數學課程基本理念與特性以及分數教材處理，最後再以小結作歸納整理。壹壹壹壹、、、、828282年版數學分數教材82年版數學分數教材年版數學分數教材年版數學分數教材強調學生為本的知識建構觀的82年版數學課程於民國82年9月公布，民國85

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學年度實施。以下針對82年版數學課程的基本理念與特性及其在分數教材的處理加以分別說明：一一一一、、、82、828282年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性 82年版數學課程之教育目標包括：(一)養成運用數學知識與方法，解決問題的能力；(二)讓兒童從自己的經驗中，建構與理解數學概念；(三)培養使用數語言溝通、討論，講道理與批判事物的精神；(四)養成在日常生活中善用各種工具從事學習與問題解決(國家教育研究院籌備處，2009)。82年版數學課程的基本精神乃主張學習是一個建構知識的過程，學習的成效會受到學習者的既有知識及認知發展的影響，因此強調透過學生的經驗中建構和理解數學的概念，並能以數學語言溝通、討論與批判，及善用工具解決問題。在配合課程目標的教學活動中，數學課程的教學也強調教師需提供具數學學習意義的問題，增強學生討論的能力，及提供具思考挑戰的學習環境，以培養兒童使用語言溝通，理解數學知識與概念及問題解決的能力。兒童在數學新課程的學習活動中成為學習主角，扮演主動學習的角色。兒童於教師布題情境中，自我思考解題或與小組同儕討論溝通，思索合理性的解題策略與解答。兒童在教室的問與答討論與學習情境中，將所學的知識概念表達出來，聆聽他人不同的解題思考，提問問題以批判解題的合理性，與他人溝通與澄清想法。整個學習歷程包含聯結舊經驗、趨近與提取知識表徵、提出可行性、監控解題策略的合理性等，此種重視合理性討論的互動式學習，乃多元化的知識建構為導向(國家教育研究院籌備處，2009)。由於82年版數學課程的數學觀強調兒童知識建構的過程及群體解題文化的培養，因此教師的教學方法，兒童的學習方法也有所轉變，鍾靜(1996)指出教室中的場景不再只有安靜聽講，而是教師佈置情境提供兒童解題，兒童在發表、討論、同意、補充、質疑等活動中學習數學，使得數學教室產生新的教室文化。

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二二二二、、、82、828282年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理 82年版數學課程引導學生從生活經驗中主動建構、理解數學概念，獲得數學知識，養成運用數學方法，解決問題的態度與能力，以及培養以數學語言溝通、討論、推理和批判的精神。透過發現式本質的教學活動，藉由「發現」和「探索」，培育學生「思」的能力。因此在教材的設計上，強調透過兒童熟悉的生活情境來發展概念，使兒童覺得數字內容有意義；此外亦強調學習環境不但要配合學生的認知發展，更應該刺激認知的發展，而動機就是學習的必要條件之一，為了激發學生的內塑動機，強調教材中應設計多樣性的活動，藉以引發兒童主動學習數學的意願，使學生從活動中感受數學的意義、數學的生活性和趣味性。數學教育的目的在使學童獲得數學物件的意義，數學物件的意義，是指物化的數學要領及其表徵形式，物化的數學概念是指內蘊化(interiorized)的解題活動類型(甯自強，1991、1995；引自蔣治邦，1997)，而表徵是用某一種形式，將解題活動類型表現出來，以達成溝通的目的(蔣治邦，1994)。因此82年版數學課程自第三冊起，要求清楚地記錄與溝通「先算什麼，再算什麼，………最後算什麼」，形成多步驟算式紀錄格式的共識，採用多步驟算式紀錄格式，除了可以更清楚地溝通活動經驗外，更強調提供活動類型組成成分的反思機會，以做為發展更高層次運思方式的基礎。用算式格式、多步驟算式紀錄格式或直式紀錄格式，來記錄解題活動，記錄是在活動之後，強調活動組成成分的反思與討論；而問題紀錄則是用算式填充題的形式，來摘要記錄文字題，換言之，是要求學童理解文字題題意後，形成解題計劃，而將預期的解題活動中的重要元素選取出來，用算式填充題的格式描述，再執行解題活動。此外在第四冊教材中，引入單位分數的符號時，強調溝通單位分量獲得的過程，例如「 1₅ 」條繩子，是代表將一條繩子，平分成五分，取出一份的活動。在第五冊引入真分數符號，亦強調溝通數個單位分量合成的過程，在同分母的分數加減問題中，分母皆不超過一百，故而僅

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要求用分數算式來摘要記錄解題活動與結果，而無多步驟算式紀錄的格式。當學童能使用分數或小數算式記錄解題活動與結果時，則可進一步地用分數或小數算式填充題來記錄問題(蔣治邦，1997)。在82年版數學課程的分數教材中，將分數對兒童的意義分為：(一)表示操作：在具體物上進行「分的活動」，重視操作模型與分數符號之連結；(二)部分 /全部：包括連續量與離散量之情境；(三)數線上的數值：可視為線段長或數線上的一點；(四)整數相除的結果；(五)比或比值；(六)表示量的大小。並強調「分數詞是等分割再合成數份活動的表徵」，即分數的學習起點是等分割再合成其數份的活動，藉此命名單位分數、真分數及假分數等，讓兒童不斷透過實際操作或心理操作等分割再合成其數份的活動，以掌握分數的意義與理解如何解決加減乘除各類型的分數問題。 82年版數學課程的分數概念主要內容包括分數概念的初步認識、同分母分數的加和減、等值分數、分數乘以整數、約分和擴分、通分。此外根據分數數詞所描述量的計數性質，82年版數學課程分數教材將分數問題情境可區分為三類：(一) 基準單位量是連續量的情境；(二)基準單位量是離散量的情境，其中依單位分數的內容物個數，又可將分數問題情境分為三類：1.單位分數內容物為單一個物； 2.單位分數內容物為多個個物；3.單位分數內容物不是整數個個物。(三)基準單位量是全部的情境。因為對兒童認知概念發展的預期，故在82年版的教材處理上，由原來數學內容的邏輯結構方式，改變為配合兒童認知發展的過程，明顯地影響了對教材時序的安排。以教學活動為單位，對同類數學問題情境，打散在跨學期的各單元不同活動中逐漸加深或加廣，拉長各類數學問題接觸的時間，延後傳統解題策略的討論，來因應學童發展及學習上的個別差異。在教學活動的進行上，「教師布題－學童解題－解題活動的發表與討論」是教學活動的基本流程，教師為布題者，學

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童是解題者，學童在教師的鷹架下進行解題活動，對活動進行反思抽象，來建構自己的數學知識(甯自強，1993)。因此82年版的分數教材配合兒童的數概念發展，將分數概念依年級逐步引入，如一開始只進行單位分數內容為單一個物的分數活動，接著四年級才進行單位分數內容為多個個物的活動，到了五年級再將兩種問題合併處理，並進行單位分數的內容為非整數個個物，包括未度量化的連續量或其他的問題情境。另外82年版在乘除法教材方面，以「單位量轉換」觀點來處理，避免64年版課程以「連加」方式引入乘法算式，在分數乘法算式中所產生的困擾。貳貳貳貳、、、、929292年版數學分數教材92年版數學分數教材年版數學分數教材年版數學分數教材強調數學為科學工具性的特性並注重演算能力的熟練之92年版數學課程於民國92年11月公布，民國94學年度實施。以下針對92年版數學課程的基本理念與特性及其在分數教材的處理分別加以說明：一一一一、、、92、929292年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性年版數學課程的基本理念與特性九年一貫數學課程綱要的修訂原則為：(一)參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材；(二)採用國際間數學課程必備的核心題材；(三)考慮數學作為科學工具性的特質；(四)現有學生能夠有效學習數學的一般能力。根據上述修訂原則所訂立的數學總體目標包括：(一)培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；(二)學習應用問題的解題方法；(三)奠定下一階段的數學基礎；(四)培養欣賞數學的態度及能力(教育部，2009)。具體而言，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為：(一)培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；(二)學習應用問題的解題方法；(三)奠定下一階段的數學基礎；(四)培養欣賞數學的態度及能力。其中，國民小學階段的目標為：(一)在第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念；(二)在第二階段(四至五年級)能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；(三)

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在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念(教育部，2009)。不同於82年版是由數學教育家主導的數學課程，92年版的數學課程由數學家主導。九年一貫課程的基本理念，在於展現多元、彈性的教學特色，強調生活本位的課程設計，注重學生適性發展，使每位學生都獲得適性發展的機會，強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標。此外從九年一貫課程綱要的基本理念及目標中可以發現，此一階段十分強調熟練的演算能力。如在教學的總體目標中特別將演算能力標示出來，在國民小學階段目標中也指出熟練計算，另外綱要文件中更明白指出「學生的能力發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解」以及「除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。」足見學生的基礎熟練運算能力被視為解題的重要工具。二二二二、、、92、929292年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理年版數學課程分數教材處理 92年版的分數教材將分數對兒童的意義分為五種，以下加以說明：(一)平分的意涵：從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突；(二)測量的意涵：長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具；(三)比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易接受，最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題；(四) 部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概念較為抽象，而且真分數的暗示過深(全體為1)，可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突；(五)除的意涵：透過釐清、練習並連結

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分數的四種意涵，最後歸結成日後數學學習中最核心的意涵(教育部，2009)。 92年版數學課程的分數概念主要內容包括分數概念和大小比較、分數四則運算，在連結方面有分數表示除的意涵、分數和小數的互換，其教學目標著重在等值分數、分數乘法和分數除法。此外根據分數數詞所描述量的計數性質，將分數問題情境分為兩類：(一)基準單位量是連續量的情境；(二)基準單位量是離散量的情境。九年一貫課程中，與分數教材相關的能力指標如表2-3-1所示(教育部， 2009)：表2-3-1 九年一貫課程與分數教材相關的能力指標表 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。從表2-3-1中可以發現，九年一貫課程分數教材的課程安排從在情境中理解分數的意義出發，再逐步引入加減乘除各類型的分數問題，並引導學習應用問題的解題方法。參參參參、、、、小結小結小結小結從過去到現在，教科書在教育系統中扮演至少三個重要的角色：一、學科

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知識的資料庫；二、教師教學的工具；三、學習進程的規劃(黃譯瑩，1997)。在數學學習中充滿了數學語言、符號以及圖形，教科書透過數學問題將真實世界中的數學概念和這些符號、圖形做聯結、對應，並藉由書寫表徵和圖形表徵的呈現形式鷹架學生的學習，數學教材將語言互動的鷹架橋樑轉換成書寫表徵和圖形表徵，以協助學生學習，達到溝通及認知的目的。其中文字題的功用主要協助理解、形成概念、概念澄清，最後建立問題解決能力，並透過示範、提示等解題鷹架協助學生理解概念。根據Wood, Brunner 和 Ross(1976) 三位學者的所提出的鷹架功能，可以知道在教材解題方面亦需要經過系統化的組織與安排，透過注意、提示或示範等鷹架，來引發學生參與，協助學生的數學學習，使學生從「依賴解題」進步到「獨立解題」，以提升學生的解題表現。

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第三章

研究設計與實施

本研究目的主要在透過分析課本及教學指引，探究數學教科書中有關中年級分數教材文字題解題所呈現的鷹架，本章針對本研究的研究設計及實施方式加以說明，主要分為五個部份，第一節介紹研究對象，第二節說明研究方法，第三節說明研究工具，第四節呈現研究資料處理與分析，第五節說明研究信效度。

第一節

研

研究對象

究對象

本研究旨在分析82年版和92年版之國小數學審定版教科書康軒版之中年級數學分數教材，探討文字題的解題鷹架。目前國小數學審定版教科書主要包含課本、習作及教學指引三個部分，其中習作內容屬於純文字題的操作練習，並沒有呈現文字題的解題歷程，故不在本研究對象之列。根據本研究目的，本研究研究對象分為兩種：第一是國小數學課本；第二是國小數學教學指引。本研究以國小中年級數學領域教科書中的分數教材作為分析的對象，研究所選用之教科書，分別是依據國民小學數學科課程標準編訂的82年版90學年度和依據九年一貫課程綱要所編定之92年版97學年度教科書作為分析對象。由於現階段六年級的數學課程仍是根據九年一貫暫行綱要所編寫，因此高年級分數教材不納入本研究之討論範圍。本研究中所指的「國小中年級數學分數教材」乃以依據九年一貫課程綱要所編定之92年版97學年度的教材作為內容分析之範圍，國小中年級數學分數教材的內容包含「初步認識分數」、「同分母分數的加減」、「認識真分數、假分數和帶分數」、「假分數、整數和帶分數的互換」、「分數乘以整數」、「認識等值分數」。根據本研究目的，縱向研究範圍主要集中分布在第五冊至第八冊(82年版則是分布在第五冊至第十一冊，第六冊除外)，以了解中年級分數教材文字題的解題鷹架脈絡；在橫向研究範圍則選用目前市場上佔有率較高

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的康軒版審定本，希望藉由橫向的分析，比較分析82年版本和92年版中年級分數教材文字題解題鷹架之使用情形。經過逐步釐清研究對象與範圍後，研究者蒐集了研究所需之教科書，並篩選出康軒版教材中年級分數教材的單元，表3-2-1為本研究所選用教科書之基本資訊，附錄二、附錄三分別為康軒版審定本之82年版90學年度第五冊至第十一冊(第六冊除外)和92年版97學年度第五冊至第八冊分數教材之單元名稱與單元活動。表 3-2-1 康軒版82年版和92年版教科書版本與出版日 82 年版 92 年版第五冊民 90 年 7 月第四版民 96 年 9 月初版第六冊 × 民 97 年 2 月初版第七冊民 90 年 7 月第三版民 97 年 9 月初版第八冊民 90 年 2 月第二版民 98 年 2 月初版第九冊民 90 年 7 月第二版 × 第十冊民 90 年 2 月初版 × 第十一冊民 90 年 9 月初版 ×

第二節

研究方法

本研究主要採用內容分析法進行中年級數學分數教材分析，內容分析法是一種包含質與量的研究方法。本研究從量的統計出發，分析中年級數學分數教材文字題解題的鷹架情形，分析過程中並融入質的分析，以深入了解中年級數學分數教材文字題之解題鷹架。

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內容分析是一個透過「定性」的分析，並且以客觀、系統的態度，來對文件內容進行研究分析的步驟，同時也藉著推論該文件內容的環境背景及意義目的，內容分析已經擴展至「潛在內容」(latent content)分析，也就是「構成文件材料中推論的、蘊含的及潛在的意義之定性研究；而凡舉報章、雜誌、信件、會議紀錄、影片等等，都是內容分析的素材 (張紹勳，2000)，由於本研究的對象教科書屬於傳播媒介的一種，所呈現的資料同樣具豐富、多樣性，故選擇以內容分析法作為本研究之研究方法。此外為了使本研究符合科學研究的方法，以符合客觀性、定量性的概念，特別對鷹架類型與功能類目表的主類目和次類目作操作型之定義，參見表3-3-1。另外，除了科學性的量化處理外，本研究也從質化分析的角度，分析中年級數學分數教材文字題之解題鷹架。本研究以中年級分數教材內容文本為基礎，透過系統化分析、資料整理，藉由資料的交叉檢驗，重新解構再組織成有系統的概念主軸，並針對教科書解題鷹架的不同面向來歸納出研究結果。

第

第三

三

三節

節

研究工具

本節主要針對分析工具及分析軟體進行說明，其中分析工具包含分析類目及分析單位兩部分。以下茲就分析工具及分析軟體加以分述：

壹

壹、

、

、分析

、

分析

分析工具

分析

工具

內容分析的分析工具包含分析單位和分析類目(歐用生，1991)，以下茲就本研究的分析類目及分析單位加以說明。

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一、分析類目

分析類目制定的形式，主要分為依理論或過去研究結果發展而成。本研究的中年級數學教科書分數文字題解題鷹架之內容分析類目，係研究者根據國內外相關研究(毛炳楠，2005；吳怡欣，2007；許淑玫、游自達，2000； Roehler & Cantlon,

1996； Jenni, 2008)，並詳細檢視各版本的中年級分數教材內容後，最後加上研究者的見解而形成鷹架類型與功能類目表，如表3-3-1所示。表3-3-1 國小中年級數學教科書分數文字題解題之鷹架類型與功能類目表主類目次類目編碼單位類目名稱說明情境圖 /示意圖 /具體物操作活動引起參與提供情境圖、示意圖或安排具體物操作活動，來引發學生參與。注意顏色 /線條 /圖示集中訊息焦點使用不同的顏色、線條、圖示標示，將訊息聚焦。句子/插圖類推提供有邏輯、系統的解題資訊，提供類推。根據資訊呈現的方式可分為兩種：1. 同一思考邏輯：呈現相同思考方向的解題資訊，在敘述上會逐步朝向精簡化，減少文字的敘述，逐步引入認識數學格式。2. 不同思考邏輯：呈現不同思考方向的解題資訊，以引導解題。鷹架類型與功能提示句子/插圖比較提供對比資訊，協助解題者發現規則，可分為：1.可直接比較。2.無法直接比較，需進行進一步的解題動作，如切割活動。

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表3-3-1 國小中年級數學教科書分數文字題解題之鷹架類型與功能類目表(續) 主類目次類目編碼單位類目名稱說明句子/插圖完整示範透過不同的表徵類型，完整並直接告知「如何做」的解題的步驟或計算步驟，供解題者參考，其中可再細分為序列或並列兩類。句子/插圖部分示範部份示範解題，提供操作說明或不完整的列式計算步驟。示範無無示範例題中完全沒有示範解題，解題者需要自行解題，必要時需透過其他鷹架來提供解題者協助。句子引導解題思考在解題過程中，透過提問引起參與，並持續引導解題者組織策略、澄清想法、發現關係或規則。提問 _句子檢核後設認知協助解題者檢核解題後的後設認知，並鼓勵質疑，以達成策略監測、檢查、評價等功能。句子/插圖歸納數學概念將問題解題過程加以整合，指出其所包涵的數學概念規則或重點。鷹架類型與功能歸納句子/插圖歸納計算規則將問題解題過程加以整合，指出其所包涵的計算規則或重點。在解題過程中，教材透過提示、示範、歸納…等鷹架協助，提供解題者靜態書面的解題資訊，協助解題者了解問題及解題，並形成數學概念。在同一個表徵中可能只使用單一種鷹架，或是同時運用多種鷹架，以達成其所欲達到的鷹架功能。本研究之解題鷹架分為五類，包括「注意」、「提示」、「示範」、「提問」、「歸納」等五類，以下針對解題鷹架的類型與功能加以詳細說明，其中所舉的鷹架實例請參見附錄四。

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(一)注意：有意義的引起參與及集中訊息焦點，包括： 1.有意義的引起參與：提供情境圖、示意圖或安排具體物操作活動，來引發學生參與。 2.集中訊息焦點：使用不同的顏色、線條、圖示標示，協助聚焦。 (二)提示：指提供解題所需資訊或策略，協助解題者察覺解題關鍵，引導進行進一步解題。根據提示方式的差異，可再細分成兩類鷹架，包括： 1.類推：提供有邏輯、系統的解題資訊，引導類推，根據資訊呈現的方式可分為兩種： (1)同一思考邏輯：呈現相同思考方向的解題資訊，在敘述上會逐步朝向精簡化，減少文字的敘述，逐步引入認識數學格式。 (2)不同思考邏輯:呈現不同思考方向的解題資訊，以引導解題。 2.比較：提供對比資訊，協助解題者發現規則。 (1)可直接比較，問題中所呈現的資訊可協助解題者直接比較。 (2)無法直接比較，需進行進一步的解題動作，如切割活動，問題中所呈現的資訊無法可協助解題者直接比較，必要時需提供其他鷹架協助。 (三)示範：提供解題步驟供解題者參考，因示範程度的差異而提供了不同的鷹架功能，示範鷹架主要為完整、部分、無示範三類，且此三類示範鷹架又可分別再細分成單一或多種示範： 1.完整示範：透過不同的表徵類型，完整並直接告知「如何做」的解題的步驟或計算步驟，供解題者參考，其中可再細分為序列或並列兩類。 2.部分示範：指部份示範解題，提供操作說明或不完整的列式計算步驟。 3.無示範：例題中完全沒有示範解題，解題者需要自行解題，必要時需透過其他鷹架來提供解題者協助。 (四)提問：藉由提問引導思考，並協助解題者形成數學概念理解，進行概念澄

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清，根據提示時機的不同，可再細分成兩類鷹架，包括： 1.引導解題思考：在解題過程中，透過提問引起參與，並持續引導解題者組織策略、澄清想法、發現關係或規則。 2.檢核後設認知：協助解題者檢核解題後的後設認知，以達成策略監測、檢查、評價等功能。 (五)歸納：在解題後指出重點，幫助解題者形成數學概念及了解數學計算規則，加強對數學概念或數學計算規則的認識，主要包含兩類鷹架： 1.歸納數學概念：將問題解題過程加以整合，指出其所包涵的數學概念規則或重點。 2.歸納計算規則：將問題解題過程加以整合，指出其所包涵的計算規則或重點。此外在鷹架呈現形式方面，鷹架透過不同的書寫表徵(數學符號、文字)和圖形表徵的呈現形式(單一圖、並列圖)，提供學習所需的鷹架協助，包括提示、示範、歸納…等，如表3-3-2所示。表3-3-2 國小中年級數學教科書分數文字題解題之鷹架呈現形式類目表主類目次類目編碼單位類目名稱說明數學符號包括數值、關係式、算式、算式填充。書寫表徵 /句子文字包括詞彙、直述句、疑問句。單一圖在同一時間出現一個圖示。鷹架呈現形式圖形表徵情境圖 /示意圖並列圖在同一時間出現兩個以上圖示。 (一)書寫表徵： 1.數學符號：數值、關係式、算式、算式填充，如1₂ 、₁₀8 ＞₁₀6 、3₈ + 4₈ =

82年和92年版國小中年級數學分數教材文字題解題鷹架之比較分析

國立臺中教育大學

國立臺中教育大學

國立臺中教育大學

國立臺中教育大學課程與教學研究所

課程與教學研究所

課程與教學研究所碩士在職專班

課程與教學研究所

碩士在職專班

碩士在職專班

碩士在職專班

碩士論文

碩士論文

碩士論文

碩士論文

指導教授：游自達 博士

82 年和 92 年版國小中年級數學分數

教材文字題解題鷹架之比較分析

研究生：陳佳琳 撰

中華民國九十九年一月

82 年和 92 年版國小中年級數學分數教材文字題解題鷹架之比較分析

摘要

A comparison and analysis of problem-solving scaffolding in 1993- and 2003-

edition of middle-grade mathematic textbooks

Abstract

problem-solving scaffoldings

目

目

目

目

次

次

次

次

表

表

表

表

次

次

次

次

圖

圖

圖

圖

次

次

次

次

第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

第一節

第一節

第一節

第一節

研究背景與動機

研究背景與動機

研究背景與動機

研究背景與動機

第二節

第二節

第二節

第二節

研究目的與問題

研究目的與問題

研究目的與問題

研究目的與問題

第三節

第三節

第三節

第三節

名詞解釋

名詞解釋

指導教授：游自達博士

研究生：陳佳琳撰