兩種改善四邊形辨識迷思的教學策略研究－以國中七年級學生為對象

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：陳創義. 博士. 兩種改善四邊形辨識迷思的教學策略研究－以國中七年級學生為對象. 研究生：林柏嘉. 中華民國九十八年六月.

(2) 感謝所有的事與願違.

(3) 謝詞小孩子玩積木，在大人眼中看來，不過是組合了又拆掉，拆掉了又組合，一點意義都沒有，但對他而言，意義就發生在拆掉跟組合之間。研究生在寫論文的時候，多數都會冒出這個問題，唉，寫這些東西到底有什麼意義？事不關己的眾人，會認為你在做一件有價值的事，你就像那個在堆積木的小孩，而指導教授就像在旁觀的那個大人。所以，如果你懷疑自己碩士論文的意義，那我想應該真的沒什麼意義，即使這個學位可以幫助你豐富履歷表，晉級加薪，完成眾人認為的自我實現，它的本質還是沒有意義。首先我要感謝我的指導教授，陳創義老師，老師是個極聰明的人，他的聰明不僅展現在數學上，還無時無刻於我們的相處之中，我很幸運，這幾年能夠從老師那裡，學到對於數學教育的透徹洞察。聰明的人通常比較霸道，可是老師很和善，他用身教告訴我，很強大也可以很溫和，過份彰顯自己的性格與能力，並不是奪取榮耀的唯一道路，這是老師送我的第二個寶貴禮物。再來是謝豐瑞老師，六年前，我教書生涯最低潮的時候，差不多就要放棄了，老師用力的拉我一把，沒有她的幫助，就沒有後來那個具抗壓性，能夠在巨大體制架構的校園中，多數時候仍然自在揮灑理念的我。接著是曹博盛老師，我跟老師認識得很晚，卻道別得很快，一年級時的評量課，是我研所生涯最愉快的上課時光，論文中各種測.

(4) 驗的編撰能力，主要奠基於那門課的學習，滿載收穫又充滿愉悅氛圍的課堂，本身就值得被紀念。然後是陳界山老師，數學教育組必修兩門數學，我選擇老師的互補問題和優選理論，與老師相處的並不深，但近距離接觸的那些時光，讓我認識到，原來優異的數學學者，是這個樣子啊。兩位口試委員，陳光勳老師在百忙之中，細心的閱讀完整本論文，提供我極為實用的修改意見，讓論文得以完整呈現，黃文達老師在休息年，還專程來擔任委員，提供我具前瞻性的未來研究建議。回到論文意義的問題，過程中有段很長的時間，我很懷疑自己研究的意義，直到某一刻，我知道自己做出來了，那感覺是一種頓悟，而頓悟其實來自長時間沉浸於研究中的累積。也許我的論文不夠學術、不夠精練、手法上有許多顯得生嫩的表現，也許所寫的還傳達不了所領悟的，但我確切知道那些領悟，我像那個堆積木的小孩，拆掉跟組合之間，意義就這麼發生了。最後，我要感謝自己能夠生長在一個承平的年代，以及所有的事與願違。. 林柏嘉 2009.6.27.

(5) 摘要本研究探討兩個改善四邊形辨識迷思的教學策略，在國中七年級的應用，這兩個策略分別是分類策略，以及非典型例性質察覺策略。國中學生的四邊形辨識迷思有典型例、語意、空間視覺、互斥思維四種類型，迷思的存在，顯現了學生的圖形辨識能力，停留在 van Hiele 認知層次的視覺期，依據圖形輪廓來進行辨識。研究者提出的兩個策略，希望能夠幫助學生提升至 van Hiele 認知層次的分析期，且在圖形包含關係上，擁有一些非形式演繹期的經驗。採用的研究方法是實驗研究法，對象共有五個國中七年級班級，進行了分類與非典型例性質察覺兩種教學活動的實驗，並以預測、前測、後測、延後測，來審視策略應用的結果。研究的結果發現，兩個策略均幫助學生，改善了四邊形辨識的迷思，分類策略有效的原因，在於學生進行分類操作時，注意力由圖形輪廓進入了圖形結構，分類完成的結果，提供了命名的脈絡，與包含關係的理解。非典型例性質察覺策略有效的原因，在於學生利用文字紀錄，以及口語發表所查覺性質時，關注的焦點是在圖形的結構，記錄與發表的方式，整合過往學習圖形的知識，並且在思考的過程中，產生了圖形定義的需求。.

(6)

(7) 目次 1 第壹章緒論...........................................................................................................................1 緒論第一節研究動機....................................................................................................................2 第二節研究目的.................................................................................................................. 11 第三節待答問題..................................................................................................................12 第四節研究限制..................................................................................................................13 第五節名詞界定..................................................................................................................14 2 第貳章文獻探討.................................................................................................................18 文獻探討第一節 VAN HIELE 的幾何思考層次....................................................................................19 第二節小學與國中數學的幾何課程 ..................................................................................23 第三節幾何圖形的認知模式..............................................................................................34 第四節幾何教學的相關文獻..............................................................................................39 第五節四邊形辨識與包含關係的相關研究 ......................................................................44 3 第参章研究方法 .................................................................................................................53 第一節研究架構..................................................................................................................54 第二節研究對象..................................................................................................................59 第三節研究工具..................................................................................................................60 第四節研究流程................................................................................................................ 112 4 第肆章結果與討論........................................................................................................... 114 結果與討論第一節前測評量結果........................................................................................................ 115 第二節非典型例性質察覺教學活動實驗 ........................................................................138 第三節分類教學活動實驗................................................................................................150 第四節後測與延後測評量結果........................................................................................163 第五節兩種策略的應用討論............................................................................................203 5 第伍章結論與建議...........................................................................................................210 結論與建議第一節結論........................................................................................................................ 211 第二節建議........................................................................................................................216 參考文獻...................................................................................................................................219 參考文獻附錄...........................................................................................................................................224 附錄. i.

(8) 表次表 2-1 一到九年級與四邊形有關的分年細目 .............................. 23 表 2-2 特殊四邊形標準名詞解釋 ........................................ 30 表 2-3 日蘇兩地學生認知包含關係比例 .................................. 51 表 3-3 實驗流程表................................................... 112 表 3-4 本研究進度甘梯圖 ............................................. 113 表 4-1 分類組與察覺組後測達層次 1 和 2 的人數表 ....................... 207. ii.

(9) 圖次圖 1-1 特殊四邊形典型例 .............................................. 15 圖 1-2 空間中的長方形投影圖 .......................................... 16 圖 2-1 康軒小學課本介紹長方形與正方形 ................................ 26 圖 2-2 南一小學課本分類四種圖形 ...................................... 27 圖 2-3 翰林小學課本介紹長方形 ........................................ 27 圖 2-4 康軒課本介紹四邊形定義的教學活動 .............................. 28 圖 2-5 康軒課本對邊與鄰邊的定義 ...................................... 28 圖 2-6 康軒課本正方形的定義 .......................................... 28 圖 2-7 康軒課本長方形的定義 .......................................... 29 圖 2-8 康軒課本菱形的定義 ............................................ 29 圖 2-9 康軒課本平行四邊形的定義 ...................................... 29 圖 2-10 康軒課本梯形的定義 ........................................... 30 圖 2-11 康軒課本特殊四邊形的性質 ..................................... 32 圖 2-12 康軒課本平行四邊形判別性質證明一 ............................. 32 圖 2-13 康軒課本平行四邊形判別性質證明二 ............................. 33 圖 2-14 透過操作圖形探索面積相等 ..................................... 38 圖 2-15 雙準則三角形分類圖 ........................................... 43 圖 2-16 選出平行四邊形 ............................................... 49 圖 2-17 選出長方形................................................... 49 圖 2-18 選出菱形..................................................... 50 圖 2-19 平行四邊形、長方形、菱形性質判斷 ............................. 50 圖 2-20 正方形、長方形、菱形、平行四邊形包含關係 ..................... 51 圖 2-21 日蘇兩地學生認知途徑 ......................................... 52 圖 3-1 單組前後測設計 ................................................ 57 圖 3-2 本研究實驗設計 ................................................ 57 圖 3-3 照對組的比較方式示意圖 ........................................ 58 圖 3-4 正方形預試試題 ................................................ 61 圖 3-5 多數作答正方形定義的方式 ...................................... 62 圖 3-6 寫出與正方形相關的幾何知識 .................................... 62. iii.

(10) 圖 3-7 學生所畫的正方形例一 .......................................... 62 圖 3-8 學生所畫的正方形例二 .......................................... 63 圖 3-9 長方形預試試題 ................................................ 63 圖 3-10 標明長方形長寬不等例一 ....................................... 63 圖 3-11 標明長方形長寬不等例二 ....................................... 64 圖 3-12 學生所畫的長方形例一 ......................................... 64 圖 3-13 學生所畫的長方形例二 ......................................... 64 圖 3-14 菱形預試試題 ................................................. 65 圖 3-15 菱形定義作答方式一 ........................................... 65 圖 3-16 菱形定義作答方式二 ........................................... 65 圖 3-17 菱形定義作答方式三 ........................................... 66 圖 3-18 學生所畫的菱形例一 ........................................... 66 圖 3-19 學生所畫的菱形例二 ........................................... 66 圖 3-20 學生所畫的菱形例三 ........................................... 67 圖 3-21 學生所畫的菱形例四 ........................................... 67 圖 3-22 梯形預試試題 ................................................. 67 圖 3-23 認為梯形定義是上下底平行 ..................................... 68 圖 3-24 梯形定義需要等腰的例子 ....................................... 68 圖 3-25 學生所畫的梯形例一 ........................................... 68 圖 3-26 學生所畫的菱形例二 ........................................... 69 圖 3-27 平行四邊形預試試題 ........................................... 69 圖 3-28 學生對平行四邊形定義作答例一 ................................. 69 圖 3-29 學生對平行四邊形定義作答例二 ................................. 70 圖 3-30 學生所畫的平行四邊形例一 ..................................... 70 圖 3-31 學生所畫的平行四邊形例二 ..................................... 70 圖 3-32 以名稱設計的問題 ............................................. 71 圖 3-33 以定義設計的問題 ............................................. 71 圖 3-34 名稱版與定義版前測結果 ....................................... 72 圖 3-35 名稱版與定義版扣除長方形前測結果 ............................. 73 圖 3-36 前測圖形定義題 ............................................... 74 圖 3-37 前測正方形典型例迷思 ......................................... 74 iv.

(11) 圖 3-38 前測正方形空間視覺迷思 ....................................... 75 圖 3-39 前測正方形是否為長方形 ....................................... 75 圖 3-40 前測長方形空間視覺迷思 ....................................... 76 圖 3-41 前測菱形典型例迷思一 ......................................... 76 圖 3-42 前測菱形典型例迷思二 ......................................... 77 圖 3-43 前測梯形典型例迷思 ........................................... 77 圖 3-44 前測平行四邊形與正方形互斥 ................................... 78 圖 3-45 前測平行四邊形與長方形互斥 ................................... 78 圖 3-46 前測平行四邊形與菱形互斥 ..................................... 79 圖 3-47 前測圖形判斷是非題 ........................................... 79 圖 3-48 前測正方形典型例迷思定義版 ................................... 80 圖 3-49 前測正方形空間視覺迷思定義版 ................................. 80 圖 3-50 前測正方形是否為長方形定義版 ................................. 81 圖 3-51 前測長方形空間視覺迷思定義版 ................................. 81 圖 3-52 前測菱形典型例迷思一定義版 ................................... 81 圖 3-53 前測菱形典型例迷思二定義版 ................................... 82 圖 3-54 前測梯形典型例迷思定義版 ..................................... 82 圖 3-55 前測平行四邊形與正方形互斥定義版 ............................. 82 圖 3-56 前測平行四邊形與長方形互斥定義版 ............................. 83 圖 3-57 前測平行四邊形與菱形互斥定義版 ............................... 83 圖 3-58 前測十六個供學生挑選的四邊形 ................................. 84 圖 3-59 前測圖形挑選題內容 ........................................... 84 圖 3-60 後測正方形典型例迷思 ......................................... 85 圖 3-61 後測正方形空間視覺迷思 ....................................... 86 圖 3-62 後測文字敘述正方形是否為長方形 ............................... 86 圖 3-63 後測數字敘述正方形是否為長方形 ............................... 86 圖 3-64 後測長方形空間視覺迷思 ....................................... 87 圖 3-65 後測正方形是否為長方形 ....................................... 87 圖 3-66 後測菱形典型例迷思 ........................................... 87 圖 3-67 後測平行四邊形與正方形互斥 ................................... 88 圖 3-68 後測平行四邊形與長方形互斥 ................................... 88 v.

(12) 圖 3-69 後測平行四邊形與菱形互斥 ..................................... 89 圖 3-70 後測十五個供學生挑選的四邊形 ................................. 89 圖 3-71 後測配合題內容 ............................................... 90 圖 3-72 延後測正方形典型例迷思 ....................................... 90 圖 3-73 延後測正方形空間視覺迷思 ..................................... 91 圖 3-74 延後測文字敘述正方形是否為長方形 ............................. 91 圖 3-75 延後測數字敘述正方形是否為長方形 ............................. 91 圖 3-76 延後測長方形空間視覺迷思 ..................................... 91 圖 3-77 延後測正方形是否為長方形 ..................................... 91 圖 3-78 延後測菱形典型例迷思 ......................................... 92 圖 3-79 延後測平行四邊形與正方形互斥 ................................. 92 圖 3-80 延後測平行四邊形與長方形互斥 ................................. 92 圖 3-81 延後測平行四邊形與菱形互斥 ................................... 92 圖 3-82 延後測平行四邊形與菱形互斥 ................................... 93 圖 3-83 延後測十五個供學生挑選的四邊形 ............................... 93 圖 3-84 延後測配合題內容 ............................................. 93 圖 3-85 正方形非典型例性質察覺 ....................................... 96 圖 3-86 長方形非典型例性質察覺 ....................................... 98 圖 3-87 菱形非典型例性質察覺 ......................................... 99 圖 3-88 平行四邊形非典型例性質察覺 .................................. 100 圖 3-89 梯形非典型例性質察覺 ........................................ 101 圖 3-90 非典型例察覺心得整理 ........................................ 102 圖 3-91 分類圖卡與繩子 .............................................. 103 圖 3-92 分類準則有沒有四個直角 ...................................... 103 圖 3-93 有沒有四個直角分類完成 ...................................... 104 圖 3-94 有無四個直角的四邊形命名 .................................... 105 圖 3-95 分類準則有沒有四個等邊 ...................................... 105 圖 3-96 有沒有四個等邊分類完成 ...................................... 106 圖 3-97 有無四個等邊的四邊形命名 .................................... 106 圖 3-98 分類準則有幾組平行邊 ........................................ 107 圖 3-99 幾組平行邊分類完成 .......................................... 107 vi.

(13) 圖 3-100 有幾組平行邊的四邊形命名 ................................... 108 圖 3-101 雙準則分類操作一 ........................................... 108 圖 3-102 雙準則分類操作一完成 ....................................... 109 圖 3-103 正方形歸屬的討論問題 ....................................... 109 圖 3-104 雙準則分類操作二 ........................................... 110 圖 3-105 有空格的雙準則分類操作二完成 ............................... 111 圖 3-106 包含關係圖的討論問題 ....................................... 111 圖 3-107 無空格的雙準則分類操作二完成 ............................... 111 圖 4-1 前測圖形定義題 ............................................... 115 圖 4-2 正方形概念迷思前測結果長條圖 ................................. 116 圖 4-3 長方形概念迷思前測結果長條圖 ................................. 117 圖 4-4 菱形概念迷思前測結果長條圖 ................................... 117 圖 4-5 梯形概念迷思前測結果長條圖 ................................... 118 圖 4-6 平行四邊形概念迷思前測結果長條圖 ............................. 119 圖 4-7 四邊形概念定義正確長條圖 ..................................... 120 圖 4-8 前測正方形典型例迷思名稱版 ................................... 120 圖 4-9 前測正方形典型例迷思定義版 ................................... 121 圖 4-10 正方形典型例語意名稱版有迷思而定義版正答長條圖 .............. 121 圖 4-11 前測正方形空間視覺迷思名稱版 ................................ 122 圖 4-12 前測正方形空間視覺迷思定義版 ................................ 122 圖 4-13 正方形空間視覺名稱版有迷思而定義版正答長條圖 ................ 123 圖 4-14 前測正方形是否為長方形名稱版 ................................ 123 圖 4-15 前測正方形是否為長方形定義版 ................................ 124 圖 4-16 長方形名稱版有迷思而定義版正答長條圖 ........................ 124 圖 4-17 前測長方形空間視覺迷思名稱版 ................................ 125 圖 4-18 前測長方形空間視覺迷思定義版 ................................ 125 圖 4-19 長方形空間視覺名稱版有迷思而定義版正答長條圖 ................ 126 圖 4-20 前測菱形典型例迷思一名稱版 .................................. 126 圖 4-21 前測菱形典型例迷思一定義版 .................................. 126 圖 4-22 菱形典型例迷思一名稱版有迷思而定義版正答長條圖 .............. 127 圖 4-23 前測菱形典型例迷思二名稱版 .................................. 127 vii.

(14) 圖 4-24 前測菱形典型例迷思二定義版 .................................. 128 圖 4-25 菱形典型例迷思二名稱版有迷思而定義版正答長條圖 .............. 128 圖 4-26 前測梯形典型例迷思名稱版 .................................... 129 圖 4-27 前測梯形典型例迷思定義版 .................................... 129 圖 4-28 梯形典型例名稱版有迷思而定義版正答長條圖 .................... 129 圖 4-29 名稱版與定義版正確辨識梯形長條圖 ............................ 130 圖 4-30 前測平行四邊形與正方形互斥名稱版 ............................ 130 圖 4-31 前測平行四邊形與正方形互斥定義版 ............................ 131 圖 4-32 正方形互斥思維名稱版有迷思而定義版正答長條圖 ................ 131 圖 4-33 前測平行四邊形與長方形互斥名稱版 ............................ 132 圖 4-34 前測平行四邊形與長方形互斥定義版 ............................ 132 圖 4-35 長方形互斥思維名稱版有迷思而定義版正答長條圖 ................ 132 圖 4-36 前測平行四邊形與菱形互斥名稱版 .............................. 133 圖 4-37 前測平行四邊形與菱形互斥定義版 .............................. 133 圖 4-38 菱形互斥思維名稱版有迷思而定義版正答長條圖 .................. 134 圖 4-39 名稱版與定義版得分比較長條圖 ................................ 134 圖 4-40 前測圖形判斷是非題 .......................................... 135 圖 4-41 正確判斷包含關係長條圖 ...................................... 135 圖 4-42 前測十六個供學生挑選的四邊形 ................................ 136 圖 4-43 前測圖形挑選題 .............................................. 137 圖 4-44 圖形配合題答對率長條圖 ...................................... 137 圖 4-45 正方形非典型例性質察覺 ...................................... 139 圖 4-46 長方形非典型例性質察覺 ...................................... 139 圖 4-47 菱形非典型例性質察覺 ........................................ 140 圖 4-48 平行四邊形非典型例性質察覺 .................................. 140 圖 4-49 梯形非典型例性質察覺 ........................................ 141 圖 4-50 非典型例察覺心得整理 ........................................ 141 圖 4-51 無效的圖形定義作答 .......................................... 142 圖 4-52 正方形非典型例察覺特徵例一 .................................. 143 圖 4-53 正方形非典型例察覺特徵例二 .................................. 143 圖 4-54 正方形非典型例察覺特徵例三 .................................. 143 viii.

(15) 圖 4-55 長方形非典型例察覺特徵例一 .................................. 144 圖 4-56 長方形非典型例察覺特徵例二 .................................. 144 圖 4-57 長方形非典型例察覺特徵例三 .................................. 144 圖 4-58 菱形非典型例察覺特徵例一 .................................... 145 圖 4-59 菱形非典型例察覺特徵例二 .................................... 145 圖 4-60 菱形非典型例察覺特徵例三 .................................... 145 圖 4-61 平行四邊形非典型例察覺特徵例一 .............................. 146 圖 4-62 平行四邊形非典型例察覺特徵例二 .............................. 146 圖 4-63 平行四邊形非典型例察覺特徵例三 .............................. 146 圖 4-64 梯形非典型例察覺特徵例一 .................................... 146 圖 4-65 梯形非典型例察覺特徵例二 .................................... 147 圖 4-66 梯形非典型例察覺特徵例三 .................................... 147 圖 4-67 非典型例察覺心得整理例一 .................................... 148 圖 4-68 非典型例察覺心得整理例二 .................................... 149 圖 4-69 非典型例察覺心得整理例三 .................................... 149 圖 4-70 分類圖卡與繩子 .............................................. 151 圖 4-71 分類準則有沒有四個直角 ...................................... 151 圖 4-72 有無四個直角的四邊形命名 .................................... 151 圖 4-73 分類準則有沒有四個等邊 ...................................... 151 圖 4-74 有無四個等邊的四邊形命名 .................................... 152 圖 4-75 分類準則有幾組平行邊 ........................................ 152 圖 4-76 有幾組平行邊的四邊形命名 .................................... 152 圖 4-77 雙準則分類操作一 ............................................ 152 圖 4-78 正方形歸屬的討論問題 ........................................ 152 圖 4-79 雙準則分類操作二 ............................................ 153 圖 4-80 包含關係圖的討論問題 ........................................ 153 圖 4-81 有無四個直角的分類紀錄例一 .................................. 154 圖 4-82 有無四個直角的分類紀錄例二 .................................. 154 圖 4-83 有無四個直角的分類紀錄例三 .................................. 154 圖 4-84 有無四個直角命名結果例一 .................................... 155 圖 4-85 有無四個直角命名結果例二 .................................... 155 ix.

(16) 圖 4-86 有無四個等邊的分類紀錄例一 .................................. 156 圖 4-87 有無四個等邊的分類紀錄例二 .................................. 156 圖 4-88 有無四個等邊的分類紀錄例三 .................................. 156 圖 4-89 有無四個等邊命名結果例一 .................................... 157 圖 4-90 有無四個等邊命名結果例二 .................................... 157 圖 4-91 幾組平行邊分類結果例一 ...................................... 157 圖 4-92 幾組平行邊分類結果例二 ...................................... 158 圖 4-93 幾組平行邊分類結果例三 ...................................... 158 圖 4-94 幾組平行邊命名結果例一 ...................................... 158 圖 4-95 幾組平行邊命名結果例二 ...................................... 159 圖 4-96 雙準則一分類結果例一 ........................................ 159 圖 4-97 雙準則一分類結果例二 ........................................ 160 圖 4-98 討論問題作答例一 ............................................ 160 圖 4-99 討論問題作答例二 ............................................ 160 圖 4-100 雙準則二填寫例一 ........................................... 161 圖 4-101 雙準則二填寫例二 ........................................... 162 圖 4-102 後測正方形典型例迷思分類組 ................................. 163 圖 4-103 後測正方形典型例迷思察覺組 ................................. 163 圖 4-104 延後測正方形典型例迷思分類組 ............................... 164 圖 4-105 延後測正方形典型例迷思察覺組 ............................... 164 圖 4-106 延後測正方形典型例迷思對照組 ............................... 164 圖 4-107 後測正方形典型例迷思答對率長條圖 ........................... 165 圖 4-108 延後測正方形典型例迷思答對率長條圖 ......................... 165 圖 4-109 後測正方形空間視覺迷思分類組 ............................... 166 圖 4-110 後測正方形空間視覺迷思察覺組 ............................... 166 圖 4-111 延後測正方形空間視覺迷思分類組 ............................. 166 圖 4-112 延後測正方形空間視覺迷思察覺組 ............................. 166 圖 4-113 延後測正方形空間視覺迷思對照組 ............................. 166 圖 4-114 後測正方形空間視覺迷思答對率長條圖 ......................... 167 圖 4-115 延後測正方形空間視覺迷思答對率長條圖 ....................... 167 圖 4-116 後測文字敘述正方形是否為長方形分類組 ....................... 168 x.

(17) 圖 4-117 後測文字敘述正方形是否為長方形察覺組 ....................... 168 圖 4-118 延後測文字敘述正方形是否為長方形分類組 ..................... 168 圖 4-119 延後測文字敘述正方形是否為長方形察覺組 ..................... 168 圖 4-120 延後測文字敘述正方形是否為長方形對照組 ..................... 168 圖 4-121 後測文字敘述正方形是否為長方形答對率長條圖 ................. 169 圖 4-122 延後測文字敘述正方形是否為長方形答對率長條圖 ............... 169 圖 4-123 後測數字敘述正方形是否為長方形分類組 ....................... 170 圖 4-124 後測數字敘述正方形是否為長方形察覺組 ....................... 170 圖 4-125 延後測數字敘述正方形是否為長方形分類組 ..................... 170 圖 4-126 延後測數字敘述正方形是否為長方形察覺組 ..................... 170 圖 4-127 延後測數字敘述正方形是否為長方形對照組 ..................... 170 圖 4-128 後測數字敘述正方形是否為長方形答對率長條圖 ................. 171 圖 4-129 延後測數字敘述正方形是否為長方形答對率長條圖 ............... 171 圖 4-130 後測長方形空間視覺迷思分類組 ............................... 172 圖 4-131 後測長方形空間視覺迷思察覺組 ............................... 172 圖 4-132 延後測長方形空間視覺迷思分類組 ............................. 172 圖 4-133 延後測長方形空間視覺迷思察覺組 ............................. 172 圖 4-134 延後測長方形空間視覺迷思對照組 ............................. 172 圖 4-135 後測長方形空間視覺迷思答對率長條圖 ......................... 173 圖 4-136 延後測長方形空間視覺迷思答對率長條圖 ....................... 173 圖 4-137 後測正方形是否為長方形分類組 ............................... 174 圖 4-138 後測正方形是否為長方形察覺組 ............................... 174 圖 4-139 延後測正方形是否為長方形分類組 ............................. 174 圖 4-140 延後測正方形是否為長方形察覺組 ............................. 174 圖 4-141 延後測正方形是否為長方形對照組 ............................. 175 圖 4-142 後測正方形是否為長方形答對率長條圖 ......................... 175 圖 4-143 延後測正方形是否為長方形答對率長條圖 ....................... 176 圖 4-144 後測菱形典型例迷思分類組 ................................... 176 圖 4-145 後測菱形典型例迷思察覺組 ................................... 176 圖 4-146 延後測菱形典型例迷思分類組 ................................. 177 圖 4-147 延後測菱形典型例迷思察覺組 ................................. 177 xi.

(18) 圖 4-148 延後測菱形典型例迷思對照組 ................................. 177 圖 4-149 後測菱形典型例迷思答對率長條圖 ............................. 178 圖 4-150 延後測菱形典型例迷思答對率長條圖 ........................... 178 圖 4-151 後測平行四邊形與正方形互斥分類組 ........................... 179 圖 4-152 後測平行四邊形與正方形互斥察覺組 ........................... 179 圖 4-153 延後測平行四邊形與正方形互斥分類組 ......................... 179 圖 4-154 延後測平行四邊形與正方形互斥察覺組 ......................... 179 圖 4-155 延後測平行四邊形與正方形互斥對照組 ......................... 180 圖 4-156 後測平行四邊形與正方形互斥答對率長條圖 ..................... 180 圖 4-157 延後測平行四邊形與正方形互斥答對率長條圖 ................... 181 圖 4-158 後測平行四邊形與長方形互斥分類組 ........................... 181 圖 4-159 後測平行四邊形與長方形互斥察覺組 ........................... 181 圖 4-160 延後測平行四邊形與長方形互斥分類組 ......................... 182 圖 4-161 延後測平行四邊形與長方形互斥察覺組 ......................... 182 圖 4-162 延後測平行四邊形與長方形互斥對照組 ......................... 182 圖 4-163 後測平行四邊形與長方形互斥答對率長條圖 ..................... 183 圖 4-164 延後測平行四邊形與長方形互斥答對率長條圖 ................... 183 圖 4-165 後測平行四邊形與菱形互斥分類組 ............................. 184 圖 4-166 後測平行四邊形與菱形互斥察覺組 ............................. 184 圖 4-167 延後測平行四邊形與菱形互斥分類組 ........................... 184 圖 4-168 延後測平行四邊形與菱形互斥察覺組 ........................... 184 圖 4-169 延後測平行四邊形與菱形互斥對照組 ........................... 185 圖 4-170 後測平行四邊形與菱形互斥答對率長條圖 ....................... 185 圖 4-171 延後測平行四邊形與菱形互斥答對率長條圖 ..................... 186 圖 4-172 後測平行四邊形與菱形互斥分類組 ............................. 186 圖 4-173 後測平行四邊形與菱形互斥察覺組 ............................. 186 圖 4-174 延後測平行四邊形與菱形互斥分類組 ........................... 187 圖 4-175 延後測平行四邊形與菱形互斥察覺組 ........................... 187 圖 4-176 延後測平行四邊形與菱形互斥對照組 ........................... 187 圖 4-177 後測平行四邊形與菱形互斥答對率長條圖 ....................... 188 圖 4-178 延後測平行四邊形與菱形互斥答對率長條圖 ..................... 188 xii.

(19) 圖 4-179 後測正方形配合題分類組 ..................................... 189 圖 4-180 後測正方形配合題察覺組 ..................................... 189 圖 4-181 延後測正方形配合題分類組 ................................... 190 圖 4-182 延後測正方形配合題察覺組 ................................... 190 圖 4-183 延後測正方形配合題對照組 ................................... 191 圖 4-184 後測長方形配合題分類組 ..................................... 191 圖 4-185 後測長方形配合題察覺組 ..................................... 192 圖 4-186 延後測長方形配合題分類組 ................................... 192 圖 4-187 延後測長方形配合題察覺組 ................................... 193 圖 4-188 延後測長方形配合題對照組 ................................... 193 圖 4-189 後測菱形配合題分類組 ....................................... 194 圖 4-190 後測菱形配合題察覺組 ....................................... 194 圖 4-191 延後測菱形配合題分類組 ..................................... 195 圖 4-192 延後測菱形配合題察覺組 ..................................... 195 圖 4-193 延後測菱形配合題對照組 ..................................... 196 圖 4-194 後測梯形配合題分類組 ....................................... 196 圖 4-195 後測梯形配合題察覺組 ....................................... 197 圖 4-196 延後測梯形配合題分類組 ..................................... 197 圖 4-197 延後測梯形配合題察覺組 ..................................... 198 圖 4-198 延後測梯形配合題對照組 ..................................... 198 圖 4-199 後測平行四邊形形配合題分類組 ............................... 199 圖 4-200 後測平行四邊形形配合題察覺組 ............................... 199 圖 4-201 延後測平行四邊形形配合題分類組 ............................. 200 圖 4-202 延後測平行四邊形形配合題察覺組 ............................. 200 圖 4-203 延後測平行四邊形形配合題對照組 ............................. 201 圖 4-204 後測配合題答對率長條圖 ..................................... 201 圖 4-205 延後測配合題答對率長條圖 ................................... 202 圖 4-206 前測層次 1 學生比例圓餅圖 ................................... 206 圖 4-207 前測層次 2 學生比例圓餅圖 ................................... 206 圖 4-208 包含關係的起點比較長條圖 ................................... 208 圖 4-209 分類組測驗可比較題答對率長條圖 ............................. 208 xiii.

(20) 圖 4-210 察覺測驗可比較題答對率長條圖 ............................... 209 圖 5-1 學校課程四邊形辨識學習流程圖 ................................. 213 圖 5-2 分類策略四邊形辨識學習流程圖 ................................. 214 圖 5-3 非典型例性質察覺學習流程圖 ................................... 215. xiv.

(21) 第壹章. 緒論. 1第壹章第壹章緒論緒論總共有五個小節，第一小節的研究動機中，説明研究者對於四邊形辨識問題，從覺得不重要到認為很有價值的轉變歷程，以及為何提出分類策略，與非典型例性質察覺策略，並且希望應用這兩種教學策略，改善國中生的四邊形辨識能力。第二小節的研究目的中，研究者欲進行教學實驗，探究分類教學策略，與非典型例性質察覺教學策略的應用，並探討四邊形辨識由視覺期進入分析期的關鍵因素。第三小節的待答問題中，研究者提問教學活動改善辨識迷思的成效？依據圖形定義來挑選四邊形，正確率較高的現象，是否發生於實驗班級？兩種教學策略能否改善辨識迷思？在圖形辨識時，學生如何從特殊化到一般化？第四小節的研究限制中，研究者告知實驗對象挑選的限制，教學活動設計的限制，以及測驗問卷使用的限制。第五小節的名詞界定中，定義了本研究的典型例、空間視覺、語意、互斥思維四種四邊形辨識迷思類型，以及分類、非典型例性質察覺兩種教學策略。. 1.

(22) 第壹章. 緒論. 第一節研究動機人類天生對數量具有感覺，也對於各種形狀有辨識的能力，在文明演進的歷程中，由此天賦本能逐漸架構算術、幾何的基礎知識，經過幾千年眾人智慧的累積，形成至今的數學。研究者認為，小學時期數學學習的規劃，主要以此天賦本能為基礎，將學生的初等直覺有系統的延伸為數學知識，這些數學知識，到國中階段，成為國中數學內容的基本工具，所以小學的數學內容，大多數是非常能夠與具體生活經驗結合的。隨著學習數學時深度的增加，學生所面對的內容，也會由具體逐漸變得抽象，國民小學階段的幾何學習歷程，就是很好的例子，低年級的時候，由日常生活空間中的實體，萃取出平面圖形的概念，中年級的時候，探討平面圖形的組成結構，高年級的時候，再由組成元素的分析，學習平面圖形的性質。所以關於特殊四邊形的幾何題材，雖然遍佈於小學數學，但到了高年級的課程，才會以定義的形式，來介紹正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形，此刻，『正方形也算是長方形』，這個與生活經驗相違背、與中低年級所學不呼應的概念，首次於教材中被強調。在國中數學題材的特殊四邊形，有一部份討論的是正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形彼此之間的包含關係，另一部份則以四邊形圖形，介紹一些延伸的幾何性質以及進行推理，其中的主角是平行四邊形。國中數學課程對於四邊形的教學重心，偏重於以平行四邊形來架構數學內容，九年一貫能力指標的分年細目中，此部分總計就有 2.

(23) 第壹章. 緒論. 8-s-19、8-s-23、8-s-24、8-s-25 共四條，近幾年度各版本的教科書，多半也以一個完整的章節介紹，而對於正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形彼此之間的包含關係，於課本中佔據的份量，就相對低很多，通常是一到兩頁。特殊四邊形的辨識，在許多研究者同事（國中數學教師）的心目中，並不認為這是一個很困難的題材，內容不複雜，難度相對簡單，而學生容易有的一些辨識迷思現象，例如『正方形不是長方形』，老師們知道此現象存在於學生心中，但往往不太重視。研究者與同事聊到這個現象時，發現老師們不重視的原因，主要是認為學生應該在小學時，就要會辨識四邊形了，無法正確辨識的學生比例應該不高，國中的數學課程繁重，辨識四邊形的問題，在基本學力測驗也不會考，再者，能否正確辨識四邊形，對於國中幾何的學習，好像也不重要。至於特殊四邊形彼此之間的包含關係，同樣被認為是複雜度不高，也算好教的題材，大致上的作法，就是告訴學生正方形、長方形、菱形、平行四邊形的圖形定義後，老師講述推導出彼此之間的包含關係，然後便認為學生應該理解了。就讀師大數學系三年級時，研究者參與陳創義老師所主持的國科會計劃研究小組，開始接觸「青少年的幾何概念」的數學教育議題，大學畢業後實習完，擔任國中數學教師即將滿五年，長期接觸青少年幾何概念的研究，至今是第八年，在這段時間中，研究者的角色一直在轉換，從數學系的大學生、國中實習教師、專職的國中正式教師、帶職的數學教育研究生，參與此議題的方式與心態，對於這個議題的看法與觀點，也一直在轉變與成長。先從研究者所參與的國科會計劃談起，在 89 年度～91 年度的 3.

(24) 第壹章. 緒論. 「青少年的幾何形狀概念發展研究」計畫中，當時研究小組的重心在探詢青少年的幾何圖形辨識迷思，結果發現形態有四種：語意、典型例、互斥思維、空間視覺。什麼是語意帶來的迷思呢？例如在日常生活語言的使用上，長方形的「長」字，會讓學生覺得長方形必須長長的，所以會帶來認為長方形必須要相鄰兩邊不等長，不包含正方形的迷思，而銳角三角形的「銳」字，在生活用語中表示尖銳，所以學生會認為銳角三角形，就是有一個尖尖的角的三角形。在數學中，判斷長方形與銳角三角形，依據的是幾何性質，並非日常生活用語，長方形指得是有四個直角的四邊形，銳角三角形指得是三個角都是銳角的三角形，銳角指得是小於 90 度的角，但學生的判斷依據並不是這些幾何性質，卻是日常生活用語中對於長方形、銳角三角形的字義解讀，所以就會產生語意造成的圖形辨識迷思。典型例帶來的迷思，指得則是老師在教學過程中，常列舉的圖形例子，課本教材中，常出現的範例圖形，所具有非圖形定義的共同特徵，例如老師在教正方形的時候，所畫的正方形方位都是擺成正的（一組對邊為水平線，另一組對邊為鉛直線），課本上的正方形方位也是擺成正的，那麼在學生的概念心像中，認為正方形，方位一定要是正的。雖然在圖形定義上，沒有要求正方形的方位是擺成正的，這並不是正方形的必要條件，而是典型例圖形所共有的充分條件，這種依據典型例心像，而不是依據此圖形的幾何性質來判斷，以致於在非典型例的圖形，產生辨識上的錯誤，稱為典型例造成的圖形辨識迷思。 4.

(25) 第壹章. 緒論. 互斥思維迷思，指得是在面對圖形辨識問題時，學生會忽略了彼此之間的包含關係，認為正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形彼此的地位是相等的，讓每一圖形最多只歸於一類，產生諸如此圖形已經是長方形了，就不能是平行四邊形的迷思。有部份具有互斥思維迷思的學生，在辨識圖形時，不會保持一貫性，可能在其它場合，只挑一種時，也許會選取它，一起挑時，卻排除它。學生會有認為『正三角形不是等腰三角形』、『正三角形不是銳角三角形』、『長方形不是平行四邊形』、『正方形不是平行四邊形』、『菱形不是平行四邊形』、『正方形不是菱形』等的現象，背後的原因都有可能是互斥思維。空間視覺的迷思，指得是學生在辨識圖形時，將此圖形在三維空間所看到的樣子，投影在二維平面時的形狀，亦認為是這個圖形，例如學生可能認知桌子是長方形，但三維空間中，桌子映入眼簾的投影形狀，其實是平行四邊形，所以學生就會將接近常見長方形投影圖的平行四邊形，認為是長方形。延續 89 到 91 年度的研究結果，93 到 95 年度「青少年幾何形狀概念的『學習與教學』之研究」的計畫，研究小組以語意、典型例、互斥思維、空間視覺這些辨識迷思型態的研究發現為基礎，重心是思考如何設計教學活動，來有效的改善這四種圖形辨識迷思型態，且進而將教學活動整合，希望能夠發展合適的教學模組套件，來針對各種基本幾何圖形的辨識迷思，予以有效的改善提升。在 93 到 95 年度的初期，所發展的解決策略偏向局部性，研究小組成員，提出了許多的教學方法，並且設計教學活動，但是一個教學活動，通常只針對少部分的迷思問題，並沒有整體考慮，針對整體圖形（例如各個種類的三角形、全部的特殊四邊形）的辨識做 5.

(26) 第壹章. 緒論. 全局的教學。這些改善迷思概念的教學活動，顯得很零散而且沒有系統，進行小型教學實驗的結果雖然有效，但是將其整合起來，若在中學教學現場實行，就會很像一連串的教學小技巧提醒，成果是點的突破，而非全面性的提升。到了「青少年幾何形狀概念的『學習與教學』之研究」計畫中期，陳創義老師提出了數學的分類概念教學，並以分類教學的理念，設計了三角形分類教學套件，此組教學套件，經過實際教學實驗改良後，在改善國中學生三角形圖形辨識的迷思，獲得一些成果，從各種證據顯示，在教學現場，具有實際應用的可行性，。這一系列的研究結果，也發表在 2007 年的 7 月 8 日到 13 日於韓國首爾所舉辦的，第三十一屆國際數學教育心理學年會（The 31st. Conference. of. the. International. Group. for. the. Psychology of Mathematics Education，PME 31）。分類的教學概念，為青少年的圖形辨識迷思改善的議題上，提供了一個可行且具整體性的解決架構。在三角形分類教學套件的成型過程中，研究者參與了多次陳創義老師主持的小組討論，十數次的小型問卷，與若干自己任教學生非正式訪談，並實際執行了三次正式的教學實驗，從研究過程中得到了豐富的經驗與充實的收穫。回到四邊形辨識這個議題，關於四邊形辨識的數學題材，在小學以及國中數學教材中，依照國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的劃分，在第一到第四學習階段都有出現。第一階段（一至三年級）的數學課程中，設定學生在 Van Hiele 幾何認知層次處於層次 0 的視覺期，所以給予大量的具體實 6.

(27) 第壹章. 緒論. 物操作、觀察、描述與比較，第一階段的正方形與長方形是依據生活經驗來介紹的，並不去碰觸到正方形與長方形包含關係的問題，所以課程內容的編寫方式，容易造成學生認為長方形必須要長、寬不相等。第二階段（四至五年級）時，才會設定學生會踏入幾何認知層次中的層次 1 的分析期，此刻引入邊、角、頂點這些四邊形的構成要素，到了第三階段（六至七年級），就會正式介紹長方形、正方形、菱形、平行四邊形、梯形，以及辨別各種特殊四邊形的性質，和所延伸出彼此之間的關係，第四階段（八至九年級）的數學課程，則進一步從各種四邊形的定義出發，以這些幾何圖形的性質為基準，來探討彼此之間的包含關係。從 89 到 91 年度的「青少年的幾何形狀概念發展研究」計畫，曾進行全國抽測，結果顯示，對於各種四邊形圖形的辨識問題，七、八年級的學生能夠完全正確回答的比例很低，不到 15%，九年級稍微好一點，約在 27%，這表示了國中學生光是執行辨識四邊形圖形，出錯的比例就很高，更不用說更進一步的性質判斷與包含關係。當時這個結果給研究者很大的衝擊，本來研究者和自己未來的同事一樣，認為，特殊四邊形的辨識，與圖形之間的包含關係，是很簡單的數學內容，小學的時候早就該會了，縱使有些人不會，比例上應該不高。可是對國中學生而言不簡單，他們有許多自己覺得很自然，但錯誤的辨識判斷方式，人數比例還相當高。其後研究者進入國中教學現場教書，常常以四邊形圖形辨識問題為題材，設計成各個樣式的小型問卷，來測試任教的班級，反覆應證了這個結果，國中學生對於四邊形圖形辨識，覺得不困難，回 7.

(28) 第壹章. 緒論. 答的結果卻錯誤百出。從小學一年級到國中九年級，都有學生認為正方形不可以是長方形，長方形就是要長跟寬不相等，而這個現象，也一再得出現於研究者所設計的各式小型問卷結果中。某次靈光乍現，研究者突然有個想法，如果只是要學生挑選出有四個直角的四邊形，而非要學生挑選出長方形，那麼這個時候學生會不會將正方形給選了進去？其他的四邊形，在只給定義去挑選時，學生的表現跟給名稱來挑選圖形，結果有何不同？於是研究者依此想法，設計了兩個版本的四邊形辨識問卷，將所任教的一個七年級班級，拆成奇數座號與偶數座號兩個大組，其中一個版本的設計問題，是要學生辨識正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形。另一個版本的題目都相同，但是將特殊四邊形的名稱換成定義，也就是要學生辨識四個直角而且四個邊等長的圖形、有四個直角的圖形、四個邊等長的圖形、只有兩個邊平行的圖形、有兩組對邊平行的圖形，測驗的結果，五個特殊四邊形，學生在定義版問卷的正確率明顯高過名稱版問卷。如果，學生依據特殊四邊形的定義來辨識圖形，反而比依據名稱辨識來得好，這是不是顯示了，特殊四邊形的名稱，對於學生辨識圖形，是一個負向影響的因子，為什麼會產生這個現象呢？能夠利用這個現象來幫助學生辨識特殊四邊形嗎？經過六七年的轉變與成長，研究者認為，能夠正確的辨識特殊四邊形，與瞭解特殊四邊形之間的包含關係，並不是一個國中學生已經學習的很好，簡單、好教而且不重要的題材。擁有瞭解並依據定義，來辨識四邊形的能力，是學生進而學習深入幾何知識、敘述 8.

(29) 第壹章. 緒論. 推理的基礎。國中數學教師往往有一種無力感，就是隨著年級的增長，放棄學習數學的學生比例越來越高，關於國中學生辨識特殊四邊形表現不佳這個現象，給了研究者一個省思，就是老師視為理所當然的基礎知識，對學生來說，其實存在很多迷思現象，這就好像在根基不穩固的情況下，猛在上面蓋高樓大廈，不是一個良好的教學現況。青少年幾何形狀概念的『學習與教學』研究計畫，在改善圖形辨識迷思部分，重心在三角形，研究計畫設計了三角形辨識的分類教學套件，應用於教學現場，有了一些成果。而四邊形圖形辨識，在國中數學是個很好的題材，所以研究者希望，自己能夠為以分類概念教學為主軸，利用過去參與三角形分類教學套件的研究心得，於現有的基礎上，設計四邊形分類教學活動，且實際應用於國中教學現場，改善四邊形辨識迷思，幫助理解特殊四邊形的包含關係。文獻顯示，典型例迷思類型，是基本圖形學習迷思的主要癥結，在有效改善典型例所造成的迷思後，就能夠大幅改善基本圖形的辨識困難，而破除典型例迷思的主要方向，是要讓學生經驗足夠的非典型例。依據研究者的教學經驗，經驗非典型例的方式，若單純的在進行教學的時候，列舉出基本圖形的非典型例，以此來告知學生，不能夠僅用典型例來思考問題，此刻，學生是處於被動接受的地位，成效並不好。比較恰當的作法，應該讓學生站在主動探索的學習地位，經過觀察思考後，察覺非典型例基本圖形的共通性質，再將此共通性質連結到圖形定義，而後學生會發現，基本圖形的辨識，要依據的是 9.

(30) 第壹章. 緒論. 圖形定義，而非圖形的典型例，研究者將此概念，稱之為非典型例性質察覺。研究者希望，能夠以從自身教學經驗中，所體悟到的非典型例性質察覺教學觀點，為核心的教學概念，整理出非典型例性質察覺教學策略，並且著手撰寫與實驗教學活動。教學活動，會讓學生從諸多非典型例的圖形中，觀察紀錄且經過討論後，形成特殊四邊形的正確概念定義，然後以此概念定義來辨識特殊四邊形，與瞭解圖形之間的包含關係。另一方面，研究者將思考，學生依據定義辨識圖形，比依據名稱表現來得好，是一個普遍的現象，還是碰巧發生在那個班級的特例，如果這是普遍的現象，研究者會思考如何與兩種教學活動結合。分類教學策略，與非典型例性質察覺教學策略，若兩者均能夠幫助學生，來改善四邊形辨識的迷思，背後所代表的意義，不僅僅是學生能夠無誤的認出正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形。而是學生在四邊形辨識的題材，從 Van Hiele 幾何認知層次中層次 0 的視覺期，提升至層次 1 的分析期，並且在包含關係的部分，擁有一些層次 2 非形式演繹期的經驗。幾何認知層次的提升體驗，對於往後八九年級時，九年一貫數學領域第四階段的學習，是很有幫助的，這是研究者探討分類教學策略，與非典型例性質察覺教學策略，應用於特殊四邊形辨識的議題，所希望達成的最終目標。. 10.

(31) 第壹章. 緒論. 第二節研究目的鑒於以上的研究動機，本研究主要目的為：. 一、探究分類教學策略的應用以陳創義提出的分類教學概念為策略，三角形分類教學活動為基礎，依據研究者的實務教學經驗，參與國科會計畫的研究心得，設計特殊四邊形辯識的分類教學活動，並且實際實驗於教學現場，藉由前測、後測、延後測的量化資料，以及實驗者教學歷程的質化資料，分析教學活動的結果，探討如何應用分類教學策略於教學現場。. 二、探究非典型例性質察覺教學策略的應用將非典型例性質察覺的教學觀點，整理成教學策略，並依據研究者的實務教學經驗與文獻資料，設計特殊四邊形辯識的非典型例性質察覺教學活動，並且實際實驗於教學現場，藉由前測、後測、延後測的量化資料，以及實驗者教學歷程的質化資料，分析教學活動的結果，探討如何應用非典型例性質察覺教學策略於教學現場。. 三、以本研究為例探討四邊形辨識由視覺期進入分析期的關鍵因素研究者希望，在實務上獲得兩種教學策略的應用經驗後，以此經驗歷程，探討在四邊形辨識問題上，學生在 Van Hiele 幾何認知層次，由視覺期進入分析期，提升的核心關鍵因素。. 11.

(32) 第壹章. 緒論. 第三節待答問題根據研究目的，研究者提出四個待答問題：. 一、根據圖形定義辨識四邊形，比根據圖形名稱辨識四邊形正確率高的現象，是否存在於實驗的學生當中？若存在的話原因為何？如何縮減此差距？. 二、分類教學策略，是否改善了四邊形圖形的辨識迷思？. 三、非典型例性質察覺教學策略，是否改善了四邊形圖形的辨識迷思？. 四、在四邊形圖形辨識上，如何讓學生從特殊化過度到一般化？也就是從依據輪廓判斷，存在各種迷思現象，到擁有圖形定義的概念，能夠理解在判斷圖形時，需要依據定義的內容，並且能瞭解正確的四邊形定義。. 12.

(33) 第壹章. 緒論. 第四節研究限制一、研究對象範圍本研究對象僅限於台北市某市立國中的七年級，並非隨機抽樣，無法代表整個母群，研究結果不宜作過度推論。. 二、教學活動設計研究者依據分類教學策略、與非典型例性質察覺教學策略，所設計的教學活動，均為研究者根據各式研究文獻資料、自身對於這兩個教學策略的理解、個人教學經驗，所設計的教學活動，而在設計時，實驗學校學生程度亦為研究者考量重心，所以這兩份教學活動，有因校制宜的侷限性。. 三、前測試題使用前測試題設計取向為診斷式評量，不宜作為總結性評量使用。. 13.

(34) 第壹章. 緒論. 第五節名詞界定四邊形辨識迷思的類型. 一、典型例類型對於各種四邊形，在學生概念心像中，首先且隨即聯想到的幾何圖形形狀，稱之為典型例，不一定每一個圖型都有典型例存在，但幾乎大部分的學生腦海中，都有自己的正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形典型例。典型例類型，指得是學生不明白典型例只是代表一部分的例子，而以自己腦海中的典型例圖形，來代表所有的圖形，在進行四邊形圖形辨識時，以所辨識圖形是否接近典型例圖像，作為主要的判斷依據，進而產生的辨識錯誤。在學習認識各種幾何圖形時，大部分教學者以及教材中，最常拿來作為說明講解介紹的典範圖形，很容易形成為學生概念心像中，此圖形的典型例。除了學校老師課程中的教學，以及課本教材外，由於四邊形隨處可見於日常生活中，所以四邊形典型例心像，也會來自於學生個人的生活經驗。本研究將認為正方形、長方形、平行四邊形、梯形的圖形方位，必須要是水平擺放，菱形的圖形方位，必須要有一條對角線是水平擺放，如圖 1-1，歸類為典型例的迷思類型。. 14.

(35) 第壹章. 緒論. 圖 1-1 特殊四邊形典型例. 二、空間視覺類型學生生活於三維空間中，舉目所見皆為立體的事物，平面也是三維空間的一部份，歐氏幾何在探討圖形時，對於平面有嚴謹的定義，數學課程中的正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形，指的都是二維空間中的平面圖形。但是在日常生活中，學生接觸這些四邊形時，映入眼簾的，往往是由三維空間投影到二維平面的幾何圖形，再加上利用二維平面展現三維空間的各種例子隨處可見，例如報章、雜誌、書籍裡的三維示意圖，呈現在電腦平面螢幕上的 3D 遊戲，所以現實生活中，歐氏幾何的二維平面並不是那麼自然。空間視覺類型，指的是學生在進行四邊形圖形辨識時，不以歐氏幾何所定義的二維平面為準，能夠接受此四邊形在三維空間中，所呈現的投影形狀，認為此形狀也可以代表這個四邊形，如圖 12，認為此圖也是長方形，因此造成圖形辨識上的錯誤。. 15.

(36) 第壹章. 緒論. 圖 1-2 空間中的長方形投影圖. 三、語意類型數學中，辨識幾何圖形，所依據的是圖形的定義，我們會根據圖形的特性，參考日常語言的意義，給定幾何圖形名稱，通常一個幾何圖形的名稱，是能夠與日常語言結合，來幫助學生增進對此圖形的瞭解。但有些時候，幾何圖形的名稱，反而會造成認識這個幾何圖形的障礙，有可能是日常語言對於圖形名稱的字面解讀，與闡述圖形定義的數學語句並不相符，或者在生活經驗中，此名稱泛指某類特定圖形，且非完全為在數學世界中，所指定的圖形。這些由日常語言帶來的圖形類型，我們稱為語意類型。在四邊形辨識，常出現的語意迷思，是認為長方形是長的，所以長方形的長、寬不能相等，以及正方形是正的，所以必須有一個邊是水平線。. 四、互斥思維類型一個幾何圖形，只要符合定義，它可以有若干個名稱，例如每一個長方形都符合了平行四邊形的定義，所以每一個長方形也都是平行四邊形，由四邊形的定義出發，介紹正方形、長方形、菱形、 16.

(37) 第壹章. 緒論. 平行四邊形、梯形彼此之間的包含關係，是九年一貫數學課程第四階段（八、九年級）重要的教學內容，可以為高中時學習集合概念作為墊步。有一部份的學生會認為，正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形這些圖形，彼此的地位是相等的，而且不可以互相歸屬，例如一個圖形已經是長方形了，那麼這個圖形就是長方形，不可以也是平行四邊形，像這樣認為一個圖形只能有一個名稱，所造成的圖形辨識迷思，本研究歸類為互斥思維類型。. 兩種教學策略. 五、分類教學策略在數學的分類過程中，很重要的基礎要件是明確的分類準則，分類教學策略，是依據準則對圖形進行分類，並在操作分類準則時，明辨屬性，同時也著重性質的強調，幫助概念的釐清。. 六、非典型例性質察覺教學策略典型例是基本幾何圖形辨識的主要迷思，經驗非典型例，是破除典型例迷思的有效方法，非典型例性質察覺教學策略，是從大量的非典型例圖形中，觀察共同的特徵，以此連結至圖形定義，進而瞭解辨識圖形時，要依據圖形定義，而不是依據典型例。. 17.

(38) 第貳章. 文獻探討. 2 第貳章文獻探討文獻探討共有五個小節，第一小節探討 van Hiele 的幾何思考層次，幾何思考層次是一個有效且清楚，用來描述學生幾何學生程度的方式。第二小節探討小學與國中數學的幾何課程，因為研究對象為國中七年級，故確認學生在小學時期的數學知識背景相當重要，本節將就九年一貫數學課程中，學生在小學時，四邊形的學習架構，進行完整了解，並介紹後續八九年級的四邊形相關課程。第三小節探討幾何圖形的認知模式，Vinner 的概念心像與概念定義，可用來分析學生的數學抽象概念運作；Duval 的幾何圖形瞭解，認為學生認知幾何圖形時，有知覺性、序列性、論述性、操作性四種方式。第四小節探討幾何教學的相關文獻，其中有 van Hiele 的幾何思考學習階段，這是為了促使學生，從一個思考層次，提升到較高層次，所提出來的方法，與分類教學概念，數學上的分類概念，在界定範圍及分類準則後，在圖形辨識上，對於概念的釐清是有幫助的，並介紹三角形分類教學套件的應用，與教學實驗的成果。第五小節探討四邊形辨識與包含關係的相關研究，以近年的碩博士論文，關於四邊形辨識的國內研究，為本研究提供經驗性的研究成果與資料，還有日本與蘇格蘭兩地的包含關係比較研究，研究對象為 2006 年日、蘇兩地學生，內容是比較四邊形包含概念成形的方法與結論。. 18.

(39) 第貳章. 第一節. 文獻探討. Van Hiele 的幾何思考層次. 根據 van Hiele（1986）的理論，學生的幾何思考，可以分為五個層次。本研究中，將採用 van Hiele 的用法及其名詞，分別將這五個層次，稱之為層次 0 的視覺期、層次 1 的分析期、層次 2 的非形式演繹期、層次 3 的形式演繹期、以及層次 4 的嚴密期。以下分別敘述這五個層次的主要特色：. 層次 0：視覺期（Visual）屬於這個層次的學生，只從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。舉例來說，若由生活經驗中認識到長方形是瘦瘦長長的，圓形是圓圓的，正方形要擺的正正方方的，那麼此階段的學生就會認為，看起來瘦瘦長長的就是長方形，看起來圓圓的就是圓形，所以門的形狀是長方形，太陽的形狀是圓形，而正方形擺成◇，看起來不像正方形時，就會認為這不是正方形。處在層次 0 的學生，僅依賴視覺外觀上的圖形感受。只要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或將橢圓形看成圓形。這個層次的學生可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的實際意義。若要層次 0 的學生回答辨識圖形的理由為何，他們常使用的辭彙為，看起來是、感覺上是。. 層次 1：分析期（Analytic）這個層次的學生，已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺，來觀察到組成圖形的構成要素（例如：頂點、邊、角）與這 19.

(40) 第貳章. 文獻探討. 些要素之間的關係，以此分析幾何概念。所以，能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等，三角形有三個角，三個邊。學生會藉由組成元素的名稱，和組成元素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具有的特性，並且運用圖形之特性來解決問題。但他們卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形、梯形這些特殊四邊形彼此之間有何關係，不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩個圖形邊長不相等時，面積可能相等。也就是說，此層次的學生尚無法經由推理而知悉其道理何在。. 層次 2：非形式演繹期（Abstract）這個層次的學生，不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠進一步根據圖形性質形成定義，並且瞭解各圖形之間的包含關係，能做非正式的辨證，但還不能夠作有系統的証明。例如，他們可以理解到，平行四邊形的兩雙對邊相等，長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為 90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何多邊形的外角和皆為 180°，多邊形的內角和為 180°×（n-2），並將此知識套用在四邊形上。非形式演繹期的學生，可以開始建構特殊四邊形之間的關係，使用公式表示與使用定義，來整理先前發現的正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形性質，給一個非正式的討論，並跟著給一個演繹上的討論，卻無法形成一個有系統的証明，例如他們不明白國中幾何知識使用的，是歐氏幾何中的二維平面，其中有一些無定義名詞、基本定義，也不懂如何在其上假設，以及架構定理，所瞭解 20.

(41) 第貳章. 文獻探討. 的這些特殊四邊形的相關知識，在這個歐氏幾何的系統中，是怎麼來的？處在哪個位置？. 層次 3：形式演繹期（Deduction）這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一種。換言之，學生不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。當然，這個層次學生明確的知道菱形也是長方形，又是正方形，理解這個事實是在定義下所得到的結果，能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。. 層次 4：嚴密期（Rigor）這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學生，能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析、比較包括非歐幾何，或者比較不同公設系統，同時也能夠了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。. 根據 van Hiele 的實証研究顯示，人類幾何概念的發展，在上述這五個層次有其次序性，學習者必須具有前一層次的各項概念與能力，其中的技能和策略都有充分的了解，教師才能夠進行更高一層次的幾何教學活動，而各層次與年齡不一定具有相關。但大體來說，小學低年級學生，其幾何程度大都屬於層次 0，因此，學生必 21.

(42) 第貳章. 文獻探討. 須透過大量實體物的操作，比較、拼湊或推疊，在實際經驗之後，教師才能夠循序漸進，教導學生逐漸達到更高的層次。陳創義（2005）在我國青少年幾何學習概念的研究計劃中，以全國抽測的方式調查發現，國中學生在特殊四邊形辨識的幾何能力表現上，大多數的七、八年級學生仍然停留在層次 0。. 22.

(43) 第貳章. 第二節. 文獻探討. 小學與國中小學與國中數學與國中數學的幾何數學的幾何課程的幾何課程. 雖然特殊四邊形處處可見，存在於學生的日常生活中，但學校的課程內容，對於學生腦海中特殊四邊形概念的成形，也是相當重要的一環，本節將探討國內小學與國中的數學課程，如何安排四邊形這個題材。首先從課程綱要中的分年細目，來探討課程內容安排的架構，列出小學一到九年級中，與特殊四邊形這個數學題材有相關的細目內容，於表 2-1。表 2-1 一到九年級與四邊形有關的分年細目. 一年級 1-s-02 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。二年級 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。 2-s-02 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。三年級 3-s-01 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。四年級 4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。 4-s-02 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。 4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。 4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。五年級 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。六年級 23.

(44) 第貳章. 文獻探討. 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。八年級 8-s-17 能理解四邊形的基本性質。 8-s-18 能理解特殊四邊形的定義。 8-s-19 能作出正方形及平行四邊形的圖形。 8-s-23 能理解平行四邊形的意義與性質。 8-s-24 能理解平行四邊形的判別性質。 8-s-25 能理解平行四邊形的面積公式。 8-s-26 能理解梯形的意義與性質（包含梯形中線性質）。九年級 9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相等性質。. 數學學習領域綱要中，將幾何課程概分成四個階段，階段一為一到三年級，強調幾何形體的認識、探索與操作，認為學生能指認幾何形體中的幾何要素，但尚不清楚其結構意義。階段二為四到五年級，此階段由於數與量的發展成熟，開始要學生結合數與形兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素，如角、邊、面，以及數量性質，如角度、邊長、面積。階段三為六到七年級，透過形體的分割、切補、截補、變形、變換等的操作，來了解形體的性質、幾何量的計算與非形式化推理。階段四為八到九年級，由具體操作情境進入推理幾何情境，最終目標為學會推理幾何證明。分年細目表遵循數學學習領域綱要對於幾何課程的階段概分，所以一到三年級關於特殊四邊形的學習，大致與層次 0 的視覺期符合，只要學生能夠認出生活中的這些特殊四邊形，看的出來水平與 24.