一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（提高）

(1)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1. 关于 x 的方程

mx

2



2 x

 

1 0

无实数根，则 m 的取值范围为( )． A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1 且 m≠0 D．m＞-1 2．（2015•烟台）等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两根，则 n 的值为（）. A．9 B．10 C．9 或 10 D．8 或 10 3．若

x

₁、

x

₂是一元二次方程

2 x

2

  

x

1 0

的两根，则 1 2

1

1 x



x

的值为（）． A．-1 B．0 C．1 D．2 4．设 a，b 是方程

x

2

 

x

2013 0



的两个实数根，则

a

2



2 a b



的值为（）． A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 5．若 ab≠1，且有

5 a

2



2012

a

 

9 0

，及

9 b

2



2012

b

 

5 0

，则

a

b

的值是（）． A．

9

5

B．

5

9

C．

2012

5 

D．

2012

9 

6．超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业额共 1000 万元，如果平均每月增长率为 x，则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2 =1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000 二、填空题 7．已知关于 x 的方程

1

2

(

3)

2

0

4 x



m



x m





有两个不相等的实数根，那么 m 的最大整数值是________． 8．关于 x 的一元二次方程

 

x

2

(2

m



1)

x

 

1 m

2



0

无实数根，则 m 的取值范围是__ ___． 9．（2015•曲靖）一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若 c 是整数，则 c= ．（只需填一个）． 10．在 Rt△ABC 中，∠C=900 ，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x 的方程的两根，那么 AB 边上的中线长是 . 11．（_{2016•南京）设 x}1、x2是方程x2﹣4x+m=0 的两个根，且 x1+x2﹣x1x2=1，则 x1+x2= ，m= ．

(2)

12．已知：关于 x 的方程 ①的两个实数根的倒数和等于 3，关于 x 的方程 ②有实数根且 k 为正整数，则代数式的值为 . 三、解答题 13. 已知关于 x 的方程

2 x mx

2



2 m

 

1 0

的两根的平方和等于

29

4

，求 m 的值． 14．（_{2016•南充）已知关于 x 的一元二次方程 x}2﹣_{6x+（2m+1）=0 有实数根．} （_{1）求 m 的取值范围；} （_{2）如果方程的两个实数根为 x}1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求 m 的取值范围． 15．（_{2015•峨眉山市一模）已知关于 x 的一元二次方程 x}2﹣_2kx+k2_{+2=2（1﹣x）有两个实数根 x}1、x2．（_{1）求实数 k 的取值范围；} （_{2）若方程的两实数根 x}1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求 k 的值．

(3)

【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B；【解析】当 m＝0 时，原方程的解是

1

2 x  

；当 m≠0 时，由题意知△＝22 -4·m×1＜0，所以 m＞1． 2．【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形， ∴①a=2，或 b=2，②a=b 两种情况， ①当 a=2，或 b=2 时， ∵a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两根， ∴x=2，把 x=2 代入 x2﹣6x+n﹣1=0 得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当 n=9，方程的两根是 2 和 4，而 2，4，2 不能组成三角形，故 n=9 不合题意， ②当 a=b 时，方程 x2﹣6x+n﹣1=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0 解得：n=10，故选 B． 3．【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知： ₁ ₂

1

2 x x



 

， _{1 2}

1

2 x x  

，从而 1 2 1 2 1 2

1

1 x x

₁

x

x x





． 4.【答案】C；【解析】依题意有

a

2

 

a

2013

，

a b

  

1

，∴

a

2



2 a b

 

(

a

2



a

) (



a b



) 2013 1 2012



 

． 5．【答案】A ；【解析】因为

5 a

2



2012

a

 

9 0

及

9 b

2



2012

b

 

5 0

，于是有

5 a

2



2012

a

 

9 0

及

5( )

1

2

2012

1 9 0

b



  

b

，又因为

ab 

1

，所以

a

1 b



，故 a 和

1 b

可看成方程

5 x

2



2012

x

 

9 0

的两根，再运用根与系数的关系得

1 9

5 a

b

 

，即

9

5 a

b



． 6．【答案】D；【解析】一月份的营业额为 200 万元；二月份的营业额为 200（1+x）万元；三月份的营业额为 200（1+x）2 万元；一季度的总营业额共 1000 万元，所以 200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000，故选 D.

(4)

7．【答案】1；【解析】由题意知△＝

[ (

3)] 4

2

1

2

0

4 m

m



  



，所以

3

2 m 

，因此 m 的最大整数值是 1． 8．【答案】

5

4 m  

；【解析】因为关于 x 的一元二次方程

 

x

2

(2

m



1)

x

 

1 m

2



0

无实数根，所以

(2

m



1) 4 ( 1)(1

2

  



m

2

) 0



，解得

5

4 m  

． 9．【答案】4；【解析】∵一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得 c＜， ∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c 是整数， ∴c=4．故答案为：4． 10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边 a、b 是方程的二根， ∴有 a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知 c2 =a2 +b2 ③，联立①②③组成方程组求得 c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为 . 11【答案】4；3．【解析】∵_x1、x2是方程x2﹣4x+m=0 的两个根，∴x1+x2=﹣ =4，x1x2= =m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1， ∴_m=3． 12.【答案】0. 【解析】先根据根与系数的关系求得 a 值，a=-1,再将 a=-1 代入到第二个方程. 因第二个方程一定有实根，由△≥0 得

17

8 k≤

，因为 k 为正整数，

k 或，

=1 2

当

k

=2

时，分母为 0，故舍去，所以 k=1, 当 k=1 时.

k-1



0 k-2

.

(5)

三、解答题 13. 【答案与解析】解：设方程的两根为 x1、x2，则由根与系数关系，得 ₁ ₂

2 m

x x





， _{1 2}

1 2

2 m

x x





．由题意，得 ₁2 ₂2

29

4 x



x



，即

(

₁ ₂

) 2

2 _{1 2}

29

4 x x





x x



， ∴ 2

_{1 2}

₂₉

2

4 m



m

  



 

 



，整理，得

m

2



8 m



33 0



．解得

m 

₁

3

，

m  

₂

11

．当 m＝3 时，△＝

m

2



8(2

m

 

1) 49 0



；当 m＝-11 时，△＝

m

2



8(2

m

   

1)

63 0

，方程无实数根． ∴ m＝-11 不合题意，应舍去． ∴ m 的值为 3． 14. 【答案与解析】解：（_{1）根据题意得△=（﹣6）}2﹣_{4（2m+1）≥0，} 解得_m≤4；（_{2）根据题意得 x}1+x2=6，x1x2=2m+1，而_2x₁_x₂+_x₁+_x₂≥_20，所以_{2（2m+1）+6≥20，解得 m≥3，} 而_m≤4，所以_{m 的范围为 3≤m≤4．} 15. 【答案与解析】解：（_{1）方程整理为 x}2﹣_{2（k﹣1）x+k}2_=0，根据题意得△_{=4（k﹣1）}2﹣_4k2_≥0，解得_{k≤ ；} （_{2）根据题意得 x}₁_+x₂_{=2（k﹣1），x}₁_•x₂_=k2， ∵_|x1+x2|=x1x2﹣1， ∴_{|2（k﹣1）|=k}2﹣_1， ∵_{k≤ ，}

(6)

整理得_k2_{+2k﹣3=0，解得 k}1=﹣3，k2=1（舍去），