缺陷共振腔高階模態研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 缺陷共振腔高階模態之研究 The study of high-order transverse modes generated from defect laser cavities. 研究生：顏仁璽指導老師：陸亭樺博士. 中華民國 104 年 6 月.

(2) 摘要本文在傳統雷射共振腔之中置入缺陷，製造出一個光波無法穿越的區域，進而造成雷射模態結構產生改變。實驗結果證實共振腔內的缺陷可以成為一個全新調整雷射模態的因素。. 一維 Hermite-Gaussian (HG) 模態實驗結果證實操控金屬細線在共振腔內的位置可使 HG 模態轉換為落在幾何軌跡上的光束。利用該方式得到的雷射模態與透過離軸激發方式得到的結果有很好的對應。以 HG 模態作為基底進行數值分析，缺陷共振腔產生的模態也與 HG 簡併態的疊加結果有著良好的對應。. 二維 HG 模態實驗結果亦顯示透過金屬細線形成的缺陷共振腔可操控雷射模態落在利薩如軌跡之上。更進一步發現共振腔缺陷所在的位置與相位有著密切的關係。藉由控制缺陷的位置可以有效的控制利薩如圖形的相位。. 缺陷共振腔有別於以往盡可能降低腔內的干擾，以金屬細線影響雷射光在腔內的傳播，最後達到改變雷射模態結構的目的。實驗結果顯示了以金屬細線作為缺陷能有效操控雷射模態，成為一個重要的實驗參數。. 關鍵字:. 缺陷共振腔、簡併共振腔、幾何模態. i.

(3) Abstract In this research, we applied an additional mental wire into laser cavity served as an artificial defect to block the original light path. We’ve found this adjustment may interfere with output laser mode.. In the experiment of one-dimensional Hermite-Gaussian (HG) modes with an obstacle, the trajectory change matches the experimental results and numerical simulation of an off-axis laser perfectly.. Previous research suggests that if the ratio of L-mode and T-mode within a degenerate resonator is a rational number, than the superposition of each 2D HG modes will be localized on Lissajous parametric surfaces. However, an external obstruction may disturb the formation of Lissajous pattern. Thus, the position of the obstacle plays an important role in two-dimensional HG modes experiments, not only the Lissajous pattern matches with 2D off-axis laser, we also can control the phase of Lissajous pattern by fine tuning the opaque-wire.. Unlike traditional laser experiments, which usually try to reduce the number of defaces in laser cavity as much as possible, our newly developed technique becomes another useful method which also can manipulate laser modes.. Keyword:. Defecet cavity、Degenerate cavity、Geometry modes. ii.

(4) 致謝兩年的時間真的很快，回顧這段時間真的受到許多人的照顧，才能默默地走到這裡，感謝你們的幫助讓我能完成這篇論文。. 感謝陸亭樺老師，老師總是細心的指導我們，對於我們在專業領域上的問題都耐心的解釋，了解我們的問題再用我們聽得懂的方式描述；對於老師做研究的態度和精神，令我深感敬佩，這是我在未來需要學習的地方;老師總說：研究所在專業領域學到的東西在未來未必會用到，但對於做事的態度、執著，才是這間實驗室要給我們的東西；這兩年真的很快，但這確實會是我人生中非常難忘的一段時光。. 感謝易哲、建豪、政浩學長在我剛進實驗室時給予的指導；還有一起畢業的裕雯、晢剛這兩年一起修課、一起實驗、一起趕論文最後一起畢業，真的是很開心的事情；另外也感謝騰德、立文、言均三位學弟，儘管相處只有短短的一年，但也為實驗室生活增添了許多趣味；另外還要感謝凱俊在我寫論文時提供我英文上的支援。. 最後感謝父母，一路辛苦的拉拔我長大，供我念書默默的支持著我，讓我能一路順利無後顧之憂的完成學業，陪伴我面對人生中的風風雨雨。. iii.

(5) 目錄摘要................................................................................................................................. i Abstract .......................................................................................................................... ii 第一章緒論................................................................................................................ 1 1.1 前言.................................................................................................................. 1 1.2 研究動機.......................................................................................................... 2 第二章理論背景........................................................................................................ 3 2.1 雷射晶體 Nd:YVO4 介紹 ................................................................................ 3 2.2.1 共振腔介紹................................................................................................... 8 2.2.2 穩定共振腔條件.......................................................................................... 8 2.2.3 共振腔的波函數........................................................................................ 11 2.3 橫模與縱模頻寬比 ( Ω ) ............................................................................ 15 第三章理論與實驗結果.......................................................................................... 16 3.1 半球型共振腔實驗裝置及實驗架構............................................................ 16 3.2 1-D Hermite-Gaussian modes 缺陷共振腔近遠場觀察 ........................... 18 3.3 V mode(1D) 與缺陷共振腔 ........................................................................ 26 3.4 Hermite-Gaussian modes 2-D 缺陷共振腔近遠場觀察 ........................... 30 3.5 V mode(2D) 與缺陷共振腔 ........................................................................ 35 第四章總結.............................................................................................................. 39 參考文獻...................................................................................................................... 41. iv.

(6) 第一章. 緒論. 1.1 前言 1958 年貝爾實驗室的 Charles Hard Townes 和 Arthur Leonard Schawlow 發現了雷射(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, LASER)，而雷射發展至今，被廣泛的應用在日常生活的各個角落；無論是高能脈衝[1]、結構性光場[2]物體的加工切割、距離精密測量、光碟機讀取頭、簡報雷射筆甚至軍事用途的飛彈目標定位……等都是生活周邊的應用；近年來半導體雷射發展迅速，再使用半導體雷射(Laser diode)作為激發源，製成的固態雷射系統也是發展的一大方向。. 半導體雷射具有諸多優點，例如:高功率、體積小便於攜帶、頻率穩定、頻率線寬窄、分辨率高的光學頻譜。1992 年 S. J. van Enk 與 G. Nienhuis 以量子力學之中的運算子，描述出在空間中傳播的光波[3]，找出高斯光束的相位變化與簡諧振子之間的關係，這使得我們可以利用數學找出波動光學與量子力學互相對應轉換的機制。. 波動光學理論中提到，波前錯位會使的光具有角動量。在 1970 年 Arthur Ashkin 提出 optical trapping[4]的概念，在應用上發展出了光學鑷子，光學鑷子的應用可以廣泛的推到各個層面，只要所需夾取的目標對象是極小的微粒；無論是複雜的生物活體細胞[5]，亦或是單純的原子[6]，都能利用此原理達到控制的目的，1992 年 L. Allen 將 Laguerre-Gaussian modes 的光場分佈與軌道角動量完整定義，對光的軌道角動量、量子糾纏上也有重要的貢獻[7-11]。。. 1.

(7) 透過波動光學理論與量子力學的對照可以了解，電磁波在球型共振腔之中，前鏡和輸出耦合鏡為邊界條件下，所得到的波函數和物質波Schrödinger Equation 中的二維簡諧振盪子波函數具有同樣的數學形式[12,13]；本論文中的實驗皆採用外部共振腔的形式，在近軸近似的條件之下解得的波函數解為Hermite-Gaussian modes，但事實上在不同的共振腔邊界條件，不同的增益介質可以得到其他不同形式的解；雷射共振腔可以提供一個良好的機制來進一步研究介觀物理[14,15]。. 1.2 研究動機在過去雷射的發展大都朝向能有高轉換效率方向前進，若要提高輸入與輸出的效率，可以透過許多方式下手，例如:提高離子摻雜濃度、改變摻雜離子、降低共振腔內能量散失、縮短共振腔腔長等方式；其中降低腔內能量散失這部分，會希望可以完全排除共振腔內的任何干擾因素，因此一直以來是使用空腔來進行實驗，不會往反向去進行研究；不過在 2012 年 Shu-Chun Chu、Yun-Ting Chen、 Ko-Fan Tsai 發現在腔內置入若干缺陷，雖然會略為提高雷射的臨界電流，但雷射仍然能正常運行，且有趣的是共振腔內的缺陷無法讓光波從該處通過，可使共振腔中出現有結構性的光，令高斯分布的雷射產生出高階的 Hermite-Gaussian (HG) modes [16]，亦或破壞腔中的本徵態 HG，進而使光線落在古典幾何軌跡[17] 之上。. 2.

(8) 第二章. 理論背景. 2.1 雷射晶體 Nd:YVO4 介紹在一般狀況之下，原子內部電子的排列狀況為，位於高能階數量的電子數會小於低能階的電子數，在這樣的狀況下並不可能產生雷射；必須由幫浦源提供能量，將下層的電子激發至上層，使高能階電子數高於低能階電子數，達到「居量反轉(Population Inversion)」的狀態。一般常見的雷射大都是三級或四級雷射，使電子受激上升到高能階狀態，再很快的轉成亞穩態，我們使用的增益介質 Nd:YVO4 即是一種四級系統。. Nd:YVO4 中文全名為「摻釹釩酸釔」，可放置於雷射共振腔中作為增益介質，分子結構 YVO4 可由圖 2-1 示意[18]。和其他晶體相比(如: Nd :GdVO4、Nd : YAG)採用 Nd:YVO4 的原因有 1.較高的輸出功率以及重覆頻率 2.適合用於高重複頻率的雷射介質 3.具有較大的輻射截面 ( large emission cross section )，在波長 808nm 位置的吸收帶寬約為 Nd : YAG 的五倍[19]，這項特性能有效提升雷射輸出的功率和品質[20]，而其本身的缺點為散熱上較不理想；Nd:YVO4 是以針對二極體激發固態雷射，這種類型常見的增益介質。. Nd:YVO4 的製作方式為 YVO4 晶體摻入釹(Nd3+)離子，而釹本身屬於鑭系元素( 其外層電子組態為 4d104f45s25p66s2 ) ，在失去 3 個電子轉變成 Nd3+後外層電子組態轉為 4d104f35s25p6(4f 一個電子和 6s2 兩個電子)，令 4f3 的三個電子參與躍遷；由於摻入晶體後的能級結構和相應的自由離子能級結構相似，故其 Nd3+的發射譜線窄[21]，是增益介質的良好的選擇；Nd:YVO4 的吸收波長為 808nm 的近紅外光，放出1064nm 與1342nm 兩種頻段，其能帶示意圖如圖 2-2。. 3.

(9) YVO4 晶體的物質特性是正單軸上(Positive uniaxial)的雙折射(Birefringence) 特性，圖 2-1 表示其晶體結構，晶軸方向上如圖 2-3 所示，晶格常數為 a = b = 7.118 Å ，c = 6.289 Å [22]，因此光束沿 c 軸出光時，特性會不同於沿 a、b 兩軸出光；在折射率部分，光沿著 a、b 軸傳播的折射率為 no( no = na = nb )，沿著 c 軸傳播的折射率為 ne( ne = nc )，與其他同類型雷射晶體 Nd:GdVO4、Nd:YAG 比對的資料如表所示。. 圖 2-1 單位 YVO4 晶體結構示意圖. 4.

(10) 圖 2-2Nd:YVO4 能帶示意圖. 圖 2-3Nd:YVO4 a、b、c 三軸. 5.

(11) 6.

(12) 註：表 2-1 (c) 中各晶體的雷射性質之參數值會隨 Nd 摻雜濃度的不同而有所改變。. 7.

(13) 2.2.1 共振腔介紹本章節將介紹共振腔系統，先了解穩定共振腔條件，而雷射共振腔之波函數由 Maxwell eqation 的近軸方程求得；共振腔的近軸近似又與古典的二維簡諧振盪 Schrodinger 方程式有同樣的形式；球型共振腔的本徵態，在不同坐標系之下會以不同形式來表現；在直角坐標中（笛卡爾座標）波函數的解為 HermiteGaussian (HG)，在柱狀座標中坡函數的解為 Laguerre-Gaussian (LG)。. 2.2.2 穩定共振腔條件共振腔是構成雷射三要素之一，但要成為一個穩定共振腔[23]是有一定的條件，共振腔的組成方式通常由兩面反射鏡構成，反射鏡選擇欲共振的波段，在鏡面鍍上該波段高反射率的薄膜，使光在腔體內累積，直至臨界狀態時輸出雷射光；過程中須確保光能在腔體內保留及避免過度逸散，因此維持光在腔體內使雷射穩定出光會有特定條件；一個共振腔腔長為 L，以這兩塊反射鏡的鏡心連線作為光軸，如圖 2-4 表示，兩反射鏡曲率半徑分別以 R1、R2 來表示。. 圖 2-4 雷射腔腔體示意圖. 推導穩定共振腔的數學條件，可使用矩陣光學 ABCD 法來了解共軸球型共振腔穩定條件[24,25]，並用下式子描述光束來回一趟的移動情形: 8.

(14)  1 A B  C D     2    R1. 0  1 1 L     2 1   0 1      R2.  2L 1  R2   4L 2 2     R1 R2 R1 R2. 0  1 L  1   0 1  .    2  2L 4L 4L 1    R2 R1 R1 R2  2 L2 2L  R2. (2.2.1) 當光束能來回在雷射共振腔內不溢散掉，經過 N 次來回後可將矩陣整理為下面的形式[26] A B 1  A sin N  sin( N  1)  C D  C sin N sin     N. B sin N.  D sin N  sin( N  1) . (2.2.2) 矩陣行列式值為 AD-BC=1，可以定義其角度 θ. 1 cos   ( A  D) 2 (2.2.3) 即  A+D  θ = cos 1    2 . (2.2.4) 當式 2.2.3 中的 A 和 D 以式 2.2.1 的數值代入，且限制 cos 函數大小 |cos θ| ≤ 1，即可得到. 1 . A D 1 2. 將 A、Ｄ以 R 與 L 可表示為. 2 L 2 L 2 L2 1  1    1 R2 R2 R1 R2 9.

(15) 整理完成後為. 0  1. L L L2    1 (2.2.5) R2 R2 R1 R2. 最後可以將式 2.2.5 表示成. 0  g1 g 2  1 (2.2.6) 其中 gi  1 . L , Ri. i  1, 2. 從式 2.2.6 中可以整理出雷射共振腔穩定所需要的條件，當共振腔的g1 g 2 > 1或是g1 g 2 < 0這樣的情況下，代表這是一個不穩定的共振腔，圖 2-5 中斜線部分代表共振腔處於穩定狀況[27]，在邊界上的點分別代表一些共振腔在特殊情形下的狀況。. 10.

(16) 圖 0-5. g1− g 2 關係圖，斜線部分表示共振腔能達到穩定條件的範圍。. 2.2.3 共振腔的波函數光是電磁波的一種，共振腔的前後兩反射鏡形成邊界條件，經過邊界條件後雷射形成的軌跡分布情況稱之為模態(mode)，而模態又可以依照空間中分佈方向分為縱向模態以及橫向模態[28]；接下來我們將由馬克斯威爾四大方程式 (Maxwell’s Equation )出發，逐步推導出共振腔內波函數的解，而我們的實驗系統屬於近軸近似，可得到式 2.2.7. E = 0 H = 0  H t  H = ε E t.   E = -. (2.2.7). 電場形式可表示成  2 E + εμ. 2 E=0 t 2. (2.2.8) 假設電場是單頻電磁波，將電場 E 表示為E = E(x, y, z) ∙ e−iωt ，並代回式 2.2.8 可得. (2 + K 2 )E(x,y,z) = 0 (2.2.9) 上述 k 為 wave vector，設光波沿著 z 方向傳播可表示為. E(x, y, z )  ε(x, y, z )  eikz. 11.

(17) 與 2.2.9 整理可得到  2 2 2  ikz 2 ikz    x 2 y 2 z 2  ε(x, y, z )  e +k ε(x, y, z )  e = 0  . (2.2.10). 式 2.2.10 之中.  2ε 0 z 2. 可忽略不計，故近似為   2 2  t  2ik z z  k t  ε(x, y, z )  0. (2.2.11) 接著假設 ε(x, y, z )=ψ(x, y )G(x, y, z ). Ψ(x, y)表示光束變化的橫向波函數，G(x, y, z) 表示為高斯球面波的波函數，此高斯球面波波函數可表示為. G(x,y,z)=. ZR z 2 +z R2. e.  2 2 x +y ikz   z z 2 +z 2 R . . .    .  x 2 +y2 . ik   ω zR(z)   0  e  ωz. (2.2.12). 在式 2.2.12 之中 ω 是光束在任意點上的半徑大小，當 Z=0 時有最小值可表示為.  (z) = 0 1  (. z 2 ) zR. z   稱為光腰； R(z) = z 1+( R ) 2  ，R(z)是曲率半徑。 z  . 因此可將將式 2.2.11 化成. (T2 -2k.  )ψ(x,y)G(x,y,z)  0 z. (2.2.13). 12.

(18) 經過代數運算後得到   G(x,y,z) T2 ψ(x,y)+ψ(x,y)  T2 -2ik  G(x,y,z)  0 z     (k  z ) G(x,y,z)  T2  2 R 2 ( x 2  y 2 )  ψ(x,y)  0 z  zR  . (2.2.14) 只考慮橫向的波方程，可得  2 4(x 2 +y 2 )   T - ω( z ) 2  ψ(x,y)  0  . 若將波函數分成兩部分 Ψ(x, y) = f(x)g(y)  2 4 x2  2  k  f ( x)  0  2 x  x ( z )2   x. ;.  2 4 y2  2  2  ky   g ( y)  0  y ( z )2   y. (2.2.16)  x2. 假設 f(x) = v(x)  e. x2 ( z ). 、  . 2x ;則微分方程可表示 x ( z ).  2v v  k x2 x2 ( z )   2    1 v  0  2   2 . (2.2.17) 此種形式與 Hermite polynomial 形式 y’’-2xy’+2my = 0 相同，因此可解得 ψ(x,y) =.  ( x2  y 2 ). 1 2m+n-1m!n!π. e. ω(z)2.  2x   2 y  Hm    Hn   ω x  z    ω y  z  . (2.2.18). 該本徵值 (Eigenvalues) 為 k x2 . 2.   z 2 x.  2m  1. ； k y2 . 2.   z 2 y.  2n  1. 13. ;. m、n = 1, 2, 3,…….

(19) 而 Hm( ) 代表 m 階的是 Hermite polynomial。最終解得在直角坐標系下的電場波函數. E  x, y , z   ψ m , n  x , y   e. 1   z   i  m   tan 1   2   zRx . e.  z   1  i  n   tan 1    2  zRy . e.  2 2 x y  ikz   2 z 2  z02 . . .    . (2.2.19) 其中 ψ(x,y) =. 1 2m+n-1m!n!π.  ( x2  y 2 ). e. ω(z)2.  2x   2 y  Hm    Hn   ω x  z    ω y  z  . 若對 2.2.19 做絕對值平方後，可得到該電場方程式的正比強度；該方程式所呈現的圖形，我們稱之為 Hermite-Gaussian modes. 圖 2-6 數值模擬基本 HG 模態[29] 在本篇論文中的實驗將以 Hermite-Gaussian modes 為基礎，再利用缺陷對 HG 進行一系列操控，再特定腔長的狀況下找出相同頻寬比疊加出來的幾何軌跡。. 14.

(20) 2.3 橫模與縱模頻寬比 ( 𝛀 ) 實驗上共振腔中 HG 具有數個能量相同的簡併態，這些簡併模態疊加的結果將會落在共振腔的幾何軌跡之上，接下來就來討論橫模與縱模的頻寬比。若一個共振腔腔長為 L，前鏡曲率為Ｒ的半球腔，則其共振頻率可以表示為 fmnl . c  1  1   m  n  l  cos 1 g1 g 2   2L   . (2.3.1) 其中 gi  1 . L , Ri. i  1, 2. 橫模頻率與縱模頻率分別這樣表示. f L =. c 1 c ; f T = cos1 g1 g 2 2L π 2L. (2.3.2) 兩者相除之後得到橫模縱模頻寬比[30] =. f T P 1 = = cos 1 g1 g 2 f L Q π. (2.3.3) 只要共振腔中橫模與縱模頻率比例為一個有理數，我們可以稱此共振腔為簡併共振腔，；簡併態指的是各個模態能量相同，各項模態的橫縱模不同，但橫縱模的比例相同；或是可以解讀成無論ｍ,n,l 如何變化，最後橫模與縱模的比例必定相同(簡併態所對應到的能量皆相同)；由先前的研究得知在共振腔中各個腔長都存在不同的比例，且按照此現象最簡有理分數比例作圖，可以發現一個特殊的梯狀分佈，稱為魔梯現象(Devil‘s staircase) [31]。最後再把 g1、g2 代回 2.3.3 整理過後可得. R sin  π  =L. 共振腔前鏡的Ｒ是已確定且無法改變的參數，因此Ω會隨著腔長Ｌ改變，在的實驗之中，可以透過Ｌ的改變來調整到各個不同的簡併共振腔，選擇需要的Ω。. 15.

(21) 第三章理論與實驗結果 3.1 半球型共振腔實驗裝置及實驗架構雷射三要素：幫浦源（pump source）、共振腔（resonance cavity）、增益介質（gain medium）；並在共振腔中放置障礙物。使用裝置有雷射二極體（lasre diode）、聚焦鏡筒（1:3 透鏡組）、共振腔前鏡（平凹面鏡）、鍍膜摻釹釩酸釔作為增益介質（Nd:YVO4 a-cut）、屏幕、相機、五軸平台、線徑 63μm 的漆包線作為障礙物。幫浦源使用了最高功率達 3.00W 的雷射二極體，並利用聚焦透鏡組將光點聚焦在 50 微米左右；增益介質是使用前篇幅已介紹過的摻釹釩酸釔（Nd:YVO4 a-Cut），其規格為. 2% Nd:YVO4 、. 8  8  2mm3 ；於出光面鍍上對 1064nm 99%反射率的薄膜，令增益介質端面成為. 共振腔的輸出鏡；共振腔前鏡使用的是曲率半徑為 20mm 的球面平凹面鏡，共振腔中放置的障礙物為線徑 63μm 的漆包線. 16.

(22) 實驗過程中，確認雷射共振腔激發出來之雷射有對準屏幕，且相機焦距正確；調整到簡併共振腔的腔長，將 Fundamental-mode 做一維離軸，形成 1-D Hermite-Gaussian modes (HG)，再將固定在五軸移動平台上的缺陷由邊緣向內逐漸推進。過程中，若缺陷落在雷射模態的幾何軌跡上，缺陷將遮蔽雷射的光路使共振腔無法輸出雷射；若缺陷的位置避開該模態的幾何軌跡，則雷射就能在相對低離軸的狀況下，得到以往需要相對大離軸下才能出現的幾何軌跡。. (a). (b). (c). (d). 圖 3-1 缺陷置入位置與實驗遠場圖形關係. 圖 3-2 缺陷置於腔外與腔內示意圖. 透過理論的計算，可以得出共振腔在各個腔長對應到的橫縱模比例Ω，僅管實驗結果通常會較理論長度長一些，並不是十分準確，但仍然能降低搜尋特定腔長所耗費的時間，更快的找的我們要的 HG mode。 17.

(23) 3.2 1-D Hermite-Gaussian modes 缺陷共振腔近遠場觀察在接下來的篇幅中，將演示透過缺陷的干預，在小離軸狀況下，重現出以往在大離軸狀況下才能產生的幾何軌跡；從結果中可以發現，簡併共振腔橫縱模比之分母數，恰巧會對應到幾何軌跡光束的數量。圖 3-3(a)(b)分別代表在十分之三簡併共振腔中時，缺陷置入共振腔前與置入後的遠場圖。. =. P 3  Q 10. (L=6.51 mm , Δx=0.04 , Δy=0 , Current=1.5 A). (a). (b). 圖 3-3 缺陷置入共振腔前與置入後遠場圖形. 下圖為模擬十分之三簡併共振腔，可存在於空腔內的幾何軌跡；可觀察到幾何軌跡的遠場圖形與實驗結果有非常好的對應(遠場皆為四點，且實驗上也能看到干涉條紋)；黃點代表共振腔內缺陷所擺放的位置。. 圖 3-4 空腔內幾何軌跡模擬圖 18.

(24) 我們使用物鏡觀察近場到遠場雷射圖形內的結構變化。圖下方標示的數字代表缺陷由邊緣向共振腔內移動的距離。. 0 mm. 1.2. 2.5. 3.5. 4.8. 6.1. 6.25. 圖 3-5 近場至遠場實驗圖將實驗結果近場至遠場的變化與幾何軌跡做比較，兩者之間的關係如下圖所示；黃點代表共振腔內缺陷所擺放的位置。. 0 mm. 1.2. 2.5. 3.5 4.8 6.1 圖 3-6 幾何軌跡與實驗比較圖 19. 6.25. 6.43. 6.43.

(25) 從比較圖之中我們看到，實驗結果近場至遠場各個位置的結果與空腔內幾何軌跡有非常完美的對應；此外我們從波動的角度出發，將實驗與波函數疊加數值分析後的結果做比對，可以得到一系列近場至遠場的模擬圖，如圖 3-7 所示。. 圖 3-7 數值模擬與實驗比較圖. 圖 3-7 黑白圖為數值分析的結果(上)，紅黑圖為實驗結果(下)；根據比較圖可以觀察到實驗結果與數值分析的結果完美吻合；透過幾何軌跡與波函數數值分析的比對，共振腔中的缺陷確實可以成為一個調整模態的新參數。. 20.

(26) 同樣的對十一分之三簡併共振腔進行相同實驗，也有類似的結果；圖 3-8 (a)(b)分別代表在中時，缺陷置入共振腔前與置入後的遠場圖。 =. P 3  Q 11. (L=5.86 mm , Δx=0.09 , Δy=0 , Current=1.5 A) (b). (a). 圖 3-8 缺陷置入共振腔前與置入後遠場圖形. 圖 3-9 的幾何軌跡為十一分之三簡併共振腔，空腔內可存在的軌跡模擬；可觀察到幾何軌跡與實驗結果的遠場圖形都能對應到八個光點;而黃點代表共振腔內缺陷所擺放的位置。. 圖 3-9 空腔內幾何軌跡模擬圖. 21.

(27) 使用物鏡觀察近場到遠場雷射圖形內的結構變化。圖下方標示的數字代表缺陷由邊緣向共振腔內移動的距離。. 0mm. 0.65 圖 3-10. 1.40. 2.01. 4.06. 近場至遠場實驗結果. 將實驗結果與幾何軌跡圖形互相比較，可以找到兩者之間互相吻合之處，且實驗結果特定光點也具有兩束光疊加後形成的干涉條紋。. 0mm. 0.65 1.4 2.01 圖 3-11 幾何軌跡與實驗比較圖 22. 4.06.

(28) 從波動的角度出發，將實驗與波函數疊加數值分析後的結果互相比對，可以得到近場至遠場的模擬圖;如圖 3-12 所示。. 圖 3-12 數值模擬與實驗比較圖無論從實驗結果與幾何軌跡的比較，亦或是實驗結果與波函數數值分析的結果比較，都可以看出理論與實驗能有很好的對應。在實驗中我們透過在共振腔內置入缺陷，製造出一維幾何軌跡；缺陷共振腔內的幾何軌跡，與過去透過大離軸產生的幾何軌跡結果互相吻合；從過去的研究知道幾何軌跡是由 HG mode 疊加而成，但在缺陷共振腔中，共振腔內的 HG eigenmode 受到破壞，幾何軌跡卻仍然能存在於共振腔內；因此幾何軌跡是否只能由 HG mode 疊加產生，亦或是本身能在共振腔內單獨存在，這會是個非常有趣又值得探討的問題。. 缺陷共振腔和離軸激發兩種方式，雖然是利用不同的方式，卻都能得到相同的模態；而兩者之間最大的差異在於缺陷共振腔的離軸幅度比傳統方式小上許多，甚至能透過缺陷的位置來達到相位的控制，相位控制這部分將會在之後的章節做更詳盡的討論。. 23.

(29) 觀察完近場至遠場內部結構變化，我們也對雷射功率與缺陷位置進行分析，透過功率的測量來找出幾何軌跡與雷射之間的關係。. 圖 3-13. 功率與缺陷位置關係. 從圖 3-13 中可以看到中間有五個峰值，而兩側呈現連續性的變化；峰值與兩側連續變化各代表不同的意義。. 隨著缺陷位置的改變，HG modes 逐漸縮短且亮度逐漸下降，可對應到功率圖兩側連續變化的部分。圖 3-14. 圖 3-14. HG modes 與缺陷之位置. 24.

(30) 圖 3-15 為中間五個峰值狀況雷射激發的圖紋，可觀察到缺陷必須避開幾何軌跡才能使的共振腔內的類設受到激發，也因此在功率圖上會是以峰值方式存在。. 圖 3-15. 幾何軌跡與缺陷位置. 回顧圖 3-13 中，發現到五個峰值的位置具有很好的對稱性，且都是能避開幾何軌跡的位置，但峰值的功率卻不是以對稱方式分部，其原因是因為當缺陷移到右半邊時，會擋住一小部分的激發光源(808nm)使輸入共振腔的能量下降，因此激發出的雷射功率也同時下降。. 25.

(31) 3.3 V mode(1D) 與缺陷共振腔在二分之一腔長時存在的 V mode，是一個理論上屬於不穩定但實驗上可穩定存在的特殊狀態；此時晶體正好位在前鏡的焦點之上，這樣的狀況之下前鏡與晶體中心的任一連線都可以形成一條全新的光軸，因此在實驗上只要透過腔長及離軸的微調，就可以令 V mode 的兩條光軸都各自形成高階 HG mode，這時再將缺陷由邊緣逐漸移入共振腔中，使 V mode 會出現內部結構變化，並觀察缺陷與其關係；圖 3-16(ａ) (b)分別代表缺陷置入共振腔前與置入後的圖形，可以觀察到缺陷置入共振腔之後，兩個極高階 HG mode 轉變成相對低階的 HG mode (4,0)。. (a). (b). 圖 3-16 缺陷置入共振腔前與置入後遠場圖形. 圖 3-17 缺陷置於腔外與腔內示意圖. 26.

(32) 將缺陷由邊緣逐步向共振腔內移入，可以發現 HG mode 逐漸縮短，顯示其逐漸由高階 HG mode 轉變為相對低階模態，缺陷移入距離與實驗結果如圖 3-18 所示。缺陷由邊緣移入距離. 0.00 mm. ….... L=9.97 mm Δx=0.33 mm Δy=0mm Current=1.46A. 0.37 0.42 0.47 HG(8,0) 0.49 HG(7,0) 0.52 HG(6,0) 0.54 HG(5,0) 0.56 HG(4,0) 圖 3-18 缺陷移入距離與遠場關係圖. 實驗中我們了解到，共振腔內的缺陷可以讓 V mode 內部的 HG modes 產生結構變化，透過缺陷擺放的位置，可以調整 V mode 內的兩個 HG mode 光點；經由過去的經驗告訴我們 V mode 是由數個高階 HG mode 簡併態疊加而成，接下來我們將利用缺陷把 V mode 的兩個 HG mode 光點，皆轉變為另一組 V mode。. 27.

(33) 圖 3-19 (a)(b)兩圖表示共振腔置入缺陷前和置入後，缺陷使得 V mode 中的 HG mode 圖(a)轉變成 V mode 中的 V mode 圖(b)。 (b). (a). 圖 3-19 缺陷置入共振腔前、後遠場圖形. 圖 3-20 缺陷置入共振腔前、後示意圖. 透過物鏡進行近場至遠場的觀察，可以看出整個變化趨勢，是由一個點至遠場轉成四個點，而遠場的四個點又各自兩兩相近；近遠場觀察結果如圖 3-21 所示。. 0mm. 1.25. 2.50. 2.75. 4.00. 5.25. 圖 3-21 近場至遠場實驗結果 28. 6.50. 7.25. 10.0.

(34) 如下方所示，我們將實驗結果與幾何軌跡互相對照，可以觀察到 V mode 中的兩個光軸都成為一個新的光軸，並且各自在新光軸上疊加出了 V mode。. 圖 3-22 實驗結果與幾何軌跡對照圖. 29.

(35) 3.4 Hermite-Gaussian modes 2-D 缺陷共振腔近遠場觀察在 3.2、3.3 觀察過缺陷共振腔內一維 HG mode 和 V mode 後的狀況後，開始探討共振腔內的缺陷與 2D HG mode 的關係；以及在簡併共振腔之中可使 2D HG mode 轉換成為 Lissajous 圖形的狀況，甚至利用缺陷改變 Lissajous 圖形的相位；圖 3-23 (a)~(f)表示缺陷由腔外邊緣逐漸向腔內移動的過程，可以觀察到 2D HG mode 隨缺陷的位置產生越來越劇烈的改變，從一開始仍然有 2D HG mode 的輪廓到後來形成全新的雷射圖紋；圖中紅線部分代表為缺陷的位置。. (a). (b). (c). (d). (e). (f). 圖 3-23 缺陷置入共振腔後遠場圖形變化. 圖 3-23(a)~(f)演示出缺陷由共振腔外移入共振腔過程，缺陷進入共振腔的干預使的 HG mode 受到破壞而產生全新的光學軌跡。. 30.

(36) 接下來的部分我們將開始分析缺陷共振腔與 Lissajous 圖形之間的關係，並找出利用缺陷控制 Lissajous 圖形相位的方式；控制相位在過去不是利用離軸、離焦、改變腔長等方式就能輕易做到的事情，但在接下來的實驗結果中我們將演示利用缺陷的位置輕易控制 Lissajous 圖形的相位。. P Q. =. 3 7. Lissajous 8: 6. (b). (a). Δx=0.12. Δx=0.15. Δy=0.10. Δy=0.08. (c). (d). 圖 3-24 共振腔中的缺陷與 Lissajous 的產生以及相位之關係. 實驗中我們會先透過離軸找到的 Lissajous 圖形圖(a)，接著改變離軸使 Lissajous 圖形變回 2D HG mode 圖(b)，便不再改變任何離軸，單純透過觀察原始 Lissajous 圖形邊緣的特徵，並將缺陷放置在這些特徵位置上；2D HG mode 將轉為與原圖具有相同相位的 Lissajous 圖形圖(c)，另萬外若在實驗上選擇不同位置放入缺陷仍可產生相同比例（8：6）但不同相位的 Lissajous 圖形圖(d)；紅線部分為缺陷可放位置的一些選擇(選擇一處放置即可)。. 31.

(37) P Q. =. 3 8. Lissajous 5: 3. Δx=0.16. Δx=0.11. Δy=0.12. Δy=0.10. 圖 3-25 共振腔中的缺陷與 Lissajous 圖形的產生以及相位之關係. P Q. =. 3 8. Lissajous 6: 2. Δx=0.20. Δx=0.13. Δy=0.09. Δy=0.08. 圖 3-26 共振腔中的缺陷與 Lissajous 圖形的產生以及相位之關係. 32.

(38) P Q. =. 3 8. Lissajous 6: 2. Δx=0.18. Δx=0.15. Δy=0.10. Δy=0.07. 圖 3-27 共振腔中的缺陷與 Lissajous 圖形的產生以及相位之關係. 在最後一組實驗結果中我們無法透過缺陷位置改變，得到另外一組同比例但不同相位的 Lissajous 圖形；可能原因為缺陷不夠細小，不足以篩選出細部的結構。在實驗中我們也曾經嘗試使缺陷由一維的金屬線轉成零維的點，目前金屬線的位置只能放置於邊緣進行干擾，若將金屬線換成一個點則可使該點進入 Lissajous 曲面內部中空的位置；使用的方式是在蓋玻片上製造出一個光無法通過的小點，再將玻片置入共振腔；但最終的結果並不盡理想，由於玻片兩側並未鍍膜，因此玻片放入共振腔後，會大量反射 1064nm 波長的光，使得雷射難以激發，因此零維的點這個構想最終並未實現。在傳統共振腔中，能調控的變因只有腔長、離軸、離焦，卻無法透過這些參數的調整來控制相位，但共振腔中的缺陷在相位調控上有著非常優異的操控性，成為過去共振腔中腔長、離軸、離焦以外，一個全新而且能有系統控制的變因。. 33.

(39) 對 2D HG modes 進行功率與缺陷位置的分析，得到的結果與 1D 的十分類似，有兩側連續性的分部，和中央的峰值部分。. 圖 3-28. 圖 3-28. 功率與缺陷位置關係圖. 隨著缺陷向共振腔內部的移動，2D HG modes 逐漸的縮短，且亮度也持續下降，這趨勢的圖形會在缺陷放置於圖 3-28 的兩側連續分部時被觀察到。圖 3-29. 圖 3-29. 2D HG modes 與缺陷之位置. 34.

(40) 當缺陷移動到較內側且位於峰值時，會出現圖 3-30 的圖紋，而激發出雷射的強度隨著缺陷位置的控制逐漸增加，功率亦隨亮度逐漸增加。. 圖 3-30. 利薩如圖形與缺陷之位置. 3.5 V mode(2D) 與缺陷共振腔使 V mode 的兩條光軸都各自形成 2D HG mode 圖(a)，並由邊緣將缺陷將缺陷逐步移入共振腔中圖 3-31(b)-(d)；可以觀察到隨著缺陷移入的程度 V mode 兩光軸上的 2D HG mode 逐漸縮短，且中央漸漸出現 Laguerre - Gaussian Modes (LG)；紅線代表的是缺陷所在的位置。 (a). (b). (c). (d). 圖 3-31 缺陷置入位置與實驗圖形關係. 35.

(41) 圖 3-32 缺陷置於腔外與腔內示意圖將缺陷由邊緣逐步向共振腔內移入，可以發現 HG mode 由高階逐漸轉變為相對低階的模態；缺陷移入距離與實驗結果如圖 3-33 所示。. 0.00mm. ….... L=9.96 mm Δx=0.14 mm Δy=0.13mm Current=1.8A. 0.25. 0.26. 0.30. 0.55. 0.70. 0.85 圖 3-33 缺陷移入距離與遠場關係圖 36.

(42) 實驗中看到一個非常有趣的現象，缺陷的引入在這裡並不是使得 V mode 中的 HG mode 產生轉變，而是逐步遮住 V mode 並分出一部分的能量在原本的光軸中產生非常高階的 LG mode；我們推測直接跳成高階 LG 原因可能和 mode size 有關，從過去的研究我們可以計算出 mode size (ω0)與腔長(L)的關係(如圖 3-34)，當腔長極長或腔長極短時 mode size 會急遽下降，但在實驗上我們的激發源並不會隨之縮小，因此相對大的 pumping 點對於相對小的 mode size 像是極大的離軸，因此產生出高階的 LG。 0 m 40. 30. 20. 10. 2. 4. 6. 8. 圖 3-34 mode size (ω0)與腔長(L)之關係圖. 37. 10. L mm.

(43) 藉由角度內有的條紋數可以粗略估計了實驗中出現 LG mode 的 order 數，估計約在 150-170 之間；局部放大圖如下所示。. 圖 3-35. LG mode 局部放大圖. 38.

(44) 第四章. 總結. 缺陷共振腔與傳統雷射共振腔的不同點在於，缺陷共振腔在傳統共振腔之中，額外加上一個可變因素，讓我們可以在固定的離軸、離焦、腔長、曲率半徑之外，還能夠再做出更細膩更精確的調控。. 在第一部分 1D Hermite-Gaussian modes 的實驗結果中，我們觀察到共振腔中的缺陷使得高階 HG mode 轉換成幾何軌跡，對應到過去利用離軸的方式，在共振腔內置入缺陷的結果，與傳統離軸激發的結果相互吻合；而其優勢是可以以較低的離軸來得到幾何軌跡。一個值得探討的概念就是，從波動的角度出發，幾何軌跡是由數個 HG mode 簡併態疊加而成，當缺陷置入共振腔後，阻擋在腔內的缺陷會破壞共振腔內 HG mode 的本徵態，雖然 HG mode 被破壞，但在實驗上卻仍然能見到幾何軌跡出現在簡併共振腔之中，似乎意味著幾何軌跡並不只有透過 HG mode 疊加這種產生方式，這點仍有待往後的研究來解開。. 第二部分 2D Hermite-Gaussian modes 的實驗結果中，我們觀察到將缺陷置入共振腔內，可使高階 HG mode 轉換成離軸相對大才能出現的 Lissajous 圖形；此外共振腔內缺陷位置對於 Lissajous 圖形的相位有著優異的操控性，透過缺陷放置的位置，可以決定 Lissajous 圖形以何種相位出現。. 無論是 1D HG mode 亦或 2D HG mode 的實驗結果皆能觀察到相同的現象，將缺陷置入共振腔內與增加離軸有著相同的結果，因此缺陷可以有效降低離軸的大小;從能量上的觀點看，較小的離軸意味著較集中的能量，因此能用相對低的能量支撐起整個共振腔中的模態。. 39.

(45) 當今的環境之中,雷射模態並不是一個熱門的研究方向，但雷射模態研究成果在基礎科學上仍然能有顯著的助益；希望本論文透過腔內缺陷來增加調控雷射的因素，以及缺陷對共振腔內影響的初步研究結果能對於此領域能提供一些有用的想法。. 40.

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