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國立中山大學教育研究所 碩士論文
台灣小學數學課程標準的沿革：
以數與計算為初探
研究生：陳秉筠 撰
指導教授：梁淑坤 博士
中華民國 九十七年十月
謝誌
這本論文的完成，非靠一己之力，而是集結眾人的協助，在此以 最誠摯的心，感謝在我學習過程中指導我的教授－梁淑坤老師。一路 走來，遭遇到許多的困難，不論是課業上的瓶頸，或是家庭中的煩惱，
梁老師時時鼓勵，常常提攜。讓我能夠越挫越勇，堅持到底。若非遇 到梁老師，我學習不到以嚴謹的態度進行研究，用堅強的毅力解決煩 惱，因為梁老師就是一個不論遭遇到何事，她都能樂觀面對，堅持完 美的一位經師、人師。
接著要感謝劉曼麗教授和姚如芬教授，謝謝她們擔任論文的口考 委員，指導我的研究，不僅給我信心，還讓我所寫出的論文更加完善。
同時，在這裡也要感謝我所服務學校的單位主管，就是博愛國小 的蔡玉寶校長，謝謝她不吝給予我進修的機會。以及陳瑞鴻主任、蔡 麗蘭老師、林宗志老師和劉松柏老師，感恩他們體諒我因為進修而無 法完全配合學務處的各項事務。
於兩年半的研究所生涯中，特別感謝所上老師們的教導與鞭策。
在研究期間，感謝研究所同學嘉玲、青燁、幼真、姿伶、欣慧、雅雲、
慧雅、嘉芳以及舒涵，在精神上給予鼓勵與支持。
再來，要感謝王淵智老師與楊雅竹學妹，謝謝他們給予我許多關
於論文的指教，讓我修改了許多論文中的小缺失。
最後，將此論文獻給我最親愛的家人，感謝雙親，全力支持我就 讀研究所，也盡量讓我可以無後顧之憂的到中山進修、完成論文。
陳秉筠 謹誌
國立中山大學教育研究所
中華民國九十七年十二月
台灣小學數學課程標準的沿革：
以數與計算為初探
摘 要
遷台後，台灣小學數學課程共歷經多次的改革。本研究旨在從數 與計算的課程標準（綱要）中，尋找數學課程的沿革，並據以為台灣 的數學課程寫下歷史脈絡。具體的研究目的是：將數學課程中的數與 計算之課程標準（綱要），兩相比較後，以探討其變化。為達上述研 究目的，本研究以民國 41、51、57、64、82、89、92 年共七個年度 所公布之數學課程標準（綱要）為研究對象，採歷史研究方法，依年 代兩相比較，分為四個部份探討：相似之處、出現或消失處、年段以 及子主題不同處。
透過各年段課程標準比較分析，本研究的主要結果：第一，比較 民國 41 年、51 年，發現兩者最大的差異在於，民國 51 年增加序數、
培養除法觀念及強調心算和筆算，少大寫數字以及數碼的認識，且因
政府實施「四萬舊台幣換一元新台幣」政策，使整數加減部分由三到
六位數改為四位數；第二，分析民國 51 年、57 年，獲知民國 57 年
數學課程較重視數學符號的學習，加深了課程標準的內容，少撇節
法，且不再複習前一年所學的數學內容；第三，對照民國 57 年、64
年，得知民國 64 年少了心算與筆算，增加四則的互逆關係、0 和 1 的乘法、比與概數的觀念、負數的認識以及介紹計算器械；第四，比 對民國 64 年、82 年，察知民國 82 年少負數與珠算的教學，強調於 兩步驟的計算、數線概念、學生的先備知識以及查詢乘法表；第五，
評析民國 82 年、89 年的差異，民國 89 年強調孩子從具體情境中學 習，主要在理解直式算則，少奇數與偶數的認識；第六，分辨民國
89 年、92 年的差別，民國 92 年不再利用電算器進行驗算，強調熟練 直式與整數四則混合計算，及加深因倍數、比率、速度、分數與小數 的連結等數學內容。
關鍵字：數學課程歷史、課程標準、數與計算
The history of Taiwan Mathematics Curriculum Standards: Case of Number and Calculation Standards
Abstract
Until recently, Taiwan elementary mathematics curriculum has been changing for several times. The aim of this study is to refer to various curriculum reforms, and focus on the way “Number and Calculation Standards” changed in the history of reforms. The specific objectives of this study: to refer to one curriculum standards and its subsequent
standards and do pair wise comparison.
To achieve the above objectives, the investigator referred to 7 target versions of mathematics curriculum standards: 41, 51, 57, 64, 82, 89, 92 (R.O.C year). The comparison was done qualitatively, using historical research methodology.
The main research findings are the differences in the above 6 pair wise comparisons.
1. The change from Year 41 to Year 51: In the Year 51, the part on Writing numbers in Chinese characters was de-emphasized.
Emphasis was on Ordinal numbers, division thinking, mental arithmetic and written algorithm. The size of numbers reduced to 4-digits (due to a change in currency, 4 dollars to 1 New Taiwan dollar).
2. The change from Year 51 to 57: more focus on symbols, did not require the revision on what was learned in previous year.
3. The change from Year 57 to 64: de-emphasized on mental arithmetic and written calculation; emphasized on Inverses, multiplication/division on “0’ and “1”, ratio, approximation, negative numbers and use of electronic calculators.
4. The change from Year 64 to 82: no need to include negative numbers and abacus. Emphasized on two-step problems, number line, and reading multiplication tables.
5. The change from Year 82 to 89: de-emphasis on odd and even numbers; emphasis on realistic contexts, understanding vertical algorithm.
6. The change from Year 89 to 91: no need to use calculators to check working; emphasis on vertical algorithm, whole number calculations, and the connections of multiples/factors, rate/speed, and, fractions/decimals.
Keywords: history on mathematics curriculum, curriculum standards, Number and Calculations.
目 次
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機---1
第二節 研究目的與研究問題---2
第三節 名詞釋義---2
第二章 文獻探討 第一節 遷台前的數學課程---5
第二節 數學課程典範的轉移---9
第三節 數學課程與學習心理---16
第四節 數學課程與社會教育學---24
第五節 各階段課程標準的特色---29
第三章 研究設計與實施 第一節 研究者的背景---41
第二節 研究流程及架構---43
第三節 研究對象及分析單位---46
第四節 歷史研究的方法---47
第五節 資料的整理、分析與確認---48
第四章 研究結果 第一節 比較民國 41 年和民國 51 年的發現---51
第二節 分析民國 51 年和民國 57 年的重點---62
第三節 對照民國 57 年和民國 64 年的結論---70
第四節 比對民國 64 年和民國 82 年的結果---81
第五節 評析民國 82 年和民國 89 年的差異---90
第六節 分辨民國 89 年和民國 92 年的差別---99
第五章 結論與建議 第一節 結論---107
第二節 建議---112
參考文獻 ---113
附錄一 ---121
附錄二 ---139
附錄三 ---154
附錄四 ---166
附錄五 ---173
附錄六 ---181
第一章 緒論
本研究題目為「台灣小學數學課程標準的沿革：以數與計算為初探」，本 章共分為三節，分別陳述研究背景與動機、釐清研究目的與問題，以及界定重要 名詞。
第一節 研究背景與動機
沒有歷史就像是沒有記憶一樣。歷史有助於我們去瞭解、決定我們進展的本 質、方向和程度，甚至於我們的失敗（Tanner＆Tanner, 1990）。就如同古人所云：
以古為鏡知興衰。換言之，透過歷史的觀點可讓我們體會承先啟後，蘊育生息的 道理，它不是天外突來的飛泉，而是舊有長河的新段落，它是從舊枝萌吐的新芽。
歷史也代表了一種企盼，希望能承繼其基業，也希望獼補其漏失，矯正其偏倚，
拓展前人未見的視野，思索前人未曾處及的問題，以注入新的生命活力。
而台灣的數學課程，自民國 38 年遷台至今，總共歷經了七次大大小小不同 的改變：民國 41 年、民國 51 年、民國 57 年、民國 64 年、民國 82 年、民國 89 年、民國 92 年，但是卻沒有正式書面記載的數學課程歷史，這不僅令我們沒有 記憶，更讓我們沒辦法鑑古知今，也使日後的課程沿革研究者或關心數學教育的 人查詢資料不易。經研究者搜尋後，發現目前國內沒有一篇是以國小數學課程標 準進行研究之論文，而從國家圖書館博碩士論文資料庫中，只搜尋到比較台灣和 其他國家的數學課程之研究而已。再加上因為科技日益發達，造成社會變遷急 速，每個國家為了提升自己的競爭力，都強調必須為國家培育人才，這當然就要 從學校課程著手進行改革，而數學向來都是「提升競爭力」必備改革與重視的學 科之一。
就課程而言，有許多不同的定義（Tanner＆Tanner, 1980），這應該是因為每 一種定義背後都表達著對課程有不同的看法和假設。其中三個定義分別是意圖課 程、實施課程和達成課程，是由國際教育成就評鑑協會（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement, 簡稱 IEA）對課程下的
三個定義。意圖課程是指課程標準，也可說是達成課程，就是學生真正學習到的 課程，可以參考課程標準作為核對清單，亦是教師要在實施課程時遵守的原則，
也是課程開發人員和教材編寫人員的課程框架（黃毅英、黃家鳴，1997）。
基於上述，本研究為記載台灣數學課程的沿革，使初步撰寫出一本具有歷史 意義，且可供後人參閱的研究報告，希冀能藉此拋磚引玉，使愈來愈多關心數學 教育的研究者從事這方面的研究，也許可令台灣的數學教育擁有屬於自己的課程 歷史，本研究將採取質性研究方式之歷史分析法，將民國41、51、57、64、82、
89、92年的小學數學課程綱要的「數與計算」的課程標準（能力指標），進行比 較與分析，為台灣小學數學課程的沿革留下一些歷史的書面見證。
第二節 研究目的與研究問題
基於上述研究動機，本研究欲達成之研究目的：將歷年來（民國 41、51、
57、64、82、89、92 年）的數與計算之課程標準（能力指標）兩兩進行比較，
藉此分析出改革的變化情形。而為達成本研究目的，本研究以歷史研究法所要探 討的研究問題是：歷年來（民國 41、51、57、64、82、89、92 年）數與計算之 課程標準改革變化情形為何？
第三節 名詞釋義 一、數學課程
IEA 對課程下的三個定義，分別是意圖課程、實施課程和達成課程（Robitaille
＆ Garden, 1989）。而本研究所指的數學課程即為數學的意圖課程，可以從數學 的課程標準推論。
二、課程標準
課程標準在本研究中泛指「標準」、「綱要」、「能力指標」等。在歷次課程修 訂中，民國 41 年、51 年、57 年、64 年以及 82 年稱它為「標準」，而民國 89 年 和民國 92 年則是改稱它為「綱要」，在數學課程綱要中規定了每個階段都必須達 成的「能力指標」。
三、沿革
沿革即是沿襲和變革，多指事物變遷的歷程。在本研究中，係指從民國 41 年、51 年、57 年、64 年、82 年、89 年以及 92 年課程標準（能力指標）的改變 情況。
四、數與計算
數學領域的內容在歷年來的數學課程（民國 41、51、57、64、82、89、92 年）分成不盡相同的主題（見表 1-1）。明顯可以發現出「數與計算」這個主題在 各階段的小學數學課程改革都存在，只是給予不同的稱呼。例如：民國 41 年「數 與計算」就包含「認數」和「計算」等子題；而民國 89 年「數與計算」則是獨 立為一個子題。
表 1-1 民國 41 年到 92 年之數學內容的主題（綜合各階段的子主題）
年 主題
民 41 年 民 51 年 民 57 年 民 64 年 民 82 年 民 89 年 民 92 年
認數 計算 實測 日常的活 動和問題 集合 圖形與空 間
（稱幾何） 統計與圖
表
（含機率） （含機率）
數量關係 術語與符 號 代數 連結
灰底部份乃是數學主題－「數與計算」的內容，也就是本研究中所要進行 分析比較的主角。
第二章 文獻探討
本章的主要目的在於探討有關於數學課程方面的相關論述，以嘗試尋求適 切的文獻背景作研究的理論依據，下列就將從五個部份來介紹：遷台前的數學課 程、數學課程典範的轉移、數學課程與學習心理、數學課程與社會意識形態、歷 年來各課程標準的特色。
第一節 遷台前的數學課程
要瞭解探討遷台後的數學課程之前，當然要先去瞭解遷台前數學課程沿革的 情況，以下將分成二個部分來介紹：清末民初的數學課程、北伐勝利後的數學課 程。
一、清末民初的數學課程
清朝末期時，我國廢科舉，興辦學校，實施「新教育」，可以說從光緒 29 年（西元 1903 年）11 月頒布「欽定學堂章程」開始（司琦，1971）。小學課程 即從此時產生。在這章程中，明定學堂分為初等學堂及高等小學堂。只要是七歲 以上的國民都具備入學初等學堂的資格，因為學生所學習的科目不盡相同，所以 把均為五年畢業的初等學堂將就讀的學生分為兩類：完全科和簡易科。其中，不 論是就讀完全科或簡易科，都要學習「算術」；而高等小學堂的學習年數以四年 為限，所學科目中也有「算術」一科。由於學堂章程所規定的科目太多，讀經時 間太重，所以又進行了兩次的課程變更。第一次的變更是在宣統元年（西元 1909 年）3 月，將初等小學分為二科三類，即五年畢業的完全科、四年畢業的簡易科 和三年畢業的簡易科，當中算術均是學習的課程之一。第二次的變更則是在宣統 二年（西元 1910 年）12 月，將三類初等小學併為一類，一律都是四年畢業，而 算術都是學習課程中必修科目之一（紀海泉，1957）。由此可知，雖然中國數學 在明清時期因與外國數學接觸而有所發展和改變，但是還是有不同的地方，其最 大的不同處在於，中國的數學「算術」，強調數學的計算，不像西方國家是以「數 學」為主，著重數學的邏輯推理（袁小明，2003）。
民國元年（西元 1912 年）9 月公布「小學校令」，規定小學校分初等和高等 二類，初等小學授業時間是四年，而高等小學授業時間為三年。因為孫中山先生 經歷 11 次大大小小的革命之後，推翻了滿清政府，在西元 1911 年建立了中華民 國，為了不使教育受到戰爭而有所耽誤，因此，中華民國政府規定凡是年滿六歲 的兒童均要送入初等小學就讀（含有強迫教育的性質），直至滿十四歲為止。而 不論是初等小學的七種科目或是高等小學的十種科目，在這些教學科目中，算術 均為其中一科（紀海泉，1957），可見算術在國小的課程中佔有一席之地。民國 4 年（西元 1915 年）7 月頒布「國民學校令」和「高等小學校令」。其中明訂國 民學校修業年限為四年，專收六歲至十三歲的兒童；而高等小學校三年即可畢 業。在國民學校和高等小學校授業科目的規定中，都可以發現到「算術」這一科 目的蹤跡（紀海泉，1957）。民國 12 年（西元 1923 年）6 月，國民政府頒定新 學制「小學課程綱要」，明文規定小學前四年為初等小學，課程有國語、算術、
社會（含衛生、公民、歷史、地理）、自然、園藝、工用園藝、形象園藝、音樂、
體育等。而高級小學為三年畢業，傳授課程中也有算術一科（紀海泉，1957）。
民國 17 年（西元 1928 年）10 月，教育部特別聘請專家，組織「中小學課程標 準起草委員會」，為全國中小學教育起草課程標準（紀海泉，1957）。雖然當時國 民革命軍為了軍閥擁軍自重、割地為王的作為，而進行了長達二年的北伐戰爭。
北伐正式起始於 1926 年蔣中正就職國民革命軍總司令並誓師北伐；完成於 1928 年 12 月張學良宣布奉吉黑三省改懸青天白日滿地紅旗。在這動亂不安的環境 中，中華民國政府仍舊不忘教育，積極地組織課程標準委員會，為中小學起草課 程標準。
二、北伐勝利後的數學課程
到了民國 18 年（西元 1929 年）8 月時，才將民國 17 年的課程標準起草整 理完成，由教育部通令頒布實施，稱為「小學課程暫行標準」（紀海泉，1957），
這是我國正式的小學課程標準。從當時數學課程的內容都偏向算術方面來看，反
2003）。
教育部自「小學課程暫行標準」頒布施行，並通飭各省市試驗研究以後，於 民國 20 年（西元 1931 年），將「中小學課程標準起草委員會」改組成「中小學 課程及設備標準起草委員會」，彙集各方對於暫行標準的意見，研究修訂正式的 課程標準（紀海泉，1957）。因此，到了民國 21 年時，將「小學課程暫行標準」
改稱為「小學課程標準」，這是我國第一次擁有正式的小學課程標準。其課程標 準主要是以算術課程教學為主，其修訂的數學課程要點：將商情估價的作業納入 算術科中，強調實用的技能，重視能將數學知識應用生活上（人教社課程教材研 究所，1999）。
到了民國 25 年（西元 1936 年）時，又再次修訂數學課程標準，這次稱為「修 正小學課程標準」，主要的目的是將珠算的課程融入於四、五、六年級的數學課 程中，這是我國第一次將珠算納入正式課程中。而其數學課程標準依舊是以算術 課程教學為主。
到了民國 30 年（西元 1941 年）時，開始修訂小學課程標準，於民國 31 年
（西元 1942 年）10 月公布「小學課程修訂標準」，此次的修訂與民國 25 年的標 準大同小異，在數學課程上並沒有什麼改變。所以，數學課程標準仍然是以算術 課程教學為主。
小學課程第一次修訂標準係在民國 34 年（西元 1945 年）9 月至 36 年 2 月 進行。因為民國 31 年所修正實施的課程標準，偏重抗戰時期一切的設施，為了 能適應勝利以後的需要，因此進行了這一次民國 34 年的修正（紀海泉，1957）。
此次修正的主要是算術課程由第三學年開始正式教學，低年級為隨機教學，換句 話說，就是一、二年級沒有設定固定的數學教學時間，而是融入於其他學習科目 中，利用其他的學科教學來進行數學的學習活動和經歷。隨機教學來自於美國的 教育界大師約翰杜威所提出「兒童本位」的教育概念，而在 1920 年代，美國組 成了「進步主義教育協會」（甄曉蘭，2004；陳進金、董群廉，2000）提倡實驗 主義，強調讓孩子「從做中學」，於是美國在 1920 年代開始有隨機教學的實施，
而我國有鑑於此，在民國 34 年，也將隨機教學納入小學數學的課程標準中，開 始實施（陶惠昭，1998；陳進金、董群廉，2000）。
到了民國 37 年（西元 1948 年）9 月時，教育部通令實施「小學課程第二次 修訂標準」，並訂有「小學課程標準實施辦法」通令各省市遵照，不料掀起國共 戰爭，到處皆是兵荒馬亂的局面，因此民國 37 年所頒布的「小學課程第二次修 訂標準」並未在台灣正式實施。直到民國 38 年（西元 1949 年）時，因為中國大 陸淪陷，國民政府播遷來台後，才在台灣和金馬地區開始實施新標準（司琦，
1971；徐南號，1996；陳進金、董群廉，2000）。
第二節 數學課程典範的轉移
要瞭解課程，我們必須理解知識（Davis, Sumara ＆ Kieren, 1996）。每一種 課程背後的知識取向都有其潛藏的教育價值存在，而課程的發展課題也由古典人 文學派的「知識中心論」，到進步主義的「兒童中心論」，再演變到社會重建學派 的「社會中心論」（甄曉蘭，1995）。
就課程的發展課題與課程取向背後的知識假設來分析課程典範的轉移現象 時，不難發現一開始是強調技術原理的「技術典範」，轉移到秉持實用精神的「實 用典範」，再傳遞到主張解放教育的「批判實踐典範」（李子健、黃顯華，1996）。
一、技術典範
技術典範主要是受到工具理性的影響，深信由實證分析法則所推演出來的客 觀知識是不涉價值、放諸天下皆不變的，也重視效率，喜愛經由驗證程序來建立 確定的原理與法則。所以認為只要控制學習環境與學習經驗就可以讓學習者產生 學習動機，因此十分著重課程發展與課程實施的效率與效能。技術典範將知識看 成是一套不變的程序和不容質疑的真理，這是獨立存在在客觀的現實中的，可當 成是一件物品來傳遞給學習者。由此可知，其課程實踐的主要任務就是要讓學生 能夠達到教育的目標，而課程發展的步驟就是要先規劃教學目標、選擇適當的學 習經驗、組織學習經驗、進行教學評鑑等。能夠成為技術典範的代表性人物就是 早期傳統課程理論的 Tyler（1949）。總而言之，技術典範認為課程的知識內容是 有固定邏輯結構與客觀的評判標準的（甄曉蘭，2004）。
二、實用典範
實用典範認為知識是人與人在文化、歷史、社會情境中透過互動而主動建構 的，重視溝通理解、語言的使用及其背後所隱含的意義。因此主張課程是由教師 與學習者之間的互動所形成的，唯有讓教師和學習者從課程內容中學習如何使用 詮釋和判斷能力，這才算是理想的課程設計。支持實用課程典範的知識觀是實用 主義，所以認定所有關於人的知識都是具有演化性質的，著重課程內容的選擇要 符合學生的需要和興趣，也就是所謂的以兒童為中心的課程。所以非常強調「教
育即過程」的觀點，認為課程就是生活的經驗，因此課程設計的主要課題就是尋 找可以促進學習者發展的內容，來讓學習者在動手操作的過程當中獲得知識。總 而言之，實用典範就是講求課程內容的合理化及其對學習者的發展具有正面的影 響，而其內容的呈現方式並不是實用典範所爭論的焦點，因為兒童透過學科學習 的經驗比學習學科內容更加重要（李子健、黃顯華，1996）。
受到實用典範的影響，使得研究者對 Piaget 的理論再進行檢視、評估與調 整，最終能發展出新的理論架構（Popper,1972）。von Glaserfeld（1991）認為 Piaget 的發生認識論（genetic epistemology）讓我們對知識論重新下定義，而這個新的 定義對數學教育而言，是引導我們去採取略偏實用主義的角度來看待知識的形成 過程，使得現在數學的教育觀與傳統教學目標不同。
故此，此時的數學教育已從倡導技術與原理的技術典範轉略偏向重視實用為 主的實用典範，強調學習不只是一種有目標的活動而已，而是要讓孩子進行有意 義的學習，所以教學目標就必須要配合孩子的成長與其生活經驗，才能幫助他們 去適應這世界。因此，類似行為主義反覆訓練的機械式教學已經被取代，改為強 調「學懂」的認知學習，而非只是「學做」的機械式學習。
正因為強調要「學懂」的認知學派非常關心「我們是如何學懂的」，這種哲 學觀延伸出建構主義、認知引導式教學、認知學徒制和真實的數學教育等四種不 同的理論取向。應用在數學課程上，可分成兩種不同方向：一是個人數學知識的 建構，另一是個人對已經擁有的數學知識進行重新建構。前者有時被視為「由下 而上」的研究方式，後者則是「從上而下」的研究方式（Gravemeijer,1997）。以 下研究在建構主義、認知引導式教學、認知學徒制以及真實的數學教育等四方面 來探討。
（一）建構主義
所謂的建構主義（Constructivism）就是主張個體與真實世界互動時才會建 構出知識。Cobb 等人（1991）主張：建構主義是認識論之一，而要評斷建構主
程上，在課室中數學的布題與解題，是否改變了典型教室中某些老師的想法與教 法。因此，建構主義並不是一種教學法，而只是一個單純的理論取向而已。
建構主義研究者認同以下的中心主題：每個個體所擁有的內在知識都不同；
每個個體都能建構出他們自己的內在心理結構表徵。因此，建構主義的觀點認為 當孩子開始上學時，他們已經具備了某些表徵的能力，面對未知的新情境，孩子 們可藉由此種能力去擴張知識。所以，數學學習中的社會面向帶動了知識發展
（Jaworski,1994）。Cobb 等人（1991）認為數學的意義是眾人約定成俗的，因此 數學教與學的活動是要循著原有的社會互動模式，也只有透過這樣子的社會互動 才能創造或修正數學。
由上可知，在形成數學知識時，社會因素是不可或缺的角色。但 Lerman
（1998）認為除了社會因素外，心理層面也佔極重要的地位，因社會學只能用來 描述現象，而當個體面對世界時，其內心對這世界所產生的意義並不會涉及社會 與文化生活，因此，Lerman 提倡所謂「數學教育的協商心理學」。
關於建構主義，學者有許多不同的觀點，但總共可歸納出三種要義
（Aubrey,1993）：第一種是不再把孩子視為知識的接收者，而是認為他們是知識 的主動製造者。他們會主動地去選擇、吸收、調適既有的經驗，讓自己去適應周 遭的世界；第二種是為了要達到數學化，孩子必須去經驗生活情境中的數學，而 非只是學習缺乏情境的數學學科內容。為了使孩子的學習變得有意義，也為了讓 他們可以進入數學領域去創造屬於自己的數學，因此我們就需要把孩子們已知的 數學和真實世界連結起來。換句話說，數學教學所連結的情境，對孩子們而言要 是「真實的」，並且是他們可認同的。第三種要義是，在數學課堂中絕對要關心 和認同每一個孩子參與數學解題活動的貢獻和付出，不論是教師或是同儕們都應 該要如此做，因為每個個體對那個情境已經產生獨一無二的察覺，此時只需要再 將他們個人既有的經驗引導到情境中即可。因此數學教學應該是豐富每個孩子的 數學策略，而非尋求統一的答案。
綜上所述，建構主義認為孩子解題的策略與解答才是數學教學的重點。在解
題的過程中，他們除了討論和分享自己的策略與解答外，還要學會互相批評，然 後才決定接受或拒絕其他孩子的策略與解答。而在討論與反思的過程中，孩子們 就會逐漸獲得有意義的發展。
（二）認知引導式教學
認知引導式教學（Cognitive Guided Instruction, CGI）是 Carpenter 的一個教 學方案，這個方案有特定的研究取向（Carpenter, Fenneman, Peterson, Chiang, and Loef, 1989），就是想要去了解和分辨孩子的數學策略，再從他們喜歡使用的策略 去設計教學。而這個教學方案是基於認知研究取向的一個重要想法－個體是運用 自己所擁有的非正式的解題策略去建構屬於他們自己的知識，這個方案主要的目 的是要讓老師瞭解孩子們的多元解題策略。從 Behr 等人（1992）的文獻中，整 理出以下四個基本的假設：
1、孩子自行建構他們自己的數學知識。
2、數學教學應該有組織，才能促使孩子建構知識。
3、應該以孩子數學思維的發展為基礎，設計一系列的數學教學主題。
4、應該要教導孩子如何去了解題意和解題等數學技巧。
總而言之，認知引導式教學主張先透過研究找出孩子在課室情境中使用的策 略，再提供給老師利用這些研究成果，將孩子的解題策略整理成教學綱要，最後 設計出一系列適合孩子的數學教學主題。
（三）認知學徒制
認知學徒制（Cognitive Apprenticeship）主張知識可以被視為一種狀態；透 過活動、情境和文化而造成的某種成果（知識在其中被使用、獲得發展），而知 識就是這個成果的一部分。這個研究取向的最主要的貢獻就是再強調有意義地進 行數學的教與學。唯有當孩子在某種情況之中必須去使用到數學，那麼孩子才最 容易去學會新的數學知識和技巧。Fennema 和 Franke（1992）認為孩子在學校被 要求所學到的知識，並非他們在日常生活中可以使用得到的，因為學校的活動和
學課程中的內容和他們的真實生活經驗相互連結起來，使他們的學習變得有意 義。若將這個理論與建構主義相比較，可以發現到與建構主義最大的不同處在於 這個取向採取從上到下的觀點。換言之，數學的知識仍然是依靠教師傳授而非學 生自行建構。
（四）真實的數學教育
真實的數學教育（Realistic Mathematics Education）這概念是來自 Freudenthal 的觀點，他認為數學是一種活動，而數學教育則是一連串引導孩子去發現的過程
（Freudenthal, 1973）。數學化一直都是數學教育的目的，當中包含了解題意、形 成問題和組織數學學科內容。而真實的數學教育所強調的數學化是除了在數學的 學科訓練中完成外，也可以在真實生活當中學習到。換句話說，真實的數學教育 所提到的數學問題可以是數學學科脈絡中的，也可以是每天日常生活中必須要面 臨的問題，例如：價目表、或是買賣物品等。因此，真實的數學教育主要關心的 是：一般化（類化、分類、結構化）和形式化（模型化、象徵化、圖示化及定義 化）（Gravemeijer, 1997）。
顯然地，真實的數學之觀點與建構主義有很多雷同的地方，唯一最大的不同 就是在於真實的數學是主張由上到下的觀點，強調老師在一開始時就要先確定要 給學生怎樣的數學主題內容，接下來，從孩子的解題策略和已經學過的內容開始 著手進行教學。從中我們可以發現到這個取向隱約透露出了解數字演算的重要 性，也就是說若只是重視孩子的解題策略，不一定能夠提高他們對數字運算的基 本技能（Beishuizen, 1997）。
就以上所述的建構主義、認知引導式教學、認知學徒制以及真實的數學教 育，可見實用典範就是強調以學生為學習的主體，引導他們進行有意義的學習、
吸收新知，讓他們在學校所學到的知識能夠應用於日常生活當中。
三、批判實踐典範
課程典範是由強調孩子進行有意義的學習的實用典範，傳遞到主張解放教育 的批判實踐典範，主要是受到社會重建學派的影響。批判實踐典範特別強調意識
的解放，企圖透過行動與探究來揭穿社會不公平、公正的價值，並且能夠進一步 尋求意識形態的突破與社會現況的改進。就這觀點來看，課程典範明顯與實用典 範的主張較為接近，與技術典範極不協調，因此教師必須要以實用性與興趣為基 礎來解放、轉化學習者的學習與觀念。所以從本質上來看，批判實踐典範認為學 習者可以透過本身批判性的實踐來得到解放，所以其所強調的課程內容著重於學 習是否能促進學習者的批判意識。批判實踐典範認為學習者擁有知識真確性的絕 對主權，這絕不是教科書或是教師本身所擁有的，這都是因為它認定知識本身除 了可以反映出事情真實的一面之外，還可以被個別學習者所相信和享有。因此對 批判實踐典範來說，要解放課程中有關知識論的、社會的以及實用的問題，才是 眾望所歸的，也堅持著課程內容應該避免受到階層意識的影響。總而言之，批判 實踐典範主要就是為了要解放學習者的思考，不被課程內容中的意識形態所洗 腦，除了促進學習者的批判意識外，也著重學習者是否能享有自己個別的知識，
有自己獨特的邏輯思考模式去解決問題並改善社會種種的現象。
受到批判實踐典範的影響，數學教育所探討學習是如何發生的研究取向已經 產生了變遷，正在從偏向心理學的觀點，轉變為略偏向社會心理學的觀點。因此，
數學教育的哲學議題也有了類似的移轉。這應該是因為人們對數學本質的觀點已 經產生了變化，從原本認為數學是被動而抽象的知識本體，進而轉變成數學的產 生與應用都來自於社會性（Lerman, 1990.Ernest, 1991. Nickson＆Lerman, 1992）。
故此，數學教育研究取向的變遷又從略偏向實用主義轉變為注重孩子在課室或群 體情境中的數學學習歷程，而這個學習歷程包括討論、協商及分享數學意義。所 以，學習目標就不只是單純地考慮教育效果，還要傳達下列三種本質：數學本身、
數學和人類的日常生活、來自人類活動的數學。最主要的是希望大家知道：數學 來自於社會，也用之於社會（Nickson＆Lerman, 1992）。
總而言之，數學教育研究的新方向已逐漸注重社會文化因素的影響。以較廣 的層次來說，社會就是一個數學教室，它會影響數學的教學與學習，也會影響所
批判的數學教育是由 Skovsmose（1994）所提出來的哲學觀，這應該是因為 數學教育愈來愈重視社會面向的發展，因此 Skovsmose 的研究也才朝向社會因素 去發展，而批判的數學教育的哲學觀點引發了大家重新去思考數學課程的本質，
也就是數學課程的目標、內容和教育思想（Lerman, 1998）。這個觀點主要是從 批判理論而來，Skovsmose（1994）認為如果要培養出具備批判性的公民，那麼 數學教育將扮演著極為重要的角色，所以，數學教育不能只是教導孩子有效率的 方法，使其成為科技社會的一份子，而是應該要給予孩子們機會，去發展出批判 的態度面對所處的社會。因此 Skovsmose（1994）主張在任何的數學教學中，除 了教導孩子要表達出他們所具備的數學概念外，也要讓他們學會做以下各面向的 反思：
1、這個教學的情境脈絡中，有哪些社會議題？
2、是否已經瞭解數學如何提供訊息幫助自己做決定？
3、一旦做了決定後，接著會生發哪些一連串的行為？
其實，在科技的社會中，數學知識是能夠帶給個人非常大的力量。因此，不 管所教導的學生年紀有多大，所有的數學教育工作者一定都要體會到不僅是讓學 生有效率地學習數學，還要讓他們更加瞭解數學在日常生活中做決定時所扮演的 角色（Knijnik, 1995. Skovsmose, 1994）。
就上述技術典範、實用典範和批判實踐典範的課程典範轉移，可知課程哲學 是最直接影響到課程的第一個因素，每當只要課程典範產生轉移後，數學課程所 強調和主張的原則也會隨之改變，因此，要去了解課程改變的情形之前，必須要 先明白課程典範是如何轉移的。
第三節 數學課程與學習心理
心理學將焦點放在人們如何學的問題上，課程專家則是詢問心理學家如何才 能有助於課程的設計與傳達（Ornstein＆Hunkins, 1998）。
因此長久以來，數學教育一直深受發展心理學與學習心理學的影響，特別是 在教學研究與教學實踐上，更是依照學習心理學的各家理論為立論的重要根據。
根據 Ornstein 和 Hunkins（1998）的分析，Tyler 將心理學當作是幫助決定課程目 標與學習任務進行方式的過濾網；Dewey 則認為心理學是了解個別學生如何在環 境中與其他人、物互動的基礎，而其互動品質則由學習的形式和多寡決定；Bruner 視心理學會與隱藏在不同學習知識體系背後的思考形式相連結，形塑學科結構的 概念、原理與通則。
基本上，心理學上學習一詞的涵義指的是：學習是因經驗而獲得知識或改變 行為的歷程（張春興，2002），究竟，在個體學習的歷程中，其行為或影響行為 的潛藏因素到底是怎樣改變的呢？歷來的心理學家提出了不同的解釋和主張，因 而產生了種種不同的學習理論，下列將就行為學習論和認知學習論進行更進一步 的探討。
一、數學課程與行為學習論
行為學習理論，簡稱行為論。其主要的理論觀點有二：其一是將學習歷程解 釋為制約作用（條件作用），強調學習是個體處於某些條件限制下所產生的反應，
因此行為學習論又稱為刺激－反應學習理論。其二是將個體學到的行為解釋為刺 激與反應之間關係的連結，換句話說，就是某一刺激原本不能引起個體某種固定 反應，但經條件作用後，就會在該刺激出現時做出該固定的反應。總而言之，行 為學習論主要是從行為主義心理學的基本要義而提出來的理論觀點，認為學習是 學習者在活動中，受到外在環境因素影響而使其行為改變的歷程，這歷程的改變 是需要在特定的環境刺激下所產生的適當聯結反應行為。在行為主義中有三種最 重要且對教育影響最大的理論：古典制約作用、操作制約與社會學習論。
（一）古典制約
古典制約最早是由俄國生理學家 Pavlov 所提出的，透過狗消化腺分泌變化 的實驗證實：原本不存在的某種行為，可經由外在的環境刺激後而產生該行為，
且若該刺激與反應持續一些日子後，則該反應將永遠存在了。Pavlov 的古典制約 實驗本來只限於對動物的研究，而後美國心理學家 Watson 採用該理論來解釋人 的行為，甚至擴大用來解釋人性。因此，被封為行為主義心理學的創始人，也是 主張教育是萬能的人。所以行為學習論強調可藉由一些條件作用：強化、類化、
辨別、消弱、自然恢復、二級條件作用及二級強化，來促進學習者的學習行為與 反應，並使其長久存在（張春興，2002）。
（二）操作制約
對操作制約行為學習論最有貢獻的人物是 Skinner，與古典制約一樣認為學 習就是刺激－反應連結關係的行為改變歷程，不同的是古典制約將學習解釋為刺 激替代，而操作制約則認為學習是反應強化的結果。因此，操作制約作用主張學 習是由環境刺激、個體的自發反應及增強作用三個要素所構成的，其中增強作用 是行為習得的重要關鍵，任何的個體自發反應，若是能帶來個體所需的回饋，那 麼該項反應將會被強化且予以保留。所以在制約的過程當中，只要能使學習者增 加其反應的一切安排，都稱為增強作用，在應用增強作用時，可採取強化作用包 含：立即增強、延宕增強、連續增強或部分增強的方式。而針對一些複雜行為的 學習上，則主張使用塑造原理，亦即採取連續漸進法將複雜的行為先分解成幾個 不同的循序步驟，再按順序逐個訓練學習者將多個反應連貫起來形成一種複雜行 為。當學習者經操作制約學習到某種反應或行為後，則可繼續採用類化、辨別、
消弱、自然恢復或晉級制約作用等原理來幫助學習者學習。（黃光雄主編，1991；
張春興，2002）
（三）社會學習論
Bandura 的社會學習理論主要是在解釋自然情境中的學習歷程，除了環境因 素的影響外，個體對於環境中的人、事、物的主觀認識與看法，才更是學習的重
要因素（黃光雄主編，1991；張春興，2002）。因此反對所謂的環境決定論，認 為只有在環境因素、個人對環境的認知及個人行為三者交互影響下，才能確定學 到知識和行為。社會學習理論強調在社會的情境中個體的行為學習，乃是經由觀 察學習和模仿而產生。主張觀察學習中的模仿絕非機械式反應，會受到學習者的 心理需求與認知能力等內在心理學習歷程的作用，而產生直接模仿、綜合模仿、
象徵模仿、抽象模仿等四種不同的學習模仿方式。Bandura 提出學習者主要的學 習要素有三：行為的楷模、楷模得到的增強、學習者對楷模行為的認知處理歷程，
強烈建議教學者應該選擇適當的學習楷模和示範者來建立其行為的功能性價 值，並且引導學習者的認知歷程來促進學習者的學習。
由以上古典制約、操作制約及社會學習論等三方面來看，我們可以知道行為 主義學習理論主要都是在探討學習是外顯行為改變的歷程，所以對學習者在學習 時其內在的認知心理變化就不多加解釋與論述，加上十分強調外在的環境刺激因 素對學習行為的影響，因此主張數學課程應該要研擬出一套可供觀察、測量的行 為目標模式，來指引教學者去組織學習經驗與設計教學活動，也鼓勵在教學的過 程當中，教學者能夠善用正增強與負增強的原則、方法來改變學習者的行為以促 進學習。
第一，古典制約的學習，基本上是刺激取代歷程。其運用在教育上即是強調 以舊經驗為基礎來學習新的經驗，最適合用來教導初學的科目，例如：數數、熟 練直式計算。第二，操作制約行為學習理論則認為操作行為是在增強的聯結關係 中所形成的，在新的行為形成後必須要借助間歇增強方式來使學習者的行為能夠 持續出現，因此建議教學者運用連續漸進式的編序教學法，依照學生的起始行為 和終點行為，編列一整套前後連貫的學習情境，來讓學生在學習情境中受到刺激 而主動產生出有效反應，提升其教學的效果。第三，社會學習論在教育上最大的 應用就是被用來解釋學生行為自律的問題，並且進一步擴大應用其觀察學習原 理，採取自我觀察、自我評價、自我增強等三個步驟來發展學生的自律行為。
編序教學法了。近來所強調的基本能力訓練的能力本位教育，與行為學習論所主 張的觀點相當吻合。根據 Ornstein 和 Hunkins（1998）的分析，近年來許多極為 盛行的課程方案與教學策略都使用行為學習論編序教學所強調的原則：測驗、監 測、練習與回饋。諸如 SQ3R 的訓練閱讀與語言發展的教學策略、電腦輔助教學 設計、精熟教學法、直接教學法及強調個別化教學的凱勒計畫等。
二、數學課程與認知學習理論
認知心理學之所以能夠異軍突起，是因為在三○年代到六○年代極為盛行的 行為主義心理學，對於人類的學習解釋只限於外顯行為的部分，忽略了內在的心 理歷程。因此，到了六○年代以後，才發展出認知心理學，其不僅在研究主題上 關注到對人類學習行為的內在歷程，而且在研究範圍上也擴大到人類認知學習的 各方面歷程，認為學習是個體對事物經由認識、辨別、理解，在既有的知識基礎 上獲得新知識的歷程。認知學習論並非一家之言，而是包含了許多學派的理論。
首先是認知結構學習論的 Bruner 所提出的發現學習理論與 Ausubel 所倡導的意 義學習理論。還有，就是六○年代以後 Simon 所主張的訊息處理學習理論。最 後是晚近所崛起的建構學習理論則是受到 Piaget 和 Vygotsky 的認知發展理論之 影響。
（一）認知結構學習理論
Bruner 所提出的發現學習理論，強調學生會主動對所要學習的事物去自然地 探索，進而發現事項變化的原理原則，是產生學習的主要因素，認為學習其實是 一種由個體主動參與處理訊息，並且能將訊息加以組織及建構而吸收的歷程。
Bruner 的發現學習理論在內涵上包含二部分：其一是對人類認知表徵的解釋，其 二是在發現學習論中的結構理念。Bruner 認為個體之所以會認識環境中的事物，
主要是因為其具備對事物的認知表徵的能力，這種能力將會隨著學習者的認知發 展而有所改變，而呈現出不同的表徵方式，依照認知表徵的先後順序分別為：動 作表徵、形象表徵及符號表徵。另一方面，Bruner 主張知識結構的學習成效與呈 現方式之間有著密切的關係。強調任何知識都可以依照其表徵方式、經濟性與效
能，加以有系統的組織起來，然後用最簡單的方式來教導學習者，使其能用認知 瞭解的形式呈現出來（黃光雄主編，1991；張春興，2002；Bruner, 1966）。Bruner 對於學習歷程的看法，則是認為除了直覺思維是發現學習的前提之外，更一再強 調學習情境的結構是有效學習的必要條件，認為擅用事物概念之間的關聯性，來 建立結構化的學科知識，不但可以有助於學習者在學習上的理解和記憶，而其原 則原理更能產生類化作用和學習遷移，以及培養學生擁有執簡御繁、吸取較高層 知識、獨立思考的能力（Bruner, 1960）。
所謂有意義的學習，意指配合學習者能力與經驗的教學，在充分的先備知識 基礎上教導其學習新的知識。Ausubel（1977）所倡導的意義學習理論主要是以 概念層次來解釋個體的認知結構，他將概念分成主導概念和附屬概念兩個層次，
其中主導概念代表學習者對事務的整體認識，而附屬概念則是學習者對事物特徵 的細部記憶，也就是學習者汲取新知的先備基礎，主張學習者在學習新概念形成 新知識時，會用自己既有的先備概念去檢核所要學習的新概念，並且會試圖將新 概念融入已有的認知結構中，進而同化為自己的知識。所以，Ausubel 特別提出 前導組織的主張，希望在學習新知識之前，教學者能先將新知識的主要概念提出 來，與學習者既有的概念結合，而後引導學習者進入學習的狀態，這就是有意義 的學習了（張春興，2002）。
（二）訊息處理學習論
由於電腦的發明與應用使得認知心理學的研究更加便利，因此認知心理學才 能發展出新興的學習理論－訊息處理學習論。訊息處理學習論視學習者從接收刺 激到表現出反應的內在心理活動為訊息處理的過程，試圖應用電腦處理資訊的流 程方式來解釋學習者如何在環境情境中汲取並運用知識的歷程，即如何經由感官 的察覺、注意、辨識、轉換、記憶等內在心理活動，來促進學習。主張個體要透 過察覺外界所給予的刺激並將其作為訊息來處理時，必須經過感官收錄、注意、
短期記憶、複習、長期記憶等訊息處理的階段，才能產生持久且有效的學習歷程。
索、輸出等心理表徵的轉化而形成（林清山，1989；黃光雄主編，1991；張春興，
2002）。
（三）建構學習論
近來年，在教育的理論應用上，建構主義受到極大的重視及使用。其實，建 構主義是一種討論知識論的理論，它結合了科學的哲學及當代知識社會學對知識 的本質及知識的產生與獲得的解釋，並且擷取了 Piaget 和 Vygotsky 認知心理發 展理論的重要概念，提出了有別於之前傳統的知識論觀點，對教與學產生了新的 看法，換句話說，就是推翻傳統的以教師的教學行為為中心的知識傳遞觀點，而 倡導以學習者的學習活動為中心的知識建構觀點。建構學習論認為學習是個體去 主動建構知識的過程，強調學習者在學習的歷程中，要以自己既存的知識為基 礎，來建構學習的意義。Piaget 利用帶有生物學色彩的認知發展研究，強調知識 的建構是透過學習者本身的認知基模在同化與調適中尋求平衡而產生的，所以是 無法假借他人（例如教師）之手而建構學習的，因此主張學習認知活動應以學習 者的先備經驗為基礎（也就是基模），才能進行有意義的學習；而 Vygotsky 則是 強調社會文化的認知發展論，其論述著重在社會文化和語言發展對於學習的影 響，強調知識是在社會的合作與互動之下，透過協商和討論而形成共識的結果，
主張學習是一種社會建構的歷程，所以學習社群中他人的意見和看法都會深深地 影響個體的知識建構（張春興，2002）。下表 2-1 將比較 Piaget 和 Vygotsky 兩個 理論之間的異同之處（林清山，1989；黃光雄主編，1991；張春興，2002）：
表 2-1 Piaget 和 Vygotsky 理論的異同處
Piaget Vygotsky
相同處 ＊認為知識是學習者建構而來的
＊強調認知是持續不斷的歷程
＊學習者擁有主動建構知識的能力
＊認知作用具有適應性 相異處 ◎認為發展先於學習
◎個人建構觀點
◎強調學習者本身的運思
◎重視個體認知發展階段
◎以兒童為中心
◎強調操作學習、認知衝突
◎認為學習先於發展
◎社會建構觀點
◎強調文化和語言
◎重視教學者給予的鷹架
◎偏向以環境為中心
◎強調合作學習、交互教學、
鷹架作用
以上所述的認知結構學習理論、訊息處理學習論以及建構學習論對於數學課 程的設計與教學產生了許多改變。首先，Bruner 的發現學習理論對於數學課程的 貢獻就是確立了啟發式教學的理論，而且其所強調的學習情境結構概念，引發課 程與教材的編制開始重視學科結構的實踐。Bruner 強調教學者的教學不是將知識 強灌給學習者，而是要啟發學生，使其主動地去探究新知，所以主張教學者的主 要任務就是要提升學習者的學習準備度，教導學習者去學習如何思考，如何從教 學的活動中發現原理原則，如何去組織自己在探索過程中所獲得的知識。並且認 為應要針對學習者的心智發展程度和認知表徵的方式，設計課程的難度和邏輯的 先後順序，使學習者的知識經驗能夠前後銜接，因而形成正向的學習遷移，所以 提出了螺旋課程的建議，將課程內容依照年級的上升而作出多次的循環，漸漸地 加深加廣，藉此增加學科的結構性而有利學生學習（Bruner, 1960）。而 Ausubel
的意義學習論在課程與教學上的應用則是闡釋型教學法，強調教學者在進行教學 前應要詳細規劃教材內容，且依據學習者的經驗能力，將課程內容組織成為有系 統的知識，而後條理分明地講述給學習者聽，並予以引導，使之瞭解。建議教學 者可以採取三個教學步驟來促進學習者有意義的學習：提供前導組織引導學習者 進入新知識學習的準備狀態、有組織有系統地呈現學習材料，並且依照漸進分化 與統整調和的原則，清楚明白地講述教材內容，以幫助學習者分辨新舊知識的差 別，進而建立整合性的知識整體（張春興，2002）。
第二，Simon 的訊息處理學習論由於為人類的認知學習過程提供了最具科學 性的解釋，所以在教學上成為最被廣為運用的學習理論。訊息處理學習論特別強 調教學中應該教導學習者應用不同的學習策略，來幫助學習、記憶不同的知識，
不僅建立了知識分類的心理基礎，還衍生出了後設認知的學習理論（張春興，
2002）。
最後，建構學習理論雖是近年來才崛起的教學理論，但卻對教學實踐產生了 許多的影響，並且改變了較多傳統的教學觀念和做法，一方面鼓勵學生反省和思 辯，另一方面主張合作學習。強調知識的獲得不但是個體心智建構的歷程，也是 協商、質疑和辯證的社會互動過程，倡導學習者勇敢發表自己的想法和意見，且 提供機會令學習者能夠充分溝通意見，共同參與合作的學習歷程，所以教學的情 境應是多元的、彈性的、非正式的動態教學設計。至於評量方面則重視個體的概 念是否轉變及心理能力有否提升，而非如傳統教學般著重在學習結果是否達到預 定的目標。
總而言之，以上三方面的論點，主要是在闡述認知學習理論就是主張先瞭解 人是怎樣去獲得知識，而後再藉此去訂定學習知識的策略。所以不論是發現學習 論、意義學習論、訊息處理學習論或是建構學習論在課程設計與教學上都強調：
學習者能主動參與學習活動、強調認知結構與知識結構的重要性、重視學習者在 學習新知時的先備知識、在設計數學課程時應著重資訊的結構和組織及呈現邏輯 次序、運用學習情境的設計使學習者能將新舊知識相結合。
第四節 數學課程與社會教育學
觀看台灣社會，數學課程除了存在著學校與課程背後的意識形態之外，還因 為本身屬於儒家文化圈（如中國香港、台灣、新加坡）之一，所以深受儒家文化 思想的影響。有鑑於此，下面將介紹華人地區特有的儒家文化傳統思想、儒家文 化對數學教育的影響、儒家文化圈學習者的典型特色以及學校與課程的意識形 態。
一、儒家文化
儒家文化指的就是「孔孟思想」。孔子是中國偉大的思想家、政治家和教育 家。他在政治、經濟、哲學、倫理、教育和藝術等方面提出的主張，構成了中華 傳統文化的基礎。從現代的角度看，儒家學說中，平政愛民和舉用賢才的政治思 想，是以“仁”爲核心的道德規範和“人爲貴”的管理理念，不僅超越了時代，而且 還超越了國界。
在人類歷史上，以儒家文化爲基礎的中華文明是唯一沒有中斷過的古代文 明。在過去 2000 多年時間中，因為中國各朝的戰亂不斷，使得儒家文化的發展 道路十分相當曲折和坎坷，但其強大的生命力始終沒有減弱和停息過。究其原 因，儒家文化及其價值觀早已成爲中華民族精神的重要因素，那些關於做人、處 事和立國的名言早已深入人心，並在潛移默化中傳布到社會生活的各個角落。
儒家文化強調對尊長的服從，信仰對祖先的崇拜，由此產生了強烈地對故土 的留戀感和民族自豪感，「忘了祖宗」成了最難聽的罵人話，生兒子延續香火是 最大的生活希望。儒家文化圈各民族的移民總是懷念故鄉，很難和當地文化融 合，自己人之間卻有很強的互助性，在移民地形成自己的文化島。
二、儒家文化對數學教育的影響
在過去幾十年間，儒家文化圈的學習者（包括台灣、中國大陸、香港、日本、
新加坡、韓國）在一些國際性的數學競賽中取得極為亮麗的成績，例如：國際數 學奧林匹克競賽（IMO）、國際教育發展評鑑（IAEP）、第三次國際數學與科學
社會學家、教育家以及心理學家大為吃驚（Lau, 1996 ; Watkins＆Biggs, 2001）。
這是由於他們長期對儒家文化圈的學習環境有著誤解而造成的，大部分的研究者 都認為儒家文化圈的學習環境有以下的特徵：
1、學習強調背誦和記憶；
2、學習者都是被動的學習；
3、大班授課；
4、以教師為中心的教學；
5、以教師為權威。
這樣子的學習環境與有利於學習的環境相差了十萬八千里遠（Biggs＆Moore, 1993）。誠如 Biggs（1994）所言，儒家文化圈的班級特別大，每一班通常都超過 40 人，在西方學者的眼中，我們的課室充滿了高度威權主義，教學方法大多是 以教師講授為主，而學生學習的目的都是在為了準備校內外大大小小的考試。而 考試本身所需要的知識水平並不高，但競爭卻是十分地激烈，在這樣的學環境 中，不僅讓教師承受了許多壓力，也加重了學生的考試負擔。故此，許多學者對 於儒家文化圈的學習者均不看好，對於在儒家文化下進行數學的學習也都抱持著 懷疑的態度。
三、儒家文化圈學習者的典型特色
研究者整合了 Hofstede（1983）的研究與 Schwartz（1994）的研究，從中確 認了社會分層、紀律和高成就取向為儒家文化圈地區（如中國香港、台灣、新加 坡）的共同價值觀。儒家文化也經常被認為是一種集體主義文化
（Kim,Triandis,Kagitcibasi,Choi＆Yoon, 1994）。下面幾點通常都被認定是儒家文 化學習環境下的顯著特點：社會－成就取向（Yu, 1996），這有別於西方的個體 成就取向，強調要勤奮，也將成功都歸因於努力不懈的精神，深信熟能生巧（Bond, 1996 ; Bond＆Hwang, 1986 ; Cheng, 1994 ; Hau＆Salili, 1991, 1996）。總而言之，
儒家文化圈的學習者給人的印象就是勤奮刻苦，而不一定是天生聰明的。
曾有人認為儒家思想與中國傳統的文化體制，跟中國是以農立國有關（Stover,
1974）。這樣子的農業經濟把大部分人扎根在土地上，農民的一切以實際生計為 考慮（Bond＆Hwang, 1986）。因此嚮往社會成就取向就成了儒家文化圈學生表現 出色的原因之一，這是由於儒家文化認為評價一個人一生的成就不僅在於自己為 子孫留下了什麼，也在於自己對於社會有什麼貢獻，因為人們相信，每一個人都 能透過立德、立功、立言（即三不朽）來延續生命，這些因素就是儒家文化社會 成就取向的源頭（錢穆，1976；徐南號，1996）。
四、學校與課程的意識形態
Apple（1979 , 1990）認為學校中所有的知識，從選擇、組織到評鑑都是受 到價值支配的選擇，而所支配它的就是社會和經濟的意識形態。學校所實施的課 程其實是集結許多涉及價值的知識形成的，而所傳遞給學習者的知識和文化都會 受到權力的影響，這些權力是來自不同階級、性別、種族、利益團體間的複雜關 係（Apple, 1992）。
學校教育是有價值導向的，幾乎所有的教學活動的目標與內涵都是透過學校 課程的落實來保存或建構價值的知識和文化資產，學校也就像是社會的縮影，學 生在學習的過程中，社會中的特定條理、價值和規則將潛移默化至每個學生的心 底。換句話說，學校的教育除了教導學生學科內容外，也引導他們養成在社會上 所需種種素養、品德、規範與價值觀。
不可避免地，學校的課程不僅是教師和學科專家所關心的焦點，也是家長對 其孩子所期望學習的內容，更是社區人士和政治人物經常爭論的問題，因此，學 校課程的發展和形成，不但是一種政治歷程，也是一種社會哲理推論的形式，希 冀經由社會的營造和學校環境的建構，來實現好的生活（Beyer＆Liston, 1996）。
總而言之，關於學校課程形成的種種爭論，不只是在於什麼樣的知識該被組 織，也非僅止於如何組織知識來幫助學生有意義的學習，更不是只關注如何引起 學生的學習動機。其實，學校課程實際上是受到意識形態所影響而決定的，因此 在進行教育知識的研究時，我們會去研究在特定的歷史時間點中、特定的團體
早期的教育社會學較關心教育與社會進步的關聯以及教育機會均等的問 題，主張教育是促進社會進步、經濟成長的重要力量，也具有社會階級流動與社 會控制的功能。直到七○年代，教育社會學受到新馬克思主義的影響，興起了新 教育社會學，才將對學校教育所關注的焦點轉向有關知識、課程和文化政治上，
主要批判探討的議題在於學校知識如何反映社會菁英主流文化、如何不利於勞工 階級的學生，以及教育與社會經濟發展、教育機會不均等的結構和過程等問題。
就教育社會學與新教育社會學的本質上而言，均認為學校教育是一個文化再製與 政治角力的場所，存在著一股結構上的壓迫力量，所形成的教育內容與價值，通 常都是在政治上、文化上與經濟上掌握到權力之群體的利益和論述。
雖然七○年代所興起的新教育社會學所提出的社會結構與權利和組織關係 的基本假設，使得課程的知識社會學研究得以蓬勃發展（卯靜儒，2002），但是 一直到了八○、九○年代以後，教育社會學將論述的目標轉向關於文化政治、知 識及課程的議題，時常與有關民主、性別、種族、族群等問題相連結，並予以更 多的關注（Apple, 1996）。其實近二十年來在新教育社會學的基本觀點上，將學 校教育視為是一種文化政治的場域（Gieoux, 1989），是不同性別、種族、社經背 景的群體，爭奪文化生產的競技場，認為學校教育只是進行社會階級再製的步驟 而已，往往只鞏固優勢階級、群體的文化價值，忽略了弱勢個體及其文化經驗的 價值，因此許多批判典範的學者利用批判的觀點，反省學校教育中文化宰制現 象，並且鼓勵教師成為轉化型的知識份子（Gieoux, 1988），建構學生的主體身分 認同，讓受到不平等待遇的弱勢族群獲得更多的自主與自由，進而達成解放教育 與社會正義的理想。
我們應該如何去省思學校課程背後的意識形態？Brameld（1956）曾對意識 形態有很好的解釋：意識形態就是綜合了個體的態度、信仰、想法、目的與風俗 而成的，或多或少都正確地呈現出該文化的實際內涵與運作情況。Posner（1998）
也整理了一些關於如何省思課程背後的意識形態之問題：
1、什麼樣的知識才算是合法的學校課程？
2、課程組織能促成或預估教師與教學內容間的階層制度合法化的程度到 達何處？
3、課程要怎樣才能使學校達到社會再制的目的？
4、誰握有獲取優勢知識的權力？
5、合法性的知識由誰來決定的？
6、合法性的知識滿足了誰的利益？
7、教育的評鑑模式怎樣去促成課程知識的合法化？
8、學校的分類功能與教育功能哪一種的比較顯著？
9、學校潛在課程的特色是什麼？對於正式課程的教導有何助益？
總而言之，意識形態形成是有其社會文化根源的，或者是在反應某階級或群 體的利益、個體的自我利益，或為反應其經濟結構、文化政治、社會狀況，而影 響個人或群體的態度、思想、行動和價值。因此，在探討課程意識形態時，我們 必須將焦點放在觀念的深層反思和批判上，千萬不可忽略教育意識和根深蒂固的 社會信念、文化價值、政治信仰及心理態度之間的關係。
第五節 歷年來各課程標準的特色
下列將分成七個部分進行介紹，分別為民國 41 年的、民國 51 年的、民國 57 年的、民國 64 年的、民國 82 年的、民國 89 年的和民國 92 年的課程標準特 色。
一、民國 41 年課程標準
民國 41 年的課程標準主要是延續民國 37 年的小學課程第二次修訂標準」，
教育部將其定名為「國民學校課程標準」。民國 41 年的課程標準其實就是算術課 程標準，其特色與民國 37 年所強調的重點一致，就是明定低年級（一、二年級）
時沒有固定的算術教學時間，只在各學科中隨機教學，也就是說必須在其他學 科，例如國語、常識或是工作唱遊教學的時間內，遇到有數學或是算術教學機會 時才隨機實施教學，因此稱之為「隨機教學」。到中年級以後，就明列固定的時 間來教導算術了（陳進金、董群廉，2000）。
隨機教學的概念來自於美國。在二十世紀之際，受到科學運動、心理學及學 校和社會的進步運動的影響，Dewey（1916）與進步教育者提出了新的教育理念 和課程思想。認為學校的課程應該是以兒童為中心，需要配合兒童的發展與生活 經驗，所有的學習都是要擴展兒童的經驗、促進心智發展而非訓練。另外，Dewey 也認為教育和民主都是社會的過程，因此企圖要將學校教育與民主連結，使學校 教育能培養出具備民主素養的公民（Dewey , 1956 ;Ornstein＆Hunkins, 1998）。故 在 1920 年代，盛行實驗主義，因兒童的數學觀念發展較遲，因此才將數學教育 延後，到三年級才正式開始學算術，這就稱作「數學隨機教學」時期（陳進金、
董群廉，2000；邱石虎，2007）。
民國 41 年的課程標準的特色除了隨機教學外，還有就是算術課程屬於雙循 環式，亦即分為初級級任（1~4 年級）與高級級任（5~6 年級）兩階段的課程，
這兩階段的課程均採取螺旋式的課程安排（邱石虎，2007）。
二、民國 51 年課程標準
雖然美國在一九二○年代因盛行實驗主義而推動隨機教學，但後來強調算術
教學重在意義化，使兒童了解其意義，而教學時間仍然應該在一年級甚至於是在 幼稚園的時候就開始培養基礎數學概念，因此又倡導要恢復正常教學，這時期稱 為意義化教學時期（陳進金、董群廉，2000）。故在 1945 年的時候，美國的算術 教學協會正式宣布停止實施隨機教學，但當時因為我國正值抗戰時期，根本就不 知道美國早已停止隨機教學的政策，所以我們在民國 37 年時才開始實施隨機教 學。
直到 1950 年 6 月韓戰爆發，美國派兵協防台灣之後，台灣的局勢算是穩定 了下來，因此與美國之間開始恢復了往來，知道他們早就停止了數學隨機教學。
加上在民國 46 年曾經進行「全國第一次國校課程標準實施概況調查研究」，在這 項調查中得到一結論：有 69.57﹪贊成廢除隨機教學，主張恢復定時教學、修改 現行課程的占 73.91﹪，故在民國 51 年修訂數學課程標準時，才取消隨機教學，
將低年級的算術教學改為定時教學（陳進金、董群廉，2000）。
民國 51 年的課程標準的特色除了取消前一次提倡的隨機教學之外，還實行 六年一貫的算術課程標準，也就是說從一年級到六年級都有完整的課程標準、分 段目標和固定的教學時間。民國 51 年的課程標準除了取消隨機教學和實施六年 一貫的算術教學外，還可以從課程標準中去發現到非常強調筆算和心算。這筆算 和心算可不是隨便說倡導就倡導的，這可是經過教育實驗研究所得到的結果。進 行此項教育實驗的人即為陳梅生先生，他當時的實驗研究計畫為「算術科教學最 初五分鐘加心算與不加心算之效果比較」，研究結果發現採取五分鐘心算的算術 成效比較高，因此，才在民國 51 年課程標準中，加入筆算和心算這一項要求（陳 進金、董群廉，2000）。
而在民國 46 年所進行的「全國第一次國校課程標準實施概況調查研究」中，
其結論除了贊成廢除隨機教學外，還從中獲知日常生活常會使用到的算術以整數 的應用最多，在計算方法中又以加法和乘法分別佔居前二名，接下來才是減法，
最後是除法。至於應用到數目的大小，以個位數最多，二位數次之。而關於分數
