以認知診斷模型建置四年級小數單元電腦化適性補救教學系統及成效評估
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(2) 謝辭 時光荏苒，長達三年多的研究所求學歷程終於劃下了句點。這段時間雖然辛 苦，但在工作之餘能重拾書本吸收新知，除了再次感受學習的喜悅之外，也讓我 重溫了當學生時的甜美與苦澀，留下許多美好的回憶。 能夠順利完成碩士的學業，首先感謝指導教授施淑娟博士，在她循序漸進的 辛勤指導下，引導我發現問題之所在，指引我解決問題的方法，常常令我茅塞頓 開，使我能走向正確的研究方向。在平時討論的過程中，老師總能一針見血地點 出我的盲點，也會適時給予鼓勵，激勵我更有信心。這三年在老師的指導下，令 我獲益匪淺。 此外，感謝口試委員郭伯臣教授與吳慧珉教授，在論文完成前能不吝給予適 切的指教，以不同的觀點來提供寶貴的意見和想法，使得本論文的結構能夠更加 嚴謹。 再來要感謝好同學們哲筠、淑珊、懷祖和貞甫，在學習的道路上有你們互相 扶持，在討論時能不時增添笑語，舒緩緊張的心情，也讓我留下許多美好的時光。 我也要感謝文光國小的同事們熱心的給予我許多的協助與關心，讓我能順利的完 成論文。 最後，我要感謝我的父母親及家人，有你們默默的支持及鼓勵，讓我無後顧 之憂，給予我最大的力量，才能讓我完成研究所的學業。願將從研究所畢業這一 份榮耀與你們共享，也祝福你們永遠平安健康。. 林書鴻 謹誌 於國立臺中教育大學教育測驗統計研究所 中華民國一０二年七月.
(3) 中文摘要 本研究依據九年一貫數學領域相關能力指標及分年細目，編製國小四年級小 數單元的認知診斷測驗及補救教學媒體，分析預試資料測驗層次之模型適配度及 能力屬性辨識率來決定最佳認知診斷模型，以此最佳認知診斷模型建立電腦化適 性補救教學系統，並評估傳統補救教學法與以此系統進行之電腦適性補救教學的 學生學習成效與延宕成效之差異。 研究結果摘要如下： 一、 以小數單元為內容編製的診斷測驗工具之Cronbach’s 值為0.850，平均難 度為0.705，平均鑑別度為0.512，試題品質佳。 二、 在測驗層次模型適配度及能力屬性辨識率方面，DINA模型均優於G-DINA模 型與DINO模型，故本研究所編製的測驗以DINA模型為最佳認知診斷模型。 三、 在整體能力屬性的進步率方面，使用電腦化適性補救教學的進步率優於使用 傳統補救教學，且使用電腦化適性補救教學學生的能力屬性進步個數之平均 值為3.712個。 四、 接受不同補救教學法之學生在學習成效上有顯著差異，電腦化適性補救教學 的學習成效優於傳統補救教學。 五、 不同的補救教學法對高能力組、中能力組及低能力組在補救教學成效上皆有 顯著差異，且實施電腦化適性補救教學都比傳統補救教學有更顯著的進步， 進步的幅度由大到小依次為低能力組、中能力組、高能力組。 六、 電腦化適性補救教學對不同性別之學生在小數學習成效上並無顯著差異，故 本研究所採用的電腦化適性補救教學不會因性別不同而影響學習成效。 七、 不同補救教學法對學生的補救教學之延宕成效沒有顯著的差異，也就是實施 約2節課的電腦化適性補救教學與傳統補救教學的學生在延宕學習成效上並 沒有顯著差異。 關鍵字：認知診斷模型、DINA模型、電腦化適性補救教學、小數補救教學. I.
(4) The Effect of Computerized Diagnostic Tests and Adaptive Remedial Instructions Based on Cognitive Diagnostic Models in the Grade 4 Decimal Unit. Abstract The goal of this research is to integrate information technology into instructions of decimal by designing computerized diagnostic testings and remedial instruction media based on cognitive diagnostic models for the fourth grade students . The diagnostic tests and the remedial instruction media are designed, according to the capability indicators and annual items of the nine year integration program. After the test is administered, the optimal cognitive diagnostic model is decided by analyzing test-level model fit and conceptual diagnostic accuracy. The computerized adaptive remedial instruction system is built by means of the optimal cognitive diagnostic model, the diagnostic testings and the remedial instruction media. The experimental group is carried out the computerized adaptive remedial instruction, and the control group is carried out the traditional remedial instruction. By using the computerized adaptive remedial instruction system, the effectiveness of remedial instruction and the delayed effectiveness of remedial instruction are evaluated.. The results of this study are briefly outlined as follows: 1. The Cronbach’s. index of diagnostic test tool which is designed based on the. decimal unit is 0.860, the average difficulty index is 0.705 and the average discrimination index is 0.513, indicating that the test has a good quality.. II.
(5) 2. In this study, the optimal cognitive diagnostic mode is DINA model. 3. The progress rate of whole conceptual skills in the computerized adaptive remedial. instruction is significantly higher than that in the traditional remedial instruction. For students in experimental group, the average incresing amount of conceptual skills is 3.712. 4. The difference of the remedial instruction effectiveness in the experimental group. is significantly better than that in the control group. 5. The differences of the remedial instruction effectiveness in the high competency. class, in the medium competency class and in the low competency class are all significant. The low-ability students in the experimental group have more significant progress than others. 6. In the field of remedial instruction effectiveness, the male students and female. students are showed no significant difference. 7. The difference in the delayed effectiveness of remedial instruction is not significant. for students in the computerized adaptive remedial instruction and students in the traditional remedial instruction.. Keywords: cognitive diagnostic models, DINA model, computerized adaptive remedial instruction, remedial instruction of decimal. III.
(6) 目錄 摘要...............................................................Ⅰ 目錄...............................................................Ⅳ 表目錄.............................................................Ⅵ 圖目錄.............................................................Ⅷ 第一章 緒論.........................................................1 第一節 研究動機.................................................1 第二節 研究目的.................................................2 第三節 待答問題.................................................3 第四節 名詞釋義.................................................3 第五節 研究範圍與限制...........................................5 第二章 文獻探討.....................................................6 第一節 認知診斷模型.............................................6 第二節 小數教材分析............................................15 第三節 小數迷思概念............................................19 第四節 適性補救教學……........................................21 第三章 研究方法....................................................27 第一節 研究架構................................................27 第二節 研究流程................................................30 第三節 研究對象................................................32 第四節 研究工具………………....................................33 第五節 認知診斷模型評估指標....................................47 第六節 資料的處理與分析…......................................49 第四章 研究結果與討論..............................................51. IV.
(7) 第一節 不同認知診斷模型之適配度分析............................51 第二節 電腦化認知診斷測驗之試題品質分析........................53 第三節 DINA模型估計電腦化認知診斷測驗之能力屬性通過率分析......56 第四節 不同補救教學法在學生學習成效之差異分析..................58 第五節 電腦化適性補救教學法對不同性別學習成效之差異分析........66 第六節 不同補救教學法在學生補救教學延宕成效之差異分析.. .......67 第五章 結論與未來研究建議..........................................70 第一節 結論....................................................70 第二節 未來研究建議............................................70 參考文獻...........................................................72 中文部分.......................................................72 英文部分.......................................................76 附錄...............................................................79 附錄一 預試紙筆測驗卷..........................................79 附錄二 自編電腦補救教學媒體範例................................83 附錄三 DINA模型估計正式施測實驗組學生前後測所具備的能力屬性一覽 表......................................................92. V.
(8) 表目錄 表 2-1-1 整數四則的概念............................................................................................9 表 2-1-2 整數四則的選擇題例題................................................................................9 表 2-1-3 整數四則選擇題例題的Q 矩陣...................................................................9 表 2-1-4 受試者的概念狀態......................................................................................10 表 2-1-5 DINA模型相關研究..................................................................................11 表 2-1-6 DINO模型相關研究..................................................................................13 表 2-1-7 G-DINA模型相關研究..............................................................................14 表 2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材分析表......................................15 表 2-2-2 四年級「小數」單元分年細目、內容、說明及對應能力指標.............17 表 2-3-1 本研究之能力屬性、小數迷思概念及參考文獻對照表..........................20 表 3-4-1 本研究所採用之 Q 矩陣設計表.................................................................33 表 3-4-2 預試試題與能力屬性對照表......................................................................34 表 3-4-3 試題命題卡..................................................................................................35 表 3-4-4 預試信度Cronbach’s α值分析表.................................................................36 表 3-4-5 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度分析表......................................38 表 3-4-6 認知診斷模型分析預試之試題參數..........................................................39 表 3-4-7 預試第1題修題前後試題對照表................................................................41 表 3-4-8 預試第15題修題前後試題對照表..............................................................42 表 3-4-9 預試第18題修題前後試題對照表..............................................................42 表 3-5-1 認知診斷模型之選模準則公式..................................................................47 表 3-5-2 能力屬性辨識率判定方法..........................................................................48 表 4-1-1 測驗層次之模型適配度指標......................................................................51 表 4-1-2 不同認知診斷模型診斷結果與專家判定結果之能力屬性辨識率.........52 表 4-2-1 電腦化認知診斷測驗試題難度、鑑別度及刪題後信度分析表.............53. VI.
(9) 表 4-2-2 電腦化認知診斷測驗DINA模型參數估計值............................................55 表 4-3-1 實驗組與對照組學生前後測能力屬性通過率及進步率分析表…….....57 表 4-4-1 不同補救教學法之單因子共變數分析之敘述統計摘要表......................58 表 4-4-2 不同補救教學法之迴歸係數同質性檢定摘要表......................................59 表 4-4-3 不同補救教學法之單因子共變數分析摘要表..........................................59 表 4-4-4 高能力組單因子共變數分析之敘述統計摘要表......................................60 表 4-4-5 高能力組不同補救教學法之迴歸係數同質性檢定摘要表......................61 表 4-4-6 高能力組不同補救教學法之單因子共變數分析摘要表..........................61 表 4-4-7 中能力組單因子共變數分析之敘述統計摘要表......................................62 表 4-4-8 中能力組不同補救教學法之迴歸係數同質性檢定摘要表......................62 表 4-4-9 中能力組不同補救教學法之單因子共變數分析摘要表..........................63 表 4-4-10 低能力組單因子共變數分析之敘述統計摘要表....................................63 表 4-4-11 低能力組不同補救教學法之迴歸係數同質性檢定摘要表....................64 表 4-4-12 低能力組不同補救教學法之單因子共變數分析摘要表………….......65 表 4-4-13 高、中、低能力組前測、後測調整後平均數及進步分數一覽表.......66 表 4-5-1 實驗組不同性別學生進步成績之獨立樣本t檢定分析表.......................66 表 4-6-1 補救教學延宕成效之敘述統計摘要表....................................................67 表 4-6-2 補救教學延宕成效之迴歸係數同質性檢定摘要表................................67 表 4-6-3 補救教學延宕成效之單因子共變數分析摘要表....................................69. VII.
(10) 圖目錄 圖 2-2-1 四年級「小數」單元教材地位................................18 圖 3-1-1 研究架構圖.................................................28 圖 3-2-1 研究流程圖................................................30 圖 3-4-1 系統登入畫面..............................................43 圖 3-4-2 輸入帳號與密碼............................................44 圖 3-4-3 點選參加測驗..............................................44 圖 3-4-4 施測進行畫面..............................................44 圖 3-4-5 學生診斷報告..............................................45 圖 3-4-6 補救教學畫面..............................................45. VIII.
(11) 第一章. 緒論. 本章旨在說明本研究之研究動機、研究目的、待答問題、重要名詞解釋以及 研究範圍與限制，茲分成五節陳述於後。. 第一節 研究動機 小數概念的學習是國民小學數學領域的核心課程之一，不但應用在生活中， 也是建立數學知識的重要基石，因而學生發展小數概念與運算越顯重要。但生活 中出現的數多以整數為主，較少出現小數的情境，也增加學生學習小數的困難。 尤其四、五年級學生在學習小數時常因學習概念抽象且複雜而難以理解，大多藉 由算則來計算小數四則運算，對於所學不求甚解，根據最近二十年的一些研究報 告及結果顯示：學生在小數學習方面表現並不理想，而且有許多迷思概念（劉曼 麗，1998a；艾如昀，1994；郭孟儒，2002），因此如何診斷出學生的迷思概念 後並加以補救，將是提升小數學習成效的關鍵。 Nichols(1994)將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics) 結 合，發展出認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)，後續更有許多 研究針對認知診斷評量之分析開發出許多認知診斷模型(cognitive diagnostic models,CDMs)。認知診斷模型可以提供詳盡的診斷訊息，評估受試者能力屬性的 的精熟與不精熟，以幫助教學目標的達成。教師可根據測驗結果瞭解學生的認知 結構及診斷學習成效，作為設計補救教學計畫的依據。所以認知診斷模型是可以 使用在判斷受試者優劣的心理計量學模型，並且提供受試者的分數型態，以有效 地測量學生的學習和進步情形(de la Torre, 2009a)。目前在資料分析上常被應用的 認知診斷模型有DINA模型、DINO模型、G-DINA模型、NIDA模型等。一般而言， 若運用的模型能與資料適配，則分析結果可達到較佳的正確率。實務上可以利用. 1.
(12) 選模準則（AIC、BIC、CAIC等）對不同認知診斷模型進行測驗層次模型適配度 分析，找出測驗的最佳認知診斷模型（蔣威廉，2012）。 隨著科技快速的發展以及電腦和網路的普及，電腦化測驗已有漸漸取代傳統 紙筆測驗的趨勢。電腦化測驗不但可以減少教師批改考卷的時間，也可以減少資 源的浪費，更能提供教師與學生即時的測驗結果，並以多媒體教材進行補救教 學，有效的提升教學成效（陳正二，2006；楊維中，2006） 。鄭苓巧（2007） 、彭 聖淵（2009）指出使用電腦化教學媒體在不同性別的學習成效上並無顯著差異， 而莊苑芬（2005）、鄭皓元（2005）則表示不同性別的學生經使用電腦化教學媒 體後會學習成效有顯著的差異。因此本研究將以電腦化教學媒體進行補救教學， 並探討不同性別在電腦化補救教學成效之差異。 在過去的研究中，與認知診斷模型相關的研究大多探討模型適配度或Q矩陣 的設計等主題，而電腦化適性測驗或電腦化適性補救教學的文獻很多，但多不是 以認知診斷模型來進行研究。所以本研究將探討以認知診斷模型結合電腦化適性 補救教學與傳統補救教學之成效差異。 綜合以上所述，本研究將以國小四年級「小數」單元作為研究範圍，編製小 數單元認知診斷測驗與電腦化補救教學媒體，並且評估不同認知診斷模型的適配 度，找出最佳的認知診斷模型，搭配電腦化補救教學系統進行電腦化適性補救教 學，探討傳統補救教學法與電腦化適性補救教學法在學生學習成效上的差異，以 及探究在電腦化適性補救教學下不同性別的學習成就之差異，作為測驗實務工作 者及在職教師在選用補救教學方式之參考依據，以期幫助學童在小數概念能做更 有效的學習。. 第二節 研究目的 基於上述研究動機與參考相關的研究文獻，本研究之研究目的分述如下： 一、編製國小四年級小數單元認知診斷測驗，並分析其信度、效度、難度及鑑別 度。. 2.
(13) 二、探討不同認知診斷模型之模型適配度與能力屬性辨識率，以尋求最佳認知診 斷模型。 三、以此最佳認知診斷模型建立電腦化適性補救教學系統，並評估傳統補救教學 法與以此系統實施之電腦化適性補救教學法的學生學習成效與補救教學延宕成 效之差異。. 第三節 待答問題 根據研究目的，本研究提出之待答問題分述如下： 一、 如何利用預試結果的信度、效度、難度及鑑別度來修審認知診斷測驗內容？ 二、 如何利用測驗層次適配度檢定及能力屬性辨識率（專家判定結果之一致性） 的分析結果，決定出測驗的最佳認知診斷模型？ 三、 探討以最佳認知診斷模型評估受試學生的能力屬性通過率為何？ 四、 探討不同補救教學方式之學習成效差異為何？ 五、 探討電腦化適性補救教學對不同性別之學習成效差異為何? 六、 不同補救教學法在學生補救教學延宕成效之差異為何？. 第四節 名詞釋義 茲對本研究的重要名詞，進行解釋或下操作型定義如後：. 壹、 認知診斷模型 認知診斷模型(cognitive diagnostic models, CDMs)是一種結合認知科學與心 理計量學的方法，用來判斷受試者優勢與劣勢的心理計量模式，以分數形式提供 給受試者，並可有效測量學生的學習和進步(de la Torre, 2009a)。認知診斷模型以. 3.
(14) 能力屬性作為欲診斷的教學目標，目的在診斷能力屬性是否達到精熟，採用二元 計分的方式，將受試者在各能力屬性上的表現分為精熟 (masters) 與未精熟 (non-masters)。本研究探討之認知診斷模型包括DINA模型、DINO模型、G-DINA 模型等三種模型。. 貳、Q矩陣 在認知診斷模型中，每個試題所診斷的能力屬性通常由學科專家建立，建構 成Q矩陣，以Q矩陣作為試題和能力屬性的對照表(Tatsuoka, 1985)。Q矩陣在認知 診斷模型中佔有不可或缺的重要性。若K為能力屬性的數目，J為試題數，則Q矩 陣大小為 J K ，其中 Q jk 代表要精熟試題j，是否需具備能力屬性k，定義如下： . 1 Q jk 0. 精熟第j個試題需要第k個能力屬性 其他. 其中，. . j 1...J k 1...K 1 0 1 代表第一題需 0 1 1. 舉例來說，假設Q矩陣的設計為一個 2 3 的矩陣，Q . 要第1個與第3個能力屬性，第二題需要第2個與第3個能力屬性。. 參、測驗層次選模準則 為了選出最符合測驗資料特性的認知診斷模型，本研究使用AIC、BIC與CAIC 三種選模準則，以作為選模時的參考依據，其公式如下： AIC = -2logL + 2‧npar BIC= -2logL + log(N)‧npar CAIC= -2logL+[1 + log (N )] ‧npar 其中L表示概似函數，N表示有效樣本數，npar表示參數個數。 所計算出的AIC、BIC與CAIC的值越小，代表適配度越高。. 4.
(15) 肆、能力屬性辨識率 根據受試者作答的資料，經由專家根據學生作答反應判定出受試者在小數單 元各個認知能力屬性的有無，再與認知診斷模型判定的結果進行比較，所得到的 一致性即為能力屬性辨識率，能力屬性辨識率愈高代表該模型判定學生能力屬性 的正確性愈高。. 伍、電腦化適性補救教學 本研究所指電腦化適性補救教學，係指實驗組受試者在前測結束後，根據最 適配的認知診斷模型所分析的結果，針對自己缺乏的能力屬性，點選本研究自編 電腦化補救教學媒體進行補救教學。. 第五節 研究範圍與限制 本研究以國小四年級「小數」單元為研究範圍，採立意抽樣，施測樣本皆為 臺中市已學過國小四年級「小數」單元之國小五年級學童，探討不同補救教學法 在學習成效上的差異。由於時間、人力及資源限制的關係，因此本研究之結果不 適宜過度推論到其他教育層級的學生和其他學科。. 5.
(16) 第二章. 文獻探討. 本研究目的在編製國小四年級小數單元認知診斷測驗及電腦化補救教學媒 體，建置電腦化適性補救教學系統，並分析測驗模型適配度及不同模型間的能力 屬性辨識率，找出最佳的認知診斷模型後，進行電腦化適性補救教學，最後評估 不同教學法的教學成效。本章共分為四節：第一節介紹認知診斷模型；第二節探 究小數教材分析；第三節探討小數迷思概念；第四節探討適性補救教學。以下就 上述四節進行相關文獻探究，以作為本研究之學理基礎。. 第一節 認知診斷模型 近幾年來，認知診斷模型是一個發展快速的心理計量研究新領域，其原因為 美國於 2002 年 1 月 8 日簽署了一個美國聯邦法律有教無類法案（No Child Left Behind Act of 2001） ，簡稱為 NCLB。此法案要求全美國三到八年級的所有學生每 年必須接受州政府的數學與閱讀的會考，以診斷學生在閱讀及數學領域的各項概 念或能力屬性是否達到精熟，也提供了學生的優缺點的訊息(Hubebner,2010)。此 法案也規定要提供教師、學生及家長測驗診斷結果，包含學生已經精熟的概念或 能力屬性，以及哪些能力屬性需要進行補救教學等資訊(Cheng,2009)。因此以概 念或能力屬性作為診斷目標的認知診斷模型(cognitive diagnostic models,CDMs)便 逐漸受到重視。 認知診斷模型是一種結合認知科學與心理計量學的方法，用來判斷受試者優 勢與劣勢的心理計量模式，以分數形式提供給受試者，並可有效測量學生的學習 和進步(de la Torre, 2009a)。認知診斷模型以能力屬性作為欲診斷的目標，目的在 診斷能力屬性是否達到精熟，採用二元計分的方式，將受試者在各能力屬性上的 表現分為精熟 (masters) 與未精熟 (non-masters)。 若一份診斷K個能力屬性的測驗，認知診斷模型給每一個受試者一個二元精. 6.
(17) 熟分數，以向量 αi ( i1 , i 2 ,..., iK ) 表示受試者是否精熟每一個能力屬性，其中. ik 1 表示第i位受試者精熟第k個能力屬性， ik 0 則表示未精熟第k個能力屬 性。由於有k個能力屬性，所以受試者會有2k個可能的反應組型。假設K＝5， α1 (1,0,1,0,1) ，表示編號1的學生只有精熟第1、3、5個能力屬性，第2個和第4個能. 力屬性未精熟。 為了清楚表示試題和能力屬性之間的關係，認知診斷模型常使用Q矩陣 (Q-matrix) 作為試題和能力屬性的對照表 (Tatsuoka, 1985)，Q矩陣通常是由學科 專家 (subject matter experts, SMEs)建立的，Q矩陣在認知診斷模型中佔有不可或 缺的重要性。若K為能力屬性的數目，J為試題數，Q矩陣大小為 J K ，其中 Q jk 代 表要精熟試題j，是否需具備能力屬性k，定義如公式1： 1 0. Q jk . 精熟第j個試題需要第k個能力屬性 其他. 其中，. （公式 1）. . j 1...J k 1...K. 1 0 1 代表答對第 0 1 1. 舉例來說，假設 Q 矩陣的設計為一個 2 3 的矩陣， Q . 一題需要精熟第 1 個與第 3 個能力屬性，答對第二題需要精熟第 2 個與第 3 個能 力屬性。 目前已有許多認知診斷模型被廣泛的發展與應用，例如：NIDA 模型(noisy input, deterministic“and”gate model)、DINA 模型(deterministic input, noisy “and” gate model)、DINO 模型(deterministic input, noisy “or” gate model)、HO-DINA 模 型(higher-order deterministic input, noisy “or” gate model)、G-DINA 模型 （generalized deterministic inputs, noisy “and” gate model）等，根據研究目的， 本研究將針對 DINA 模型、DINO 模型與 G-DINA 模型進行研究，茲介紹如下。. 7.
(18) 壹、DINA 模型 一、DINA 模型介紹 DINA 模型(deterministic input, noisy “and” gate model; de la Torre, 2009b; Junker & Sijtsma, 2001)始於 Juker 和 Sijtsma(2001)的研究，適用於二元計分項目的 認知診斷測驗，它是很多認知診斷模型的基礎。DINA 模型定義簡單，受試者答 對試題的機率僅受到粗心(slip)及猜測(guess)兩個參數影響，其試題反應函數表示 如公式 2。. ij. P( X 1 | , s, g ) (1 s j ) ij. K. g j1ij. （公式 2）. 其中， ij ik. q jk. k 1. s j P( X ij 0 | ij 1) g j P( X ij 1 | ij 0). 其中 X ij ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型. ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的能力屬性，完全具備其值 為 1，反之，缺少一個以上所需能力屬性其值為 0。. ik ：表示受試者 i 是否具備能力屬性 k，具備該能力屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要能力屬性 k，需要該能力屬性其值為 1，反之為 0。 s j ：表示受試者完全具備試題所需的能力屬性，卻因為粗心而答錯此題的機. 率。 g j ：表示受試者缺少一個以上試題所需的能力屬性，卻因為猜測而答對此. 題的機率。. 8.
(19) 以下舉例說明 DINA 模型的計算方法：(引自卓淑瑜，2011) 表 2-1-1 為整數四則的概念，表 2-1-2 為測驗學生是否具備整數四則的概念而 設計的題目，表 2-1-3 為整數四則範例題之 Q 矩陣，由表 2-1-3 可知，解此題目 需具備概念 1、2、3、5、6、7。. 表 2-1-1 整數四則的概念 概念. 敘述. 1. 基本加法運算. 2. 基本減法運算. 3. 基本乘法運算. 4. 基本除法運算. 5. 先乘除後加減. 6. 由左往右計算. 7. 括號內先計算. 表 2-1-2 整數四則的選擇題例題 計算 3×7－2×(3＋5)＝？ 5 20 62 152. 表 2-1-3 整數四則選擇題例題的 Q 矩陣 概念 K1 K2 試題 例題 1. 1. 1. K3. K4. K5. K6. K7. 1. 0. 1. 1. 1. 9.
(20) 表 2-1-4 受試者的概念狀態 概念 K1 試題 受試者 1 1 受試者 2 1 受試者 3 1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. 1 1 1. 1 0 1. 1 1 1. 1 1 1. 1 1 0. 1 1 0. 假設給定試題參數 s1 0.05 、 g1 0.05 ，今有三名受試者，其所具備的概念 如表 2-1-4 所示，可知受試者 1 具備解題所需的六個概念，因此其11 1 ，受試 者 2 與受試者 3 都缺少一個以上的概念，所以其 21 31 0 ，則計算三位受試者 的答對機率分別如下：. 111. P( X 11 1 | 1 , s1 , g1 ) (1 s1 ) g1 11. (1 0.05)1 (0.05)11 1 0.05 0.95. 1 21. P ( X 21 1 | 2 , s1 , g1 ) (1 s1 ) 21 g1 1 31. P( X 31 1 | 3 , s1, g1 ) (1 s1 )31 g1. (1 0.05)0 (0.05)1 0 0.05 0.05. (1 0.05)0 (0.05)10 0.05 0.05. 在 DINA 模型下，強調受試者必須具備該試題所需的全部能力屬性才有機會 答對，受試者只要缺少一個以上答題所需的能力屬性，若答對此題，皆屬於猜測 的情況發生。DINA 模型是一個簡單且容易解釋的模型，因為它僅涉及粗心及猜 測兩個參數，且具有良好的模型適配度，目前已應用在許多測驗方面(de la Torre & Douglas, 2004)。. 二、DINA 模型的相關研究 以下為研究者整理國內外之 DINA 模型相關文獻，如表 2-1-5。. 10.
(21) 表 2-1-5 DINA 模型相關研究 研究者(年代). 研究主題內容. 研究範疇. Xu, Chang, & Douglas (2003). 比較認知診斷架構下電腦適 性化測驗策略的模擬研究. 電腦化適性測驗. Henson & Douglas (2005). 利 用 Kullback-Leibler Information(KL)在 DINA 模 型下進行測驗編製. 測驗的編製. Gierl, Cui＆Zhou （2009）. 在認知診斷評量下認知屬性 的分數與信度之研究. 等化與信度. Xu & Davier (2008). 一般化診斷模型間的等化與 連結. 等化與信度. de la Torre (2008a). 以實徵資料為基礎的 DINA 模型 Q 矩陣之校正、發展與 應用. Q 矩陣設計. 王文卿 (2010). 探討 DINA 模型與 G-DINA 模型參數估計比較. 模型比較. 陳亭宇 （2010）. 探討 DINA 模型與 G-DINA 模型參數不變性. 模型比較. 蔣威廉 (2012). 試題層次與測驗層次之認知 診斷模型適合度分析-以國小 四年級面積單元診斷測驗為 例. 測驗的編製. 貳、DINO模型 一、DINO模型介紹 DINO 模 型 (deterministic inputs, noisy “or” gate model) 由 Templin 和 Henson(2006)提出，是 DINA 模型的補償性模擬 (compensatory analog) ，和 DINA. 11.
(22) 模型一樣，試題答對的機率受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的影響。不 同於 DINA 模型，在 DINO 模型之下，當受試者具備至少一個以上答題所需的能 力屬性，就有答對的機會，在此種狀況下若答錯此題，皆屬於粗心的情況；反之， 若受試者完全不具備答題所需的能力屬性，則無答對的機會，若答對此題，屬於 猜測的情況發生。DINO 試題反應函數如公式 3：. ij. P( X ij 1 | , s, g ) (1 s' ) j K. 1ij g' j. （公式 3）. 其中，ij ik. q jk. k 1. s 'j P( X ij 0 | ij 1) g 'j P( X ij 1 | ij 0). 其中 X ij ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型. ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的能力屬性，具備至少 1 個 以上其值為 1，反之，完全不具備所需能力屬性其值為 0。. ik ：表示受試者 i 是否具備能力屬性 k，具備該能力屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要能力屬性 k，需要該能力屬性其值為 1，反之為 0。 s 'j ：表示受試者具備至少 1 個以上試題所需的能力屬性，卻因為粗心而答錯. 此題的機率。 g 'j ：表示受試者完全不具備試題所需的能力屬性，卻因為猜測而答對此題. 的機率。. 二、DINO 模型的相關研究 有關於 DINO 模型的研究及相關文獻，整理如表 2-1-6。. 12.
(23) 表 2-1-6 DINO 模型相關研究 研究者. 研究主題內容. 研究範疇. Templin & Henson (2006). 提供示範的認知診斷模型得到 的估計，用於評估和診斷病態賭 徒. 其它. de la Torre (2011). 介紹認知診斷模型一般化之基 本架構. 張詩亞 （2011）. 使用認知診斷模型進行國小四 年級自然與生活科技領域電腦 化測驗研發--以「水的流動」單 元為例. 模型介紹. 測驗的編製. 參、G-DINA模型 一、G-DINA模型介紹 G-DINA模型是上述兩種認知診斷模型的一般式，受試者答對的機率取決於 各個能力屬性之間交互作用的結果。其試題反應函數(如公式4)：. . K j. . P X j 1 lj j 0 jk lk k 1. K j. K j 1. '. k k 1 k 1. jkk '. lk lk j12K '. K j. j. k 1. lk. （公式 4）. 在上述公式中 j 0 ：無任何能力屬性作用之下，第 j 題的截距項 jk ：對 k 的主要影響. jkk ： k 與 k 之間的交互影響 '. '. j12K ： k ，…， k ' 之間的交互影響 ' j. 當 j 0 與 j12K 不為 0 時，而其他 jk 與 jkk 均為 0 時，就是 DINA 模型，其中 '. ' j. 13.
(24) g j = j 0 、1- s j = j 0 + j12K ' ；相對於 DINA 模型，除了 0 K 外，所有的潛在群體正 j. j. 確答對第 j 題的機率均相等，設定 jk jk k 1K 1 12K 因此 DINO 模型可 j. j. ' ''. 從 G-DINA 模型得到，其中 g 'j = j 0、1- s 'j = j 0 + jk。由此可知，DINA 模型與 DINO 模型都是 G-DINA 模型的一種特例。 二、G-DINA 模型的相關研究 茲將國內外 G-DINA 模型的相關研究整理如表 2-1-7。 表 2-1-7 G-DINA 模型相關研究 研究者. 研究主題內容. 研究範疇. de la Torre (2011). 介紹認知診斷模型一 般化之基本架構. 模型比較. 王文卿 (2010) 陳亭宇 （2010）. 探 討 DINA 模 型 與 G-DINA 模型參數估 計比較 探 討 DINA 模 型 與 G-DINA 模型參數不 變性. 模型比較. 模型比較. 肆、本節文獻對本研究的啟示 根據以上文獻所述，認知診斷模型可以提供詳盡的診斷訊息，其中以認知診 斷模型評估受試者能力屬性的的精熟與不精熟，可以協助教學者對學習者進行個 別化適性補救教學。然而不同的認知診斷模型有不同的優點，因此本研究將探討 DINA 模型、G-DINA 模型及 DINO 模型三種不同認知診斷模型對本研究預試資 料的適配度，從中選擇出適合本研究的最佳認知診斷模型，以作進一步研究。. 14.
(25) 第二節 小數教材分析 壹、 國小四年級小數教材分析 根據教育部（2003）頒訂的九年一貫課程綱要，將數學學習領域區分為四個 階段：第一階段為國小一至三年級，第二階段為國小四至五年級，第三階段為國 小六年級至七年級，第四階段為八至九年級。另將數學內容分為「數與量」 、 「幾 何」、 「代數」、 「統計與機率」及「連結」等五大主題(教育部，2003)。表2-2-1為 九年一貫課程綱要數學領域中之小數教材分析，由表2-2-1亦可發現九年一貫數學 領域的小學概念教學在前三階段就已完成，第四階段並無概念性的教學。 本研究以部編版四年級「小數」單元為研究範圍，屬於數學學習領域第二學 習階段，主要的內容以小數教材為主，小數教材在在數學領域中屬於「數與量」 的主題 表2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材分析表 階段 第一階 段 (國小一 至三年 級) 第二階 段 (國小四 至五年 級). 年 級. 分年細目. 階段能力指標. 三年級. 3-n-10 N-1-10 能認識一位小數，並 能認識一位小數， 作比較與加減計算。 並作比較與加減計 算。. 四年級. 4-n-09 能認識二、三位小數 與百分位、千分位的 位名，並作比較。 4-n-10 能用直式處理整數 除以整數，商為三位 小數的計算。 4-n-11 能用直式處理二、三 位小數加、減與整數 倍的計算，並解決生 活中的問題。. N-2-10 能認識多位小數， 理解並比較，及用 直式處理加、減與 整數倍的計算，並 解決生活中的問 題。. 說明 ◎了解小數的 意義及概念 ◎會做一位小 數(整數兩位)的 加減直式計算。 ◎會做二、三位 小數的加、減、 乘法問題 ◎會做除數為 二位整數的除 法，並求商至小 數第三位. （續下頁）. 15.
(26) 表2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材分析表(續) 階段. 第三階 段 (國小六 年級至 七年級). 年 級. 分年細目. 階段能力指標. 說明. 五年級. 5-n-08 能認識多位小數，並作比 較與加、減的計算，以及 解決生活中的問題。 5-n-09 能用直式處理乘數是小 數的計算，並解決生活中 的問題。 5-n-10 能用四捨五入的方法，對 小數在指定位數取概 數，並做加、減、乘、除 之估算。 5-n-11 能將分數、小數標記在數 線上。. N-2-12 能用直式處理 乘數是小數的 計算，並解決生 活中的問題。. ◎延伸二、三 位小數的概念 來建立多位小 數的概念 ◎會做乘數數 是小數的問題 ◎會取小數的 概數. 六年級. 6-n-04. ◎會以小數解 N-3-04 能用直式處理 決生活情境中 除數是小數的 的問題 計算，並解決生 活中的問題。 ◎會以小數解 決生活情境中 的問題. 能用直式處理除數為小 數的計算，並解決生活中 的問題。 七年級. 7-n-15 能用以十為底的指數表 達大數或小數（包括日常 生活長度、重量、容積等 單位，如奈米、微米、公 分或厘米、公尺或 米、…）。. 貳、 國小四年級小數教材分析 表2-2-2為四年級「小數」單元之分年細目、內容、說明及對應能力指標。. 16.
(27) 表2-2-2 四年級「小數」單元分年細目、內容、說明及對應能力指標 分年 內容 說明 細目. 能認識二、三位小 數與百分位、千分 4-n-09 位的位名，並作比 較。. 4-n-06 4-n-10. 能在平分情境中， 理解分數之「整數 相除」的意涵。 ，用直式處理整數 除以整數，商為三 位小數的計算。. 4-n-11. 能用直式處理二、 三位小數加、減與 整數倍的計算，並 解決生活中的問 題。. 4-n-13. 能認識長度單位 「公里」 ，及「公里」 與其他長度單位的 關係，並作相關計 算。. 以 3-n-10 基礎，從一位小數到三位小數 之間的位名、概念之建立，以及了解各 個位值之間的化聚及十進位倍數關係， 並能比較三位以內小數的大小。 舉例 1：5 個 1、6 個 0.1、27 個 0.01 和 12 個 0.001 合起來是多少？ 舉例 2：7 是 0.07 的幾倍？ 舉例 3：試比較 0.728、3.6、0.32 的大小。 能了解分數以直式除法表示之意涵，將 分數轉換為小數，並能計算商至小數第 三位 舉例 1：1÷5 等於多少？(分別以分數和 小數表示) 舉例 2：請將 11/8 化為小數。 ◎小數加減：能計算三位以內小數的加減。 ◎小數乘法：能計算被乘數為三位以內小 數、乘數為二位以內整數之乘法 ◎能以小數之加、減、乘法解決生活中的問 題 舉例 1：請計算 3.205-1.99 舉例 2：請問 3.625×16 之值為何？ 能 解 決 倍 數 為 1000 倍 之 單 位 換 算 。 以 3-n-14(公升和毫升)及 3-n-16(公斤和公克)為 先備知識，再加上 4-n-13(公里和公尺)之概 念，進行單名數與複名數之單位換算。 舉例 1：3 公斤 5 公克是多少公斤？(以小數 表示) 舉例 2：3.05 公里是多少公尺？ 舉例 3：32506 毫升是多少公升？(以小數表 示). 對應 能力指標. N-2-10. N-2-06 N-2-10 N-2-13. N-2-10. N-2-15. 在進行本單元的教學時，要先針對一位小數、二位小數及三位小數的基本觀 念加以釐清，並讓學生透過具體的教具（如積木）等進行實際的操作，以建立三 位以內小數與整數化聚的概念。學生將基本的概念精熟後，再進行小數的大小比. 17.
(28) 較、小數加減、小數乘法與小數除法等教學內容，並以具體物與直式計算相連結， 讓小數的計算不只是單純的背算則來計算答案，如此學生學習小數單元更有意 義，也更能有效解決生活中小數的問題。. 參、 四年級「小數」單元教材地位 茲將四年級「小數」單元教材地位整理如圖 2-2-1（部編版國民小學數學教 師手冊第八冊，2010），研究者參考學生的先備知識與本研究單元所要學習的概 念，以作為編製認知診斷測驗與補救教學媒體時的參考。 第七冊 第 8 章. 第八冊. 第9章. 第九冊 第 7 章. 認識二位小數及「百. 認識三位小數及「千分. 認識多位小數，並. 分位」位名，並進行. 位」位名，並做位值的. 做大小比較與加減. 位值的換算及大小比. 換算。. 直式計算. 較。 做長度（公尺與公 分、公里與公尺）的 互換 小數與分數的互換 二位小數的加減與直 式計算. 做公里與公尺、公升與. 多位小數的整數倍. 毫升、公斤與公克的換. 計算，及小數的. 算。. 百、千、萬倍的計. 做三位小數的大小比較 做三位小數的加減直式. 算法則 整數相除商為三位 小數以上的計算，. 計算。 一～三位小數的整數倍. 並知道除數為十、 百、千、萬的計算. 計算。 整數相除為一～三位小 數，並將分數換成小數。. 法則。 分數和小數的互 換。 將分數、小數標記 在數線上。 用四捨五入法對小 數取概數到指定位 數。. 圖 2-2-1 四年級「小數」單元教材地位. 18.
(29) 肆、 本節文獻對本研究的啟示 綜合以上文獻，我們了解本研究單元「小數」在各階段能力指標與分年細目 中的地位，以及小數單元的具體教學內容後，在編製測驗與補救教學媒體時，必 須以學生在本單元要學會的能力屬性（教學目標）為主題，了解學生的先備知識 後，以具體物與直式計算相連結的方式來設計補救教學的內容。. 第三節 小數迷思概念 關於迷思概念（misconceptions）的解釋，Driver和Easley(1978)認為是指 錯誤的想法或對正式的理論有不正確的了解。Barrass(1984)則認為迷思概念是 混淆不清的想法或對事實不當的理解或解釋。迷思概念形成的來源不外乎由學習 者與周遭環境的交互作用而產生，郭孟儒(2002)整理劉伍貞(1996)所歸納的迷思 概念成因為以下5 種： 1、由正式或非正式教學情境而來。 2、從日常生活經驗或通常用語而來。 3、從知識的缺乏而來。 4、由信念、被允許的意見或同儕的文化而來。 5、來自一些與生俱來的理念。. 本研究將小數的迷思概念定義為「四年級學童對於小數知識錯誤的理解或想 法」，由於小數的學習是抽象且複雜的，常使學生在學習上常遭遇困難與挫折， 因此學生常常會以算則來進行解題，對於算式的來由不加思索，因此產生許多有 關小數的迷思概念。研究者蒐集與小數單元相關的迷思概念研究文獻，並和本研 究所編製之能力屬性相對照，整理如表2-3-1。. 19.
(30) 表2-3-1 本研究之能力屬性、小數迷思概念及參考文獻對照表 能 力. 屬. 性. k1 三位小數的化聚. k2. 千分位、百分位、十分位和個 位之間的關係. k3 公里和公尺的換算 k4 公斤和公克的換算. 迷思概念. ◎受到 0 的影響而將個數放在小數 ◎劉曼麗 (2002) 點後，如 72 個 0.1。 ◎直接移動小數點來決定化聚結果，◎陳文利 (2001)；郭孟儒 如 0.7 是 7 個 0.01。 ◎單名數轉換為複名數. (2002)； 劉曼麗 (2001, 2002) ◎劉曼麗(1998b、1999)，Bell,. 如：60.8 公升＝60 公升+8 毫公升 Swan, & ◎複名數轉換為單名數. k5 公升和毫升的換算. 文獻. 如：72 公尺 8 公分＝72.8 公分. Taylor(1981). ◎劉曼麗(1998b、1999)，陳永 峰 (1998)，戴政吉 (1999)， Bell, Swan, & Taylor(1981). ◎整數法則：小數點後數字越多，其 值越大；小數點後數字越少，其值 k6. 三位以下小數（一位、二位、 三位小數）的比大小問題. 越小。 ◎分數法則：小數點後數字越多，被 分割成的部分就越小，其值越小。 ◎完全忽視小數點的存在. k7 三位小數的加法. ◎未對齊小數點(向右對齊)。. ◎劉曼麗(1999, 2003) ◎艾如昀(1994) ；Resnick, et al. (1989) ◎Irit (2003) ；Hiebert & Wearne(1986). ◎簡茂發和劉湘川 (1993)、艾 如昀 (1994)、. ◎會忘記標小數點。 k8 三位小數的減法. ◎陳永峰 (1998)、劉曼 麗 (1998c，1999)、. ◎小數點前面的 0 省略。. ◎Hiebert 和 Wearne (1986). k9 一位小數乘以一位整數的乘法 ◎忽視小數點的存在. ◎劉曼麗(1999). k10 一位小數乘以二位整數的乘法. ◎劉曼麗(2002). k11 二位小數乘以一位整數的乘法 ◎受到 0 的影響而將個數放在小數 ◎南一書局(2006) k12 二位小數乘以二位整數的乘法. ◎許淑萍(2002)；整理自方正. 點後. k13 三位小數乘以一位整數的乘法 ◎ 將小數點遺漏或位置放錯. 吉(1994)；吳季鴻(2001)；郭. ◎使用正確的運算及數字，但錯在完 正仁(2000) 成運算的某一個步驟上 k14 三位小數乘以二位整數的乘法. ◎在乘除小數時，會放錯積數的小數 (1998)；簡茂發、劉湘川 點或餘數的小數點 ◎直接把分子當成整數部分而把分. k15. 整數除以整數(求商到三位以 母當成小數部分(a/b=a.b) 內的小數). ◎艾如昀(1994)；陳永峰. ◎直接把分母當成整數部分而把分 子當成小數部分(a/b=b.a). 20. (1993)；Hart, et al.(1981) 艾如昀(1994) ；劉曼麗(1999, 2003) ；Hiebert & Wearne (1986).
(31) 本研究之認知診斷測驗在設計錯誤選項時乃根據表2-3-1所列之迷思概念，以 提高測驗在能力屬性診斷的正確率。在編製多媒體補救教材時亦參考迷思概念加 以設計，以期達到有效且最佳的補救教學效果。. 第四節 適性補救教學 傳統補救教學通常以講述方式來進行作業、考卷的檢討，無法做適性化的補救教 學。然而隨著科技的進步，運用電腦輔助教學(computer-assisted instruction,. CAI)不但可以提高學生學習興趣，也可根據每個人不同的需求及時間分配，透過 教學媒體自行進行電腦化適性補救教學。本節將針對補救教學與適性補救教學的 類型進行文獻探討。. 壹、補救教學 所謂「補救教學」((remedial instruction)是指當教師診斷出學童的學習困難 後，針對困難之處所進行一連串對症下藥的積極性教學活動(杜正治，1993)。由 於每一個學生的特質、能力、家庭背景等皆不相同，老師所設計的教學活動很難 滿足每一位學生的需求，也使得每個學生所遇到的學習困難或瓶頸亦不相同，造 成學生在學習成就上的差異。所以基於「因材施教」的原則，教師必須根據學習 診斷的結果，提供適切合宜的有效教學策略(李連芬，2003)，讓學生進行個別化、 有效的補救教學，以提升學生的學習成效。所以補救教學可說是一種診斷式教學 (clinical teaching，也稱為臨床教學)（張新仁，2001）。 一、補救教學對象的界定： 補救教學受教對象之界定主要是依據學童的學習成就明顯低於其應有的能 力或是低於其班級平均水準之學童。近期對補救教學對象之界定，分為三類(許逸 偉，2009)：. 21.
(32) (一)學生的學習成就明顯低於其應有之能力水準，即稱之為低成就。 (二)學生的學習成就明顯低於其班級的平均水準，亦稱之為低成就。 (三)學生學科成績不及格，且其學習成就明顯低於其他學生許多，稱之為成績低 落。 而目前國內學校的補救教學對象是就學科成績在全班後百分之五者，或全校 平均數負一個標準差以下者（張新仁、邱上真、李素慧，2000）。 本研究主要在探討電腦化適性補救教學與傳統補救教學在學生學習成效上 之差異，所以本研究之實施補救教學對象為全部參與教學實驗之學生。. 二、補救教學的實施模式 國內學者（張新仁，2001）指出能夠有效幫助低成就學生的補救教學模式有 直接教學模式、精熟教學模式、合作學習教學模式及個別化教學模式等四種模 式。茲將補救教學的模式分述如下： (一) 直接教學模式(the direct instruction model)：代表人物為美國學者羅森祥 (Rosenshine)和杭特(Madeline Hunter)，教導學童記憶事實，學習動作技能 以及簡單的讀、寫、算技能。教師負責組織教材和呈現教材，學生負責接 受學習。 (二) 精熟教學模式(the mastery teaching model)：代表人物為卡羅(Carroll)和布魯姆 (Bloom)，適用於中、小學團體教學，教材內容適用於認知和動作技能，此 模式的基本理念是雖然每個人的學習速度不同，但只要列出要求學生精熟 的標準，並給予足夠的學習時間，幾乎所有智力正常的學生都能精熟大部 份的學習內容。 (三) 合作學習教學模式(the cooperative learning model)：代表人物為史雷文(Robert E. Slavin)和強森兄弟(David W. Johnson & Robert T. Johnson)。此模式主張 透過小組內合作學習的方式精熟學習內容，有別於重視學生個人間競爭的. 22.
(33) 傳統教學。此教學模式的主要特色有三： 1.異質分組：將不同能力、性別、社經背景、種族的學生作混合編組。 2.建立相互依賴：鼓勵學生彼此互助合作。 3.重視小組獎勵：小組表現達到預定之標準，即可獲得獎勵。 (四) 個別化教學模式(the individualized instruction model)：以美國學者凱勒(Fred S. Keller)所提倡的個別化教學系統(personalized system of instruction)較著 名，此模式為對傳統對全班多數學生的教學但兼採個別化教學，教師依據 每位學生的個別差異，提供個別化的教材內容讓學生自行學習，以提升學 習成效。. 三、補救教學的型態 國內外常用的補救教學型態有資源教室模式、學習站模式、套裝學習模式以 及電腦輔助教學模式等四種型態(張新仁，2001)，茲分述如下：. (一)資源教室 資源教室方案(resource room)是一種輔助性的補救教學措施，必須提供資源 教室及課程，讓參加此方案的學生於大部分時間和一般學生在普通教室上課，而 少部分的時間於資源教室由資源教室的教師加以輔導。 此種課程為外加式，在教材設計方面，資源教室的教師須根據正規課程的教 學內容，並依照學生的需求，作為訂定補救教學課程的依據，設計簡化教材，教 學進度則由任課教師依照學生學習狀況自行決定。 資源教室方案可對資優學生提供加深與加廣的教育，也可對學習上有困難的 學生，提供適合學生的教材與教法，實施個別或小組教學，以彌補正規教學之不 足。此方案最大的困擾是當參與的人數過多，不易顧及個別差異需求；若無專屬 的資源教室教師，由於一般教師授課時數重，也無力另編或改編適當之教材。. 23.
(34) (二)學習站 學習站(learning stations)是最符合經濟效益的補救教學型態，在現有教室中畫 出學習區域，還可在同一學習區內設置多種學習站，每一個學習站的佈置只需 二、三張書桌和一些補充教材與教具即可，充分利用現有的教學設備與空間，做 高密度的使用。 以學習站進行補救教學活動時，每次都須依學生個別的需要與教學進度提供 適當的教材，實施個別化教學。教師可以扮演主導或輔導的角色，也可以請程度 較優的同儕一同協助。學習站是最簡單且容易施行的補救教學型態，尤其當教學 經費不足時，可採用學習站。. (三)套裝學習材料 套裝學習材料 (learning package)是一種能力本位與自我導向的學習方式，學 生根據自己的能力及學習進度，以循序漸進的方式來學習一種觀念或技巧。為避 免學習的挫敗感，套裝學習材料課程的設計以易學為主要原則，每一套學習材料 針對特定的能力或技巧，搭配多樣的教學活動，以幫助學生達成學習目標。 套裝學習材料的特色之一是個別化教學導向，學習的進度、時間的安排是由 學生自行決定，選擇符合學生能力水準與個別需求的教材與教法，教師只扮演輔 助的角色，必要時提供回饋與指示。此型態的優點為提供適性教學、鼓勵獨立學 習及避免學習失敗；缺點為教師沒有足夠的時間進行個別化教學，以及沒有足夠 的相關教材供學生使用。. (四)電腦輔助教學 電腦輔助教學(computer-assisted instruction, CAI)是一種利用電腦呈現教材與 控制教學進度與環境的教學型態。由於資訊工業的進步，更是提高個別化教學的 可能性，也為補救教學提供另一種可行的管道。電腦輔助教學的特色如下（張新 仁，2001）： 1. 立即回饋：不論學生的能力、程度、學習動機或學習態度，只要投入學習，. 24.
(35) 電腦會立即做出適度的反應或回饋。 2. 提高信心：學生若做出正確的反應，電腦立即提供正向回饋；若反應錯誤， 則提示正確答案或加以指導。 3.容易操作：學習者只要學習按鍵即可，操作簡便，易記易學。 4.用途廣泛：教師編製的電腦軟體，可針對學生的個別需要加以設計，符合個別 化教學的原則，也可針對特殊的觀念與問題，安排大量的練習。 5.學習者可依能力與程度的不同自訂學習進度：電腦教學可依學生個人的能力與 程度，將教材以循序漸進的方式呈現。對於低成就的學生，電腦輔助教學可以 有效提高學習動機、提昇自我信心，學會簡單的概念及基本的運算技巧以解決 問題，並可提升學習閱讀與寫作等能力。. 貳、適性補救教學 適性補救教學(adaptive remedial instruction)是指在教師診斷出學生不 同的學習困難後，能就學生的個別差異提供不同的補救教學策略，做到個別化適 性的補救教學，林立敏（2006）指出適性補救教學可分為兩種類型，茲說明如下： 一、以教師為基礎之適性補救教學 以教師為基礎之適性補救教學是以人力進行補救教學，教師根據個別學生的 診斷報告，就學生的錯誤概念，以課本和習作等作為工具，進行個別化的補救教 學。實施此種補救教學法之教師必須對教材內容有充分的了解與掌握，並能適應 各個學生不同的個別差異，才能使學生獲得有效的補救教學。 目前有相關研究指出以教師為基礎之適性補救教學法具有相當之成效（林立 敏、白曉珊、郭伯臣、劉育隆，2006；盧炎成，2006），但在實務應用上，現行 小學每班人數多為20～30人，常會因教師人力和時間上的不足，無法對每個學生 一一進行此種補救教學，因此無法達到滿意的補救教學成效。. 25.
(36) 二、以電腦為基礎的適性補救教學 以電腦為基礎的適性補救教學是指學生在完成前測後，根據系統所評估的個 別診斷報告，以電腦輔助教學系統針對錯誤的概念進行補救教學，學生是接受設 定好的補救教學媒體進行個別化的補救教學，透過與補救教學媒體的互動，讓學 生獲得有效的學習。已有相關研究指出此種補救教學法具有一定之成效（陳正 二，2006；楊維中，2006）。. 參、本節文獻對本研究的啟示 綜合上述，本研究將以認知診斷模型編製國小四年級小數單元診斷測驗與補 救教學媒體，並以臺中教育大學教育測驗統計研究所研發的智慧型雲端適性診斷 測驗暨適性學習系統為平台進行電腦化適性補救教學，以比較傳統補救教學法和 電腦化適性補救教學法在學生學習成效上之差異。. 26.
(37) 第三章 研究方法 本研究係針對四年級小數單元編製電腦化認知診斷測驗與補救教學媒體，並 評估其成效，為達成上述的研究目的，以下分為六節介紹本研究之研究方法與設 計。第一節為本研究的研究架構；第二節詳述本研究的研究流程；第三節界定 本研究的研究對象；第四節詳述本研究之研究工具；第五節介紹不同認知診斷模 型的評估指標；第六節說明資料的分析與處理。. 第一節 研究架構 本研究採用不等組前測－後測設計（the pretest-posttest nonequivalent-groups design），研究架構如圖3-1-1所示。. 27.
(38) 四年級小數單元認知能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性 【能力屬性. K1】三位小數的化聚 K2】千分位、百分位、十分位和個位之間的關係 K3】公里和公尺的換算 K4】公斤和公克的換算 K5】公升和毫升的換算 K6】三位以下小數的比大小問題 K7】三位小數的加法 K8】三位小數的減法 K9】一位小數乘以一位整數的乘法 K10】一位小數乘以二位整數的乘法 K11】二位小數乘以一位整數的乘法 K12】二位小數乘以二位整數的乘法 K13】三位小數乘以一位整數的乘法 K14】三位小數乘以二位整數的乘法 K15】整數除以整數(求商到三位以內的小數). 電腦化適性補救教學系統 1.電腦化認知診斷測驗 2.自編補救教學媒體. 共變項 前測成績. 實驗處理 自變項 補救教學法 1. 對照組（傳統補救教學） 2. 實驗組（電腦化適性補救 教學）. 依變項 補救教學後成效(後測成績). 圖 3-1-1 研究架構圖. 28. 控制變項 1.教學年級 2.能力指標 3.教學時間 4.教師年資.
(39) 以下針對上述各變項說明如下：. 壹、控制變項 一、教學年級：對照組及實驗組之研究對象皆為101學年度國小五年級學生。 二、能力指標：本研究實驗組所使用的自編補救教學媒體所對應之能力指標 標、單元目標皆與對照組相同。 三、教學時間：對照組與實驗組實際教學的時間均為 8 節（320 分鐘） 。 四、教師年資：對照組與實驗組參與教學之教師皆有 10 年以上的教學年資， 教學風格相近。. 貳、共變項 本研究之共變項為各組學生在教學後但尚未進行補救教學前的小數單元學 習成就，即對照組與實驗組兩組學生在補救教學前所做之前測（第一次電腦化認 知診斷測驗）的成績。. 參、自變項 本研究之自變項為二種補救教學法，對照組進行傳統團班補救教學。實驗組 以研究者所自編之補救教學媒體進行電腦化適性補救教學。. 肆、依變項 本研究之依變項為後測成績，即透過對照組與實驗組兩組學生實施不同方式 的補救教學法後所做之後測（第二次的電腦化認知診斷測驗）的成績，來分析補 救教學成效。. 29.
(40) 第二節 研究流程 本研究主要依循上述的研究架構為基礎，研究流程如圖 3-2-1 所示。 擬定研究主題. 相關文獻資料探討. 小數單元教學內容. 建立單元認知能力屬性. 編製預試試卷及能力屬性 Q 矩陣. 編製補救教學媒體. 小數數單元預試（紙筆測驗） 預試資料分析與專家修審試題. 修正補救教學媒體. 編製正式施測前測、後測及延後測試卷 建立電腦化適性補救教學系統 小數單元診斷測驗（前測） 實驗組 認知診斷電腦化適性補救教學. 對照組 傳統補救教學. 小數單元診斷測驗（後測） 小數單元診斷測驗（延後測） 實驗結果資料分析 完成撰寫研究論文. 圖 3-2-1 研究流程圖. 30.
(41) 以下針對上述研究流程圖內容作詳細的介紹： 壹、. 本研究先確定研究主題為將電腦化測驗和認知診斷模型軟體運用在實際補 救教學上，蒐集小數相關的文獻，參考指導教授意見並修訂研究主題相關 題目及研究架構。. 貳、. 接著根據教育部（2003）頒訂九年一貫數學領域課程綱要之能力指標以及 部編版第八冊小數單元之單元教學目標，設計本研究之認知屬性 Q 矩陣。. 參、. 依據認知屬性 Q 矩陣編製本研究預試的紙筆測驗試題，由指導教授及四名 實際參與數學課程的國小教師進行試題審核及提供修正的建議，完成預試 試題的編製後，進行紙筆測驗的預試。. 肆、. 以預試測驗資料進行認知診斷模型適配度（AIC、BIC 與 CAIC）及能力屬性 辨識率分析，以選擇最適合分析本研究的認知診斷模型。. 伍、. 以預試測驗資料分析所得的信度、難度、鑑別度及認知診斷測驗的參數值 （s 值及 g 值）為依據，修正與刪減測驗試題，然後編製正式測驗之電腦 化診斷測驗前測、後測（複本）及延後測（複本）試題和認知屬性 Q 矩陣。. 陸、. 根據認知屬性 Q 矩陣設計補救教學動畫，再經過專家審核後，與電腦化適 性補救教學系統相結合。. 柒、. 在電腦教室進行正式施測之前測（電腦化認知診斷測驗） 。. 捌、. 實施前測後一週內實驗組與對照組分別進行兩節課補救教學，對照組採傳 統團班補救教學，實驗組採電腦化適性補救教學。. 玖、. 補救教學結束後，對照組與實驗組學生皆回到電腦教室進行後測（電腦化 認知診斷測驗） 。. 壹拾、後測結束三個月後，實驗組與對照組學生皆在電腦教室進行延後測（電腦. 化認知診斷測驗）。 壹拾壹、分析所得的實徵資料，撰寫研究報告。. 31.
(42) 第三節. 研究對象. 本研究對象為已學習過部編版「第八冊小數單元」之國小五年級學生。本研 究包含以紙筆測驗方式進行預試與電腦化診斷測驗方式進行正式施測兩階段，以 下概述預試對象及正式教學實驗對象。 壹、預試對象(紙筆測驗) 本研究的預試對象採用立意取樣，抽樣對象為學習過數學第八冊小數單元之 五年級學生，抽樣之樣本為臺中市4所公立國民小學，共計抽取16班447名五年級 學生進行紙筆測驗的預試。共計有效樣本數447人，無效樣本數0人。本預試工作， 係在民國101年2月底之前，完成所有的紙筆測驗與篩選試題的工作，以預試結果 作為研究者進行試題修正之依據。 貳、正式教學實驗對象(電腦化認知診斷測驗) 本研究的正式教學實驗對象為臺中市沙鹿區某公立國小已學習過數學第八 冊小數單元之五年級學生，採立意抽樣，抽取受試者共 4 班 103 名五年級學生， 分為實驗組 52 人、對照組 51 人，共計有效樣本數 103 人，無效樣本數 0 人。此 所國小全校總班級數 21 班，每班人數約 25 人，是一所鄉村型的學校，有電腦教室一間， 施測之班級班班有電腦、單槍投影機、大布幕可供使用，非常適合資訊融入教學。 施測時間為民國 101 年 12 月 6 日至民國 102 年 3 月 8 日止。後續的資料分析工 作，係以此有效樣本作為分析的依據。. 32.
(43) 第四節 研究工具 本研究的研究工具有：自編國小四年級小數單元診斷測驗、認知診斷電腦化 適性補救教學系統、自編補救教學媒體及相關統計軟體，依序分述如下：. 壹、自編國小四年級小數單元診斷測驗 一、測驗內容 首先參考數學教育的相關小數概念研究文獻，並根據教育部（2003）所頒布 之九年一貫課程綱要及小學數學科四年級課程(部編版第八冊)教材內容範圍，配 合課程綱要中小數概念相關的能力指標及單元教學目標進行命題。命題的重點放 在四年級學生都學過的小數概念，沒有任何刁難或艱深的試題。 二、編製過程 （一）根據教育部（2003）頒訂九年一貫數學領域課程綱要之能力指標以及部編 版第八冊小數單元之單元教學目標，並參考國內外有關小數單元相關研究文獻之 小數迷思概念類型，建立本研究之 15 個認知能力屬性，並設計能力屬性 Q 矩陣， 如表 3-4-1。表中數字「1」表示該題目測量到此能力屬性；數字「0」表示該題 目沒有測量到此能力屬性。。. 表 3-4-1 本研究所採用之 Q 矩陣設計表 認知屬性(概念) 試題 編號. K1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. K8. K9. K10. K11. K12. K13. K14. K15. I1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. I2. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I3. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. I4. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I5. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I6. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. （續下頁）. 33.
(44) 表 3-4-1 本研究所採用之 Q 矩陣設計表（續） 認知屬性(概念) 試題. K1. 編號. K2. K3. K4. K5. K6. K7. K8. K9. K10. K11. K12. K13. K14. K15. I7. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I8. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. I9. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I11. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I13. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I14. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I15. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I16. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I17. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I18. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. I19. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I20. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I21. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I22. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I23. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 概念 總數. 1. 2. 3. 3. 2. 4. 3. 3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. （二）依據認知屬性 Q 矩陣編製本研究預試的紙筆測驗試題，由指導教授及四名 實際參與數學課程的國小教師進行試題審核及提供修正的建議，完成預試試題的 編製。預試試題共 23 道題目，除了能力屬性 K1 外，每一個能力屬性至少命二題 以上之試題。本研究之後測試題及延後測試題皆為前測試題之複本試題。預試試 題與能力屬性之對照表如表 3-4-2。 表3-4-2 預試試題與能力屬性對照表 屬性代號. 能力屬性. k1. 三位小數的化聚. k2. 千分位、百分位、十分位和個位之間的關係. 對應題號 13 14、19 （續下頁）. 34.
(45) 表3-4-2 預試試題與能力屬性對照表（續） 屬性代號. 能力屬性. 對應題號. k3. 公里和公尺的換算. 2、17、20. k4. 公斤和公克的換算. 1、16、22. k5. 公升和毫升的換算. 3、23. k6. 三位以下小數（一位、二位、三位小數）的比大小問題. k7. 三位小數的加法. 13、14、17. k8. 三位小數的減法. 4、15、16. k9. 一位小數乘以一位整數的乘法. 5、17. k10. 一位小數乘以二位整數的乘法. 2、7. k11. 二位小數乘以一位整數的乘法. 1、6. k12. 二位小數乘以二位整數的乘法. 3、8. k13. 三位小數乘以一位整數的乘法. 9、18. k14. 三位小數乘以二位整數的乘法. 10、18. k15. 整數除以整數(求商到三位以內的小數). 11、12. 15、16、18、21. （三）試題編製舉例說明： 本研究收集小數相關錯誤類型的文獻來設計試題的選項，讓錯誤的選項有 較高的誘答力，以減少學生在作答時有猜測的情形。本研究之試題以表 3-4-3 之 試題命題卡的方式來編製。 表 3-4-3 試題命題卡 試題 編號 認知 屬性. 9 k6. 三位以下小數（一位、二位、三位小數）的比大小問題 （. 題目 選項. ）試比較 0.728、3.6、0.32 三個數的大小關係，下列何者正確？ （ 0.728＞3.6＞0.32 3.6＞0.32＞0.728 3.6＞0.728＞0.32 0.728＞0.32＞3.6 ） 選項 1 選項 2 選項 3 ＊忽略小數點. 反應 類型. 0.728＞3.6＞0.32 看成 728＞36＞32. ＊分數法則：分越多 份越小，也就是 十分位＞百分位 ＞千分位 3.6＞0.32＞0.728. 教育目 標參數. ■1.定義與基本概念之知識 □3.綜合分析. Q 矩陣. 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0. ◎. ＊整數法則： 小數點後越多位數 字越大 0.728＞0.32＞3.6. □2.公式、定理與其應用 □4.圖、表及計算器具之瞭解. 35. 選項 4.
(46) （四）以紙筆測驗方式進行試題預試，根據預試結果分析預試題目難度、鑑別度 與信度，進行試題的修審或刪除，最後編製成電腦化認知診斷測驗。 三、預試試題之品質分析 （一）預試試題效度分析 本研究預試試題之效度採專家效度為主。試題擬定之後，經由指導教授及四 位教學經驗豐富的現職國小老師共同審閱，提供每一道試題的修改建議，使預試 試題符合專家效度。 （二）預試試題信度分析 本紙筆測驗的信度採取內部一致性之Cronbach’s α係數，所得的Cronbach’s α 係數為0.85，表示本測驗的試題信度良好。刪除試題後的Cronbach's α值，數據如 表3-4-4所示。各試題刪題後的Cronbach’s α係數均不大於0.85，無法提升測驗的信 度，因此不建議刪題， 表3-4-4 預試信度Cronbach＇s α值分析表 題 號. 項 目 刪 除 時 的 項 目 刪 除 時 的 修正的項目總 相關 尺度平均數 尺度變異數. 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值. I1. 16.0179. 20.197. .274. .850. I2. 16.0582. 20.127. .281. .850. I3. 16.2125. 19.509. .414. .845. I4. 15.7651. 20.673. .329. .847. I5. 15.7539. 20.729. .331. .848. I6. 15.7450. 20.607. .410. .846. I7. 15.7875. 20.419. .382. .846. I8. 15.8389. 20.095. .414. .845. I9. 15.8166. 20.092. .447. .844. I10. 15.8680. 19.832. .459. .843 （續下頁）. 36.
(47) 表3-4-4 預試信度Cronbach＇s α值分析表(續) 題 號. 項 目 刪 除 時 的 項 目 刪 除 時 的 修正的項目總 尺度平均數 尺度變異數 相關. 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值. I11. 16.1499. 19.338. .455. .843. I12. 15.9709. 19.338. .511. .841. I13. 15.9418. 19.521. .481. .842. I14. 15.9195. 20.124. .334. .847. I15. 15.7606. 20.591. .373. .846. I16. 16.3043. 19.378. .462. .843. I17. 16.1477. 19.534. .408. .845. I18. 15.8635. 20.262. .337. .847. I19. 15.9262. 20.073. .343. .847. I20. 16.1141. 18.725. .609. .836. I21. 15.8926. 19.944. .403. .845. I22. 16.0671. 18.969. .560. .838. I23. 16.0403. 19.254. .498. .841. （三）預試試題難度分析 本預試測驗以難度指數(P)表示本測驗的難易程度，難度指數愈高，代表該試 題愈容易；反之，則代表該試題愈難。難度指數計算公式如下： P＝（PH＋PL）/2 PH：高分組通過率；PL：低分組通過率 本預試試題的難度指數值介於 0.473~0.892，平均難度為 0.705。數據如表 3-4-5。整份測驗難度為中偏易，因此在編製正式測驗時，將難度指數較高（較容 易）的試題數字變大，以增加測驗的難度。 （四）預試試題鑑別度分析 本研究之預試試題鑑別度( D )的計算方式為先將受試者依測驗總分由高而低 排序後，測驗總分前 27％設為高分組，測驗總分後 27％設為低分組，再分別計. 37.
(48) 算高低分組答對此試題的百分比，鑑別度( D )為高分組答對此試題百分比減低分 組答對此試題百分比的差值，公式如下： D＝PH－PL PH：高分組通過率；PL：低分組通過率 本預試試題的鑑別度值介於 0.216~0.802，平均鑑別度為 0.512，數據如表 3-4-5，試題鑑別度都在可接受範圍，因此不作修改。 表 3-4-5 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度分析表 通過率. 高分組通過率. 低分組通過率. 難度指數(P). 鑑別度(D). P％. （PH）. （PL）. P＝(PH＋PL)/2. D＝PH－PL. I1. 66.219. 0.95. 0.43. 0.689. 0.514. I2. 62.192. 0.89. 0.39. 0.64. 0.505. I3. 46.756. 0.86. 0.19. 0.523. 0.667. I4. 91.499. 0.99. 0.77. 0.878. 0.225. I5. 92.617. 1. 0.78. 0.892. 0.216. I6. 93.512. 1. 0.77. 0.887. 0.225. I7. 89.262. 0.99. 0.69. 0.842. 0.297. I8. 84.116. 0.97. 0.56. 0.766. 0.414. I9. 86.353. 1. 0.6. 0.802. 0.396. I10. 81.208. 0.97. 0.49. 0.73. 0.487. I11. 53.02. 0.9. 0.16. 0.532. 0.739. I12. 70.917. 0.98. 0.29. 0.635. 0.694. I13. 73.826. 0.99. 0.37. 0.68. 0.622. I14. 76.063. 0.96. 0.5. 0.73. 0.469. I15. 91.946. 0.99. 0.73. 0.86. 0.261. I16. 37.584. 0.86. 0.09. 0.473. 0.766. I17. 53.244. 0.96. 0.28. 0.622. 0.685. I18. 81.655. 0.99. 0.61. 0.802. 0.378. I19. 75.391. 0.93. 0.48. 0.703. 0.451. I20. 56.6. 0.96. 0.16. 0.563. 0.802. I21. 78.747. 0.98. 0.5. 0.743. 0.478. 題號. （續下頁）. 38.
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