矩形（基础）巩固练习

矩形（基础）巩固练习

【巩固练习】 一.选择题 1．（_{2016·攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（} ）_. A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 2．若矩形对角线相交所成钝角为 120°，短边长 3.6

cm

，则对角线的长为( )． A. 3.6

cm

B. 7.2

cm

C. 1.8

cm

D. 14.4

cm

3．矩形邻边之比 3∶4，对角线长为 10

cm

，则周长为( )． A.14

cm

B.28

cm

C.20

cm

D.22

cm

4．已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线，则图中∠1 与∠2 一定不相等的是( ) A. B. C. D. 5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学拟 定的方案，其中正确的是（ ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角

6. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∠A＝ 30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形 BCDE 的面积是（ ）

A.

2 3

B.

3 3

C.4 D.

4 3

二.填空题

7．矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，∠AOB＝60°，AC＝10

cm

，则 AB＝______

cm

，BC＝______

cm

． 8．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则 AB 边上的中线 CD＝______．

9. 如图,矩形纸片 ABCD 中，AD＝4

cm

，AB＝10

cm

，按如图方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE＝__________

cm

.

M 作 MD⊥AC，过 M 作 ME⊥CB 于点 E，则线段 DE 的最小值为________.

11.（2015•重庆模拟）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，且∠AED=90°，AD=10，则 AB 的长为 ．

12. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E 是斜边 AB 上任意一点，作 EF⊥AC 于 F，EG⊥BC 于 G， 则矩形 CFEG 的周长是______.

三.解答题

13.如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4， 求∠ADB 的度数和 BD 的长.

14.（2015 秋•抚州校级期中）在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF=BE， 连接 AF，BF．

（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；

（2）若 CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB．

15.如图所示，已知 AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE. 求证：四边形 BCED 是矩形．

【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴_{A 不正确；} ∵矩形的对角线相等且互相平分∴_{B 正确；} ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴_{C 不正确；} ∵矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直∴_{D 不正确；} 2.【答案】B； 【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半. 3.【答案】B； 【解析】由勾股定理，可算得邻边长为 6

cm

和 8

cm

，则周长为 28

cm

. 4.【答案】D； 【解析】∠2＞∠1. 5.【答案】D； 6.【答案】A；

【解析】先证△ADF≌△BEF，则 DF 为△ABC 中位线，再证明四边形 BCDE 是矩形，BE＝

3

，可求面积. 二.填空题 7．【答案】5，5

3

； 【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO. 8．【答案】

₂

34

； 【解析】由勾股定理算得斜边 AB＝

34

，CD＝

1

2

AB＝

34

2

. 9.【答案】5.8；

【解析】设 DE＝

x

，则 AE＝AB－BE＝AB－DE＝10－

x

.在 Rt△ADE 中，由勾股定理可得 AD2

＋AE2 ＝DE2 ，即





2 2 2

4



10 x





x

，解得

x

＝5.8. 10.【答案】

12

5

； 【解析】如图，连接 CM， ∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形 CDME 是矩形， ∴DE=CM，由勾股定理求得 AB=5， 当 CM⊥AB 时，CM 最短，此时△ABC 的面积=

1

2

AB·CM=

1

2

BC·AC，

∴CM 最小值=

12

5

BC AC

AB





，∴线段 DE 的最小值为

12

5

. 11.【答案】5； 【解析】∵矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点， ∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°， 可证得△ABE≌△DCE（SAS）， ∴AE=DE， ∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°， ∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°， ∴∠BEA=∠BAE=45°， ∴AB=BE= AD= ×10=5． 12.【答案】12； 【解析】推出四边形 FCGE 是矩形，得出 FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG＝∠B，推出 EG ＝BG，同理 AF＝EF，求出矩形 CFEG 的周长是 CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可． 三.解答题

13.【解析】

解：由矩形的性质可知 OD＝OC.

又由 OE∶BE＝1∶3 可知 E 是 OD 的中点.

又因为 CE⊥OD，根据三线合一可知 OC＝CD，即 OC＝CD＝OD， 即△OCD 是等边三角形，故∠CDB＝60°. 所以∠ADB＝30°. 又因为 CD＝2OF＝8， 即 BD＝2OD＝2CD＝16. 14.【解析】 证明：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB，即 DF∥BE， 又∵DF=BE， ∴四边形 DEBF 为平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形 DEBF 为矩形； （2）∵四边形 DEBF 为矩形， ∴∠BFC=90°， ∵CF=9，BF=12， ∴BC= =15， ∴AD=BC=15， ∴AD=DF=15， ∴∠DAF=∠DFA， ∵AB∥CD， ∴∠FAB=∠DFA， ∴∠FAB=∠DFA，

15.【解析】 证明：在△ADB 和△AEC 中， ∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC． ∴ △ADB≌△AEC，∴ BD＝CE． 又∵ DE＝BC，∴ 四边形 BCED 是平行四边形． ∵ ∠BAD＝∠CAE， ∴ ∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC 即∠DAC＝∠BAE． 在△DAC 和△EAB 中， ∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB． ∴ △DAC≌△EAB，∴ DC＝EB． ∴ 四边形 BCED 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．