活動 3 學習單

偏微分方程

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一

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課程學習單

活動

₃

學號: 姓名: 你的伙伴:

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單元介紹與學習目標



學習如何用物理的現象建構出偏微分方程式的模型。



了解在數學上想研究偏微分方程式的幾個面向。

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簡單傳輸方程式模型

_{(simple transport equation,}

第

₁₀

頁

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有一個水管, 每個 橫截面 (cross section) 都相同, 將它水平放置, 考慮流速為 c 的流體流過水管, 不 妨假定流向為 x 軸的正向。 流體中有一個污染物, 用 u(x, t) 代表污染物在 t 時刻 x 處的濃度, 單位 是 (公克/公分)。 假設這個污染物是非常濃稠的, 以致污染物的 擴散現象(diffusion) 忽略不計, 而污 染物是受到水流而整體移動, 則污染物的濃度對時間的變化與位置之間滿足以下偏微分方程式: ut+ cux= 0。 討論 _1. 污染物在時刻 t 下在區間[0, b]當中的總質量可以用積分式表達_{: M = ,} 而在 t + h的時刻, 所有污染物都向右移動了 ch公分,因此污染物的總質量又可表示為 M = 。 若將上式兩邊對於變數b 微分, 由微積分基本定理得知, ,兩邊再對變 數h 微分, 並且代入 h = 0 之後變得到 。 討論 _2. 各自完成自己的題目後, 再與你的伙伴分享並討論你的結果。 (A1) 偏微分方程式的一般解為: , 回想函數的平移縮放的概念, 方程式的解 代表的意義為何? 。 (A2) 假設污染物在 t = 0 的時候濃度的分佈如圖 1 所示, 畫出在 t = 1 與t = 2 時濃度的分佈。 特 別強調不同時刻下污染物之間的間距。 x u t = 0 圖 1: 污染物在不同時刻下的濃度分佈。 (A3) 這個偏微分方程式的解有符合污染物隨時間傳輸的現象嗎? 1

3

弦振動模型

_{(vibrating string,}

第

₁₁

頁

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考慮一個具有彈性、 可塑性、 長度為 l、 均勻密度為 ρ 的弦_, 例如吉他上的弦。 如圖 2 所示_, 在t = 0 時,弦是水平的狀態,以x軸中的[0, l]代表弦,而在t時刻弦用u(x, t)代表其 位移(displacement)。 假設弦始終都是在這個平面上振動, 而且理想上每個點都是上下振動。 因為弦具有良好的可塑性, 所以弦在每個地方的張力與弦相切, 用粗體T(x, t) 表示張力 (向量),而細體T 表示其大小(數值)。 0 l _x 0 x1 T(x0, t) T(x1, t) 1 ux p 1 + u2 x 圖2: 弦振動模型。 現考慮在 x = x0 與 x = x1 之間的力學。 由牛頓第二運動定律 F = ma得知水平分力與鉛直分 力各別達到平衡狀態,所以 現假設弦振動相對於弦長而言非常小, 也就是說 |ux| 很小以致於p1 + u2x≈ 1, 這麼一來,可假設 T 為常數_, 與t 和x 無關_, 而方程式改寫為

此方程式稱為 波動方程式 _{(wave equation), c} 稱為 波的傳播速度 (wave speed)。 上述討論, 用到每 個點都是上下振動以及弦振動相對於弦長而言非常小這件事, 所以得到一個理想的偏微分方程式。 我 們會先從這個偏微分方程式進行分析, 再探討非線性項造成的效果。 討論 3. 與伙伴討論以下問題,並記錄下來。 (B1) 如果把 空氣阻力 (air resistance) 納入考慮時, 而阻力與振動方向相反, 與振動速度成正比, 正 比的常數用 r 表示時, 波動方程式該如何修改? (B2) 如果把弦的 彈性力 (elastic force) 納入考慮時, 而彈性力與振動方向相反, 與振動位移成正比, 正比的常數用 _k 表示時, 波動方程式該如何修改? 2

4

擴散方程模型

_{(diffusion equation,}

第

_14–15

頁

₎

一條直形管子內充滿著靜止不動的液體,接著滴上一滴染劑。 現在要觀察染劑的 擴散現象_(diffusion)。 由 菲克定律 (Fick’s law)得知: 染劑會從高濃度的地方擴散至低濃度的地方,而擴散速度與濃度的梯 度呈正比。 x0 x1 圖 3: 擴散方程的模型。 若用 u(x, t)表示時刻 t 在位置x 處的染劑濃度。 如圖 3,管子從 x0 到x1,染劑的質量為 M(t) = ⇒ M′_{(t) = 。} 另一方面,在時刻t、 介於x0 與x1 間染劑質量的變化率可由在x0 與x1 的截面觀察其淨值;換言之, M′_{(t) =在 x} 0 處流進之質量變化−在x1 處流出之質量變化 = , 其中 k 為比例常數。 因此, , 將等式兩邊對於 x1 微分, 得到 , 這個偏微分方程式稱為 擴散方程(diffusion equation)。 討論 _4. 與伙伴討論以下問題,並記錄下來。 (C1) 生活中還有什麼例子可以用擴散方程式模擬_? (C2) 比較擴散方程式與遷移方程式的差別。 3

5

偏微分方程式的研究

指定條件

₍

第

₂₀

頁

₎

一個偏微分方程式的解可能會很多, 例如由之前的討論知道偏微分方程式的解可能會帶有一些任意函 數。 而我們會興趣的是_: 要如何加上一些條件之下, 方程式的解可以明確決定_?

在偏微分方程式的理論中, 常見的條件有以下幾種:

(I) 初始值條件(initial condition): 對於多變數函數u(x, t), 可以指定在t = t0 時刻的函數,例如

u(x, t0) = φ(x)。 有的時候會需要給到兩個初始條件像是u(x, t0) = φ(x)與u_t(x, t0) = ψ(x)。

(B) 邊界值條件(boundary condition): 對於函數的 定義域(domain) D,在它的 邊界(boundary) ∂D 上給予一些資訊。 常見的有以下幾種條件:

(D) 狄立克萊條件 (Dirichlet condition): 在 x ∈ ∂D 上滿足 u(x, t) = φ(x, t)。

(N) 諾伊曼條件 (Neumann condition): 在x ∈ ∂D 上指定 ∂u

∂n = φ(x, t)的值。

(R) 羅賓條件 _{(Robin condition):} 在x ∈ ∂D 上指定 ∂u

∂n+ au = φ(x, t) 的資訊。

適定性問題

₍

第

₂₅

頁

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哈達瑪 (Hadamard) 在 1923 年針對偏微分方程式提出 適定性問題 (well-posed problem), 如果以 下三條件同時成立, 則問題稱為 適定的 (well-posed), 否則稱為 不適定的 (ill-posed): (E) 存在性 _(Existence): 是否有一個函數滿足偏微分方程式與所有指定條件。 (U) 唯一性 (Uniqueness): 若有二個函數滿足偏微分方程式與所有指定條件, 則它們相同。 (S) 穩定性 (Stability): 偏微分方程式的解與初始條件或是邊界條件的依賴關係, 如果初始條件變 動一點, 則解的變化是否也只改變一點。 討論 5. 考慮偏微分方程式 ux+ yuy = 0, u(x, 0) = φ(x)。 (D1) 若 φ(x) = x,分析偏微分方程式的解。 (D2) 若 φ(x) ≡ 1,分析偏微分方程式的解。 4