勾股定理證明-G048
【作輔助圖】
1. 以AB為邊，向外作一正方形 AHKB ，以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 延長HA ，交 GF 於 Q 點。
3. 從 Q 點作 AB 的平行線並延長 KB 交於 N 點，得到四邊形 ABNQ (於證明過程第 1 點 說明四邊形 ABNQ 為正方形)。
4. 從G 點作 AB 的平行線交 AQ 於 L 點，交 CF 於 O 點，交 BN 於 M 點。
5. 從 D 點作AB 的平行線與 CA 交於 R 點，且與 AQ 交於 P 點。
6. 連接 ON 。
B
H
E F
G
D C
K Q
P
R L
M N
O
A
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，透過與正方形 AHKB 等面積的
正方形 ABNQ 區域切割，得到兩個長方形，再由推移與平移的關係得到兩個平行四邊 形，再利用平行四邊形與正方形同底等高的關係，分別得到正方形 CBDE 與正方形
CAGF 的面積，最後推出畢氏定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAQ 與三角形 CAB 全等，再證出四邊形 ABNQ 為正方形且和正方形 AHKB 全等：
因為 AG AC,QGA BCA90,GAQ90 QAC CAB，所以 GAQ CAB
(ASA 全等).
由證明 GAQ CAB得知 AQ AB，再由作圖的平行條件知，四邊形 ABNQ 四頂 角皆為直角，所以
四邊形 ABNQ 為正方形，且正方形 ABNQ 正方形 AHKB . 2. 證明 ON 與 QG 平行，得到四邊形 QGON 為平行四邊形：
因為 GO // AB ， GA// OB ，所以四邊形 GABO 為平行四邊形，又GO // QN 且因為四 邊形 ABNQ 為正方形，所以 GO ABQN，所以四邊形 QGON 亦為平行四邊形。
3. 證明平行四邊形 QGON 與平行四邊形 RABD 全等：
由作圖的平行條件知，四邊形 RABD 為平行四邊形，又因為 ON GQCBBD， QN AB，且由平行關係得到對應角相等，可知
.
QGON RABD
平行四邊形 平行四邊形
4. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
因為
AHKB QABN
QLMN LABM
QGON GABO
RABD GABO
CBDE CAGF
正方形 面積＝正方形 面積
＝長方形 面積＋長方形 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積﹒
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(6/7), 168-170.
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.158). New York : Macmillan and co.
2. 心得：此證明透過正方形切割後所得的長方形，由推移與平移的關係得到平行四邊 形，再由同底等高的面積計算關係，證明畢氏定理的關係式。此題可以將作 圖簡化，直接以正方形 ABNQ 取代正方形 ABKH 。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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