國二每周練習題(下學期第 10 周)

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國二每周練習題(下學期第 10 周)

中心：_____________________ 姓名：___________________

例題一 若x y : 2 : 3，且3x y 6，求 x 、y之值分別為何？

解：

原式為x y : 2 : 3，假設x 2 r、y  3 r，其中r 0； 將x 2 r、y  3 r代入二元一次方程式3x y 6； 得到3 (2    r) (3 r) 6

6r3r 6 3r 6

r  代回2 x 2 r、y  3 r 得到x 4、y 6。

答：x 4、y 6 練習一 若(x1) : (y 1) 5 : 3，且x2y 2，求 x 、y之值分別為何？

例題二 比較下列各組數的大小：

(1) 3 5、5 2 、4 3

(2) 11 8、 10 3、 12 7 解：

(1) 原數為：3 5、5 2 、4 3

又

2

2

2

3 5 3 5 45 5 2 5 2 50 4 3 4 3 48

   

   



  



因為 50  48  45，得到5 2 4 33 5。 (2) 原數為： 11 8、 10 3、 12  7

又( 11 8)² ( 11)²  2 11 8( 8)² 192 88 同理，

2 2

2

( 10 3) ( 10 9) 19 2 90 ( 12 7 ) 19 2 84

     



  



因為19 90 19 88 19 84，又三數皆為正數，

所以 10  3 11 8 12  7。

答：(1) 5 2 4 33 5 (2) 10  3 11 8 12  7

小提醒：

若 ，則可以將 表示成 ，將 表 示成 ，其中 。

小提醒：

利用平方後的數字比 較根式的大小。

平方後數字之間的關 係：

1. 若 ，則

。 2. 若 ，則

。

2

練習二 比較下列各組數的大小：

(1) 3 7、5 5、2 17

(2) 7  2、1 2 2 、 3 6

例題三 利用一元二方程式的公式解，解下列各式：

(1) 2x²   x 2 0 (2) 4x² 12x 9 0 (3) 3x² 2x 4 0 解：

(1) 原式為2x²   x 2 0

利用判別式Db²4ac； 得到D₍₁₎      1² 4 2 ( 2) 170 所以

1 12 4 2 ( 2) 1 17

2 2 4

x          

 。

(2) 原式為4x² 12x 9 0 利用判別式Db²4ac； 得到D₍₂₎ 12²    4 4 9 0 所以 ^{12 3}

2 4 2 x    

 (重根)。

(3) 原式為3x² 2x 4 0 利用判別式Db²4ac； 得到D₍₃₎ 2²      4 3 4 44 0 所以此方程式無解。

答：(1) 1 17 x  4

 (2) ³

x  2(重根) (3) 無解 練習三 利用一元二方程式的公式解，解下列各式：

(1) 2x² 3x 1 0 (2) x² 8x160 (3)    x² x 2 0

小提醒：

設一元二次方程式為

，其中

，則：

1. 設 為此 一元二次方程式的 判別式。

2. 一元二次方程式的 公式解：

(1) 若 時，

。 (2) 若 時，

(重根)。

(3) 若 時，此 方程式無解。

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例題四 某天，華盛頓的父親和華盛頓說：「兩年前我的年齡是你年齡的四倍，而 三年後我的年齡變成你年齡的三倍。」

求當時華盛頓的年齡為多少歲？

解：

假設當時華盛頓的年齡為 x 歲；

所以兩年前華盛頓的年齡為(x 2)歲，且兩年前父親的年齡是華盛頓年齡 的四倍，所以為(x 2) 4 歲；

由此可知，父親當時的年齡為[(x 2) 4 2]歲。

所以三年後華盛頓年齡為(x 3)歲、父親的年齡為{[(x 2) 4  2] 3}歲；

又三年後父親的年齡變成華盛頓年齡的三倍；

依題意列出式子：{[(x   2) 4 2] 3}(x 3) 3 {[4x  8 2] 3} 3 x9

{4x 6 3} 3 x9 4x 3 3x9 4x3x 9 3 x 12

答：12 歲 練習四 兩年前小蛙的年齡是大偉的四倍，三年後小蛙的年齡是大偉的2.5倍，請問

當時小蛙的年齡為多少歲？

例題五 下圖為線段 AB ，利用尺規在線段上找出一點 P ，使得AP BP : 3:1 。

A B 解：

作法：

(1) 以 A為圓心，並以 R ( ¹

R 2 AB)為半徑，作一弧。

(2) 以 B 為圓心，並以相同的 R 為半徑，作一弧。

(3) 使兩弧相交於C、 D 兩點。

(4) 連接C、 D 與AB交一點 E 。 (5) 以 E 為圓心，並以

r

r 2EB)為半徑，作一弧。

小提醒：

尺規作圖為只使用圓 規和直尺的作圖法。

尺規作圖的限制：

1. 直尺只可用來將兩 個點連在一起，不可 以使用刻度。

2. 圓規可以開至無限 寬，但上面亦不能有 刻度。

小提醒：

從題目敘述中觀察所 求，將其假設為未知 數，再列出關係式。

小知識：

喬治·華盛頓(George Washington) ，美國 國父，1789 年成為 美國第一任總統（其 同時也成為全世界第 一位以「總統」為稱 號的國家元首）。

其著名的偉人小故事

—砍倒櫻桃樹，其實 是帕森‧威印這位神 父兼職作家的著作

《華盛頓生平》中虛 構的。

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(6) 以 B 為圓心，並以相同的

r

(7) 使兩弧相交於 F 、G兩點。

(8) 連接 F 、G與AB交一點 P ， P 即為所求。

答：

練習五 下圖為線段 AB ，利用尺規在線段上找出一點 P ，使得AP BP : 5: 3 。

A B

例題六 呱呱水果行進口哈密瓜，在運送途中不慎損壞12%，水果行以每顆 120 元 的成本買進，再以每顆150 元的價格售出且獲利不低於 28800 元，若水果 行將哈密瓜裝盒出售，每盒6 顆且不零售，則水果行至少需要進口幾盒水 蜜桃？

解：

設最少進口 x 顆哈密瓜

運送途中不甚損壞12%，剩下的哈密瓜為x (1 12%) 顆；

獲利每顆的售價







150 x 88% 120 x28800 132x120x28800

12x 28800

x 2400， x 至少 2400 顆

每盒6 顆，2400顆為2400 6 400盒。

答：400 盒 練習六 模型店進口魯夫公仔，在運送途中不慎損壞8%，模型店以每個 720 元的

成本買進，再以每個 1000 元的價格售出且獲利超過 80000 元，則模型店 至少需要進口幾個魯夫公仔？

小提醒：

依題意列出不等式求 解。