高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.02.22

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.02.22

範 圍

數列(A)

班級 一年____班 姓

座號 名

1. 在 2 與 6 之間插入 10 個數，使所成之 12 個數構成一個等差數列，設插入之 10 個數依序為

1, 2, 3, , 10

b b b b ，則b ₇ . 答案： ⁵⁰

11

解析： 共 12 個數

首項a ₁ 2 末項a₁₂     2 11 d 6 11d 4 ∴公差 ⁴

d 11 _{7 8} 4 50

2 7

11 11 b a

     

2. 數列 a_n 滿足a₁ 1,a_n1 a_n(n1) ,³ n為正整數，則a ₁₀ . 答案： 3025

解析： 由定義式可知 a1

2

1 a



a1

 ³

3

(1 1) a

  a2

 ³

10 9

(2 1)

) a a

 

  ³

3 3 3

10

10 3

1

2

2

(9 1) 1 2 3 ... 10

10 11

( )

2 55 3025

k

a

k



 

    



 

 



3. 數列 a_n 定義為 ¹

1

1

2 1, 2

n n

a

a _ a n n

 

    

 ，則a₃₀  . 答案： 900

解析： ∵a₂ a₁  2 1 1 a₃ a₂   2 2 1 a₄ a₃  2 3 1

a_{3 0}a _{2 9} 2 2 9 1

將各式的左式和右式分別相加，可得

2 3 30 1 2 29 2(1 2 3 29) 1 29

a a  a  a a  a       

30

29 30

1 2 29 900

a 2

     

4. 一等差數列，第 m 項為 ⁿ

m ，第 n 項為^m

n 且mn，則公差 = ______.

答案： ^{n m} mn

 

解析： _m ( 1) n , _n ( 1) m

a a m d a a n d

m n

        二式相減

( )( )

( ) n m n m n m n m

m n d d

m n mn mn

  

       

5. 設a b c, , 三數成等比數列且 a c ，其三數和為 39，又知a1, ,b c8成等差數列，則 b ______, a ______.

答案： 10, 4

解析： a1, ,b c8成等差數列

9 2 2 9

a c b a c b

        又a  b c 39

3 9 39 10

a b c b b

       

且a c 29且acb²100 故a4,c25

6. 一實數等比數列 a_n 的首項a ₁ 2，第 5 項a ₅ 18，則第 8 項a ₈ . 答案： 54 3

解析： a₅  a r₁ ⁴ 18 2 r⁴   r 3

7

8 1 2 ( 27 3) 54 3 a     a r  

7. 一等比數列 a_n 的前三項和為 26，前六項和是 728，則a ₁ ，公比r  ． 答案： a₁2;r3

解析： 依題意得

2 2

1 2 3 1 1 1 1

2 2 3 2

4 5 6 4 4 4 4 1

( 1) 26

(1 ) (1 ) 728 26 702

a a a a a r a r a r r

a a a a a r a r a r r a r r r

         

              



 得 ^{3 702} 27 3

r  26   r ，代入 得 ₁ ²⁶ 2 9 3 1

a  

  8. 設 a_n 為等比數列，若a₅ 12,a₉ 60，則a ₁₇ . 答案： 1500

解析： a₅  a r₁ ⁴ 12

8

9 1 60

a  a r 

由 得r ⁴ 5，代入得 ₁ ¹²

a  5 ∴a₁₇  a r₁ ¹⁶  a₁ (r^{4 4}) 12 ⁴

5 1500

 5  

9. 設函數 f x( )的定義如下表：

若數列 a_n 滿足a ₁ 1，且a_n1 f a( _n)，則a₂₀₁₉_ 答案： 5

解析： a ₁ 1

2 ( )1 (1) 3

a  f a  f 

3 ( 2) (3) 5

a  f a  f 

4 ( 3) (5) 4

a  f a  f 

5 ( 4) (4) 1 1

a  f a  f  a

6 3 2

a  a

7 5 3

a  a

8 4 4

a  a

每四項循環一次a₂₀₁₉ a_{4 50 4+3} a₃ 5

10. 若實係數方程式x³kx²18x 8 0的三個實根可排成等比數列，則三個根之和為 . 答案： 9

解析： 設等比數列首項 a ，公比r 則a ar ar, , ²為方程式的三根 由根與係數關係知 三根之和為  k a arar² a(1 r r²) 兩兩乘積之和為18 a ar a ar²ar ar ² a r² (1 r r²) 三根之積為8  a ar ar²a r^{3 3}

由○³ 可得ar 2

由○² 得18[ (1a  r r²)]ar     ( k) 2 k 9 11. 數列 a_n 中，滿足a ₁ 2，且 ₁ ¹

n 1

n

a^  a

 ，則a₁₀₃a₁₀₂ ． 答案： ³

2

解析： _{1 2}

1

1 1

2, 1

1 1 2

a a

  a   

 

3 4 5

2 3 4

1 1 1 1 1 1 1

, 2, 1,

1 1 ( 1) 2 1 1 1 1 2

1 2

a a a

a a a

         

      

由此規律可知，a_n為2, 1,¹

 2每三個循環 _{103 3 34 1 1} 2, _{102 3 34 3} ¹ a a_{ } a a a_ a 2

      

∴ _{103 102} 2 ^{1 3} 2 2 a a   

12. 有一序列的圖形如下，第一個圖形是 2 個1 1 的正方 形，第二個圖形是 6 個1 1 的正方形，第三個圖形是 12 個1 1 的正方形，依此規則繼續增加正方形的個數，則 第八個圖形共有 個1 1 的正方形.

答案： 72

解析： 由圖形知第 n 個圖形有n n ( 1)個正方形 所以第八個圖形共有8 9 72個正方形

x _{1 2 3 4 5} ( )

f x 3 2 5 1 4

13. 如圖，任兩相鄰黑點線段長都是 1，按照這規律，令a_n為 第 n 個圖上的所有長總和，例如：第一圖線段長總和為 6，

即a ₁ 6；第二圖線段長總和為 16，即a ₂ 16；依此類推﹒

請找出數列 a_n 的遞迴定義式 . 及a _n ________.

答案： ¹

1

6

4 2, ( 2, )

n n

a

a a _ n n n

 

    

 為正整數 ，a_n 2 (n n2) 解析： a₂  a₁ 10   a₁ 2 4 2,

3 2 14 2 2 4 3,

a a  a   

1 2 4 , 2, 3,...

n n

a a _ n n

     ¹

1

6

4 2 2

n n

a

a a _ n n n

 

    

 ，（ ， 為正整數）

a1 2

6 a



a1



3

4 2+2 a

  a2



1

4 3+2

) a_n a_n

 

 

2

( 1)( 2) 6 4

4 +2 6 4 (2+3+4 )+(

2( 1) 2

2 4

2 (

1) 2

2)

n

n a

n n

n

n n

n n

n n

 

     





 

 



 





14. 若數列 a_n 的第一項a ₁ 1，第二項a ₂ 1，且a_n a_n1a_n2,n3，則此數列的第十項為 ． 答案： 55

解析： a₁1,a₂ 1,a₃   1 1 2,a₄   2 1 3,a₅   3 2 5,a₆   5 3 8

7 8 5 13, 8 13 8 21, 9 21 13 34, 10 34 21 55 a    a    a    a   

1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55



15. 若數列 ^{1 2}, , ^{3 4}, , ^{5 6}, , 2 3 4 5 6 7

   a_n   ，則一般項a _k .

答案： ( 1) 1

k k

 k

 解析： ( 1)

1

k

k k

a    k



16. 設等比數列 a_n 滿足log_{2 1}a log₂a₂ log₂a₅ 10，則a ₃ . 答案： 4

解析： ∵a a₁ ₅ a₂a₄ a₃²且log_{2 1}a log₂a₂  log₂a₅ 10

∴log (₂ a a₁   ₂ a a_{3 4} a₅)10 log₂a₃⁵ 10log₂a₃ 2a₃ 4

17. 四個正數12, , ,32a b ，若前三項成等差，後三項成等比，則數對( , )a b  . 答案： (18, 24)

解析： 依題意， 12 ¹²

2 b  a a  a b

32 2

b 32

b a

b  a 

由 得b²16b192 b²16b1920 (b 8)(b24)0  b 8(不合)或 24

代入 得a 18 數對( , )a b (18, 24)

18. 一等差數列 a_n ，a₄ 3,a₁₀ 13，試求a₂₅  . 答案： 38

解析： 設其公差為d

10 4

(10 4) 13 3 6 5

a a   d    d d 3, a₂₅ a₁₀(25 10) d 13 25 38 19. 將自然數用括弧分組如下（第n 組有n 個數）：(1), (2,3), (4,5, 6), (7,8,9,10),

(1)第 100 個括弧的第 100 個數是 .

(2)100 是第m 個括弧的第 n 個數，則數對( , )m n 為 . 答案： (1)5050(2)(14, 9)

解析： (1)第100個括弧的第100個數 1 2 3 ... 100 ^{101 100} 5050 2

       

(2)1 2   k 100,k13

∴1 2 3   1391

∴100為第14個括弧內第9個數( , )m n (14,9)

20. 等比數列   a_k 6,…,1458,…,13122,…，其中a_n 1458,a_2n4 13122，則公比r __________.

答案： 3

解析： 設a_n 6r^n1 1458r^n1243

又a_2n4 6r^2n5 13122 r^2n5 2187 由 得r^n4 9

由 得r ³ 27 r 3

22. 等差數列 a_n 中，若a₅  3,a₁₂ 25，則a₁₉a₂₀a₂₁a₂₂a₂₃__________.

答案： 305 解析： ^{5 1}

12 1

4 3

11 25

a a d

a a d

   

   

 7d 2 8d  4 ₁a  1 9

故a₁₉a₂₀a₂₁a₂₂a₂₃(a₂₁2 )d (a₂₁d)a₂₁(a₂₁d)(a₂₁2 )d 5a21

 5(a₁20 )d   5( 19 80)  5 61305

23. 設有一數列1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , , ...

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ，則：(1) ⁷

10為第 項． (2)第 100 項為 ． 答案： (1)130(2)⁶

9

解析： 第一群( )¹

1 ：1 項，分子 分母2 第二群( , )^{2 1}

1 2 ：2 項，分子 分母³ 第三群( ,^{3 2 1}, )

1 2 3 ：3 項，分子 分母4

第 n 群( , ¹, ², , )¹

1 2 3

n n n

n

 

： n 項分子 分母 ^{n 1}，分母 1 遞增至 n ，分子 n 遞減至 1

(1) ⁷

10分子 分母¹⁷，∴ ⁷

10應在第 16 群中之第 10 項 又前 15 群共有1 2 3 15 ¹ 15 (1 15) 120

       2  項，故 ⁷

10為第120 10 130項 (2)因為前 13 群共有1 2  1391項，∴第 100 項為第 14 群中之第 9 項

且分子 分母¹⁵，∴ ₁₀₀ ⁶ a 9