高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：99.11.24 範

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：99.11.24 範

圍 3-1 指數函數班級一年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 化簡³ ⁸64⁻^0.2． 32．³8⁻³．(^{4 3}16⁻¹ )⁻²= 2^k﹐k =__________﹒

解答 −

20 31

解析原式 = [((2 )⁶ ⁻^0.2)¹⁸⋅(2 ) ]⁵ ¹² ¹³．((2³)⁻³)³

1

．(((2⁻⁴)³

1

)⁴

1

)⁻²

3 5 1 2

20 2 3 3 3

[2⁻ 2 ] 2⁻ 2

= ⋅ ⋅ ⋅

47 2 31

60 3 3 20

2 2⁻ 2 2⁻

= ⋅ ⋅ =

2. 化簡求值：

(1)[(1

4)⁶．64]⁻⁴．(32)⁻³ =__________﹒ (2)(81 16)^−0.25．

1

4 2

( )9

− ．(0.25)^−1.5 =__________﹒

解答 (1) 512;(2) 8

解析 (1)原式 = (2^{− 12} × 2⁶)⁻⁴ × (2⁵)^{− 3} = 2²⁴ × 2^{− 15} = 2⁹ = 512 (2)原式 = [(

2 3

)⁴] ⁴

−1

× [(

3 2

)²] ²

−1

× [(

2 1

)²] ²

−3

=

3 2

×

2

3

× 8 = 8

3. 若⁵ ²⁰ ¹² 1 ³ ² ³ 5 5 [( ) (625) ] 5

125

− x

× × × = ﹐則 x = ____________﹒

解答 10 解析 5^x =

20 1 1

12 3 3 4 2 3

5 2 2

5 ×[(5 ) ] ×[(5 )⁻ ×(5 ) ]⁻

=

1

4 6 2 9 8 3

5 ×[5 ] ×[5⁻ ×5 ]⁻ = 5⁴× 5³× (5⁻¹)⁻³ = 5⁴ × 5³ × 5³ = 5¹⁰﹐∴ x = 10﹒

4. 設

a > 0

﹐且

a

²^x

= 3

﹐求

=

− +

⁻

x x

a a

－ 3 3

__________﹒

解答

3 14

解析分子分母同乘

a

^x

原式

2 3 9 1 1 3

3 3 1

) ( ) ( 1

1 2 2

1 2 2 2 2

2

4

+

− =

= +

−

= +

−

=

^x

+

_x ⁻ ^x ^x _x ^x ⁻ ⁻

a

a a

a a a

2 3 28

= 3

= 14

5. 若

a

^x

+ a

^{− x}

= 5

﹐則

a

³^x

+ a

^{− x}³

=

__________﹒

解答 110

解析由求值公式：

a

³

+ b

³

= ( a b + )

³

− 3 ab a b ( + )

= 5 +

^{− x}

x

a

﹐

a

³^x

+ a

⁻³^x

= ( a

^x

+ a

⁻^x

)

³

− 3 a

^x．

a

⁻^x

( a

^x

+ a

⁻^x

)

=

5

³

− 3 × 5 = 110

6.若 a > 0﹐且 a^3x+ a^−3x = 18﹐則(1) a^x

+ a

^−x =__________﹒ (2) a^x =__________﹒

(2)

解答 (1) 3;(2)

2 5 3 ±

解析 (1)令 a^x+ a^−x = t ⇒

a

³^x

+ a

⁻³^x

= ( a

^x

+ a

⁻^x

)

³

− 3 a

^x．

a

⁻^x

( a

^x

+ a

⁻^x

)

18 t

3

3 1 t

⇒ = − ⋅ ⋅

⇒ t³− 3t − 18 = 0 ⇒ (t − 3)(t² + 3t + 6) = 0

∵ t

∈ R ⇒ t = 3（t

²+ 3t + 6 = 0﹐判別式< 0﹐二根為虛根不合）﹐即 a^x+ a^−x = 3 (2)a^x+ a^−x = 3 ，設

a

^x

= s

⇒

1

²

3 1 3

s s s

+ = ⇒ s + =

s

²

− 3 s + = ⇒ 1 0

⇒ a^x =

s =

2 5 3 ±

7. 設^x

32

=^y

2

³^{y 6}⁻ ﹐且 3¹⁵^{y 3}⁺ ^x= 81^xy﹐則(x,y) = __________﹒

解答 (5,3)

解析



 



=

+

− xy x y

y y

x

81 3

2 32

3 15

6 3

⇒



 



=

+

−

xy x y x y

4 3 15

3 6 5

3 3

2

_⇒



 



= +

−

=

xy x y

y x

4 3 15

3 6 5

⇒

 



 



= +

3 4 15

6 3 5

y x

y

x

∴ (x,y) = (5,3)

8.

( 3 . 5 )

^x

= ( 0 . 035 )

^y

= 100

﹐則

− = y x

1

__________﹒

解答 1

解析

1

(3.5) 100 3.5 100 (0.035) 100 0.035 100

x x

y y

 = ⇒ =



 = ⇒ =



……

……

﹐





^得

1 1 3.5

100 100

0.035

x−y

= = ∴ 1 1

x

− =

y

1

9. 若 53^x= 9﹐477^y= 243﹐則

y x

2 − 5

=__________﹒

解答 − 2

解析

2 2

5 5

53 3 53 3

477 3

x x

y

 =  =

 ⇒

 

 = 

  =

……

……

﹐ ÷  得 3

2 5 x−y

=

477 53

₌

9 1

_{= 3}₋₂

∴

x y 2 − 5

= − 2

10.設^x

81

=^y

3

²^{y 3}⁻ ﹐且 8^x+4y = 16^xy﹐則數對(x,y) =__________﹒

解答 (4,3)

解析 ^x

81

=^y

3

²^{y 3}⁻ ⇒ 3^x

4

= ^y

y 3 2

3

−

⇒

x 4

₌

y y 3 2 −

⇒

x 4

₊

y

3

= 2……

8^x+4y = 16^xy ⇒ 2^3x+12y = 2^4xy ⇒ 3x + 12y = 4xy ⇒

x 12

+

y

3

= 4……

(3)

由 − 得

x

8

= 2 ⇒ x = 4﹐代入 ∴ y = 3﹐故(x,y) = (4,3)

11.設 xyz ≠ 0﹐4^x =

6

^y= _z

9

1

﹐則

x y

−

z

y

=__________﹒

解答 4

解析令 4^x =

6

^y = _z

9

1

= k

∴

 



 





k k k

z y x

=

9 1

6 4

⇒

 



 





z y

x

k k k

1 2

1

9 1 6 4

=

⇒

 



 





1 2 2

1 2

2 6 3

x

y

z

k k k

⁻

=



①

②

③

× ⇒

①③=②

k²^x

1

．k ²^z

−1

= k^y

2

⇒

2 x 1

−

z 2

1

=

y 2

﹐故

x y

−

z y

= 4

12. 方程式 2^x

+ 8．2

^−x = 6 之解為__________﹒

解答 x = 1 或 x = 2

解析原式 ⇒ (2^x)² − 6．2^x + 8 = 0 ⇒ (2^x

− 2)(2

^x

− 4) = 0 ⇒ 2

^x = 2 或 2^x

= 4 ⇒ x = 1 或 x = 2

13. 方程式 2^x+1 − 6．2^x−1 + 10．2^x−2 = 12 之解為__________﹒

解答 3

解析 2^x+1 − 6．2^x−1 + 10．2^x⁻² = 12 ⇒ 2．2^x

− 6．2

^x．2⁻¹ + 10．2^x．2⁻² = 12

⇒ (2 −

2 6

+

4

10

)．2^x

= 12 ⇒ 2

3

．2^x

= 12 ⇒ 2

^x = 8 ⇒ x = 3

14.解方程式：

(1) 4^x⁺¹− 5．2^x⁺²+ 16 = 0﹐得 x = __________﹒

(2)10^x

− 4．5

^x − 5．2^x + 20 = 0﹐得 x = __________﹒

解答 (1) 0﹐2;(2) 1﹐2

解析 (1)令 2^x= ﹐

t t

> ⇒ 0 4

t

²−20

t

+16= ⇒ 0

t

= 或 4 ∴ 21 ^x = 或 4 ﹐1

x

= 或 2 0 (2) 5 2^x⋅ − ⋅ − ⋅ +^x 4 5^x 5 2^x 20= ⇒ (50 ^x −5)(2^x− = , 54) 0 ^x = 或 25 ^x = ⇒ 4

x

= 或1

x

= 2 15.設

9

^x⁺¹

− 3

^x⁺⁴

+ 1 = 0

的二實根為

α

﹐

β

﹐則

α + β

=__________﹒

解答 −2

解析設

y = 3

^x﹐則

9 y

²

− y 81 + 1 = 0

之二根為 ¹

2

3 3

y y

α β

 =

 =

 ﹐ ₁ ₂ 1 3 3

y y

= =9 ^α⋅ ^β 即 3^α⁺^β = 3⁻² ∴

α

+

β = −2

16.設 a

∈ R﹐若 4

^x

− a

_x

4

1 3 +

= 3a 有實數解﹐求 a 之範圍為__________﹒

解答 a > −

3 1

解析 (4^x)²− 3a(4^x) − (3a + 1) = 0 ⇒ [4^x− (3a + 1)](4^x+ 1) = 0

(4)

4

^x

= − 1

(不合)⇒ 4^x = 3a + 1 > 0 ⇒ a > −

3 1

17.設 3^a = 5^b﹐1 1

a

+ = ﹐則 3

b

2 ^a + 5^b = ____________﹒

解答 2 15

解析設 3^a = 5^b = k ⇒ 3 =

k ﹐5 =

¹^a

1

k ﹐15 =

b 1 1

k

a b⁺ = k²﹐∴ k = 15 ⇒ 3^a + 5^b = 15+ 15= 2 15 ﹒ 18.設 a = 2^x = 3^y = 5^z﹐且1 1 1

x

+ + = ﹐則 a = ____________﹒

y z

2

解答 30

解析 2^x = a ⇒ 2 =

a ……﹐3

¹^x ^y = a ⇒ 3 =

1

a ……﹐5

y ^z = a ⇒ 5 =

a ……﹐

¹^z

×× 得 30 =

1 1 1 1

1 1

y x y z

x z

a a a a

× × = + + = a² ⇒ a =± 30（負不合）﹒

19.設 a > 0 且 a^4x = 29 12 3 2 2− + ﹐則

6 6

2 2

x x

a a a a

−

+

+ 之值為____________﹒

解答 5

解析 a^4x = 29 12 3 2 2− + = 29 12( 2 1)− + = 17 12 2− = 17−2 72 = 9− 8= 3 2 2−

∴ a^−4x = 1

3 2 2− = 3 2 2+

⇒

a

⁶₂^x_x

a

⁶₂^x_x

a a

−

+

+ =

2 2 4 2 2 4

2 2

( ^x ^x)( ^x ^x ^x ^x)

x x

a a a a a a

a a

− − −

−

+ − × +

+

3 3 2 2

( )( )

a b a b a ab b

⇐ + = + − +

= a^4x − 1 + a^−4x = (3 − 2 2 ) − 1 + (3 + 2 2 ) = 5﹒

20.求

10 10

4 11

27 9 27 9 +

+ = ____________﹒

解答 81 解析

10 10

4 11

27 9 27 9 +

+ =

3 10 2 10

3 4 2 11

(3 ) (3 ) (3 ) (3 )

+

+ =

30 20

12 22

3 3 3 3 +

+ =

20 10

12 10

3 (3 1) 3 (1 3 )

+

+ = 3 = 3⁸ ⁴ = 81﹒

21.方程式 2(4^x + 4⁻^x) − 7(2^x + 2⁻^x) + 9 = 0﹐

(1)令 u = 2^x + 2⁻^x﹐則原方程式表成 u 的方程式為__________﹒ (2) x 之解為__________﹒

解答 (1) 2u²− 7u + 5 = 0;(2) ±1

解析 (1)4^x+4⁻^x =(2^x +2 )⁻^x ²− =2

u

²− 2 ⇒ 2(

u

²− −2) 7

u

+ = 9 0 ⇒ 2

u

²−7

u

+ = 5 0 (2) (

u

−1)(2

u

− = ﹐5) 0

u

= (不合)或1 5

2 (∵

u

≥ ) ⇒ 2 5 2 2

2

x+ −x = ⇒

x

= ± 1 22.若 a∈R﹐且 x 的方程式

2

²^x

+ 2 a

．

2

^x

+ 3 − 2 a = 0

有相異兩實根﹐則

a

的範圍為__________﹒

解答

a < − 3

解析設

t = 2

^x﹐則方程式化為

t

²

+ 2 at + − (3 2 ) a = 0

(5)

∵

x

有兩相異實根 ⇒

t

有兩相異正根

∴ D = 4a² − 4(3 − 2a) > 0 ⇒ (a + 3)(a − 1) > 0 ⇒ a > 1 或 a < − 3

…..①

兩根和 = − 2a > 0 ⇒ a < 0

……..②

兩根積 = 3 − 2a > 0 ⇒ a <

2 3 …..③

由①②③⇒ a < − 3

23.某次實驗中﹐每經過一天﹐細菌數目就會增加 2 倍﹐問：

(1) 2 天後的細菌數是 3 天前的細菌數的____________倍﹒

(2)若開始時細菌數是 10000 個﹐

n 天後細菌數超過 1280000 個

（n ∈ N）﹐則 n 的最小值為__________﹒

解答 (1)243;(2)5

解析 (1)每經過一天﹐細菌數會增加 2 倍﹐即變為原來的 3 倍﹐即經過

n

天變為原來的

3

ⁿ倍又 2 天後到 3 天前共經 5 天﹐所求 3⁵ = 243 倍﹒

(2)10000 × 3ⁿ > 1280000 ⇒ 3ⁿ > 128﹐∴ n ≥ 5 ⇒ n 的最小值為 5﹒

24.服用藥物需依照醫師指示﹒若某藥品在服用後 t 小時﹐在胃內的藥量尚有 ( ) 200 (0.25)

f t

= × ^t公絲﹐

則服藥後 1 小時 30 分時﹐此藥在胃內的殘存量為____________公絲﹒

解答 25

解析

f

(1.5)=200 (0.25)× ^1.5﹐而

3

1.5 1 2 2 1

(0.25) [( ) ]

2 8

= = ﹐ 1

(1.5) 200 25

f

= × =8 （公絲）﹒

25.某食品實驗室混合甲﹐乙兩種菌類製成一種新食品﹒調查後發現乙菌個數是甲菌個數的千倍以上時﹐新食品才受歡迎﹒又知道甲菌一日後增加一倍﹐乙菌增加三倍（成為原來的四倍）﹒現在取同數量的甲﹐乙兩種菌﹐讓它們同時繁殖﹐試問至少第____________天後混合甲﹐乙兩種菌類才能製成受歡迎的食品﹒

解答 10

解析設甲菌與乙菌開始均為 A 個﹐則 n 天後﹐

甲菌的數量為 (1 1)

A

+ ⁿ= ⋅ ﹐

A

2ⁿ 乙菌的數量為 (1 3)

A

+ ⁿ = ⋅ ﹐

A

4ⁿ

乙菌總數大於甲菌總數 1000 倍以上時﹐

A

⋅4ⁿ >1000⋅ ⋅ ﹐得 2

A

2ⁿ ⁿ >1000﹐知

n

≥10﹒

26.鋼琴的十二平均律理論：用第一條弦的長度除以¹²2 得到第二個音的弦長﹐將第二條弦的長度除

以¹²2 得到第三個音的弦長﹐以下用相同的方法求得各個音的弦長﹐設第一個音的弦長為 1﹐則第

m 個音的弦長為

1

2時﹐m 值為_______﹒

解答 13

解析第 m 個音的弦長為 時﹐_m 1=2⋅¹²2﹐得

1 12 2 =2⁻

 ﹐

同理

1 12 2 3=(2⁻ )

 ﹐…﹐知

1 1

12 1 12

(2 ) 2

m m m

− − − −

= =

 ﹐由

1 12 1

2 2

−m− = − ﹐得

m

=13﹒

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