解：(1)∵AD¯¯¯¯¯垂直於平面BCD，且BC¯¯¯¯¯⊥BD¯¯¯¯¯，⇒根據三垂線定理得知AB¯¯¯¯¯⊥BC¯¯¯¯¯，如右圖 ⇒在∆ABC 中，AC

A

B

C D M 第11 單元 空間向量

1.如圖，四面體 ABCD 之AD

¯¯¯¯¯

垂直於平面BCD，BC

¯¯¯¯¯

⊥BD

¯¯¯¯¯

，BC

¯¯¯¯¯

＝7，AB

¯¯¯¯¯

＝24，AD

¯¯¯¯¯

＝15，則AC

¯¯¯¯¯

＝_____

若平面ADB 與平面 ADC 的夾角為θ ，則 sinθ ＝_____

解：(1)∵AD

¯¯¯¯¯

垂直於平面BCD，且BC

¯¯¯¯¯

⊥BD

¯¯¯¯¯

，⇒根據三垂線定理得知AB

¯¯¯¯¯

⊥BC

¯¯¯¯¯

，如右圖

⇒在∆ABC 中，AC

¯¯¯¯¯

＝ AB²+BC² ＝ 24² +7² ＝25 (2)夾角θ ＝∠BDC，

在∆ACD 中，CD

¯¯¯¯¯

＝ AC² −AD² ＝ 25² −15² ＝20

⇒在∆BDC 中，sinθ ＝ CD

BC＝ 20

7

答：AC

¯¯¯¯¯

＝25，sinθ ＝ 20

7 (80 社會 7)

2.設 u ＝(3，2，4)， v ＝(2，1，－1)， w ＝ u ＋t v ，其中 t 為實數，則 t＝____時， w 的長度最短。(81 社會) 解：∵ w ＝ u ＋t v ＝(3，2，4)＋t(2，1，－1)＝(2t＋3，t＋2，－t＋4)

∴| w |²＝| u ＋t v |²＝(2t＋3)²＋(t＋2)²＋(－t＋4)²＝6t²＋8t＋29＝6(t＋

3 2)²＋

3 79

⇒ 當 t＝－

3

2時，| w |有最小值 3 79 答：－3

2

3.下列有關空間的敘述，那些是正確？(83 推甄 9)

(1)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直 (2)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行 (3)過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行 (4)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直 (5)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行

解：(2)有無窮多個平面，(3)有無窮多條直線，(4)有無窮多個平面 答：(1)(5)

4.如右圖所示，D 在∆ABC 之BC邊上，且CD＝2 BD ，E 為AC的中點，若將GD向量寫為GD＝r AB ＋s AC ，其中 r 及 s 為實數，則 r＋s 之值為_______。(83 社會)

(1)2

1 (2) 3

2 (3) 3

1 (4)－

3

1 (5)－

3 4

解：∵GD＝GC＋CD＝

2

1 AC ＋ 3 2 CB ＝

2 1 AC ＋

3

2( AB － AC )＝

3

2 AB － 6 1 AC

∴r＝3

2，s＝－

6

1，r＋s＝

2 1 答：(1)

5.在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面，有一光線通過點 P(1，2，1)，射向鏡面上的點 O(0，0，0)，經鏡面反射後通過 R，

若OR

¯¯¯¯¯

＝2PO

¯¯¯¯¯

，則R 點的坐標為_______。(84 推甄 20)

解1：如右圖，點 P 關於 xy 平面的對稱點 P′(1，2，－1)

∵OR

¯¯¯¯¯

＝2PO

¯¯¯¯¯

，⇒OR＝2P′O＝2(1，2，－1)＝(－2，－4，2)，∴R(－2，－4，2)

解2：(1)如右圖，設 R(x，y，z)，

則P，R 點在 xy 平面上的投影點為 A(1，2，0)，B(x，y，0) (2)∵∆AOP 相似於∆BOR，且已知PO：OR＝1：2

∴OA：OB＝1：2，且 z＝2

由比例性質得3(0，0，0)＝2(1，2，0)＋(x，y，0)

∴B(x，y，0)＝B(－2，－4，0)，⇒ R(－2，－4，2) 答：(－2，－4，2)

6.右圖中 ABCD 為正四面體，M 為CD的中點，試問下列那些敘述是正確的？(84 學測) (1)直線CD與平面ABM 垂直 (2)向量 AB 與向量 CD 垂直

(3)∠AMB＞∠ADB (4)平面 ACD 與平面 BCD 的二面角(銳角)大於 60°

(5) BA ＝ BM

A

B D C

G A

B C

D A

B C B D

C

D 7 20

θ

xy 平面

P

P′

O R

P

R

A O B

xy

平面

B

C

D A

E F 解：(1)∵ AM ⊥CD( AM 為∆ACD 之高)， BM ⊥CD( BM 為∆BCD 之高)，∴直線CD⊥平面 ABM

(2)∵CD⊥平面 ABM，∴ AB ⊥CD

(3)∵在∆ACD、∆AMB 中， AM ＝ BM ＜ AD ＝ BD 且∠AMB 與∠ADB 對同一線段 AB

∴∠AMB＞∠ADB＝60⁰

(4)∵平面 ACD 與平面 BCD 的二面角為∠AMB，∴∠AMB＞60⁰ (5)∵ BM 為∆BCD 之高，∴ BM ＝

2 3 AB 答：(1)(2)(3)(4)

7.空間上一平面 E 與正 x 軸、正 y 軸及正 z 軸分別交於 A，B，C 三點，已知 C 點之坐標為(0，0，1)，CA

¯¯¯¯¯

＝CB

¯¯¯¯¯

，且

∆ABC 之面積為 2

7

3 ，則A 點之坐標為_______，平面 E 的一個單位法向量為_______。(84 社會 10) 解：(1)∵CA

¯¯¯¯¯

＝CB

¯¯¯¯¯

，⇒設 A(k，0，0)，B(0，k，0)，k＞0，則CA＝(k，0，－1)，CB＝(0，k，－1)

又∵CA×CB ＝(k，0，－1)×(0，k，－1)＝(k，k，k²)

⇒∆ABC 之面積＝

2 7 3 ＝

2

1|CA×CB |＝

2

1 _{2 2 2 2} ) (k k

k + + ，⇒ k⁴＋2k²－63＝0，⇒( k²＋1)²＝64

⇒ k²＋1＝8，－8(不合)，取 k＝ 7 ，得知 A( 7 ，0，0) (2)根據截距式，平面 E 方程式為

7 x ＋

7 y ＋

1

z ＝1，⇒x＋y＋ 7 z＝ 7 ，其一法向量為 n ＝(1，1， 7 )

∵| n |＝ 1² +1²+ 7² ＝3，∴單位法向量為(

3 1，

3 1，

3

7 )或－(

3 1，

3 1，

3 7 )

答：A( 7 ，0，0)，±(

3 1，

3 1，

3 7 )

8.空間中三向量 u ＝(u1，u2，u3)， v ＝(v1，v2，v3)，w＝(w1，w2，w3)，所張平行六面體的體積為

3 2 1

3 2 1

3 2 1

w w w

v v v

u u u

的絕對值。

今已知 a ， b ， c 三向量所張平行六面體的體積為 5，則 2 a －3 b ， b ， c 三向量所張平行六面體的體積為______。

解：(1)設 a ＝(a1，a2，a3)， b ＝(b1，b2，b3)， c ＝(c1，c2，c3)，∴|

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

|＝5

又2 a －3 b ＝(2a1－3b1，2a2－3b2，2a3－3b3) (2)∴|

3 2

1

3 2

1

2 3 2 2 1

1 3 2 3 2 3

2

c c

c

b b

b

b a b a b

a − − −

|＝|

3 2 1

3 2 1

3 2

1 2 2

2

c c c

b b b

a a a

|＋|

3 2

1

3 2

1

2 2

1 3 3

3

c c

c

b b

b

b b

b − −

−

|

＝2|

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

|＋(－3)|

3 2 1

3 2 1

2 2 1

c c c

b b b

b b b

|＝2×5＋(－3)×0＝10 答：10 (85 推甄 19)

9.學校蓋了一棟正四面體的玻璃溫室(如圖)。今欲將一鋼柱橫架在室中，作為吊花的橫樑，其兩端分別固定在兩面牆 ABC 和ACD 的重心 E，F 處。生物老師要先知道這個鋼柱多長，才能請工人製作。雖然 BD 的長度很容易量出，卻很難爬到 E，F 點測量 EF 長。生物老師在上課時說出他的問題，立刻有一位同學舉手說他有辦法。

這位同學在紙上劃出右圖，算出 EF ： BD 就解決問題了。問 EF ： BD ＝_______。(85 學測) 解：(1)如右圖，連接 AE 並延長，交BC於M，連接 AF 並延長，交CD於N

(2)∵E，F 為重心，∴M，N 為中點，且 AE ： AM ＝2：3 (3)∵∆AEF 相似於∆AMN，∴ EF ：MN＝ AE ： AM ＝2：3 (4)∵M，N 為中點，∴MN＝

2 1 BD

又 EF ＝ 3

2 MN＝ 3 2×

2

1 BD ＝ 3

1 BD ，則 EF ： BD ＝1：3

答：1：3

B

C

D A

E F

M N

10.設 A、B、C 為空間中相異的三點，且不在同一直線上。在空間中另取一點 D，欲使 A、B、C、D 成為一平行四邊形 的四個頂點，則這樣的D 點一共有多少個？(86 數學甲)

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)無窮 解：如右圖

得知有平行四邊形ABCD1，ACBD2，ABD3C 三個 答：(3)

11.在空間中，下列那些點可與 A(1，2，3)，B(2，5，3)，C(2，6，4)三點構成一平行四邊形？(87 推甄 8) (1) (－1，－5，－2) (2) (1，1，2) (3) (1，3，4) (4) (3，7，6) (5) (3，9，4) 解：如右圖，

平行四邊形ABCP，則 P(1，3，4) 平行四邊形ACBQ，則 Q(1，1，2) 平行四邊形ABRC，則 R(3，9，4) 答：(2)(3)(5)

12.長方體中，互為歪斜線的稜線共有____對。(87 學測) 解：(1)如右圖，與 AD 歪斜的有 BF 、CE、 EF 、HG

(2)歪斜線的稜線共有 12 邊×4÷2＝24 對 答：24

13.下列那些敘述是正確的？(87 社會 1)

(1)在平面上，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (2)在空間中，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (3)在平面上，任意兩相異直線一定有公垂線(仍在該平面上) (4)在空間中，任意兩相異直線一定有公垂線

(5)在空間中，相交的兩相異平面一定有公垂面(公垂面是指與該兩平面都垂直的平面) 解：(1)(2)在平面上，兩相異直線不相交則必平行，但在空間中則可能平行亦可能是歪斜

(3)在平面上，兩相交直線沒有公垂線

(4)空間中任意兩相異直線，不論相交，平行或歪斜，皆有公垂線

(5)在空間中，相交的兩平面形成一直線，作一平面與此直線垂直，則此平面即為兩平面之公垂面 答：(1)(4)(5)

14.右圖為一正立方體，A，B，C 分別為所在的邊之中點，通過 A，B，C 三點的平面 與此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀？(88 學測)

(1)直角三角形 (2)非直角的三角形 (3)正方形 (4)非正方形的長方形 (5)正六邊形

解：(1)如圖，過 A，B，C 三點之平面必通過 QR 之中點，∴截痕為一個四邊形 (2)∵ BD 垂直平面 ACQD，且 AD⊥AC，根據三垂線定理，

得知∠CAB＝90⁰，同理∠ABP＝∠BPC＝∠PCA＝90⁰。

(3)設正立方體之邊長為 2k，∴AC＝ BP ＝2k， AB ＝CP＝ 2k

∴截痕ABPC 為一長方形 答：(4)

15.右圖為一正立方體，試問下列何者為真？(88 學測)

(1) EA⋅EG＝0 (2)ED⋅ EF ＝0 (3) EF ＋EH＝ AC (4) EC⋅AG＝0 (5) EF ＋ EA ＋EH＝ EC

解：(1)∵EA

¯¯¯¯¯

⊥平面 EFGH，∴EA

¯¯¯¯¯

⊥EG

¯¯¯¯¯

，⇒ EA ⋅EG＝0 (2) ∵ EF

¯¯¯¯¯

⊥平面 AEHD，∴ EF

¯¯¯¯¯

⊥ED

¯¯¯¯¯

⇒ ED⋅ EF ＝0 (3) EF ＋EH ＝EG ＝ AC

(4)∵四邊形 AEGC 為矩形，∴對角線 EC 與AG 不互相垂直， EC⋅AG ≠ 0 (5) EF ＋ EA ＋EH ＝( EF ＋ EA )＋ BC ＝ EB ＋ BC ＝ EC

答：(1)(2)(3)(5)

A B D C

E F

H G

A

B C

Q P

R A

B C

D1

D2

D3

A B

D C

E F

H G

A

C

B P

D Q

R A

C

B

•

•

•

16.如圖，ABCD－A′B′C′D′為立方體的八個頂點。試問下列那些線段會與線段A′B

¯¯¯¯¯

共平面？

(1) BC′

¯¯¯¯¯

(2)

¯¯¯¯¯

AC (3) DB′

¯¯¯¯¯

(4) DD′

¯¯¯¯¯

(5) CD′

¯¯¯¯¯

解：∵空間中二平行直線或二相交直線可決定一平面

∴BC′

¯¯¯¯¯

與A′B

¯¯¯¯¯

相交於B，⇒共平面 CD′

¯¯¯¯¯

//A′B

¯¯¯¯¯

，⇒共平面

答：(1)(5) (89 社會 3)

17.設 ABCD 為一四面體，而 AB ＝AC＝ AD ＝1，∠DAB＝∠DAC＝∠BAC = 30°，則∆BCD 的面積為 。(89 數學甲) 解：如右圖，在∆ABC 中，BC ＝² AB ＋² AC²− 2 AB ．AC．cos30°＝1＋1－ 3 ＝2－ 3

同理，CD ＝² BD ＝2－ 3 ，∴∆BCD 為正三角形 ²

⇒ ∆BCD 面積＝

4

3(2 − 3 )＝

4 3 3 2 −

答： 4 3 3 2 −

18.如右圖的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長 2 的正方形，四個側面都是腰長為 4 的 等腰三角形，則此四角錐的高度為 。(90 學測)

解：(1)如右圖，

正方形BCDE 的對角線 BD ＝2 2，∴ BH ＝ 2 (2)在∆ABH 中，四角錐的高度 AH ＝ 4²− 2² ＝ 14 答： 14

19.將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個正八面體，如下圖所示。如果原四面 體ABCD 的體積為 12，那麼此正八面體的體積為_____。(90 推甄 H)

解1：∵正四面體 AEFG 與正四面體 ABCD 相似，且AE

¯¯¯¯¯

：AB

¯¯¯¯¯

＝1：2

∵相似圖形的體積比＝邊長的立方比，∴體積比AEFG：ABCD＝1³：2³＝1：8

⇒正四面體 AEFG 體積＝12×

8 1＝

2 3

∴⇒正八面體的體積＝正四面體－四個小正四面體的體積＝12－4×

2 3＝6 解2：如圖，小正四面體 PQRD 的體積

＝(∆DQR 面積)× PD ＝ 4

1(∆BCD 面積) × 2 1 AD

＝8

1(∆BCD 面積) × AD ＝ 8 1×12＝

2

3，故正八面體的體積＝12－4×

2 3＝6 答：6

20.右圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形 ABCD，其中 B，D 分別為稜的中點，

且 EA： AF ＝1：2。則 cos∠DAB＝_______。(化成最簡分數) (91 學測 H) 解1：建立坐標化，取邊長為 6 單位，

O(0，0，0)，A(6，0，4)，B(6，6，3)，D(0，0，3)

∴ AD ＝(－6，0，1)，| AD |＝ 37

AB ＝(0，6，－1)，| AB |＝ 37 ，∴ cos∠DAB＝ AD⋅ AB

| AD || AB | ＝ 37 1 解2：建立坐標化，取邊長為 6 單位

F(0，0，0)，E(0，0，6)，D(0，6，3) A(0，0，4)，B(6，0，3)，C(6，6，2)

∴ AD ＝(0，6，－1)，| AD |＝ 37

AB ＝(6，0，1)，| AB |＝ 37 ，∴ cos∠DAB＝ AD⋅ AB

| AD || AB | ＝ 37 1

答：37 1

A E

F

D

B C x

y z

O

A′ B D C

A B

D C

○²⁷

A E

F

D

B C

x y

z

O

A

B

C

D

1 1

1

30° 30°

A

B

H C

2 2

4 4

4

2 E

D

E F

G

P

Q R

21.一正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此之間的距離都是 1，則此正立方體的體積為多少？

(1) 2 2 (2) 4

2 (3) 1 (4) 2 (91 指考數甲) 解：四個頂點如右圖之A，B，C，D 點

∵各頂點彼此之間的距離都是1，則正立方體邊長為 2 1

∴體積＝(

2 1 )³＝

2 2

1 ＝ 4

2 答：(2)

22.有一鋼架結構，其底面為邊長 2 單位的正八邊形，上面為邊長 2 單位的正方形，側面有四個正方形及四個正三角形 (如下圖 1)。從此鋼架上方作正射影，可得(如下圖 2)所示的圖形。則此鋼架的高度為 單位。(91 指考數乙 F) 解：(1)如下圖 3，由點 C 作底面之鉛直線，垂足為 O

∴OC⊥OA，OC⊥OB，OA＝OB，∠AOB＝90⁰ (2)在∆OAB 中，AB ＝² OA ＋² OB ＝4，∴² OA＝OB＝ 2 (3)在∆AOC 中，AC＝2，∴OC＝ 2

答： 2

23.如右圖，ABCD－EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，如果 AJ ＝a AB ＋b AD ＋c AE ，試問下列哪些選項是正確的？(92 學測 7)

(1)1

3 ＜b＜

2

3 (2) a＋b＋c＝2 (3) a＝1 (4) a＝2c (5) a＝b 解：如圖，作JM ⊥BC於M，連接AJ， AM

∵J 為四邊形 BCGF 的中心，∴BM BC AD 2 1 2

1 =

= ，MJ BF AE

21 12 =

= 則 AJ ＝ AB ＋BM＋ MJ ＝ AB ＋

2 1 AD ＋

2

1 AE ，得知 a＝1，b＝

2 1，c＝

2 1 答：(1)(2)(3)(4)

24.設坐標空間的原點為 O，點 P 的坐標為(3，4，7)。若 Q 點在 xy 平面上移動，問 Q 點為下列選項中哪一點時，

∠POQ 最小？(92 學測補)

(1) (3，3，0) (2) (3，4，0) (3) (4，3，0) (4) (5，12，0) (5) (12，5，0) 解1：如右圖，點 P′為點 P (3，4，7)在 xy 平面上的投影點

則若Q 點在OQ上時，∠POQ 有最小值

即Q(3，4，k)，k∈R，而(B)(3，4，0)恰為點 P′

解2：利用比較 cos(∠POQ)＝ OP⋅ OQ

|OP ||OQ| 之值大小

(1)若 Q(3，3，0)，∴OQ＝3 2，則cos(∠POQ)＝

2 3

) 0 , 3 , 3 ( ) 7 , 4 , 3 (

×

⋅

OP

^＝

2

7

× OP

(2)若 Q (3，4，0)，∴OQ＝5，則 cos(∠POQ)＝

5 ) 0 , 4 , 3 ( ) 7 , 4 , 3 (

×

⋅

OP

^＝

OP 5

(3)若 Q (4，3，0)，∴OQ＝5，則 cos(∠POQ)＝

5 ) 0 , 3 , 4 ( ) 7 , 4 , 3 (

×

⋅

OP

^＝

5

24

× OP

(4)若 Q (5，12，0)，∴OQ＝13，則 cos(∠POQ)＝

13 ) 0 , 12 , 5 ( ) 7 , 4 , 3 (

×

⋅

OP

^＝

13

63

× OP

A E

H G

C B

D F J M

A

B

C

D

圖 1

圖2

圖 3

A B

C

O

y x

z

P(3,4,7)

P′(3,4,0) Q

O

(5)若 Q (12，5，0)，∴OQ＝13，則 cos(∠POQ)＝

13 ) 0 , 5 , 12 ( ) 7 , 4 , 3 (

×

⋅

OP

^＝

13

56

× OP

得知

OP

5

最大，但是Q 點在 xy 平面上移動，∠POQ 為銳角，則 cos(∠POQ)遞減函數

答：(2)

25.下圖為一單位正立方體 ABCDEFGH，(即稜長 1)。則四面體 ACFH 的表面積為______。(92 指考數乙 G) 解1：如右圖，四面體 ACFH 的各稜等長＝AC＝ 1²+ ＝1² 2

∵每一面都是正三角形，邊長 2，

∴∆ACH 面積＝

4

3×( 2)²＝ 2

3

⇒ 表面積＝4∆ACH 面積＝4×

2

3＝2 3 ＝ 12

解2：如右圖，建立一坐標系

G(0，0，0)，H(1，0，0)，A(1，1，1)，C(0，0，1)

⇒ HA＝(0，1，1)，HC＝(－1，0，1)

⇒ ∆ACH 面積＝

2

1

| HA |

2

| HC |

2

－（ HA ⋅ HC )

2＝ 2

1 ^{2 2} ₂ 1 2

2 ⋅ − ＝

2 3

⇒ 四面體 ACFH 的表面積＝4×

2

3 ＝ 12

答： 12

26.上圖四面體 ACFH 的體積為______。(以最簡分數表示) (＊錐體體積等於底面積乘以高除以 3)(92 指考數乙 H) 解1：(1)四面體 ACFH 的各稜等長＝ 2

取CF的中點N，連AN、NH ，作 AK⊥NH 於K (2)∵K 為∆CFH 的重心，AN＝NH ＝

2

3× 2＝ 2

6 ，∴NK＝ 3

1 NH ＝ 6

6

在∆ANK 中， AK ＝ AN －² NK² ＝

6 1 46 − ＝

3 3 2

∴體積＝3

1(∆CFH 面積)×

3 3 2 ＝

3 1 解2：(1)如右圖，建立一坐標系

G(0，0，0)，H(1，0，0)，A(1，1，1)，C(0，0，1)，F(0，1，0)

⇒ HA＝(0，1，1)，HC＝(－1，0，1)，HF＝(－1，1，0)

(2)四面體 ACFH 的體積＝由HA ，HC，HF 所張出的平行六面體體積的 6 1

＝6 1|

0 1 1

1 0 1

1 1 0

−

− |＝

6

1 |－2 |＝

3 1

答：3 1

27.在坐標空間中給定兩點 A(1，2，3)與 B(7，6，5)。令 S 為 xy 平面上所有使得向量 PA 垂直於向量 PB 的 P 點所成的集 合，則(1) S 為空集合 (2) S 恰含一點 (3) S 恰含兩點 (4) S 為一線段 (5) S 為一圓 (93 學測 4)

解：(1)∵P 點在 xy 平面上，∴設點 P 的坐標為(x，y，0)，則 PA ＝(1－x，2－y，3)， PB ＝(7－x，6－y，5)

∵ PA ⊥ PB ，∴ PA · PB ＝0，即(1－x，2－y，3)·(7－x，6－y，5)＝0，得 x²＋y²－8x－8y＋34＝0 (2)∵圓的判別式 D＝(－8)²＋(－8)²－4×34＜0 或 配方為(x－4)²＋(y－4)²＝－2，⇒得知 S 為空集合 答：(1)

A

C

F

H N K

A B

C D

H E F

G

y x

z

A B

C D

H E F

G

y x

z

A

C

H

F

2 2

2

A B

C D

H

E

F

G

28.如右圖 O－ABCD 為一金字塔，底是邊長為 1 的正方形，頂點 O 與 A、B、C、D 之距離均為 2。

試問下列哪些式子是正確的？(93 學測 9)

(1)OA ＋OB ＋OC＋OD＝ O (2)OA ＋OB －OC－OD＝ O

(3)OA －OB ＋OC－OD＝ O (4)OA ·OB ＝OC·OD (5)OA ·OC＝2 解：連接AC與 BD 且交點為 M，連接OM

∵ OA ＋OC＝2OM＝ OB ＋OD

(1)(2)(3)OA ＋OB ＋OC＋OD＝4OM≠ O ，∴ OA － OB ＋OC－OD＝ O (4)OA ·OB ＝|OA | |OB |cos∠AOB＝|OA|²＋|OB |²－ AB²＝

2 7

同理OC·OD＝|OC|²＋|OD|²－CD²＝ 2

7，∴ OA · OB ＝OC·OD 或∵∆OAB ≅ ∆OCD，∴∠AOB＝∠COD，

∴ OA · OB ＝2 ×2 ×cos∠AOB 且OC·OD＝2 ×2 ×cos∠COD，⇒∴OA．OB＝OC·OD (E)在∆OAC 中，AC＝ 2 ，OA＝OC＝2

根據餘弦定理： OA ·OC＝| OA | |OC| cos∠AOC＝OA×OC×

OC OA

AC OC OA

×

× 2

2 2

2＋ －

＝2 ×2 ×

2 2 2

) 2 ( 2

2^{2 2 2}

×

×

－

＋ ＝3

答：(3)(4)

29.在空間中，一平面與一正立方體相截，若在平面的兩側各有正立方體的 4 個頂點，則其截面的形狀可能是下列哪種圖 形？(1)三角形 (2)四邊形 (3)五邊形 (4)六邊形 (5)八邊形

解：如右圖，(1)若平面垂直由上往下截可得四邊形 ABCD (2)若斜切可得六邊形

答：(2)(4) (93 數學乙)

30.如右圖所示，ABCD－EFGH 等邊長等於 1 之正立方體。若 P 點在立方體之內部且滿足 AP ＝3

4 AB ＋ 1 2AD ＋

2

3 AE ，則 P 點至直線 AB 之距離為_____。(化成最簡分數)(94 學測 I) 解1：(1)如右圖，建立一坐標，取單位長為 1，P(x，y，z)

A(1，0，0)，B(1，1，0)， D(0，0，0)，E(1，0，1) (2)∵ AP ＝3

4 AB ＋ 1 2AD ＋

2 3 AE ＝

3

4(0，1，0)＋

1

2(－1，0，0)＋

2

3(0，0，1)

⇒(x－1，y，z)＝(－

2 1，

4 3，

3

2)，∴P(x，y，z)＝P(

2 1，

4 3，

3 2) (3)取直線 AB 的方向向量 AB ＝(0，1，0)

∴直線AB 參數式：





 +

= +

= +

= t z

t y

t x

0 0 0

0 1

，⇒





=

=

= 0 1 z

t y x

，t 為實數

(4) d(P，直線 AB)＝ ^{2 2} 0)² 3 (2 3 )

(4 ) 2 1

(1− + −t + − ＝

36 ) 25 3

(t−4 ²+ ≥ 5 6 解2：(1)如右圖，建立一坐標，取單位長為 1，P(x，y，z)

A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(－1，0，0)，E(0，0，1) (2)∵ AP ＝

4

3 AB ＋ 2

1 AD ＋ 3 2 AE

∴(x，y，z)＝

4

3(0，1，0)＋

2

1(－1，0，0)＋

3

2(0，0，1)＝(－

2 1，

4 3，

3 2)

(3)故 P(

4 3，

2 1，

3

2)到直線 AB(y 軸)之距離為 ² )² 3 (2 2)

(1 + ＝

6 5 解3：(1)如右圖，過點 P 作平面 ABCD 的垂直線 PR，其垂足為 R，

過點R 作直線 AB 的垂直線，交直線 AB 於為 Q，

(2)∵ AP ＝3

4 AB ＋ 1

2 AD ＋ 2

3 AE ，∴ PR ＝ 2

3 AE ＝ 2

3 ， QR ＝ 1

2 AD ＝ 1 2 則 PQ ＝ PR²+QR ＝ ² )²

2 (1 3)

(2 + ＝

6 5

答：6 5

A

B C

D O

M

A

B C

D O

A E

H G

C B

D P F

A E

H G

C B

D P F

x

y z

A B E

H G

C D

P F

x

y z

A B

C

D

31.如圖所示設一正立方體的中心為O，而A，B為此正立方體同一面上的兩個對頂點，則cos(∠AOB)＝_____。(94指考乙) 解：如右圖，建立一坐標系，並取正立方體之稜長為2，

∴P(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，2，2)，O(1，1，1)

⇒ OA＝(－1，－1，1)，OB＝(1，1，1)

⇒ cos(∠AOB)＝ OA⋅ OB

|OA ||OB | ＝⁻¹₃⁻¹₃⁺¹＝－

3 1

答：－3 1

32.下圖為一正立方體，若 M 在線段 AB 上，BM =2AM ，N 為線段BC之中點，

則cos∠MON＝_______。(分數要化成最簡分數)(95 學測 B) 解：(1)如右圖，建立一坐標，取邊長為 6 單位

∴O(0，0，0)，M(0，2，6)，N(3，6，6) (2)OM＝(0，2，6)，OM＝ 0²+2² +6² ＝2 10

ON＝(3，6，6)，ON＝ 3²+6²+6² ＝9

⇒ OM⋅ON＝0＋12＋36＝48 cos∠MON＝ OM⋅ ON

|OM||ON| ＝2 10 9 48

× ＝ 10 15

4

答： 10 15

4

33.假設 a ， b ， c 是空間中三個向量，r 是一個實數。已知 a ＝( 1，1，0 )， b ＝(0，1，1 )且 a ， b ， c 滿足 a ＋ b ＋r c ＝ 0 ，那麼 r 不可能等於下列哪一個數值：(95 指考乙 3)

(1)－ 2 (2) 0 (3) 1 (4)π(圓周率) (5) 10¹⁰⁰ 解：(1)∵ a ＋ b ＋r c ＝ 0 ，r∈R

⇒ ( 1，1，0 )＋( 0，1，1 )＝－r c ，⇒ ( 1，2，1 )＝－r c (2)∵( 1，2，1 )≠ 0 ，∴ r≠0

答：(2)

34.坐標空間中，在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切，設其球心分別為 A，B，C。今將第四個半徑為 1 的球置於 這三個球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。設第四個球的球心為P，試問下列哪些選項是正確的？

(1)點 A，B，C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC 是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P 到 xy 平面的距離為 1＋ 3

解：(1)A，B，C 三點與 xy 平面的距離均為 1，且三球大小相同又相切

∴ABC 所成之平面在 z＝1 的平面上，故與 xy 平面平行 (2)如圖一， AB ＝BC＝AC＝2，∴∆ABC 為一個正三角形 (3)∴∆PAB 為一正三角形， PA＝ AB ＝ PB ＝2

(4)如圖二，點 P 到直線 AB 的距離＝ PM (∆PAB 底邊BC的高)＝ 2

23 × ＝ 3 (5)如圖二，∵H 為正∆ABC 的重心，∴ MH ＝

3

1 CM＝ 3

1 PM ＝ 3

3

在∆PMH 中， PH ＝ ² )² 3 ( 3 ) 3

( − ＝

3 6 2

∴點P 到 xy 平面的距離＝1＋ PH ＝1＋

3 6 2 答：(1)(2)(4) (96 學測 9)

A M B N C

O

x

z

y

A M B

C N

O

A

B C P

P 圖一

A

M H B

C 2 1 1

圖二

2 2

A

B

O A

B

O

x

y z

P

35.令 A(－1，6，0)，B(3，－1，－2)，C(4，4，5)為坐標空間中三點。若 D 為空間中的一點且滿足 3DA－4DB＋2DC＝ 0 ，則點 D 的坐標為( ___，___，___ )。(97 學測 A)

解1：利用代數方法解

設點D(x，y，z)，∴3(－1－x，6－y，0－z)－4(3－x，－1－y，－2－z)＋2(4－x，4－y，5－z)＝ 0 得 x＝－7，y＝30，z＝18 即 D(－7，30，18)

解2：利用幾何方法解

設O 為原點，∴3DA －4DB ＋2DC＝ 0 ，⇒ 3(OA－OD)－4(OB－OD)＋2(OC－OD)＝ 0 得OD＝3 OA －4 OB ＋2OC＝3(－1，6，0)－4(3，－1，－2)＋2(4，4，5)＝(－7，30，18) 答：D(－7，30，18)

36.如圖所示，正立方體 ABCD－EFGH 的稜長等於 2(即 AB ＝2)，K 為正方形 ABCD 的中心，M、N 分別為線段 BF、EF 的中點。試問下列哪些選項是正確的？(98 學測 11)

(1)KM＝

2 1 AB －

2 1 AD ＋

2

1 AE (2)(內積)KM⋅ AB ＝1

(3) KM ＝3 (4)∆KMN 為一直角三角形 (5) ∆KMN 的面積為 2 10 解：建立一坐標系，如右圖

取A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)

∴M(2，0，1)，N(1，0，2)，K(1，1，0) (1)2

1 AB － 2

1 AD ＋ 2

1 AE ＝ 2

1(2，0，0)－

2

1(0，2，0)＋

2

1(0，0，2)＝(1，－1，1)＝KM (2)KM⋅ AB ＝(1，－1，1)⋅ (2，0，0)＝2

(3) KM ＝KM＝(1，－1，1)＝ 3

(4)MK⋅ MN＝(1，－1，1)⋅ (－1，0，1)＝0，∴∠KMN＝90⁰，

⇒ ∆KMN 為一直角三角形 (5) ∆KMN 的面積＝

21 KM MN＝

2

1× 3 × 2＝ 2

6 答：(1)(4)

37.坐標空間中 xy 平面上有一正方形，其頂點為 O(0，0，0)，A( 8，0，0)，B(8，8，0)，C(0，8，0)。另一點 P 在 xy 平 面的上方，且與O，A，B，C 四點的距離皆等於 6。若 x＋by＋cz＝d 為通過 A，B，P 三點的平面，

則(b，c，d)＝( ___，___，___ )。(98 學測 G) 解：(1)如右圖，設正方形 OABC 的中心為 Q(4，4，0)

根據題意，P 點必在 Q 的正上方，∴設 P(4，4，k)，k＞0 (2)∵OP＝ 4² +4²+k² ＝6，得知 k＝2，∴P(4，4，2)

(3)∵ AP ＝(－4，4，2)＝－2(2，－2，－1)，AB＝(0，8，0)＝9=8(0，1，0)

⇒此平面之法向量：(2，－2，－1)×(0，1，0)＝(1，0，2)

⇒設通過 A，B，P 三點的平面為 x＋0y＋2z＝t

A( 8，0，0)代入，得 t＝8，即平面為 x＋0y＋2z＝8，∴(b，c，d)＝(0，2，8) 答：(0，2，8)

38.在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，

(1，1，1)與(0，1，1)。若 A

，

B 分別為此正立方體兩稜邊的中點，則向量AB可能為下列哪些選項？(98 指考數甲 5) (1)(1，0，0) (2)(

2

1，0，0) (3)(

2

1，0，1) (4)(0，－

2 1，－

2 1)

解：如右圖，(1，0，0)為○¹ ，(0，－

2 1，－

2 1)為○² 答：(1)(4)

(0,0,0)

(1,0,0) (1,1,0)

(0,1,0) (1,1,1)

(1,0,1)

(0,0,1) (0,1,1)

○¹

○² A

C

D

B

K

E M N

F G

H

A

C

D

B

K

E M N

F G

x H

y

z

x

y z

A B

O C P

Q 8

8 6 6

39.空間中一長方體如下圖所示，其中 ABCD 為正方形， BE 為長方體的一邊。

已知cot∠AEB＝

5 6

2 ，則cot∠CED＝ 。(100 學測 B)

解1：(1)∵cot∠AEB＝

5 6

2 ，∴在∆AEB 中，設 AB ＝5， BE ＝2 6 ，⇒BC＝5＝CD (2)在∆BCE 中，CE＝ 5²+(2 6)² ＝7，在∆CDE 中，cot∠CED＝

5 7 解2：建立空間坐標系，如圖：

設B(0，0，0)，C(5，0，0)，D(5，0，5)，E(0，2 6 ，0) EC ＝(5，－2 6 ，0)， ED ＝(5，－2 6 ，5)

∵cos∠CED＝ EC⋅ ED

| EC ||ED | ＝7 74 49

⋅ ＝ 74

7 ，得cot∠CED＝7 5 答：7

5

40.如下圖，在坐標空間中，A,B,C,D,E,F,G,H 為正立方體的八個頂點，已知其中四個點的坐標 A(0，0，0)、B(6，0，0)、

D(0，6，0)及 E(0，0，6)，P 在線段 ─ CG上且─ CP：─ PG＝1：5，R 在線段 ─ EH上且─ ER： ─ RH＝1：1，Q 在線段─AD上。若 空間中通過P，Q，R 這三點的平面，與直線 AG 不相交，則 Q 點的 y 坐標為 。(化成最簡分數)(102 學測 H) 解：(1)根據題意，設 G(6,6,6)，P(6,6,1)，Q(0,k,0)，R(0,3,6)

(2) P，Q，R 三點的平面，與直線 AG 不相交

⇒法向量 n 垂直方向向量 d

(3) RQ ＝(0, k－3,－6)， RP ＝(6,3,－5) RQ × RP ＝(－5k＋33，－36，－6k＋18)

⇒法向量 n ＝(－5k＋33，－36，－6k＋18) AG＝(6,6,6)＝6(1,1,1)，⇒方向向量 d ＝(1,1,1)

法1：∵ n⊥ d ，∴ n ⋅ d ＝0，即(－5k＋33)＋(－36)＋(－6k＋18)＝0，k＝

11 15

法2：∵AG⋅( RQ × RP )＝0，⇒

5 3 6

6 3 0

6 6 6

−

−

−

k ＝0 →

11 3

0

6 3 0

6 6 6

−

−

−

−

k ＝0 →6

11 3

6 3

−

−

−

−

k ＝0 → k＝

11 15

答：11 15

○³² ○³³

○³⁴ ○³⁵ _____

A

B C

D E

F G

R H

P Q

x

y z

R

Q P An d G

－1

A

E

B C

D

5 5

2 6

7

5