§§7 重积分的应用重积分的应用§§7 重积分的应用重积分的应用

§7 § 重积分的应用 重积分的应用

. 4

2

4 ² 平面 和三个坐标平面所围区域的体积 求抛物柱面z   x , x  y 

2

1 求半径为 R 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。

2 .

2 2

2 2

2 和 所围立体的体积

求圆柱面x  y  a x  z  a 4

5 6

9

所围体积. 与圆锥面

旋转抛物面轉x^  y^  az (a  ) z  a  x^  y^

的公共部分的体积

)所围成 与球面 (

求球面 x²  y²  z²  2az x²  y²  z²  b² a  b  0 10 曲面面积

所围成的体积。

抛物柱面

求椭圆抛物面 3x²  y²  z, z 1 x² 8

所围成的体积。

0) 与圆柱面 (

求球面x²  y² z² a² x²  y²  ax a  3

0所围成的体积。

)与平面 圆柱面

求双曲抛物面  , x  y  ax a  z  a

z xy ^{2 2} ( 0

主 目 录

主 目 录 ^{（ （ 1 – 17 1 – 17 ） ）}

所围立体的体积 . 及平面 1

抛物柱面

求由旋转抛物面x  y  z , y  x y  2

2 1 7

13

面积。

所围成的全表 与旋转抛物面

半球面 z  3a²  x²  y² x²  y²  2az

14 求圆柱面 y²  z²  2z被圆锥面 y²  z²  x²所截的有限部分的面积 11 锥面z  x²  y² 被圆柱面 x²  y²  2x所割下部分的曲面面积

15 求位于圆 r=2sin 和圆 r=4sin 之间的均匀薄片的重心

17 求由抛物面z 1  x²  y²与平面 z 0 所围立体 的重心 的重心

0 ,

:

求均匀半球体 Ω x²  y²  z²  a² z  所割出部分的面积。

，求一柱面被另一柱面 直交，圆柱的底半径为

两相同正圆柱的轴互相 a

12

16

.

2 2

2

2

y ( z R ) R

x    

R

化为球系下的方程 化为球系下的方程

r=2R cos 

.

r φ r

φ θ

V

d

d

sin d

0

2 0

2

0

 





.



) α (

π R

cos 3 1

4 



M

φ R

r

V : 0   2 cos



 2

0  



 

 0

r

z

0 x

y









M

 

 = 

1. 求半径为 R 的球面与半顶角为  的内接锥面所围成的立体的体

积

D

: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4

。。

2

 0 z



 x y z

V d d d

 



Dxy

x

z

y x

V d d d

。

 













 d x

( x ) d y

3

 40

4

0

y

x

D_xy

先选系

是曲顶柱体



积。

和三个坐标平面所围体 平面

求抛物柱面 z    x

,  x  y  

2.

上顶： ^{z  4 x }

下底：

2.

4

2





 x z

积。

和三个坐标平面所围体 平面

求抛物柱面 z    x

,  x  y  

.

0

z

y

x

2.

4

2





 x z

2x+y=4

积。

和三个坐标平面所围体 平面

求抛物柱面 z    x

,  x  y  

.

0

z

y

x

2.

x = 0 4

4

2

2x+y =4





 x z

积。

和三个坐标平面所围体 平面

求抛物柱面 z    x

,  x  y  

.

0

z

y

x

2.

z = 0

y = 0

z=0

y =0

x = 0 4

4

2

2x+y= 4



 d d

d

D

z y

x

.

D

 













 d x

( x ) d y

V =

3

 40

.

 .





 x z

积。

和三个坐标平面所围体 平面

求抛物柱面 z    x

,  x  y  

.

0

z

y

x

D

:

a

2

2 r

a

z  

柱面坐标

r =a cos 

2

2 r

a z   

 cos a

r 

所围立体是曲顶柱体

D_xy

0

y

x

(指含在柱体内部分)

所围成的体积 与圆柱面 )

求球面

(

   





 ^{    }

 y z a x y ax a

x

先选系

3.

上顶：

下底：

D

:

。。

a

2

2 r

a

z  

r =a cos 

0

y

x ^



3

3 (1 sin )d

3

4 ^π

θ θ a

a )

9 4 ( 3

2 ³ 





d d

4

0

cos 0

2

 

^



π a θ

r r r a

θ

 cos a

r 

所围立体是曲顶柱体

 V

(指含在柱体内部分)

所围成的体积 与圆柱面 )

求球面

(

   





 ^{    }

 y z a x y ax a

x

： 上顶

：

下底

D

用瓦里斯公式 怎么计算？

柱面坐标 先选系









D

.

3.

(指含在柱体内部分)

所围成的体积 与圆柱面 )

求球面

(

   





 ^{    }

 y z a x y ax a

x

2 2

2

2 y z a

x   

由对称性，考虑上半部分 由对称性，考虑上半部分 z

x

y

o

.

3.

(指含在柱体内部分)

所围成的体积 与圆柱面 )

求球面

(

   





 ^{    }

 y z a x y ax a

x

a

2 2

2

2 y z a

x   

2

2 y ax

x  

由对称性，考虑上半部分 由对称性，考虑上半部分

.

3.

x

y

o

z

(指含在柱体内部分)

所围成的体积 与圆柱面 )

求球面

(

   





 ^{    }

 y z a x y ax a

x

z = 0

a

y z

o

柱坐标

V



 ²

0

3

3 (1 sin )d

3

4 ^π

θ θ a

a )

9 4 ( 3

2 ³ 





θ r r r a

D

d d 4 

^

2

2 r

a

z  

。

 cos a r 

。

维望尼曲线

维望尼曲线

d

d 4

0

cos 0

2

 

^



π a θ

r r r a

θ

。

由对称性，考虑上半部分 由对称性，考虑上半部分

D



.

3.

a a

x

z

0 y

4. 求圆柱面 x

 y

 a

和 x

 z

 a

所围立体的体积。

D

y = 0

x = 0



^





D

y x x

a

V d d

2

2 x

a

Z  

2

2 x

a y  











 

a x d y

a

d x

a a

a

a

o

y

D

. . ..

x

z

0 y

. .

.

4. 求圆柱面 x

 y

 a

和 x

 z

 a

所围立体的体积。

o

z

x

y

a z  xy

ax y

x²  ² 

,

所围成的体积

与平面 圆柱面

求双曲抛物面  x  y

 ax ( a   ) z   a

z xy

5.

z =0 a

a z  xy

ax y

x²  ² 

o

z

x

y

,

所围成的体积

与平面 圆柱面

求双曲抛物面  x  y

 ax ( a   ) z   a

z xy

.

5.

,

所围成的体积

与平面 圆柱面

求双曲抛物面  x  y

 ax ( a   ) z   a

z xy

z =0 a

ax y

x²  ² 

故立体关于

故立体关于 x x 轴对称 轴对称



.







 x y z

V d d d

.







D

y a x

xy d d

12 a



.

， 轴对称 关于x

D_xy

 且 z(x,y)  z(x, y)

.

.

o

z

x

y D

0

y

x

.

5.

a

2a 2a

0

x

z

y

a

r a

z  2 

az

r



L

) (

x

 y

 az a  

求曲面 与 z   a  x

 y

所围体积



    r a zr a z

2

联立 2

用哪种坐标？ 柱面坐标



 a z a L r

： 解得交线

6.

6.

2a

0

x

z

y

a

.

L



    r a zr az

2

联立 2

D ^





 a r

D z 0

:

.

r a

z  2 

az r



 



D

r a a

r

z

θ r r

V d d

d



 ^{ }



r r a

r r a θ

2 2

0

d ( 2 ) d

. . 3

6 5  a



) (

x

 y

 az a   求曲面

用哪种坐标？ 柱面坐标



 a z a L r

： 解得交线

.

所围体积

与 z   a  x

 y

所围立体的体积

2 及平面

抛物柱面 1

求由旋转抛物面 x  y  z

, y  x y  

x

z

0 ¹ y





 y z x

立体关于 xoy 平面对称

解 7.

作上半块立体图  ₁

1

x

z

0 y





 y z x

y

x 2

 1

立体关于 xoy 平面对称

所围立体的体积

2 及平面

抛物柱面 1

求由旋转抛物面 x  y  z

, y  x y  

解 7.

.

作上半块立体图  ₁

x

z

0 ¹ y





 y z x

y

x 2

 1

y =1



立体关于 xoy 平面对称 作上半块立体图  ₁

所围立体的体积

2 及平面

抛物柱面 1

求由旋转抛物面 x  y  z

, y  x y  







 x y z

V d d d







0

d

d d

2

D

z y

x

 











y

y x x

y d

d

)

( 

 





 



...

解 7.

.

所围成的体积 抛物柱面

求椭圆抛物面  x

 y

 z , z    x

1 x

z  

z y

x



 3

x y

z

o

8.

1 x

z  

z y

x



 3

x y

z

o

所围成的体积 抛物柱面

求椭圆抛物面  x

 y

 z , z    x

.

8.



 



D

x y

x

z

y

x d d

d

。























x z

z y

： x 联立





 

 0

1

: 4 ^{2 2}

z y D x

D

D



 ^



0 2 2

0

( 1 ) d

2

d θ 1 r r r

V

。

。

V ^  ^{  }

^

D

y x y

x ) d d

(

用广义极坐标















r y

r x

θ r r y

x d d

2 d 1

d 

。

D: r  1, z = 0

4

 

。

x y

z

o

所围成的体积 抛物柱面

求椭圆抛物面  x

 y

 z , z    x

?

.

8.

0

x

z

y

a

b

的公共部分的体积

所围成 与球面

求球面 x  y  z  2 az x  y  z  b ( a  b  0 )

9.

b

0

x

z

y

a



问题：

2 用哪种坐标系？

1 是不是曲顶柱体？

 ^{b r a a r}  ^{r r}

θ

b b

π

d

d

2

1 4 0

2 2

2 2 2

0





^{   }

3 交线 L 的方程？

交线 L

.

2 4 2

2

4a b b

r  

.

4 ) 3

( 2

3

a b  b





.

柱系 .

.

9.

V =

上顶：

下底：

2

2 r

b z  

2

2 r

a a

z   

4 D_xy ?

D_xy













04

: 1 ²

2

z a

b b D_xy r

. .

.

的公共部分的体积

所围成 与球面

求球面 x

 y

 z

 2 az x

 y

 z

 b

( a  b  0 )

(球系？需分块儿 !)

引理







A



 ,



 与 的夹角为 平面 _{ }

γ A σ

 cos

.

一般情况，将 A 分割成

若干个上述类型的小矩形，

对每一个用引理，

然后迭加

再取极限即可。

当 A 是矩形 ,

l

证 且一边与 l 平行

则 也是矩形 , 且

b ^{σ  ab | cos γ |}

引理成立

.

a



注 注

10. 曲面的面积

| cos

| γ

 A

2 ,

1 A π σ

π 上的区域 在 上的投影为 则面积

10. 曲面的面积

x

z

y 0

z = f (x,y)

D

i



Si



(x_i , y_i) P_i

.

10. 曲面的面积

x

z

y 0

 ^{  }

^{ }



D

y

x

x y f x y x y

f

S ( , ) ( , ) d d

i i

A



 ^



 cos 1

z = f (x,y)

D

i



i

i

A

S  



n

i i

i y

i i

x

x y f x y

f     



 1

( , )

( , )

.

Si



(x_i , y_i)



 A_i

（由引理）

 ^





P_i

. .

.

11. 锥面 z  x

 y

被圆柱面 x

 y

  x 所割下部分的曲面面积

x z y

o

1

所割下部分的曲面面积 被圆柱面

锥面 z  x

 y

x

 y

  x

1

x z y

o

1

.

11.

x z y

o

1

1 D









 0 2

: ^{2 2}

z

x y

D x

S





D

y x Q P

S d d

2

2 y

x x x

P z

 



  其中

2

2 y

x y y

Q z

 



 

 ^



D

y x

S d d



 2

.

. . .. .

.

所割下部分的曲面面积 被圆柱面

锥面 z  x

 y

x

 y

  x

11.

a a

x

z

0 y

2 2

2

y a

x  

2 2

2

z a

x  

设圆柱面为

的面积。

被另一柱面所割出部分

，求一柱面 直交，圆柱的底半径为

两相同正圆柱的轴互相 a

12.

考虑第一卦限

12.

D

2

2 x

a z  

a a

..

x

z

0 y







D

y x x

a

S a d d ^{ 8a2}

2

2 x

a y  





 ^{a x} y

x a

a d



d x

a

a

o

y

D

. . .

.

2 2

2

1 2

x a

z a z_{x y}

 





.

2 2

2

y a

x  

2 2

2

z a

x  

设圆柱面为

.

的面积。

被另一柱面所割出部分

，求一柱面 直交，圆柱的底半径为

两相同正圆柱的轴互相 a

13.

a

立体的整个表面积

所围成 与旋转抛物面

半球面 z  3 a

 x

 y

x

 y

 2 az

x y

z

o

13.

y x

z

o

D

S = ^S

^{ S}

共同的 D :

















az y

x

y x

a z

2 3

2 2

2 2

2

a 2













 ^{ }



z

a y

x 即

S

S

S

S

. .

S

.

立体的整个表面积

所围成 与旋转抛物面

半球面 z  3 a

 x

 y

x

 y

 2 az

所截的有限部分的面积 被圆锥面

求圆柱面 y

 z

  z y

 z

 x

2 x

z

y

14.

o

14.

x

z

y

2

问题： 曲面向哪个坐标面投影？

.

所截的有限部分的面积 被圆锥面

求圆柱面 y

 z

  z y

 z

 x

o

只能向 只能向 xoz xoz 平面投影 平面投影

x

z

y

2

























x z

y

z z

y 联立

z x

y 得 ^   消













 ^



y

z z

y

又由 得 z = 2

2

, 2

: ²  

 D_xz x z z

.







Dxz

x

z y x z

y

S d d

D

.

.

14. ^{求圆柱面 y}

^{ z}

^{  z 被圆锥面 y}

^{ z}

^{ x}

^{所截的有限部分的面积}

o

2z z2

y  

其中，

x

z

y

2

D

z

z d

2 d 1

2 ²

0

2

2 2

 







 z

z z d

 16

. .

.

z x  2

.

























x z

y

z z

y 联立

z x

y 得 ^   消













 ^



y

z z

y

又由 得 z = 2

2z z2

y  

.

14. ^{求圆柱面 y}

^{ z}

^{  z 被圆锥面 y}

^{ z}

^{ x}

^{所截的有限部分的面积}







Dxz

x

z y x z

y

S d d

2

, 2

: ²  

 D_xz x z z

o

z x   2

.

其中，

 0 x





D

σ s y

y 1 d

r r θ

π θ π

π θ

θ

d

d 4 sin

1

0

sin 4

sin 2

 

  3

 7

3 ) 7 0 ( , 故重心为

) ( x ， y 设重心为

.

o

1 2

15. 求位于圆 r = 2sin  和圆 r = 4sin  之间的均匀薄片的重

心