v v 大學入學考試中心 111 學年度學科能力測驗試題 數學 B 考科

大學入學考試中心 111 學年度學科能力測驗試題 數學 B 考科

第壹部分：選擇(填)題(占 85 分) 一、單選題(占 35 分)

說明：第 1 題至第 7 題，每題 5 分。

1.試問有多少個整數 x 滿足 2 x ＋x＜10？

(1) 13 個 (2) 14 (3) 15 (4) 16 (5) 無窮多個 解：○¹ 當 x ≥ 0 時， x ＝x，⇒2x＋x＜10，x＜

3

10，得 0 ≤ x＜

3

10，整數 x＝0，1，2，3 共 4 個

○² 當 x＜0 時， x ＝－x，⇒－2x＋x＜10，x＞－10，得－10＜x＜0，整數 x＝－1，－2，…，－9 共 9 個 整數 x 有 4＋9＝13 個

答：(1)

2.某燈會布置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白-紅-白-藍-白-紅-白-藍-白-紅- 白…，每四次一循環，其中藍光每次持續 5 秒，白光每次持續 2 秒，而紅光每次持續 6 秒。假設換燈號的時間極短可 被忽略，試選出啟動後第 99 至 101 秒之間的燈號。

(1)皆為藍燈 (2)皆為白燈 (3)皆為紅燈 (4)先亮藍燈再亮白燈 (5)先亮白燈再亮紅燈 解：根據週期性變換：藍-白-紅-白為一週期＝5＋2＋6＋2＝15 秒，⇒ 當 90 秒＝15 秒×6 輪週期

⇒第 91 秒起新一輪週期：藍(91~95 秒)，白(96~97 秒)，紅(98~103 秒)，……

故第 99 至 101 秒之間的燈號皆為紅燈 答：(3)

3.有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1,2,3,4,5,6,7,8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基 地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 3 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種 設立基地台的選取方法？

(1) 12 (2) 13 (3) 20 (4) 30 (5) 35

解：○¹ 選編號 1，搭配(4，6)(4，7)(4，8)(5，7)(5，8)(6，8)有 6 種選取方法

○² 選編號 2，搭配(4，6)(4，7)(4，8)(5，7)(5，8)(6，8)有 6 種選取方法

○³ 不選編號 1，2，選(4，6，8)有 1 種

⇒共 6＋6＋1＝13 種選取方法 答：(2)

4.在坐標平面上，已知向量

v

PQ ＝(

5

log1，−10⁻⁵)，其中點 P 的坐標為(

2

log1，2⁻⁵)。試選出正確的選項。

(1)點 Q 在第一象限 (2)點 Q 在第二象限 (3)點 Q 在第三象限 (4)點 Q 在第四象限 (5)點 Q 位於坐標軸上 解：設點 Q(x，y)，⇒

v

PQ＝(

5

log1，−10⁻⁵)＝(x－

2

log1，y－2⁻⁵)，⇒







−

=

−

=

−

−

−5 5

10 2

5 log1 2 log1 y x

○¹ x＝

5 log1＋

2

log1＝ ) 2 1 5

log(1× ＝ 10

log 1 ＝－1＜0

○² y＝2⁻⁵－10⁻⁵＝ ₅ 2

1 － ₅ 10

1 ＞0

⇒得知點 Q(x，y)在第二象限 答：(2)

111 年學測 111－2 CJT

5.設矩陣 A＝ 









−1 1

1

1 ，若A －3A＝⁷ 







 d c

b

a ，則 a＋b＋c＋d 之值為下列哪一個選項？

(1)－8 (2)－5 (3) 5 (4) 8 (5) 10 解：○¹ A²＝ 









−1 1

1

1 









−1 1

1

1 ＝ 







 2 0

0

2 ＝2I ○² A³＝AA²＝A×2I＝2A

○³ A⁴＝A²×A²＝(2I )(2I )＝4I²＝4I ○⁴ A⁷＝A³×A⁴＝(2A)(4I )＝8A

⇒所求A⁷－3A＝8A－3A＝5A＝ 









−5 5

5

5 ，⇒a＝b＝c＝5，d＝－5，故 a＋b＋c＋d＝10

答：(5)

6.假設地球為一半徑 r 的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為

12

7 πr。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？

(1)東經 75°、北緯 15° (2)東經 30°、南緯 75° (3)東經 75°、南緯 15° (4)西經 30°、北緯 75° (5)西經 75°、南緯 30°

解：如右圖，設自甲地到北極點移動θ^{弳，弧長為} 12

7 π^r

⇒ 12

7 π^r＝rθ^，得知θ^弳＝

12

7 π＝105°

故從南緯 15°出發抵達北極點共移動 105°，經度不拘 答：(3)

7.畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：

一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線

二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致

三、空間直線上的任四個相異點的 K 值，和畫紙所畫的四個點之 K 值必須相同，其中 K 值的定義如下：

直線上任給四個有順序的相異點P₁，P₂，P ，₃ P₄，如下圖。

其所對應的 K 值定義為 K＝

4 2 3 1

3 2 4 1

P P P P

P P P P

×

×

今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點Q₁，Q₂，Q ，₃ Q₄描繪在畫紙上，

其中Q₁Q₂＝Q₂Q₃＝Q₃Q₄。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，

則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？

(1) 1, 2, 4, 8 (2) 3, 4, 6, 9 (3) 1, 5, 8, 9 (4) 1, 2, 4, 9 (5) 1, 7, 9, 10 解：如圖，設空間中直線上Q₁Q₂＝Q₂Q₃＝Q₃Q₄ ＝x，根據定義空間的 K 值＝

x x

x x

2 2

3

⋅

⋅ ＝

4 3

計算選項之畫紙的 K 值 (1) K＝

6 3

2 7

×

× ＝

9 7≠

4

3 (2) K＝

5 3

2 6

×

× ＝

5 4≠

4

3 (3) K＝

4 7

3 8

×

× ＝

7 6≠

4 3

(4) K＝

7 3

2 8

×

× ＝

21 16≠

4

3 (5) K＝

3 8

2 9

×

× ＝

4 3＝

4 3 答：(5)

Q1

• • • •

Q2 ^{Q 3}

Q4

x x

x 甲

北極

O θ r

r

赤道

二、多選題(占 25 分)

說明：第 8 題至第 12 題，每題 5 分。

8.有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為(2，2)、(4，6)與 (8，1)。玩家選定一正數 a，並按下按鈕後，發射台將向點(1，a)方向發射一道雷射光束(形成一射線)。假設雷射光束 擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進(削過圓盤邊緣也視為擊中)。試選出正確的選項。

(1)雷射光束落在通過原點且斜率為 a 的直線上 (2)若 a＝

2

3，則雷射光束會擊中圓心為(4，6)的圓盤靶子

(3)玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子 (4)玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子

(5)玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為(8，1)的圓盤靶子，則 a ≤ 63 16

解：(1)由原點(0，0)通過點(1，a)的雷射光束的直線斜率＝

0 1

1

−

− a ＝a

(2)原點(0，0)與靶心(4，6)連線的斜率＝

0 6

0 4

−

− ＝

2

3＝a，雷射光束會擊中圓心

(3)(4)如右圖，至少需要發射二道雷射光束 L₁與 L₂才可擊中三個圓盤靶子 (5)如右圖，設通過原點的直線 L 為圓心(8，1)的切線，斜率為 a

⇒L：y＝ax，∵擊中圓盤靶子，∴利用 d(L，(8，1))＝

1 1 8

2+

− a

a ≤1

平方化簡為 63a²－16a ≤ 0，⇒分解為 a(63a－16) ≤ 0，得 0＜a ≤ 63 16 答：(1)(2)(5)

9.設 f (x)＝2x －3x＋1，下列關於函數 y＝f (x)的圖形之描述，試選出正確的選項。 ³ (1) y＝f (x)的圖形通過點(1，0)

(2) y＝f (x)的圖形與 x 軸只有一個交點 (3)點(1，0)是 y＝f (x)的圖形之對稱中心

(4) y＝f (x)的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 y＝3x－3 (5) y＝3x －6³ x ＋2x 的圖形可由 y＝f (x)的圖形經適當平移得到 ² 解：(1)將(1，0)代入 f (1)＝2－3＋1＝0 正確

(2)由(1)得知可分解 f (x)＝(x－1)(2x²＋2x－1)＝0 有三根，即圖形與 x 軸有三個交點

(3) f (x)＝2x³－3x＋1 為三次式標準式，即 f (x)＝2(x－0)³－3(x－0)＋1，得知對稱中心為點(0，1) (4) f (x)＝2(x－0)³－3(x－0)＋1，故在 x＝0 附近會近似於一直線 y＝－3x＋1

(5)因為x³係數不同(2x³與 3x³)，必須經過適當伸縮平移得到 答：(1)

•

•

• x y

O 發射台

•

L1

L2

L

111 年學測 111－4 CJT

10.甲、乙兩班各有 40 位同學參加某次數學考試(總分為 100 分)，考試後甲、乙兩班分別以y₁＝0.8x₁＋20 和

y2＝0.75x₂＋25 的方式來調整分數，其中x₁，x₂分別代表甲、乙兩班的原始考試分數，y₁，y₂分別代表甲、乙兩班 調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 60 分，調整後的標準差分別為 16 分和 15 分。試選出正確的選項。

(1)甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數

(2)甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高 (3)甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高

(4)若甲班 A 同學調整後的分數比乙班 B 同學調整後的分數高，則 A 同學的原始分數比 B 同學的原始分數高

(5)若甲班調整後不及格(小於 60 分)的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班 原始分數不及格的人數多

解：(1)甲班：若x₁＞0.8x₁＋20，∴0.2x₁＞20，⇒x₁＞100，(表示原始超過總分 100 分者，調整後變低) 乙班：若x₂＞0.75x₂＋25，∴0.25x₂＞25，⇒x₂＞100，(表示原始超過總分 100 分者，調整後變低) (2)甲班：調整後平均 60＝0.8µ₁^{＋20，∴原始平均}µ1^{＝50 分}

乙班：調整後平均 60＝0.75µ₂^{＋25，∴原始平均}µ2^＝

3

140＝46.6…分＜50 分，⇒正確

(3)甲班：調整後標準差 16＝0.8σ₁^{，∴原始標準差}σ1^{＝20 分}

乙班：調整後標準差 15＝0.75σ₂^{，∴原始標準差}σ2＝20 分，⇒原始標準差相等 (4)∵0.8A＋20＞0.75B＋25，⇒ A＞

16 15B＋

4

25是否大於 B？

檢查16 15B＋

4

25－B＝

16 1 B＋

4

25＞0，得知 A＞B (即甲班 A 同學的原始分數比 B 同學的原始分數高) (5)甲班：0.8x₁＋20＜60，∴x₁＜50，表示低於 50 分者，調整後是不及格的，但是無法得知不及格人數

乙班：0.75x₂＋25＜60，∴x₂＜ 3

140，表示低於 3

140分者，調整後是不及格的，但是無法得知不及格人數

⇒無法比較兩班的原始分數不及格人數 答：(1)(2)(4)

11.考慮坐標平面上的點 O(0，0)、A、B、C、D、E、F、G，如下圖所示：

其中 B 點、C 與 D 點、E 與 F 點、G 與 A 點依序在一、二、三、四象限內。

若

v

v 為坐標平面上的向量，且滿足

v

v ⋅

v

OA ＞0 及

v

v ⋅

v

OB ＞0，

則

v

v 與下列哪些向量的內積一定小於0？

(1)

v

OC (2)

v

OD (3)

v

OE (4)

v

OF (5)

v

OG 解：如圖，

v

v 滿足

v

v ⋅

v

OA＞0，⇒

v

v 與

v

OA夾角小於 90°，

v

v 為直線 L₁的範圍

v

v

v ⋅

v

OB＞0，⇒

v

v 與

v

OB夾角小於 90°，

v

v 為直線 L₂的範圍

⇒

v

v 所在範圍為θ^{的大小範圍}

⇒則在θ^{的範圍中，只有}

v

v ⋅

v

OD＜0，

v

v ⋅

v

OE＜0，其餘內積不一定小於 0 答：(2)(3)

L1

L₂

θ

v

v

12.設 a，b，c 都是非零的實數，且二次方程式 ax ＋bx＋c＝0 的兩根都落在 1 和 3 之間。 ² 試選出兩根必定都落在 4 和 5 之間的方程式。

(1) a(x－2) ＋b(x－2)＋c＝0 ² (2) a(x＋2) ＋b(x＋2)＋c＝0 ² (3) a(2x－7) ＋b(2x－7)＋c＝0 ² (4) a(

2 +7 x 2

) ＋b(

2 +7

x )＋c＝0 (5) a(3x－11) ＋b(3x－11)＋c＝0 ²

解：設 ax²＋bx＋c＝0 的兩根為α ^，β^{，⇒ 1＜}α ^，β＜3，令 1＜根＜3

(1)原始圖形向右平移 2 單位，1＋2＜根右移 2 單位＜3＋2，⇒3＜根＜5 (不合，不在 4 和 5 之間) (2)原始圖形向左平移 2 單位，1－2＜根左移 2 單位＜3－2，⇒－1＜根＜1 (不合，不在 4 和 5 之間) (3)由 1＜根＜3，1＜2x－7＜3，⇒3＜x＜5 (在 4 和 5 之間)

(4)由 1＜根＜3，1＜

2 +7

x ＜3，⇒－5＜x＜－1(不合，不在 4 和 5 之間)

(5)由 1＜根＜3，1＜3x－11＜3，⇒4＜x＜

3

14 (在 4 和 5 之間) 答：(3)(5)

三、選填題(占 25 分)

說明：第 13 題至第 17 題，每題 5 分。

13.若 x，y 為兩正實數，且滿足 ³

−1

x y ＝1 及 2² log ＝1，則y 10

y2

x−

＝____________

解：由 2logy＝1，⇒log y²＝1，∴y²＝10 代回 ³

−1

x y²＝1

⇒得 ³

−1

x ＝ 10

1 ，⇒₃1 x ＝

10

1 ，⇒³ x＝10，⇒x＝10³＝1000

∴所求 10 y2

x−

＝ 10 10 1000−

＝99 答：99

14.坐標平面上有一個半徑為 7 的圓，其圓心為 O 點。已知圓上有 A，B 兩點，且 AB ＝8，

則內積

v

OA⋅

v

OB ＝___________

解：作示意圖如右 由內積定義

v

OA⋅

v

OB＝

v

OA

v

OBcosθ^＝7×7×

7 7 2

8 7 7^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+ ＝17

答：17

13-1 13-2

14-1 14-2

O

A B

7 7 8 θ

111 年學測 111－6 CJT

15.根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 70%後來會被找到，在被找到的輕航機當中，有 60%裝設緊急 定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中，則有 90%未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀 時發送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急定位傳送器，則它會被找到的 機率為 (化為最簡分數)

解：根據題意，作樹狀圖如右 所求條件機率 P(找到定位)＝

) (

) (

有定位 找到且有定位

P

P ＝

0.1 0.3 0.6 0.7

0.6 0.7

× +

×

× ＝

0.45 0.42 ＝

15 14

答：15 14

16.袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球(每顆球被抽中的機率相等)，若抽出的兩顆球皆 為藍色的機率為

15

1 ，皆為綠色的機率為 9

2，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 (化為最簡分數)

解：設藍、綠、黃的球各有 a，b，c 顆，樣本空間 S(10 顆抽出兩顆)＝C¹⁰₂ ＝45

○¹ P(2 顆藍色)＝

45

2

Ca

＝15

1 ，⇒C₂^a＝3，得 a＝3，即藍色球有 3 顆

○² P(2 顆綠色)＝

45

2

Cb

＝9

2，⇒C₂^b＝10，得 b＝5，即綠色球有 5 顆

⇒黃色球 c＝10－3－5＝2 顆，⇒ P(2 顆黃色)＝

45

2

C2

＝45 1

○³ 所求 P(兩球為相異顏色)＝1－P(2 顆藍色)－P(2 顆綠色)－P(2 顆黃色)＝1－

15 1 －

9 2－

45 1 ＝

45 31

另解：所求 P(兩球為相異顏色)＝P(1 顆藍 1 顆綠)＋P(1 顆藍 1 顆黃)＋P(1 顆綠 1 顆黃)

＝ 45

5 1 3

1 C

C ×

＋ 45

2 1 3

1 C

C ×

＋ 45

2 1 5

1 C

C ×

＝45 15 ＋

45 6 ＋

45 10 ＝

45 31

答：45 31

17.有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有 一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側， 則可能 的排列方式共有_________________種

解：根據題意，所求機率 P＝P(○○○師○○○)－P(三男同一側)－P(不愉快一女一男相鄰)

＝6！－123

男排列 3

! 3 ×

3 2 1

女排列 3

! 3 ×

3 2 1

男女換側

! 2

－ 123

男1女相鄰 1

4 ×

3 2 1

男1女互換 1

! 2 ×

3 2 1

女排列 男 剩下2 2

! 4

＝720－72－192＝456

答：456

第貳部分、混合題或非選擇題(占 15 分)

說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標餘題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部 分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時 必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

15-1 15-2 15-3 15-4

16-1 16-2 16-3 16-4

17-1 17-2 17-3

失蹤

找到

沒找到

定位 無定位

無定位 定位 0.7

0.3

0.6 0.4 0.1 0.9

18-20 題為題組

瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，

而塔身的長度稱為塔高塔高塔高塔高，塔身與鉛直虛線的夾角θ°稱為該塔的傾斜度傾斜度傾斜度傾斜度(0≤θ≤ 90)，

又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離偏移距離偏移距離偏移距離 根據上述資料，試回答下列問題

18.已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到 18°，此傾斜度換算成弳(或弧度)為下列哪一選項？

(1) 36

π (2) 18

π (3) 20

π (4) 10

π (5) 8

π (單選題，3 分)

解：18°× ₀ 180

π _＝ 10

π 答：(4)

19.中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高塔高塔高分別為 48、19 與 57(公尺)，偏移距離分別為塔高 2.3、2.3 與 4(公尺)，塔的傾斜度傾斜度傾斜度傾斜度分別記為θ₁°、θ₂°與θ₃°。試比較θ₁°、θ₂°與θ₃°三數的大小關係。(非選擇題，4 分) 解：如右圖，利用

塔高

偏移距離＝sin(傾斜度)計算

sinθ₁°＝

48 3 .

2 ≈ 0.048 sinθ2°＝

19 3 .

2 ≈ 0.121 sinθ3°＝

57

4 ≈ 0.070

∵sinθ₂°＞sinθ₃°＞sinθ₁°，且正弦函數 sinθ⁽⁰≤θ≤ 90)為遞增函數

⇒θ₂°＞θ3°＞θ1° 答：θ₂°＞θ₃°＞θ₁°

20.假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度傾斜度傾斜度傾斜度α°，β°分別滿足 sinα °＝

5

1與 sinβ°＝

25

7 。已知兩座鐵塔的偏移距離偏移距離偏移距離相偏移距離 差 20 公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。(非選擇題，6 分)

解：(1) sinα °＝

5

1＜sinβ°＝

25

7 ，∴β°的偏移距離偏移距離偏移距離較大，故設偏移距離 α°偏移 x 公尺，β°偏移 x＋20 公尺，如圖

(2)令塔高為 a 公尺，sinα °＝

5

1，∴cosα °＝

5 6

2 ，sinβ°＝

25

7 ，∴cosβ°＝

25 24

(3)在傾斜度α °中，sinα°＝

5 1＝

a

x，⇒a＝5x

在傾斜度β°中，sinβ°＝

25 7 ＝

a x+20

，⇒a＝ 7 ) 20 ( 25 x+

⇒ a＝5x＝

7 ) 20 ( 25 x+

，得 x＝50，a＝250

(4)在傾斜度α °中，cosα°＝

5 6 2 ＝

a h＝

250

h ，⇒ h＝100 6

在傾斜度β°中，cosβ°＝

25 24＝

a k ＝

250

k ，⇒ k＝240

⇒塔頂到地面之距離相差 h－k＝100 6－240 (公尺)

塔高

α° x

h a

β^° x＋20

k a