國立嘉義大學國民教育研究所碩士論文
指導教授：梁淑坤博士
擬題活動融入國小三年級數學科教學 之行動研究
研究生：楊 惠 如 撰
第一章 緒論 第一節 研究動機
解題是數學教育學家們不斷研究的一個重要方向（梁淑 坤，民 86）。美國數學教師學會(National Council of Teacher of Mathematics，簡稱 NCTM）在 1980 所發表的行動綱領（Agenda for Action）中，將解題當作數學教育的重心。直到今天，解題 仍受到相當的重視（Schoenfeld, 1994）。然而，許多研究指出，
學生在解題時多由題目的表面數字著手而未能思考題目的深層 意義（Riley, Greeno, & Heller, 1983；翁嘉英，民 77；陳美芳，
民 84；徐文鈺，民 85；劉芳妃，民 87）；也有研究指出，只 有解題活動仍是不夠的，因為用解題去評量似乎是探討學生不 懂什麼，卻不知道學生真正懂什麼（梁淑坤，民 86）。根據研 究者在國小數學教學的經驗，也發現很多學生在解數學題時，
未能深入瞭解題意，只是將題目中的數字拼拼湊湊，再加上加 減乘除等運算符號，就算完成解題，這樣的解題過程，並沒有 經過思考的階段。
在傳統的數學教室中，教師經常把課本或指引設定好的題 目，拿來當作佈題的題目，然後示範解題給學生模仿（林文 生，民 85），這樣的流程反反覆覆，學生就在「成功的模仿下 學習」，直到學會教師要傳授的「功夫」（梁淑坤，民 86）。
但是根據教育部（民 82）所公佈的課程標準，數學科的教學目 標之一為「養成主動地從自己的經驗中，建構與理解數學的概
念，並透過瞭解及評鑑別人解題過程的方式，進而養成尊重別 人觀點的態度。」所以，新課程強調學生參與解題活動，而非 模仿教師的解題行為，因此，教師在實施新數學課程時應扮演 一個佈題者（甯自強，民 82；Leung，1996），而不是解題者。
除了教師佈題學生自行解題外，教師也可以提供良好的機 會讓學生擬題。擬題是用自己的看法想出一個數學題目（梁淑 坤，民 82），這種活動強調主動參與，自行建構的精神，與國 內新數學課程精神一致（梁淑坤，民 86）。美國數學教師學會
（NCTM，1989）明確的陳述：「學生應有一些經驗來察覺並 形成他們自己的問題，而這樣的活動是做數學的重心」。
（p.138）同樣的，NCTM（1991）也建議教師應提供機會給學 生擬他們自己問題的重要性：「學生應有機會從已知情境中形 成問題，並藉由修正已知問題的條件中來創造新的問題。」
（p.95）
強調學生擬題的研究成為近年來數學教育的重要課題之 一，許多研究集中在學生擬題的探討（梁淑坤，民 82；Silver &
Cai，1993；Borba，1994；徐文鈺，民 85；劉芳妃，民 87）。
由建構主義的觀點來看，這些研究中發現學生在擬題的過程 中，許多的數學知識因而產生（Borba，1994）。這樣的觀點，
與現行國小數學新課程的精神相同，希望透過課程的設計與安 排，在不強調數學格式的解題之下，讓兒童主動建構數學知 識。
在國小課程中，擬題可扮演兩個角色：手法（means）和目 的（ends），第一個角色是以擬題做教課的一種方式，教師引 用學生提出的問題去授課，而第二個角色，則是定期（例如：
每週一次）讓學生去擬題。以現在的數學教育研究基礎來說，
介紹此活動是應由小學開始。兒童從小就愛發問，有好奇心，
要追根究底，在上課多年後學習了許多格式化數學，就不會想 到好題目（梁淑坤，民 82）。因此,數學擬題的教學，應由國小 開始，教師配合教學單元的需要，將擬題活動融入數學課程 中，讓兒童有機會想出數學題目來，並從中培養分析發展問題 的能力。
雖然在國外有許多關於擬題的研究報告，但是國內關於擬 題的研究如梁淑坤（民 84）研究師範生的擬題行為；徐文鈺（民 85）研究國小五年級學生分數單元的擬題行為，都是以量化的 方式來進行研究；劉芳妃（民 87）雖然以質的研究方法來探討 國一數學科的擬題教學，但是研究著重學生的擬題行為。另 外，大學實習教師孫秀芳（民 86）、林德宗（民 88）也是運用 質的研究方法去探討學生擬題行為。這幾篇研究報告多著重在 學生的擬題行為，對於擬題應用的教學實際，以及教師在教學 中所遭遇到的困難與抉擇，仍有待進一步的研究。所以，以行 動研究的方式來進行的研究報告，仍然相當的欠缺和需要。
行動研究是近年來在教育研究領域中成長最快速的一環
（Hopkins，1985；引自郭重吉、江武雄和王夕堯）。行動研究 最基本的動機之一，是致力於改善學校情境中教師教學與學生 學習品質之意願，行動研究企圖支持教師以及教師團體有效地 應用實務工作中的挑戰，並且以一種反省思考的方式來創新地 改革困境（夏林清等譯，民 87，p.5）。歐用生（民 88）認為，
唯有教師能對自己的教室和教學實施研究，親自「看到」並「體 驗」革新過程，去重新學習和再社會化，改變自己的課程觀、
教學觀和知識觀，才能達到改革的理想。所以本研究希望以實 際的行動，讓擬題由「理論」的階段，進入「教學實際」的階 段。
傳統上，研究大多被認為是大學教授、學者或專家的工 作，與教師無關，教師只要能接受別人產生的知識，不必也沒 有能力作研究。但是在今天，「教師即研究者」已成為師範教 育上重要的一種運動，教師研究自己的教學，才能促進專業成 長，落實課程與教學革新（歐用生，民 83）。因此，行動研究 除了讓身歷其境中的教師自行解決自己面臨的問題，也讓教師 獲得學習與成長的機會。進行過行動研究的教師，不僅在他們 的學校中執行了發展成長性的工作，他們也擴展個人的專業知 識、提昇了專業效能（夏林清等譯，民 87，p.6）。所以，教學 者本身的成長，是行動研究中重要的一環。
因此，本研究採用行動研究法，希望透過實務的行動，瞭 解擬題活動在實際教室中教學的狀況以及困難與限制，並且透 過研究的歷程，呈現教師在研究中所獲得的成長。希望本研究 可以為有心將擬題活動融入數學科教學的教師提供一個教學的 情境範例。
第二節 研究目的
綜合上述的研究動機，本研究的研究目的如下：
1.設計並採用擬題活動融入國小三年級數學科教學。
2.瞭解擬題教學活動在實際運作上的困難與解決方法。
3.透過行動研究，教學者反思自己的專業成長。
第三節 待答問題
根據研究動機與目的，本研究的待答問題如下：
1. 教師可採用哪些方式讓擬題活動融入國小三年級數學科教 學中？
2. 擬題教學活動在實際運作上的困難與解決方法為何？
3. 在行動研究的過程中，教學者的專業成長為何？
第四節 名詞釋義
一、擬題
擬題是用自己的看法想出一個數學題目（梁淑坤，民 82）。本研究的擬題是指兒童根據教師所給的條件，自己想出 數學問題來，包括：從已知的問題，再形成一個問題；也包括 由已知的情境或條件下，想出一個新問題。
二、擬題活動
係指學生依循教師所提供的訊息或線索，想出數學問題，
並且透過擬題活動，獲得數學概念。教師可以視各單元的內 容，設計擬題情境，在教室中讓學生擬出一個題目來，或是當 成習題，讓學生在課餘的時間練習擬題。
學生擬出題目之後，教師可以透過全班討論，讓學生瞭解 如何擬出一個好的數學題目；或者教師可以視情況，將學生所 擬出來的題目，當成課堂中的佈題，讓全班一起共同解題，或 是採取自己擬題，自行解題的方式完成。
三、擬題素材
本研究中的擬題素材是指研究者根據擬題的目標，提供資 料如圖片、文字、解法、實物等，讓擬題者根據研究者所提供 的資料，擬出題目來，而這些資料就是擬題的素材。
第二章 文獻探討
本研究旨在探討擬題活動在國小三年級數學教學中實施的 情況，以及所遇到的困難與解決方法，並且透過研究的歷程，
呈現教學者的成長。所以本章將探討國內外有關於擬題的文獻 資料，希望透過文獻的探討，瞭解擬題的意義、內涵、教學活 動、評量方式，以及分析教材，以作為本研究的依據。因此，
本章分為五個部份來加以論述：第一節探討擬題的意義與內 涵，第二節探討擬題活動的理論基礎，第三節則是探討國內外 相關的實徵研究，第四節為擬題活動的教學與評量，最後，透 過擬題的角度，對三年級上學期數學教材作分析。
第一節 擬題的意義與內涵
本節將探討擬題的意義與內涵，一共分為四個部份，首 先探討擬題的定義與特徵；第二部份探討擬題的類型；第三部 份探討擬題與解題之間的關係；第四部份探討擬題在數學教育 中的重要性。
壹、 擬題的定義與特徵
近年來擬題教學與研究已經引起許多數學教育學者的注意
（梁淑坤，民 82；Winograd，1990；Silver & Cai，1993；
Borba，1994 ；Schloemer, 1994；Leung & Silver，1997）。在 國內，也有關於擬題的研究（梁淑坤，民 84；梁淑坤，民 86；
徐文鈺，民 85；劉芳妃，民 87），關於擬題的重要性，自然不 容忽視（NCTM，1989；1991）。但是擬題的定義究竟是什麼？
國內學者（梁淑坤，民 82）將擬題（problem posing）定義為：
自己想出一個數學問題來。國外學者也將擬題定義為：依據數 學經驗的基礎，學生建構及創造有意義的數學題目，是一個屬 於個人化的過程（Stoyanova & Ellerton，1996）。Silver (1995) 指出擬題是由經驗或情境中創造新的問題，或是由給定的題目 中，產生新的題目。Dillon (1982)則認為擬題是解題之後，尋 找題目的過程。綜合上述國內外學者的定義，我們可以將擬題 定義為學習者根據自己的數學經驗，創造出一個屬於個人化的 數學題目。
此外，我們必須區分擬題、佈題和命題的不同。國內學者 梁淑坤（民 82）認為：擬題多在學習者的身上發生，而非教師 在設計某種（個）數學題讓學生去解答。教師設計題目以配合 種種教學目標的稱之為「佈題」；若為「考試」而設計題目，
則稱之為「命題」。根據這樣的區分我們瞭解到三者的不同點 是在於其「目的」，擬題的目的是為了「學習」，佈題則是為 了「教學目標」，至於命題，則是因為考試而產生的。
根據擬題的定義，我們可以知道：在擬題的過程中，擬題 者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數 字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目，所以擬 題行為含有下列特徵（梁淑坤，民 82）：
1. 組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）。
2. 當中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）。
3. 可以發生在解題前、解題中以及解題後。
4. 擬題者把想出來的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙 的」。這些題目可能是不完整性、不可行，亦可能尚欠 足夠解題資料的。
根據以上的特徵我們知道擬題的發生可能在解題之前，或 是解題的過程中，甚至於可能在解題之後產生。而個人擬出來 的題目，含有各人特有的組織方法，其中包含猜想及可信推 理，由於擬出來的題目，不像課本上的題目，是經由多次的審 稿及修訂，所以有可能是比較粗糙原始的題目。
貳、 擬題的類型
擬題類型的分類方式有很多種。Silver(1995)認為擬題可以分 為兩種類型，第一種是由情境或經驗中創造一個新的數學題 目，第二種類型則是從已給定的題目中，再產生新的題目。
Stovanova 及 Ellerton（1996）則將擬題分成三種情境，第一種 是結構（structured）的情境，擬題者可以利用現有的題目加以 改變。第二種是半結構（semi-structured）的情境，學生利用先 前的數學知識、技巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構 的問題。第三種則是自由（free）的情境，讓學生在一個給定 的自然情境下自由發揮。坪田耕三（1987）也提出七種擬題的 類型：
1.模仿法或類題法：學習某問題後，做出和此同樣的題 目。
2.算式法：提出一個公式，再提出適用此公式的題目。
3.原理法：給與四則算法等原理，做出和此相對的題目。
4.訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是 給與其他不必要的條件，或是做出矛盾而訂正的方法。
5.實驗法：實驗或以具體東西操作，再以此事項為根基做 出問題。
6.自由法：以自由的題材，做出自由形式的東西。
7.題材法：給與題材來做問題。
梁淑坤（民 82）則是根據 Reitman 所提出的四種問題結構將擬 題活動分類。首先我們來看 Reitman 所提出的四種情況：
表 2-1 Reitman 四種問題結構
已知（Given） 目標（Goal）
第一種 已定義清楚 已定義清楚
第二種 已定義清楚 未定義清楚
第三種 未定義清楚 已定義清楚
第四種 未定義清楚 未定義清楚
Reitman 將上述的題目分為結構題（well-structured）與非結構 題(ill-structured)，若是一個題目能夠具有清楚的物件、運算元 素以及目標，就可以稱為結構題(Leung，1997)。例如一般數 學教室中所使用的題目，大多是屬於這樣的類型。在 Reitman 的問題情況中，只有第一種情況稱為結構題，而其它的三種情 況為非結構題。我們可以把他們看成擬題作業，供學生上課時 做活動。把非結構題用自己的組織寫成結構題，或是由結構題 再想出新的數學題目來，就是擬題了。接著我們舉例說明這四 種擬題活動的例子。
首先我們來看第一種結構類型的題目，日本教師坪田耕三
（1987）將自己多年來擬題教學的經驗寫成一本書，在書中所 提到二年級的擬題活動中，他先請學生解一題數學題，題目為
「馬路上有五隻旗子，每一支旗子都間隔 8 公尺立著，從第一 隻到最後一隻旗子的距離是幾公尺？」，然後再請學生「把現 在做完的問題，稍微改變一下，試著做新的、不一樣的題
目」。在這種情況中，擬題的素材就是一道數學題目，「已知」
和「目標」都很清楚，也就是 Reitman 所指的第一種類型的題 目。
在 Silver、Mamona、Leung 和 Kenney (1996)的研究中，設計一 個關於 BBM（撞球）的擬題活動，其已知為「長方形的桌子」、
「發球的角度是 45 度」、「反射的角度是 45 度」、「球由左 下角發射」而目標則是由受試者寫出，如：桌長為 6×5 公尺，
球最後會落點在哪一點？由活動中我們可以清楚的知道「已 知」，而「目標」是則是透過擬題的過程來創造，這樣的題目 也就是 Reitman 所指的第二種類型的題目。
梁淑坤（民 86）依據國小數學課程標準所訂定的內容，設計了 一套擬題的評量工具，其中包括了一到六年級，一共有五十二 道擬題的教材。因此，我們以梁淑坤（民 86）設計的擬題教材 第十一題為例子，教材中給擬題者的條件是「答案：87.5 公 升」，這樣的活動，「目標」已經確定了，「已知」則需要擬 題者想出來，這樣的題目便是 Reitman 所指的第三種類型。
第四種擬題的例子，我們可以由美國學者 Winograd (1990)的論 文中看到，研究者請五年級的小朋友寫故事題，他沒有限制
「已知」或「目標」，讓學生透過擬題來產生，這樣的方式，
也就是 Reitman 指的第四種題目結構。
綜合 Silver (1995)、Stovanova 和 Ellerton（1996）、坪田耕三
（1987）以及 Reitman（1965；引自梁淑坤，民 82）擬題的類 型，比較其中相似的類型整理成表 2-1，透過表 2-1 的綜合分 析，可以發現到，Silver 所指的第一種類型，Stovanova 和 Ellerton 所指的結構的情境，坪田耕三提出的模仿法或類題 法，都是從已有的題目中，再產生新的題目，和 Reitman 所提 出的第一種結構是相同的，都是「已知」和「目標」已明確的 定義清楚。而 Silver 所指的第二種題型，由情境或經驗中創造 一個新的類型，以及 Stovanova 和 Ellerton 所說的第二種半結構 的情境，其實就是 Reitman 所說的第二種和第三種類型結構，
而坪田耕三的算式法、原理法、訂正法、實驗法題材法都是指 Reitman 第二種問題結構，也就是「已知」定義清楚，而「目 標」不明確。至於 Stovanova 和 Ellerton 所指的自由的情境，以 及坪田耕三所指的自由法，「已知」和「目標」都未定義清楚，
正是 Reitman 所指的第四種問題結構。
表 2-2 各種擬題類型分析對照表 Reitman
（1965；引自 梁淑坤，民
82）
Silver
（1995）
Stovanova 和 Ellerton
（1996）
坪田耕三
（1987）
1.已知目標已 定義清楚
1.從已給定的題 目再產生新 的題目
1.結構的情境 1.模仿法或類 題法 2. 已知已定義
清楚，目標 未定義清楚
2.由情境或經驗 中創造新的 類型
2.半結構的情境 2.算式法、3.
原理法、4.訂 正法、5.實驗 法、7.題材法
3. 已知未定義 清楚目標已 定義清楚
－
4.已知未定義 清楚目標，
已定義清楚
－ 3.自由的情境 6.自由法
透過以上的分析，發現 Reitman 的分類方式較為完整，適合於 本研究中將採行的擬題活動，所以接下來的研究中，我們將藉 由 Reitman 所指四種問題結構種類型，透過「已知」和「目標」
的定義與否，來分別擬題活動的類型。
參、 擬題與解題
在擬題的研究範疇中，解題與擬題的關係常是重要的焦點。
Polya（1945）在「如何解題」（How to solve it）一書中提到解 題過程的四個階段：理解（Understand）、策畫（plan）、實行
（carry out）和回想（look back）。國內學者梁淑坤（民 82）
根據 Polya 的模式，以擬題取代「理解」階段，而「回想」階 段可再擬出其他題目來，這樣下去，可以變成永無休止擬題和 解題活動，我們可以用圖 2-1 表示：
擬題
(problem posing)
回想 策畫 (look back) (plan)
實行 (carry out)
圖 2-1 擬題和解題關係圖
如上圖所示，擬題取代了「理解」的階段，而「回想」階 段可再擬出其它的題目來，若有動機去解再次擬出的題目，則 要再次策畫及實行了（梁淑坤，民 82）。也就是說，這個解題 與擬題的模式中，如果解題者亦是擬題者，他可以很清楚的知 道題目的內容，就不用再理解（understand）題目，可以直接開 始策畫（plan）解題活動。如此一來，兒童不會因為發現問題 和解題過程的分離，而降低其認知行為（Dillon，1982）。而 透 過 這 個 解 題 擬 題 的 循 環 ， 就 可 以 做 到 創 造 數 學 ( making mathematics，Polya，1945）。這種自行創造數學，才是數學家 的精神，是數學家常常做的事。可惜的是，這種創造數學的習 慣往往被忽略了（梁淑坤，民 88）。
舉個例來說，梁淑坤（民 82）曾利用「2、3、5」一組數 字為擬題的素材，當擬題者見到這組數字都是質數，又猜想他 們能組合出其它的質數，因此他擬出一個問題：「假如其中兩 個數相乘加餘下的數組合出來的是質數嗎？」當擬題者開始進 行解題時，他不用再理解題目，因為「理解」的階段已經被「擬 題」所取代，因此，他可以直接開始「策畫」解題並且「實行」
解題，在他解答第一個擬出來的問題時，他可能想到：如果將 5 改成 7 會一樣嗎？於是又擬出第二個問題：「用 2、3、7 的 其中兩個數相乘加餘下的數組合出來的是質數嗎？」而再次的 解題活動他可能又會想出第三個問題，這樣下去，也就如圖
2-1 一樣，形成擬題與解題循環的過程。
而在實徵研究中，Silver 和 Cai（1993）的研究中指出學生 的擬題和解題之間有強烈的關連性。Winograd (1990)也發現，
透過寫數學故事題的方式，的確可以改善學生的解題表現。因 此，不論由 Polya 或是實徵研究的觀點來看，解題與擬題之間 的關係是相當密切的。
肆、 擬題在數學教育中的重要性
有 許 多 研 究 指 出 擬 題 是 數 學 教 育 的 重 心 （ Schloemer，
1994）。究竟擬題在數學教育中的重要性為何？由許多的文獻 當中，我們可以整理出以下幾點擬題活動的重要性：
ㄧ、提高解題的動機與興趣
解題為數學教育的重要課題，數學學習以解題活動為主，
問題若是由解題者所擬出來，解題的動機就會很高（梁淑坤，
民 82）。研究中指出，學生較不喜歡課本中的題目或是教師的 佈題，他們會期待且注意由自己來擬題（Silver, Winograd &
Strohauer，1992）。而擬題可以提供學生一個機會，讓他們可 以在數學學習中表達他們的興趣和關心的焦點（Schloemer，
1994)。坪田耕三（1987）經過多年的擬題教學經驗後，也指出 以個人有關的問題作教學，可以喚起小孩子求知的欲望。
Schloemer (1994)也認為擬題可以讓低成就的學生提高學習的 意向。而且，問題既然是由學習者自己想出來的，答案自然很 容易解答出來。因此擬題可以提高解題的動機與興趣。
二、喚起數學性的思考方式，培養分析與發展問題的 能力
現行的數學教育中，我們的學生記得了各種文字題的解法 公式，卻無法推理思考（周筱亭，民 84）。因此，在傳統數學 學習模式中，學生習得了僵化的格式化數學。但是，在擬題的 過程中，學習者必須透過本身的經驗，試著將所學過的知識、
技能、想法加以彙集，整理出來形成問題，在這樣的過程當 中，不但可以訓練一個人獨立思考的能力，同時也可以培養分 析問題、提出問題的能力。所以 Schloemer(1994)認為擬題可以 促進學生更成熟的思考。坪田耕三（1987）也認為擬題可以自 然形成數學化的思考方式。透過這樣的思考方式，擬題者藉由 擬題活動，將自己的數學知識重新組織，並且發現教材的系統 性、關連性。
三、尊重個別差異，並且使數學意義化，落實以學生 為本位的觀點
NCTM（1998）提出學校數學的原則和標準中提出數學課 程的六大原則，其中第一項為「公平的原則」，認為數學課程 應該要促進所有學生的數學原則，不論其宗教、種族和學業成 就，而第四項為「學習的原則」，認為數學課程應該要讓學生 能夠瞭解和使用數學，而擬題和這兩項原則有什麼關連呢？
Borba (1994)提出透過擬題的研究發現，學生在擬題活動中，
感覺到他們可以掌控自己的數學學習。Writz & Kahn (1982) 也認為擬題可以幫助學生將具體情境與數學抽象連結，使數學 意義化。所謂有意義的學習是指兒童能有自己的想法，而不是 大 人 決 定 是 否 對 兒 童 有 意 義 的 作 法 （ 周 筱 亭 ， 民 84 ） 。
Silverman 等人（1992）也指出學生利用數學知識和技能去建構 題目是具有意義的。在以往的解題過程，往往是由教師佈題或 命題，學生在被動的情境下解題，對於數學抽象不容易瞭解，
但是透過擬題的活動，我們可以使數學抽象具體化，讓學習變 得有意義。而且題目是由擬題者所想出來的，在文字敘述方面 更容易接近學生口語化的描述方式。即使是能力低的小孩，也 能就其能力作某種意義的解答或出題，也就是說，在擬題的活 動中，不管是怎樣的小孩，都可依自己的能力，盡力的展開學 習活動。並且，利用所做出的題目，可給與聰明的，或是稍微 落後的小孩子，各得其所的題目（坪田耕三，1987），如此一 來，也就能兼顧個別之間的差異了。
四、將現實生活與數學世界相結合，察覺到學生的日 常生活經驗
新課程是以兒童學習為中心的教學，是「教人」不是「教 書」（鍾靜，民 85）。Silverman 等人（1992）指出擬題活動 的目標之一，在幫助學生將數學與日常生活連結，並且透過文 字的敘述中，反應生活經驗。劉芳妃（民 87）在合作擬題的研 究中，發現學生對於周遭相關的人、事、物之擬題材料反應最 為熱烈。而教學活動中除了知識的獲得，技能與情意的培養也 是相當重要的。因而，在擬題的過程中，學生會將現實生活中 的經驗融入擬題當中，教師可以透過數學題目的敘述，瞭解學 生的生活經驗及想法。
五、適應現代激烈變化的社會，培養批判的能力，養
成民主的素養
社會的變遷日新月異，人們所面臨的許多問題，都不是可預 期的，也就是所謂「非例行性」問題，舊的知識與技術有時無 法解這類的問題（周筱亭，民 84）。坪田耕三（1987）認為數 學的目標在培養小孩子的創造力，養成適應現代激烈變化的社 會，以保持心理健康，如果總是做既定的事情，漸漸會失去創 造力。劉芳妃（民 87）的研究報告指出，小組合作擬題活動可 提供學生數學理念溝通之機會，加強社會化發展，為學生在未 來許多就業機會情境中做好合作解決問題的準備。在擬題的活 動中，學生擬出一個新的數學題目之後，又能夠自己完成解 題，透過這樣的解題的過程，可以修正題目中不適當的敘述，
並且在觀摩別人的擬題之後，提出自己的看法，從中培養批判 的能力。所以擬題可以視為教室中民主化的方法之一，學生可 以參與決定他們的學習（Borba，1994)。
六、打破僵化的學習模式，提昇兒童的創造力
擬題是一種創造力的表現（劉芳妃，民 87），而數學擬題 能力有別於一般創造思考能力，是數學創造力的一種指標（陳 美芳，民 84；徐文鈺，民 85）。擬題本身就是一個創造問題的 過程（Leung，1997），所以，發現問題的本身可以視為創造 力的過程（Dillon，1988），坪田耕三（1987）認為擬題可以 培育小孩子的創造力。Leung(1997)研究也發現擬題具有流暢 性以及靈活性等創造力。由於在傳統數學學習模式中，學生習 得了僵化的格式化數學，所以在現行的數學教育中，我們更需 要藉由擬題，來提昇兒童的創造力。
綜合以上所述，我們可以瞭解到擬題在數學教育的重要性，
也明白擬題對提昇學習動機、數學思考、創造力以及溝通能力
的確是有正面的影響。
以上分四部份去探討擬題的意義與內涵，下一節則是利用 理論基礎，來探討擬題活動。
第二節 擬題活動的理論基礎
擬題是近年來數學教育界積極提倡的一種有助學生數學學 習的策略，但是由於擬題是這幾十年來才興起的研究，所以並 沒有專門的研究去深入探討擬題的理論基礎，但是由過去國內 外擬題研究中，仍然可以由 Vygotsky 的認知發展理論、建構 主義以及訊息處理論三方面來探討擬題。
壹、 Vygotsky 的認知發展理論
維果斯基（Lev S. Vygotsky，1896~1934）是蘇聯心理學 家，其理論常常與皮亞傑的認知發展論相提並論，並且在現今 的數學教育界受到相當大的重視。維果斯基的認知發展理論有 三個重點（張春興，民 84）：
1.社會文化是影響認知發展的要素：社會中的一切，諸如 風俗習慣、宗教信仰、生活中的衣食住行、前輩人留下
來的歷史文化、社會制度、行為規範等，構成人類生活 中的文化世界，此一文化影響成人的行為，更影響正在 成長中的兒童。兒童的認知發展無異是在社會學習的歷 程中進行。
2.認知思維與語言發展有密切關係：維果斯基強調兒童自 我語言（egocentric speech）的重要性，將兒童的自我中 心語言，視為調和其思維與行動，從而助益其認知發展 的重要因素。
3.從實際發展水平延至可能發展區：可能發展區（zone of proximal development）是介於兒童自己實力所能達到的 水平，與經別人協助後所能達到的水平，兩種水平之間 的一段差距。而經此種情形下別人所給予兒童的協助，
即稱為鷹架作用（scaffolding）。
在維果斯基的理論中最引人注意的應是鷹架作用，透過鷹 架作用的理論基礎，可以來探討擬題的本質。雖然有許多研究 鷹架作用的焦點放在成人為兒童佈題，佈置學習情境，讓兒童 能達到可能發展區。但是，有一個更重要的研究方向，就是由 學生自己去擬題，為自己提供鷹架作用，以達到可能發展區。
或是透過合作擬題，以及全班討論擬題作品的方式，在同儕之 間，提供鷹架作用的發生，以達到可能發展區（Winograd，
1990）。
貳、 建構主義
建構主義原為科學哲學領域中，對科學知識如何形成所持
的一種觀點，而此種觀點恰與認知心理學及科學教育方面對學 生學習的結果相當符合，因此科學教育界採建構主義觀點的研 究，遂蔚為風潮（郭重吉，民 81）。
根本建構主義原創大師 Von Glaserfeld 受到皮亞傑對知識 形成看法與認知發展理論的影響，形成了根本建構主義對於知 識看法的兩項基本原則（Von Glaserfeld，1989）:
1.知識並非由被動的吸收而得，而是知識的主體主動建構 建築而來的。
2.知識獲得的方式是調融的（adaptive），認知的功能是用 來組織外在的經驗世界，而非用來發現已存在的本體事 實（ontological reality）。
近年來數學教育受到建構主義思潮的影響，相當強調解題 時的建構歷程，但仍有學者指出（Riley, Greeno, & Heller, 1983；Winograd，1990）學生解題時多被要求解教師或課本所 出的題目，少有機會能思考以及公開提出自己的數學問題，這 種將擬題責任完全交予教師及課本編輯的作法，其實與強調學 生被動接受知識的灌輸式教學是很接近的，而鼓勵學生自己擬 題的數學教學方式，符合建構主義的觀點（Silver & Cai，
1993）。
建構主義認為知識是由學習者所自行建構的，而非被動的 由外界所灌輸（甯自強，民 82）。由建構主義的觀點來看，兒 童是用自己的方式，去概念化他們的數學經驗，在擬題的活動 中，我們可以提供兒童主動建構數學知識的機會，讓學生養成 主動的從自己的經驗中，建構與理解數學的概念，並能運用數 學的知識與方法解決問題（教育部，民 82）。因此，許多相信 知識是由學生主動建構的數學教育學者也開始重視擬題的研究
（Borba，1994）
參、訊息處理論
訊息處理學習論是特為解釋人在環境中，如何經由感官察覺、
注意、辨識、轉換、記憶等內在心理活動，以吸收並知識的過 程（張春興，民 84）。其心理路程如下：
環 短期記憶 長期記憶 境 （STM） （LTM）
中 輸入 感官收錄 注意 複習 的
刺 運作記憶 情節記憶 激 （WM） 語意記憶 遺 忘
遺忘
圖 2-2 訊息處理心理歷程圖示（張春興，民 84）
在解題時，問題作業情境藉由刺激進入短期記憶中，因為短期 記憶的容量有限，訊息可停留的時間也較短，因此如果能運用 策略克服此一困難，便較容易解題成功。而長期記憶則儲存了 有關事實、算則、捷思法、問題類型等的數學知識，與有關自 我及數學方面的信念，以及真實世界，問題情境之相關知識。
訊息處理論所研究的是人類「知的歷程」，探討人類如何獲取 知識，如何儲存知識以及如何運用知識等有關問題，此理論強 調數學學習有以下三方向（Mayer，1980）：
1.學習是獲取知識的歷程，而不僅是獲得一新行為。
2.問題解決是一連串的心理運作，其目的改變知識的表徵 而非指在學習新行為。
3.問題解決的教學策略，應強調對認知結構的重視而不是 指重視行為的目的。因此學習策略偏重於如何幫助一個 學生瞭解問題的涵義，而不是機械化的練習。
因此，我們希望學生能夠透過學習的過程，有能力來處理 與詮釋他所接受的訊息，並使其意義化，讓知識停留在長期記 憶中而不至於遺忘，在擬題的活動中，我們所強調的，就是能 夠讓學生用數學題目去詮釋他所接受到的數學知識，並且儲存 在長期記憶中，讓學習意義化，減少遺忘的機會。
第三節 擬題的實徵研究
美國數學教師學會（NCTM）在 1989 年學校數學課程與評
鑑標準中（The Curriculum and Evaluation Standard for School Mathematics) 提出讓學生在數學課程中經驗擬題的活動是很重 要的，九至十二年級的學生應該認知並形成他們自己的擬題，
這樣的擬題活動可以增加學生的解題意願。
近年來，擬題在數學教育界引起相當大的迴響，在國內外 都有許多關於擬題的研究報告。在國外有 Stovanava & Ellerton
（1996）、Skinner（1990）、English（1998）、Winograd (1990)、
Cai（1998）、Borba（1994）、Schloemer（1994）、Silver、
Mamona-downs、Leung 和 Kenney（1996）、Leung 和 Silver
（1997）、坪田耕三（1987）等篇。在國內則有梁淑坤（民 84）、
徐文鈺（民 85）、劉芳妃（民 87）及國科會大學生研究報告孫 秀芳（民 86）、林德宗（民 88）等人，其研究方法與結果簡述 如下：
在國外的研究報告中可以發現，許多國家已經開始在學校 中實施擬題活動的教學，澳大利亞教育學會（Australian
Education Council）認為鼓勵學生擬題是非常重要的，他們應該 學習如何擬題，並且試著去解出自己所擬的題目（Stovanova &
Ellerton，1996）。澳大利亞的一位教師 Penny Skinner 在 1985-1987 任教時，使用擬題取向的方式教學，並且將這兩年 半的教學經驗及學生習作整理在”What’s your problem？”
（1990）一書中，與我們分享教師在課堂中的樂趣。
English（1998）研究 54 位澳大利亞國小三年級學童的擬題 能力，這 54 位學童在數概念以及解題能力方面，表現出不同 的類型，研究中發現學生在許多非例行性的情境中，可以擬出 多樣化的題目，但在加法和除法的類型中，學生所擬出來的題 型傾向一致，可能是受到教材裏例行性題目的影響，造成學生
思考模式固化。
Winograd（1990）則是研究五年級學童，讓他們擬題、解 題並在小組中分享，透過這樣的方式瞭解擬題課程中的數學信 念，學生擬題的行為表現和困難點，並且瞭解小組共同解題的 行為。研究時間長達一年，每星期有三到四次的課程安排，共 有 8 位學生的擬題行為被觀察，17 位學生在小組合作學習中以 錄音方式觀察他們的對話，25 位學生被訪談他們的數學信 念。在學生擬題寫作過程中表現出多樣化的型態，小組合作學 習中，學生多以任務導向完成學習任務，並且在擬題寫作過程 中表現出數學的信念，研究結果並建議學生的擬題可以成為教 師佈題以及教材的來源。
在小學方面，Cai（1998）進行了跨文化的比較，以 181 位 六年級的美國學生和 223 位六年級的中國學生為對象，探究其 擬題和解題的認知分析，發現雖然中國學生在計算方面優於美 國學生，但是擬題方面卻有許多相似處，也有許多相異處，研 究發現先前研究中關於美國學生在擬題與解題之間的關係，同 樣的可以用在中國學生的身上。
在日本方面，日本的數學教育方面很注重創造能力的培 養 ， 所 以 在 解 題 活 動 中 建 議 要 用 開 放 性 的 解 題 （ Open-end problem splving）。坪田耕三（1987）就是一名日本老師，對國 小一、二、三、四、五、六年級以開放性的問題進行教學，老 師先向學生提出一個問題，學生解完問題之後，老師再請學生 想出其它問題來。
除 了 研 究 國 小 學 童 的 擬 題 之 外 ， 在 中 學 方 面 ， Borba
（1994）研究 200 位八年級的中學生，在九星期的課程中，每 一小組必須選定一個主題，並且擬出一個題目，小組成員通力
合作並解決他們所擬出來的題目，研究者透過觀察、訪談、以 及學生的數學日記來分析結果。研究發現許多學生覺得透過擬 題活動，讓他們感受到對於學習的自主權，可以選擇自己有興 趣的題材，而電腦在解題過程中提供相當大的幫助，研究者並 且發現，在小組擬題過程中，老師必須適時給與指導，讓學生 能夠分工合作完成任務。
在高等教育方面，也有關於擬題的實徵研究。Schloemer (1994) 將擬題教學策略”what-if-not”以認知師徒制的方式來教 導大學生學習高等代數，他將學生分為控制組與實驗組，結果 控制組與實驗組在數學成就中並無顯著差異，在擬題能力方 面，實驗組比控制組佳；在數學態度的表現上前後測實驗組與 控制組兩者均下降，根據研究者的結論，實驗組已習慣原來 UCSMP 教材的學生，用擬題的教學方式在數學態度上會產生 負面的影響。此” What - if -not ” 方式源於 Brown 與 Walter，
他們也是在高等教育中研究擬題，重要的研究結果編輯在 The Art of Problem Posing. ( Brown & Walter，1983 )。
除了學生擬題之外，有些學者也開始重視職前教師的擬題 能力，Silver、Mamona-downs、Leung 和 Kenney(1996)研究 53 位中學老師和 28 位職前教師，以個別擬題或是合作擬題的方 式，研究其 IP ( Initial Posing )、PS ( Problem Posing ) 和 AP ( Additional Posing)階段，研究發現受試者具有數學擬題的能 力，受試者在解題前所擬的題目比在解題後擬的題目多，而這 個擬題的能力將可以影響將來教學時教師的佈題。Leung 和 Silver (1997)嘗試建立擬題作品系統化分類的工具，以 TAPP (Test Arithmetic Problem Posing) 來測驗 63 位職前教師，研究 結果發現許多受試者都可以擬出「可行的」題目。
在國內也有許多關於擬題的實徵研究，徐文鈺（民 85）的 博士論文是以 104 名國小五年級學生為對象，將學生分為合作 擬題組、個別擬題組及控制組三組。三組學生各接受為期 60 週，每週兩次，每次約 40 分鐘之分數課程教學，結果發現合 作擬題組在複雜的「部份/整體」概念的表徵轉換能力、分數解 題能力、分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性效果均優於 其他兩組，而在分數概念的增進效果上三者並無顯著差異，而 合作擬題組擬題能力的變通性效果優於控制組，與個別擬題組 並沒有差異。
劉芳妃（民 87）的碩士論文也是以合作擬題的方式，研究 國中一年級數學教室中的擬題作業與活動，並探討學生合作擬 題時的情意層面以及擬題能力。探討透過觀察、訪談、記錄、
文件蒐集、問卷調查等方式蒐集資料，發現學生擬題內容多出 於生活情境，學生合作擬題時傾向擬出困難的問題來考倒同 學，小組間的合作默契會影響學生合作擬題的學習品質。
至於在國科會補助專案中，也有以擬題為主題的研究報 告。梁淑坤（民 84）以 65 位職前教師和 127 位在職教師為對 象，研究他們的擬題行為以及三種實驗形式（包含數值、文字 敘述、包含符號）對擬題之影響。研究發現職前教師與在職教 師在擬題的數量上並無差異，在三種形式中，有數值的形式較 其它兩種為教師們接納，在文字敘述方面，教師們則自行提供 資料或擬出資料不足甚至不可行的題目。在包含符號的形式，
教師們仍然傾向寫出非題目、非數學或不可行的題目。
至於在國科會補助大學生研究專案中，也有職前教師參與 擬題的例子。孫秀芳（民 86）研究國小二年級學生加法擬題能 力，及學生對擬題的認知程度，研究發現大多數的學生都具有
擬題能力及認知程度，學生所擬出來的題目多是熟悉的情境，
並且確定擬題與解題的活動是相連的。林德宗（民 88）則是在 國小五年級學生數學課堂教學上，探討擬題活動應用，發現擬 題活動可以增進學生對數學觀念的理解，協助學生將知識連結 到真實世界，並且透過討論修正題目的過程，學習接納同學的 意見。
另外，國內教師以將錯就錯的方式來上課，是擬題方式在 教學上的一種應用。教師若出錯題的情況，例如題目中遺漏了 一些條件，導致無法解題時，教師不必急著去改正，反而可以 利用這個機會，讓學生修正題目之後才解，不但適時提供了擬 題的機會，而教學的效果也相當好（Leung & Wu，1999），此 外，也可以配合家長的付出，把擬題變成在家中的親子活動，
再記錄於日記中與別人分享（Leung & Wu，2000）。
跟據以上所述我們瞭解到，在世界各地，不論是實徵方面 的研究，或是教學實際上，已經有許多擬題的活動正在進行 中。
第四節 擬題活動的教學與評量
這一節將針對擬題活動的教學與評量進行探討，總共分 為三個部份，第一部份討論擬題活動的設計，第二部份探討擬 題活動的教學，第三部份探討擬題的評量。
壹、 擬題活動的設計
擬題的特徵之一是具有「粗糙性」（梁淑坤，民 82）。兒童做 出來的題目是多樣化的（坪田耕三，1987），對於擬題者所擬
出來的題目，教師必須加以處理，坪田耕三（1987）提供以下 六種方式處理小孩子擬出來的題目：
1.討論擬出的問題和原題之間的差異。
2.分類那些擬出來的問題。
3.考慮有無解答。
4.修改不完備的問題。
5.讓先前的問題一般化。
6.舉出相反的問題，使問題的結構更清楚。
除了上述六種處理的方式，Cudmore 和 English(1998)也提 出擬題的階段和評鑑活動的流程圖，如圖 2-2 所示：
1.產生資料
2a.全班資料調查
2b.討論和形成擬 題的過程
3.個人/小組資料 調查
4.個人/小組擬題 對問題 a.獲得初稿的題目 對現存問題 主要的
次要的改變 改變/
5.試著解題 新的調 b.解題 /調查路線 查路線
6.寫下「初稿」 c.寫出評鑑的意見 的題目
d.回報老師
7.接受同儕的回饋 和回饋作者
8.寫下「完成」的 題目
學生為擬題者 學生為評鑑者
圖 2-3 擬題階段和評鑑活動
由圖 2-3 我們可以看到 Cudmore 和 English 提倡學生扮演兩 種角色：一為擬題者，一為評鑑者。學生擔任擬題者角色的時 候，首先經歷步驟 1 及步驟 2a、2b 來決定擬題的教材與過程，
再決定由個人來擬題或是小組擬題（步驟 3），接下來正式進 入擬題的階段，由擬題者擬出題目（步驟 4），然後試著解題
（步驟 5），由於擬出來的題目是粗糙的，所以經過解題過程 後，擬題者可能會回到前面的步驟來修改題目，如果沒有，則 將初步擬出來的題目寫下來，然後教給同儕來評鑑，接受同儕 所給與的回饋（步驟 7），如果需要修改，再回到前面的步驟，
再經過前述的過程，修改之後完成題目。
在前述的步驟 6，學生寫下初步的題目時，將題目交給評鑑
者，此時我們可以看到另一個流程，也就是學生為評鑑者的流 程，評鑑者首先獲得別人初步擬出來的題目（步驟 a），然後 解題（步驟 b），再將自己評鑑後的意見寫下來（步驟 c），然 後回報給老師以及擬題者（步驟 c），當回饋給擬題者後，也 就是「學生為擬題者」流程中的步驟 7，然後讓擬題者完成最 後的題目，所以這兩個流程雖然各自獨立，但是有相交集的部 份。
透過 Cudmore 和 English 擬題和評鑑活動的流程圖，我們可 以瞭解學生在擬出題目之後，可以透過解題的步驟來修改自己 的題目，然後老師可以利用設計活動，讓學生評鑑同學的作品 並且提供意見，這個和坪田耕三提出的處理方式有相同之處，
也就是修改不完備的題目，只是坪田耕三的對象是國小的學 童，所以利用全班討論的方式，透過老師來引導學生集思廣益 共同來分類、分析並解題，而 Cudmore 和 English 的對象是中 學生，已經具有表達意見與獨立思考的能力，可以透過同儕評 鑑的方式來修訂題目，這兩種方式，我們在許多研究報告中
（如：Leung，1996；Winograd，1990；林德宗，民 88；劉芳 妃，民 87）都可以看到，在教學實際中的老師，也可以參考這 兩種方式來設計教學活動，而本研究由於對象為國小三年級的 學童，對於獨立思考的能力以及表達意見的能力，尚未發展成 熟，仍需要老師的引導，所以，可以利用坪田耕三的處理方 式，老師引導全班共同討論，至於 Cudmare 和 English 的評鑑 方式，對於三年級的學童並不是不可行，但可能需要老師費心 設計簡單的評鑑單，以適合三年級學童的表達能力。
貳、 擬題活動的教學
在國小課程中，擬題可扮演兩個角色：手法（means）和目 的 （ends），第一個角色是以擬題做教課的一種方式，教師 引用學生提出的問題去授課，而第二個角色，則是定期（例 如：每週一次）讓學生去擬題（梁淑坤，民 82）。Brown 和 Walter(1988)認為將擬題融入數學課程比將其分隔為特定的課 程較好。梁淑坤（民 88）也建議，為了配合數學課正常教學，
教師不宜為擬題活動之推廣犧牲了寶貴的任課時數，應以課程 為主，再配合擬題教學，使得擬題活動推廣時，教師也在執行 一般的數學教學。
進行擬題教學，教師必須經過以下的階段（坪田耕三，
1987）：
第一階段
其一 知道擬題的精神
其二 知道擬題的優點；缺點 其三 知道擬題的具體實例 其四 針對擬題提出疑問 第二階段（實踐）
其五 掌握擬題題教學的全部流程 其六 選擇原題
其七 試著預測小孩子可能作的題目 其八 試著寫出教學企畫案
其九 試著實踐教學 第三階段（分析）
其十 試著分析小孩子的反應
其十一 試著和自己目前的教學作比較
其十二 對採用擬題教學做出反省
第一階段屬於事先瞭解的階段，在前面第一節和第二節我 們已經探討過，而第二階段屬於實踐的部份，當教師瞭解擬題 的精神與內容之後，教師決定進行教學，於是在步驟五的階 段，教師要掌握擬題教學的全部流程，其中可能包括引起動 機、擬題、解題、分析題目、總結等流程。掌握流程之後，教 師要選擇適當的擬題素材，也就是步驟六「選擇原題」的階段。
坪田耕三（1987）提出選擇擬題素材的四個參考：第一，容易 思考的一般化題材；第二，能用類推性思考作題材；第三，可 行成相反構造的題材；第四，容易組合成新的結構的題材。
當擬題素材選擇之後，試著預測小孩子可能擬出來的題目
（步驟七），然後將教學計畫寫下來，可以和同事商量之後，
由實際教學的人自己來寫（步驟八），然後進行教學，可以商 請同事來觀察，或是利用錄音錄影來作記錄（步驟九）。
當第二部份實踐的階段完成後，進入第三部份，事後的反 省階段。首先教學者試著分析學生對教學實際的反應（步驟 十），然後試著和自己目前的教學作比較，例如比較老師指導 的方式或是對學生的反應等等，最後對擬題教學做出反省（步 驟十一），然後提出改進的方案，作為下一次教學時的參考。
貳、 擬題的評量
評量在教學上佔有相當重要的地位，經由評量，我們可以 得知教師的教學成效、學生的學習成果，甚至是學校的辦學績 效。評量的目的，是要提供學生有益的回饋，以充分發揮學生
的潛能（江文慈，民 86）。由於傳統的紙筆測驗無法符合當代 教學的需求，再加上國外的多元化教學評量觀念同時亦傳至國 內，逐漸引起風潮，因而使各種另類評量紛紛而出，希望透過 多元化的評量，改變傳統的紙筆測驗，以多元的方式描繪學生 學習的全貌，協助老師與家長更清楚學生的學習潛能與特性，
以幫助學生成長。
新的評量理念，在真實的瞭解學生學習的狀況（梁淑坤，
民 86）。Stenmark (1989)認為，評量應該是評量出學生懂什 麼，而非瞭解他們不懂什麼（引自梁淑坤，民 86）。雖然近年 來數學教育家對擬題研究倍加重視，但是在評量工具製作方面 遠不及評量解題工具之發達。
梁淑坤（民 84）發展出一套評量擬題的工具，並且在民國 88 年提出修訂，修訂後，將擬題的作品分為五類，如下：
非題目
（1）
題 目 非數學
（2）
不可行
（3）
資料不足
（4）
適 中
（5）
超 過
（5）
首先，考慮整段文字是否為一個題目，若非則屬第一類。
若為題目，再想一想是否為數學題目，非數學題目屬第二類。
至於題目，不可行（亦有數學邏輯不合或有矛盾之題目）屬第 三類，資料不足屬第四類。最後，可解之題目，無論是適中的 資料也好，超過資料的也好，均屬第五類（梁淑坤，民 88）。
其分析的流程如下圖 2-4：
擬題答案
題目 非題目(1)
數學 非數學(2) 可行 不可行(3)
資料不足(4) 資料適中(5) 資料超過(5)
圖 2-4 擬題答案分析之流程圖（引自梁淑坤，民 88）
為了更清楚以上所述擬題答案的分析類型，我們可以參考 以下的例子：
表 2-3 題型分類及例子（引自梁淑坤，民 84）
類 別 例 子
非題目 游泳池的看台上有許多觀眾在觀看比賽，如果 發現如果兩個人一組把觀眾
非數學 為何排水速度>注水速度？
不可行 注水管一分鐘注水 40 力方公分，排水管一分鐘 排水 60 立方公分，注水和排水如果同時進行泳 池的水量會增加多少？
資料不足 如清潔工的帶預試是每個月 20000 元，該游泳池
每個月需清洗五次，問每小時的工資是多少？
資料適中 礦泉水有 10 瓶，每一瓶可到 5 杯，請問全部可 到多少杯？
資料超過 有四個人跳入水中游泳池比賽，甲用蛙式，乙 用自由式，丙用仰式，丁用蝶式，甲的速度是 丙的 1.2 倍，乙的速度是丁的 1.5 倍，丙是丁的 1.1 倍，乙游玩 500 公尺時，丁游了多少公尺？
當學生擬出資料適中的題目，教師不妨選出一些請小朋友 解題。至於其它的題目，教師們可以請小朋友自行修改題題 目，討論題目的合理性，使同學在良好的合作擬題下成長（梁 淑坤，民 88）。
第五節 國小三年級數學科教材分析
前面四節的文獻探討中，已經討論過擬題的意義、內涵、
教學、評量以及國內外相關的實徵研究，接下來將以擬題的眼 光，分析第五冊數學教材。因此，本章共分為兩部份。首先探 討國小課程標準，接下來針對第五冊數學課本進行教材分析，
並試著將擬題融入其中。
壹、國小數學課程標準
從民國十八年，第一次的「小學課程暫行標準」算來，到 民國八十二年的「國民小學課程標準」，總共公佈了十次的國 民小學課程標準，其中歷經了九次的修訂（陶惠昭，民 87）。
最近一次修訂課課程標準是民國八十二年所公佈，在數學課程 方面，由於受到建構主義的影響，「數學」的概念有很大的不 同，在過去，數學是一種知識和技能，數學課程旨在讓兒童發 現數學的意義；在這次的數學課程中，數學是由發現轉向建構
（甯自強，民 82），知識並非由被動的吸收而得，而是知識的 主體主動建構而來的，因此，知識並不是客觀存在的，他是依 附在人身上的（黃敏晃，民 83）。所以，國民小學數學教育的 目標在於在於「輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學的 知識，進而培養有效運用數學方法，以解決實際問題的態度及 能力」（教育部，民 82）。其中包括：
1.養成主動從自己的經驗中，建構與理解數學的概念，並 透過瞭解及評鑑別人解題方式的過程，進而養成尊重別 人的態度。
2.養成從數學的觀點考慮周遭事物，並運用數學知識與方 法解決問題的能力。
3.培養以數學語言溝通、討論、講道理和批判事物的精 神。
4.養成在生活中善用各種工具從事學習及解決問題的習 慣。
根據上面所述的課程標準，我們以擬題的角度來看，在擬 題的過程中，組織的方法是屬於個人的（梁淑坤，民 82），擬
題者必須透過本身的經驗，試著將所學過的知識、技能、想法 加以彙集，整理出來形成問題，換句話說，也就是「養成主動 從自己的經驗中，建構與理解數學的概念」。此外，在擬題之 後，教師可以讓全班共同討論所擬出的題目，或是設計擬題的 評鑑單，讓同學互相評鑑對方的題目（如：林德宗，民 88），
透過這樣的過程，可以讓兒童瞭解及評鑑別人的作品，也可以 養成兒童「尊重別人」的態度。
以一個問題作基礎，再由此製造出新的問題的活動，對小 孩子來說，做出類似問題的活動，自然可稱作歸納性的思考，
或一般化的思考，或可稱為類推的思考方式，而這一些思考的 方式，就是所謂數學化思考的方式（坪田耕三，1987）。Writz
& Kahn (1982) 認為擬題可以幫助學生將具體情境與數學抽象 連結，使數學意義化，所以在擬題的過程中，兒童必須「從數 學的觀點考慮周遭事物」，然後透過個人化的思考方式成為數 學題目，接著「利用數學知識與方法來解決問題」，如此一來，
不但可以增加一個人的數學思考，也可以培養分析問題、提出 問題，以及解決問題的能力。
NTCM（1989）在數學課程與評量標準中，明確地將溝通 視為一項教學與評鑑的標準，並將語言列為溝通活動中重要的 部份。既然數學符號是一種語言，是一種溝通的工具，我們要 如何讓兒童增加數學溝通的能力呢？在數學課程中可以透過討 論活動來增進兒童溝通的能力，但是更進一步，坪田耕三
（1987）認為，透過擬題的方式，小孩子之間的討論活動會更 活潑，同時可以培養正確的批判態度和能力。梁淑坤（民 88）
也認為，擬題的教學可以讓學生欣賞別人的題目，學習如何尊 重別人的想法。如此一來，擬題可以讓「培養以數學語言溝
通、討論、講道理和批判事物」的教學目標，更容易達成。
而透過擬題教學，兒童可以讓所學的知識或技能、統合 性、發展性運用的機會更多（坪田耕三，1987），當兒童透過 擬題的活動，養成分析問題、批判問題、解決問題的能力之 後，兒童也就能「養成在生活中善用各種工具從事學習及解決 問題的習慣」。所以擬題對於數學課程目標的達成，的確是有 助益的。
貳、 三年級數學科教材分析
自從民國八十五年開放教科書以來，國編本的課本不再是 唯一的教材，除了國編本的教科書外，數學科的教科書還有名 倫、南一、康軒、牛頓以及新學友一共六種版本，而研究者的 學校經過多方面的因素考量，選擇康軒本的教科書，再加上本 研究進行的需要，以研究者所擔任的三年級為研究現場，所 以，接下來我們以康軒版第五冊教材為例來分析教材。康軒版 第五冊的課程一共有十二個單元包括：一、2000 以內的數；
二、時間；三、除法（一）；四、長度；五、三位數的加減；
六、角與圖形；七、重量；八、乘法；九、分數；十、面積與 周長；十一、除法（二）；十二、長條圖。各單元教學目標分 述如下：
表 2-4 康軒版 第五冊單元教學目標
單元 單 元 名 稱 內 容
一 2000 以內的數 1. 建立 2000 以內的數詞序列。
2. 認識四位數的位值。
3. 2000 以內數的說、讀、聽、寫、
做。
4. 2000 以內各數的化聚。
5. 用＞、＝、＜的符號，表示兩數大 小的關係。
二 時間 1.認識時、日、月、年間的關係。
2.認識時、日、月、年間的化聚。
三 除法（一） 1.認識除法的意義。
2. 利用乘法記錄除法問題的解題過 程。
3. 使用除法算式，摘要記錄除法問 題。
四 長度 1.長度的實測。
2. 認識 1 毫尺。
3. 認識以毫尺為刻度單位的長度。
4. 能用毫尺為單位實測長度。
5. 透過實測，進行估測。
五 三位數的加減 1.記錄三位數的加減的解題活動。
2. 解決三位數的合成、分解問題，並 記錄解題過程。
3. 用直式記錄三位數加減的解題活 動。
4. 經驗加減法的可逆性。
六 角與圖形 1.認識角。
2. 認識直角。
3. 認識三角形 4. 認識四邊形 七 重量 1.使用天平稱重。
2. 使用 50 克、100 克為刻度單位。
3. 實測物品重量。
4. 估測物品重量。
5. 察覺物品重量具有不變性。
八 乘法 1.認識 0 和 1 的乘法。
2. 複習乘式意義，並察覺乘法運算的 交換律。
3. 會解決三位數乘以一位數的問題。
4. 瞭解乘數未知的算式填充題。
5. 認識乘法直式記錄。
6. 認識被乘數、乘數、基等名詞。
九 分數 1.等分具體物後，用分數表示其中的部 份量。
2. 等分具體物後，用分數表示部份量 是全體量的多少。
3. 認識分母為 20 以內的真分數。
4. 認識分數、分子、分母等術語。
5. 認識分母為 10 的真分數。
十 面積與周長 1.間接比較面積的大小。
2. 測量面積。
3.認識周界與周長。
十一 除法（二） 1. 解決有餘數的除法問題。
2. 用除法算式填充題記錄問題。
3. 認識被除數、除數、商和餘數。
4. 能使用直式記錄除法問題
十二 長條圖 1.用畫記法將資料統整成統計圖表 2. 繪製長條圖。
3. 報讀簡易長條圖。
瞭解各單元的教學目標之後，接下來我們就數與計算、量 與實測、圖形與空間、統計與圖表四個方面來分析：
一、數與計算
在第五冊課本中，數與計算的部份包括：一、2000 以內 的數；三、除法（一）；五、三位數加減；八、乘法；九、分 數；十一、除法（二）。我們以分數單元為例，分數概念起源 於「分」，是用來解決不滿一個單位量的數值的問題，透過將 原單位量（例如：一公尺的繩子）加以分割（例如分成四等分）
得到單位分量的重複量（例如：四個三分之一公尺）等價的量，
以分割的份數（例如：四份）和重複的次數（例如：三次）的 並置（例如（四分之三）作為被測量量的指標（呂玉琴，民 84）。
一般來說，分數的教學都是從分數的「部份-整體」意義開始，
我們可以讓學生透過測量和切分的活動瞭解分數的意義。教師 若是以圖 2-5 為素材讓學生來擬題，學生可能會根據圖案擬出 關於二分之一、四分之一等類似於本單元中，關於真分數的題 目，或是利用媽媽切水果等題材擬出故事題，如此一來，可以 讓學生重新整理分數的概念，學生透過擬題的過程，思考部份 與全體的意義，讓學生更熟悉分數的使用。
（蘋果的圖片）
圖 2-5 分數的擬題素材
在除法單元的部份，第五冊總共有兩個單元，前一個單元 是屬於整除的部份，後一個單元是屬於有餘數的除法問題，在 這個單元中，我們可以利用前面所述 Reitman (1965) 所提出的 第二種與第四種的問題情境來作為擬題的素材。第二種問題情 境是「已知」定義清楚，「目標」未定義清楚，如課本 87 頁中 的算式填充題：52÷9＝（ ）...（ ），這樣的題目可以用來 當擬題的素材。又例如利用生活中的東西，如汽水六罐裝成一 袋、中秋月餅四個裝一盒等等題材，來進行擬題的活動，而這 樣的活動可以在單元的教學中進行，剛好可以配合課本的活動 一--餘數，或者是活動三--算式填充題。至於第四種問題情 境，也就是「已知」和「目標」都未定義清楚，教師可以請學 生利用「除法」來出一道題目，此時「已知」和「目標」都不 清楚，學生擬出來的題目，剛好可以成為教師上課的佈題，這
樣的方式，可以在單元教學前來進行，又是另一種擬題活動的 方式。
二、量與實測
量與實測的部份包括：二、時間；四、長度；七、重量；
十、面積與周長。接下來我們以長度單元為例來作分析。
在小學數學課程裏，屬於量與實測領域中，最具代表性 的，而且要涵蓋一至六年級的，非長度莫屬了（朱建正，民 82）。在第五冊的長度單元中，是以毫尺為單位，在課本第 30 頁，在認識毫尺以及進行累加長度的活動之後，開始進行實測 長度的活動，課本的題目是「量量看，七本數學課本疊在一起 有多厚？」，這時候老師可以請學生來擬題，由學生出題目，
讓全班動手來量一量，讓擬題很自然的融入教學中，也可以聯 合實測與估測的活動，讓學生擬題，先進行估測的活動，然後 再實際測量長度，這樣的活動，會讓教學變得更加生動與活 潑。
三、圖形與空間
第五冊圖形與空間的部份只有第六單元「角與圖形」。兒 童對於角概念的認知，有其發展的順序性，先由具體的經驗、
察覺，漸進發展至抽象概念的理解（劉好，民 84）所以數學課 程的設計首先由圖形角、張開角到旋轉角概念的建立方式，再 由建立直角概念，察覺長方形、正方形、直角三角形。在本單 元活動三活動四學生認識了三角形以及四邊形，因此教師可以 配合這兩個活動，以擬題的方式，讓兒童對這兩種圖形的區分 能夠更熟悉。如圖 2-6，當學生看到這樣的擬題素材時，學生
擬出的題目可能有很多種，有些題目會問幾號是三角形（四邊 形）？有些學生則發現奇數都為三角形，偶數都是四邊形，而 擬出不一樣的題目來。
（三角形與四邊行組合的圖形）
圖 2-6 角與圖形的擬題素材
四、統計與圖表
最後一個單元長條圖是屬於統計與圖表的單元，所謂統計 資料泛指物理世界中的某一類被人意圖加以考察的事物的某些 屬性，被人有意地接觸而記錄下來，這些記錄是有意義的（朱 建正，民 84）。在生活周遭有許多統計的資料，最常見的如民 意調查或是統計圖表等，而蒐集資料、整理資料、分析資料的 能力，在現代社會中也越來越重要。在本單元中學生學會製作 統計圖表，在課本 94、95 頁中，要求各小組自行尋找主題，
進行調查並畫成圖表，這樣的方式與 Borba（1994）所做的研 究類似，都是由小組進行擬題的工作，並且解決他們所擬出來
的題目。由這裡我們也可以看出，在現行的教材中，其實已經 有部份擬題的教材融入其中。
透過以上的分析，我們可以知道就教學方面而言瞭解不論 在單元教學前，或是單元進行中，甚至單元教學後，擬題都可 以融入三年級的教材中。另一方面，以 Reitman (1965) 的題型 來看，三種問題情境的擬題素材，都可以應用在三年級的教材 中，所以就文獻探討的部份，擬題是可以融入三年級上學期的 教學中。
第三章 研究方法
本研究旨在探討擬題活動在國小三年級數學教學中實施的 情況，瞭解擬題活動實施的困難與限制，並且透過研究的歷 程，呈現教學者的成長。為達成上述之研究目的，本研究採用 行動研究法，研究者以參與觀察、文件蒐集和深度訪談等方式 蒐集資料，之後就所蒐集之資料，進一步的分析與討論，以達 成研究目的。
第一節 研究方法
壹、 行動研究法
行 動 研 究 一 詞 源 於 1930 年 代 美 國 社 會 心 理 學 家 Kurt Lewin，他關心當時社會行動利益與知識的累積，也對於如何 兼顧行動與知識的發展感到興趣，其畢生投注於結合理論與實 務的工作中。其名言：研究應有所行動，行動應有所研究（No research without action, no action without research），說明了行動 研究的精義（廖鳳池，民 79）。在今天，「教師即研究者」的 觀念已經成為師範教育上重要的改革運動，學者認為教師在教 學過程中不斷將理論與實際作修正與運用，才能促成其專業的 成長，真正落實課程與教學的革新（歐用生，民 83）。
Altrichter, Posch & Somekh（1993）（引自夏林清等譯，
1998）將行動研究的階段以圖 3-1 表示：
A 尋找一個起始點
B 釐清情境
C 發展行動策略並放入實踐中
D 公開教師的知識
圖 3-1 行動研究歷程的階段
如圖 3-1 所示，行動研究的起始點，也就是階段 A，是由 教師個人有意願投注心力去追求改變的。之後教師透過對話、
訪談、及其它蒐集資料的方法，蒐集到相關的資料，然後對蒐 集到的資料加以分析，情境得以釐清為階段 B。在情境釐清之 後，隨之得以產生的結果便是發展出行動策略，並且將策略轉 入實踐之中，為階段 C。
階段 B 與階段 C 是一個循環的步驟(如圖 3-1 右方箭頭)，
以下說明其循環過程。通常可以預見的是，新的行動策略並無 法如預期一般能「立刻」解決問題。因此研究者還需要努力檢 核所做過的行動，從經驗中學習，以更進一步的改進行動策 略。於是研究過程又進入一個情境釐清的新階段與步驟，而這 些會再引導發展出適切的策略，並可以將這些策略再放到實務
