3-3 平面上的直線
※直線的參數式
設直線 L 過點 A（x0，y0），
且與非零向量 v
＝（a，b）平行，
則直線 L 的參數式為 0
0
x x at y y bt
，t 為實數。
同一直線的參數式其表達方式並不唯一。
隨堂練習 --- 試求過點 P（2，－1），且與向量 v
＝（3，－2）平行的直線參數式。
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例題 1
--- 已知平面上兩點 P（－1，2），Q（2，3），試求直線 PQ 的一個參數式。
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隨堂練習 --- 直線 L 的 x、y 截距分別為 3、－2，試求 L 的一個參數式。
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隨堂練習 ---
試將直線 L： 4 2
1 5
x t
y t
，t 為實數，寫成 L 的直線方程式。
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例題 3
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在花蓮正東方 200 2 公里處有一艘船，以每小時 20 公里的時速朝西北方移動，試問：
(1) 經過 t 小時後，船與花蓮的距離。
(2) 在船行進中有兩個時刻與花蓮的距離恰為 250 公里，請問這兩個時刻相距多久？
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隨堂練習 --- 試由例題 3 解中的坐標系，求船移動軌跡所在直線的一個參數式。
例題 4
--- 試求兩直線 L1：3x－y－7＝0，L2：2x＋y＋3＝0 的交角。
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隨堂練習 --- 試求兩直線 L1： 3x－y＝1，L2：x－ 3y＝2 的交角。
※點到直線的距離公式
點 P（x0，y0）到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離為
0 0
2 2
ax by c a b
。
例題 5
--- 試求點 P（3，2）到直線 L：3x＋4y－7＝0 的距離。
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例題 6
--- 試求點 P（3，2）到直線 L：3x＋4y－7＝0 的距離。
兩平行線 L1：ax＋by＋c1＝0 與 L2：ax＋by＋c2＝0 的距離為 c12 c22 a b
。
例題 7
--- 設圓 C：x2＋y2＝1，若直線 L：x－y－k＝0 與圓 C 有交點，試求 k 的最大可能範圍。
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隨堂練習 --- 設圓 C：x2＋y2＝4，若直線 L：x＋y＝k 與圓 C 相切，試求 k 的值。
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習題3-3 一﹑基本題
2. 試求直線 L：2x－3y＋6＝0 的一個參數式。
3. (1) 試將直線 L： 5 3 4 2 x t
y t
，t 為實數，寫成直線方程式。
(2) 承(1) ，試求點 P（1，1）到直線 L 的距離。
4. 已知兩直線 L1： 2 3 x s y s
，s 為實數，L2： 1 2
2 x t y t
，t 為實數，試求L1 與 L2 之交點坐標。
5. 圓 C：（x－1）2＋y2＝9 與直線 L：3x＋4y＋k＝0 相切，試求 k 的值。
6. 設 P 點在 x 軸上，且 P 點與直線 L：y＝2x＋1 的距離為 5 ，試求 P 點的坐標。
二﹑進階題
7. 已知兩直線 L1：x＋2y＋1＝0，L2：x－3y－4＝0，試求：
(1) L1，L2 的交角。
試求 E 點的坐標。
9. 已知點 P（－1，0）到二平行線 L1，L2 的距離相等，若 L1：x＋3y－5＝0，試求 L2 的直線 方程式。
10. 平面向量 OA
＝（1，7），OB
＝（5，1），OP
＝（2，1），點 M 為直線 OP 上的一個 動點，
(1) 當MA‧MB 有最小值時，試求 OM
的坐標表示。
(2) 試求此時∠AMB 的餘弦值。
三﹑挑戰題
11. 平面上給定兩個非零向量 a
，b
，並設 t 為實數。當|a
＋tb
|有最小值時，試求此時 t 的 值。（以 a
，b
表示）
