函数项级数的一致收敛性

函数项级数的一致收敛性

*

第六节

一、函数项级数的一致收敛性

及一致收敛级数的基本性质

二、一致收敛级数的基本性质

第十一章

一、函数项级数的一致收敛性

幂级数在收敛域内的性质类似于多项式 , 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点 .

例如 , 级数



  









 (x² x) (x³ x²) (xⁿ x^n1) x

每项在 [0,1] 上都连续 , 其前 n 项之和为 S_n(x)  xⁿ,

和函数  



 ( )

lim )

(x S x

S _n

n

1 0  x  ,

0

 1 , x

1 该和函数在 x ＝ 1 间断 .

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因为对任意 x 都有 : sin 1 ( 1,2, )

2 2

2

 

 n

n n

x n

所以它的收敛域为 ( －∞ , +∞) , 但逐项求导后的级数



 



 x n x

x cos2² cos ² cos



 



 2

2 2

2 2

sin 2

2 sin 1

sin

n

x n x

x

其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 又如 , 函数项级数

问题 : 对什么样的函数项级数才有 : 逐项连续 和函数连续 ;

逐项求导 = 和函数求导 ; 逐项积分 = 和函数积分

定义 . 设 S(x) 为 ( )

1

x u

n



 若对

都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当 n > N 时 , 对区间 I 上的一切 x 都有







 ( ) ( ) )

(x S x S x

r_{n n}

则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数 S(x) . 在区间 I 上的和函数 , 任意给定的  _{> 0,}

显然 , 在区间 I 上 )

(

1

x u

n



 一致收敛于和函数 S(x)

部分和序列 S_n(x) 一致收敛于 S(x) 余项 r_n (x)_{一致收敛于 0}

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几何解释 : ( 如图 )





 S(x) y





 S(x) y

I x

) (x S y  ,

 0









,



N Z 当 n > N 时 , S(x)  S_n (x) 







) (x S

y  _n

) (x S

y  _n 之间 .

例 1.研究级数



 





 

 

 



 ( )( 1)

1 )

3 )(

2 (

1 )

2 )(

1 (

1

n x

n x

x x

x x

在区间 [0, +∞) 上的收敛性 .

解 : 1

1 1

) 1 )(

(

1



 

 





 k x k x k x k

 x (k  1,2,)



 

 

 

 

 )

3 1 2

( 1 2)

1 1

( 1 )

(x x x x x

S_n

1) 1

( 1



 

 

n x

n x

1 1

1 1



 

 

n x

x

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) ( lim

)

(x S x

S _n

n

 )

1 1

1 ( 1

lim   

 



 x x n

n 1

1

  x

) 0

(  x  

余项的绝对值 :

) ( )

( )

(x S x S x

r_n   _n

1 1



 

n

x 1

1

  n

) 0

(  x  

因此 , 任给  ^{> 0,} 取自然数 ^{N }





0 ( )

(x   x  

r_n



这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 . 1 ) 1

(   x x

S

例 2.证明级数



  









 (x² x) (x³ x²) (xⁿ x^n1) x

在 [0,1] 上不一致收敛 .

证 : Sn(x)  x  (x²  x)  (xⁿ  x^n1)  xⁿ

 ) (x

S 0, 0  x 1

 1 x ,

1





 ( ) ( ) )

(x S x S x

r_{n n}  xⁿ, 0  x  1

1 , x

0

取正数



] 1 , 0

0 [

x 而 r_N1(x₀)  ¹₂ 



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y

o x

说明 :

1

1 n

n x xn

S ( ) 

 ) (x

S 0, 0  x 1

 1 x ,

1 ⁿ_n^_²₄

10

n n  30

) 1 , 1 (

) (x S

对任意正数 r < 1, 级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .

事实上 , 因为在 [ 0, r ] 上 r_n(x)  rⁿ ,_任给  > 0, 欲使



n 

r _只要 ,

ln ln n _



因此取 ,

ln

ln 



 r

N



只要 n  N, ,

)

(  ⁿ 



n x r

必有 r 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .

维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 判别法

用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时 , 需求出 ),

( )

(x S x

S_n 及 这往往比较困难 . 下面介绍一个较方便的 判别法 .

若函数项级数 ( )

1

x u_n

n



 在区间 I 上满足 :

; ) ,

2 , 1 (

) ( )

1 u_n x  a_n n   ,

) 2

1

收敛

正项级数 _n

n





则函数项级数 ( )

1

x u_n

n



 在区间 I 上一致收敛 .

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证

:



n > N 时 , 对任意正整数 p , 都有

2 2

1 _{   }







 n n p

n a a

a 

由条件 1), 对 x ∈I , 有

) ( )

( )

( ₂

1 x u x u x

u_n  _n  _{n p}

) ( )

( )

( ₂

1 x u x u x

u_n  _n   _{n p}

 

2 2

1 _{   }



 a_n a_n  a_{n p} 则 则 则 则 则

则 p  , _





) 2 (x r_n

故函数项级数



o R x

 R a b

推论 . ^{若幂级数 n}

n



0 的收敛半径 R > 0 , 则此级 数在 ( － R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .

证 : 则 r  max{ a , b },

则对 [ a , b ] 上的一切 x , 都有

) ,

2 , 1 , 0

(  

 a r n x

a_n ⁿ _n ⁿ ,

0  r  R

则 由阿贝尔定理 ( 第三节定理 1) 级数 ⁿ

n



0

绝对收敛 ,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立 .

说明 : 若幂级数在收敛区间的端点收敛 , 则一致收敛 区间可包含此端点 .

证毕

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例 3. ^证明级数   

2 2 2

2 2

sin 2

2 sin 1

sin

n

x n x

x

在 ( －∞ , +∞) 上 一致收敛 . 证 : 因对任意x (, ),

) ,

2 , 1 , 0 1 (

sin

2 2

2

 

 n

n n

x n

而级数



0 2

1

n n 收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数 在 ( －∞ , +∞) 上 一致收敛 .

说明 :维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性 , 而且能判别其绝对收敛性 .

当不易观察到不等式 u_n(x)  a_n 则 则_{可利用导数求} )

( max u x

a _n

I n x

 

例如 , 级数 ,

1 ^{5 2}

1 n x

x n

n





), ,

0

[  

 x

1 , 2

1 1

max 1

23 52

2 ) 5

, 0

[ u n n

x n

x

a_n n _n   



 



 

  用求导法可得 

已知

23

1

1 n

n



 收敛 , 因此原级数在 [0, +∞) 上一致收敛 . 1 ,

)

( _{5 2}

x n

x x n

u_n

 

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二、一致收敛级数的基本性质

定理 1. 若级数 ( ) :

1

满足 x

u_n

n





, ) ( ]

, [ )

( )

2

1

x S b

a x

u_n

n

则 则 则 则 则 则 则 则 则





. ]

, [ )

( 在 上连续

则S x a b

证 : 只需证明 x₀ [a,b], lim ( ) ( ₀).

0

x S x

x S

x 

由于 S(x)  S(x₀) 

)]

( )

( [

)]

( )

(

[S_n x  r_n x  S_n x₀  r_n x₀



) (

) ( )

( )

(x S x r x r x

S   



; ]

, [ )

( )

1 各项u_n x 在区间 a b 上连续

因为级数 ( )

1

x u_n

n



 一致收敛于 S (x) , _故



(



 N 使当 n > N 时 , 有

) 3 (

3, )

( _





x r

x

r_{n n}

对这样选定的 n , S_n(x) 在 x₀ 连续, 从而必存在  > 0 , 有

时 当 x  x₀ 



) 3 (

)

( _{ 0 }



S x

S_{n n}

从而得 S(x)  S(x₀) 



)

( 在 ₀ 连续

故 S x x lim ( ) ( ₀).

0

x S x

x S

x 

即  _证毕

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说明 :

(1) 定理 1 表明 , 对一致收敛的级数 , 极限运算与无限 求和运算可交换 , 即有

) ( lim

) ( lim

0

0 1 1

x u

x

u _n

x n x

n n x

x 













(2) 若函数项级数不一致收敛时 , 定理结论不一定成立 . 例如 , 级数



  









 x(x 1) x²(x 1) x ^1(x 1)

x ⁿ

在区间 [ 0 , 1 ] 上处处收敛 , 而其和函数

 ) (x

S 0, 0  x 1

 1 x ,

1 在 x = 1 处不连续 .

定理 2. 若级数 ( ) :

1

满足 x

u_n

n





, ) ( ]

, [ )

( )

2

1

x S b

a x

u_n

n

上一致收敛于





则该级数在 [a, b] 上可逐项积分 ,

x x

u x

x

S ^x _n

n x x

x ( )d ( )d

0

0











0 x b, x

a    即对

且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 . 证 : 因为

x x

u_k

x x n

k

d ) (

1





x x

S x

x

u ^x _n

k x n

k x

x ( )d ( )d

0

0











; ]

, [ )

( )

1 各项u_n x 在区间 a b 上连续

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所以只需证明对任意 x₀, x [a,b] (x₀  x), _一致有 x

x S x

x

S ^x

n x x

nlim x ( )d ( )d

0

0









根据级数的一致收敛性 , 





a x b

S x

S _n

 





) ( )

(

于是 , 当 n > N 时 , 对一切 x₀, x [a,b] (x₀  x), _有 x

x S x

x

S ^x

n x x

x ( )d ( ) d

0

0







x x

S x

S_n

b

a ( )  ( ) d





^

因此定理结论正确 . 证毕

说明 :若级数不一致收敛时 , 定理结论不一定成立 . 例如 , 级数





1

) 1 (

2

2 ^{n x n x}

n

e x n

e x

n ^{  }









它的部分和 S_n(x)  2n²xe^n2x2 ,因此级数在 [ 0 , 1 ] 上 收敛于 S (x) = 0 , 所以 ¹ ( )d 0.

0 



但是





n

d )

1 (

2

2 ^{2 2 2 2 ( 1)2 2}

1 1 0





 











1

n n

n

e

e 

 ^{  }





①

为什么对级数①定理结论不成立 ? 分析它是否满足

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定理 2 条件 . 级数的余项

2

2 2

2 )

( ^{n x}

n x n xe

r  ^

1 ,

0 时

当x  n

) 2 (

2 1 )

( ₀   n  e

x n r_n

可见级数①在 [ 0, 1 ] 上不一致收敛 ,此即定理 2 结论 对级数①不成立的原因 .

定理 3. 若级数 ( )满足：

1

x u_n

n





, ]

, [ )

( )

3

1

上一致收敛 在

级数 u_n x a b

n





) ( )

(

1

x u

x

S _n

n

 







且可逐项求导 , 即

; ) ,

2 , 1 (

] , [ )

( )

2 u_n x 则 a b 则则则 n  

, ]

, [ )

(

1

上一致收敛 在区间

则 u_n x a b

n





; ) ( ]

, [ )

1 在区间 a b 上收敛于S x

证 : 先证可逐项求导 . ( ) ( ),

1

x x

u_n

n



 





设 _{根据定理 2,}

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有 对 x [ ba, ],

x x

u x

x ^x _n

n a x

a ( )d ( )d

1



 





 



1

a u

x

u_{n n}

n









) ( )

(

1 1

a u

x

u _n

n n

n

 









  S(x)  S(a) 上式两边对 x 求导 , 得 S(x) 



再证 ( ) [ , ] .

1

上一致收敛 在 a b

x u_n

n





根据定理 2 , ( )d [ , ] ,

1

上一致收敛 在

级数 ^xu_n x x a b

n a







而 ^xu_n x x

a  ( ) d









) (

1

x u_n

n





x x

u_n

x n a

d ) (

1









) (

1

a u_n

n





所以 

. ]

,

[ 上一致收敛

在 a b

级数一致收敛并不保证可以逐项求导 . 例如 , 例 3 中的级数



 



 2

2 2

2 2

sin 2

2 sin 1

sin

n

x n x

x 说明 :

在任意区间上都一致收敛 , 但求导后的级数



 



 x n x

x cos2² cos ² cos

其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 .

证毕

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例 4. 证明函数 ₃

1

) sin

( n

x nx f

n





 对任意 x 有连续导数 . 解 : 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续 导数 , 而逐项求导后的级数





 





 3

1

sin n

nx

n 2

1

cos n

nx

n





 1 ,

cos

2

2 n

n nx 

 1 ,

1 2

n 则 则

n



 故级数②在 ( －∞ ,+∞) 上一致收敛 , 故由定理 3 可知 cos .

)

( ₂

1 n x nx

f

n





 

②

再由定理 1 可知 f  x( )在(, )上连续.

定理 4 . 若幂级 数

n n



0

的收敛半径 R  0 , )

(x 数 S

 

 





n n anx x

S

0

)

( ¹,

1

 



 ⁿ

n nanx x (R, R) x

x a

x x

S

n

n x n

x ( ) d d

0 0

0

 





 ,

1

1 0

 



 ⁿ

n

n x n

a x (R, R) 则其和函 在收敛域上连续 ,且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分 , 运算前后收敛半径相同 , 即

证 : 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得 .

下面证明逐项可导的结论 :

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证 : ¹ ( , ) .

0

内收敛 在

先证级数 n a_nxⁿ R R

n

 





), ,

( R R x  

任取 再取定 x₁ ,使 x  x₁  R, 1,

1



 x q x

记 则 n a_nx^{n1 n} a_nxⁿ

x x

n x ₁

1 1

1

 1

 ^{ n} a_nxⁿ

q x

n ₁

1 1  1

 ^

由比值审敛法知级数 ¹ ,

0

 收敛





q

n _故 lim ^1  0,





n n nq

1有界,

因此 nq^n 故存在 M > 0 , 使得

) ,

2 , 1

1 (

1 1

 



  M n

q

n ⁿ _x ,

0  x₁  R

又 级数



1 .

1

收敛

级数 ^{ }



x a n

) ,

1 (

1

R R x

a

n _n ⁿ

n

 





则 则 则 则 则 [ ba, ]

上一致收敛 , 故原级数 [ , ]

0

b a x

a_n ⁿ

n





内任一闭区间

上满足定理 3 条件 , 从而可逐项求导 , 则 则 [a,b]则 则 则 则 , _即知

 

1 0

R R x

x a n x

a _n ⁿ

n n n

n





   











再证级数 ¹

1

 



x a

n _{的收敛半径} R  R.

由前面的证明可知 R  R. _{若将幂级数} ¹在

1

 



x a n

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, )

( ] , 0

[ x x  R 上逐项积分 ,

1

n n n

x





得

级数的收敛半径不会缩小 , R  R.

因逐项积分所得 .

R R  于是

幂级数 ^{n n}

n

x



0

( － R, R ) 内有任意阶导数 , 且有

k n n

k n

k x n n n k a x

S ^{ }













)

) (

( 

) ,

2 , 1

(k   其收敛半径都为 R .

推论 . 的和函数 S (x) 在收敛区间

证毕

作业

P237 1; 3

4