勾股定理證明-G217
【作輔助圖】
1. 以
AC
為邊長，向外作一正方形ABDE
。2. 分別從
D
點作 BC 的平行線，從E
點作 AC 的平行線，兩平行線交於F
點。3. 將 AC 延長，取 CGBC，再將 BC 延長，取 CH AC。
4. 分別從
H
點作 AG 的平行線，從 G 點作 BH 的平行線，兩平行線交於K
點。5. 連接 KC 、 CF 、 KA、 KB 、 CE 、 CD 。
A B
C
D H
F I
K
J
G
E
【求證過程】
將大正方形面積換算兩塊平行四邊形的面積和，先證明當中的平行四邊形及三角 形全等關係，再利用全等性質得到邊長關係而計算出面積，即可推得勾股定理關係式。
1. 首先說明四邊形CFDB與四邊形AEFC皆為平行四邊形：
先證明三角形 EDF 與三角形 ABC 全等：因為EF / /AC ED, / /AB ，所以 FED CAB
，及DF/ /BC ED, / /AB ，推得FDE CBA，又加上 ABED， 所以
EDF ABC
( ASA 全等).
推得
, .
EF AC DF BC
由上述結論可知 DF BC，又因為DF / /BC ，所以四邊形CFDB為平行四邊形。
同理，因為EF AC EF, / /AC，所以四邊形AEFC為平行四邊形。
2. 接著證明三角形KCG 與三角形 ABC 全等，推得其邊長關係：
因為HK / /CG HC, / /KG,HCG ACB 90 ，所以四邊形CGKH 為矩形，可得 , 90
GK CH AC KGC ACB，又因為 CGBC，所以 KCG ABC
( SAS 全等), 因此，推得
. KC AB
3. 證明三角形 KCB 與三角形 CFD 全等，以及三角形 KCB 與三角形CFD全等：
由第 1 點結論可知CFDB為平行四邊形，得 CF BD，以及第 2 點結論可知 KC AB， 因此
. KC ABBDCF
又因為BC/ /DF ，所以KCB CFD BC, DF，加上上述結論 KCCF， 故推得
KCB CFD
( SAS 全等).
同理，因為AC/ /EF ，所以ACK EFC AC, EF，且 KCCF，故推得 KCA CFE
( SAS 全等).
4. 最後將大正方形面積換算成兩塊平行四邊形的面積和，運用三角形全等性質換算其 面積，整理等式，即可推論得勾股定理的關係式：
A B C
D H
F I
K
J
G
E
A B
C
D H
F I
K
J
G
E
A B
C
D H
F I K
J
G
E 由上圖及前述證明，計算正方形 ABDE 的面積
2 2
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
,
ABDE IJBD AEJI BD DJ AE EF
CFDB AEFC CFD CFE KCB KCA
BC CG AC CH BC BC AC AC
BC AC
矩形 矩形
等底同高
因為正方形 ABDE 邊長為AB, 所以可推得
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis )在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 26 日想到的。
2. 心得：此證明是將大正方形面積換算兩塊平行四邊形的面積和，為了求其面積，將 圖形切割平移得以找到對應的底與高。其證明過程並不複雜，關鍵在一開始 如何做輔助線利用全等性質得到邊長關係得以計算面積。
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