勾股定理證明-G065
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 延長DE和GF ，使得直線DE和直線GF相交於O點。
3. 延長CB和HK，使得直線CB和直線HK相交於L點。
4. 延長ED和AB，使得直線ED和直線AB相交於M 點。
5. 延長HA, KB，分別與GF, OE相交於P點, N點。
6. 過C點作AB的垂線，交AB於S點。
7. 連接PN, OC。
O
A B
C D
E F
G
H K
S
N
M P
L
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，利用輔助線將圖形延伸，並利 用切割與推移等過程，重新找出面積的關係，最後推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 APG 與三角形 ABC 全等，推得GPFO：
因為GAP90 PAC CAB，且AG AC, AGP ACB 90 ，所以 APG ABC
(ASA 全等).
得到
GPCBCEFO. 2. 先證明三角形 APG 與三角形 COF 全等，推得 OC // PA ：
因為 GPFO，又 GA FC 且AGP CFO90，所以 APG COF
(SAS 全等).
得到 GPA FOC，因此
OC // PA (同位角相等).
3. 先說明四邊形ACOP，CBMN皆為平行四邊形，進一步得到平行四邊形ACOP面積等 於正方形ACFG面積，平行四邊形CBMN面積等於正方形BCED面積：
由平行關係可知 PO // AC ，又因為 OC // PA ，所以四邊形ACOP為平行四邊形。且
ACOP
AC AC C
FG
F
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
同理可證四邊形CBMN為平行四邊形，且 CBMN
BC CB B
ED
D
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
4. 證明三角形 PNO 與三角形 ABC 全等：
因為四邊形ACOP，CBMN皆為平行四邊形，所以PO AC, ON CB，又 90
PON ACB
，因此
PNO ABC
(SAS 全等).
5. 證明四邊形ABNP面積等於凹六邊形ACBNOP面積：
ABNP ACBNP ACB
ACBNP PNO
ACBNOP
四邊形 面積＝凹五邊形 面積＋ 面積
＝凹五邊形 面積＋ 面積 ＝六邊形 面積
6. 證明三角形 NBM 與三角形 BKL 全等：
因為COF APG ABC，且四邊形CBMN皆為平行四邊形，所以 NBOCAPABBK，又由作圖的平行關係可知NMB BLK,
90 NBM BKL
，因此
NBM BKL
(AAS 全等).
7. 證明梯形 PNMA與梯形 ABLH 的面積相等：
因為 NB // PA 且NBPA，所以四邊形ABNP為平行四邊形，得到 PN // AB 。又因為 PNO APG ABC
, NBM BKL，所以PN AB, PAABAH,
AM AB BM＋ HK KL＋ HL，因此
PNMA ABLH
梯形 面積＝梯形 面積 . 8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH ABLH BKL
PNMA NBM
ABNP ACBNOP
CBNO ACOP
BCED ACFG
正方形 面積＝梯形 面積－ 面積
＝梯形 面積－ 面積 ＝四邊形 面積
＝六邊形 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1900 年 7 月 7 日想到的。並在以下的書籍中受到啓發：
J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 31). Leipz.: Friese.
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明四邊形ACOP，CBNO皆為平行四邊形，以及梯形 PNMA與梯形 ABLH 的面積相等，再利用全等圖形的面積增補關係，推得正 方形 ABKH 面積等於平行四邊形ACOP與平行四邊形CBNO的面積和，進一 步得到勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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