2020年中考数学压轴题专题17 《二次函数的面积问题》

专题

17 二次函数的面积问题

【考点1】二次函数的线段最值问题 【例_{1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线 BC 上方抛物} 线上一动点，_{DE⊥BC 于点 E．} （1）求抛物线的函数表达式； （_{2）求线段 DE 长度的最大值．} 【变式1-1】已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0． （_{1）求抛物线的顶点坐标；} （2）试说明抛物线与直线有两个交点； （_{3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于点 Q，当 0＜m≤3} 时，求线段_{PQ 长的最大值．} 【变式1-2】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+mx+m﹣2 的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）． （_{1）求顶点 A 的坐标} （2）若 P 是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P 的坐标； （_{3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于 C，D 两点，} 请问：在抛物线平移的过程中，线段_{CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．}

【考点_{2】二次函数的面积定值问题} 【例2】已知二次函数

y x



2



2

mx



4

m



8

． （_{1）图象经过点}

（ ）

1,1

时，则

m 

_{_________；} （_2）当

x 

2

时，函数值_{y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；} （_{3）以抛物线}

y x



2



2

mx



4

m



8

的顶点_{A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形}

AMN

（_{M，N 两点} 在抛物线上），请问：



AMN

的面积是与_{m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．}

【变式_{2-1】如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，} 点_{D 为抛物线的顶点．}

（_{1）求抛物线的解析式；}

（_{2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点坐标；}

（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M2、M3 使得△M1BC、△M2BC、△M3BC 的面积均为定值 S，求 出定值_{S 及 M1、M2、M3 这三个点的坐标．}

【变式_{2-2】如图：已知抛物线}







1

₃

₍

₀₎

2

y

x

m x m m

m

 







与

x

轴交于_{A、B 两点（点 A 在点 B 左} 侧），与

y

交于点_{C，抛物线对称轴与}

x

轴交于点_D，

9 3 ,0

2

E





_





_





_为

x

轴上一点． （_{1）写出点 A、B、C 的坐标（用}

m

表示）； （2）若以 DE 为直径的圆经过点 C 且与抛物线交于另一点 F， ①求抛物线解析式； ②_{P 为线段 DE 上一动（不与 D、E 重合），过 P 作}

PQ EC



作

PH DF



，判断

PQ PH

DC EF



是否为定值， 若是，请求出定值，若不是，请说明理由； （_{3）如图②，将线段}

AB

绕点

A

顺时针旋转_30°，与

y

相交于点

M

，连接

BM

_.点

S

是线段

AM

的中点， 连接

OS

_.若点

N

是线段

BM

上一个动点，连接

SN

，将△

SMN

绕点

S

逆时针旋转

60

得到△

SOT

，延长

TO

交

BM

于点

K

．若△

KTN

的面积等于△

ABM

的面积的

1

12

，求线段

MN

的长． 【考点3】二次函数的面积最值问题 【例_{3】已知抛物线}

y x



2

 

x m m

2



． （_{1）求证：抛物线与}

x

轴必定有公共点； （_{2）若 P（}

a

，_{y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且 y1}



_y2，求

a

的取值范围； （3）设抛物线与 x 轴交于点

A x



1

,0



、

B x



2

,0



，点A 在点 B 的左侧，与 y 轴负半轴交于点 C，且

x

1



x

2



3

， 若点_{D 是直线 BC 下方抛物线上一点，连接 AD 交 BC 于点 E，记△ACE 的面积为 S1，△DCE 的面积为 S2，} 求 2 1 S S _{是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．}

【变式3-1】如图，直线

3

₃

4

x

y  



与

x

轴交于点

C

，与

y

轴交于点 B ，抛物线 2

3

4

y ax





x c



经过 B 、

C

两点. ①求点

C

的坐标； ②求抛物线的解析式； ③如图，点

E

是直线

BC

上方抛物线上的一动点，当



BEC

面积最大时，请求出点

E

的坐标和



BEC

面积 的最大值_. 【变式_{3-2】如图，抛物线}y ax 2bx2交

x

轴于点

A  ,



3 0



和点

B ,

 

1 0

，交

y

轴于点

C

_. (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)若点

D

的坐标为





1,0



，点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形

ADCP

面积的最大值. 【考点_{4】二次函数面积的其它问题} 【 例 4】如图，在平面直角坐标系中，直线

y

  

5

x

5

与

x

轴 、

y

轴 分 别 交 于

A C

,

两 点 ， 抛 物 线 2

y x bx c







_经过

A C

,

_两点，与

_x

_{轴交于另一点 B.} （_{1）求抛物线解析式及 B 点坐标；} （_2）连接

BC

，求



ABC

的面积； （3）若点

M

为抛物线上一动点，连接

MA MB

,

，当点

M

运动到某一位置时， ABM 面积为



ABC

的面

积的

4

5

倍，求此时点

M

的坐标_.

【变式_{4-1】如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线 y＝kx＋4 与两坐标轴} 分别交于_{A、D 两点，与抛物线交于点 B(1，m)、C(2，2)．}

1. 求直线与抛物线的解析式．

2.若抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P(x，y)，设∠PON＝ ，求当△PON 的面积最大时 tan 的值． 3. 若动点 P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点 P，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的 ？若存 在，请求出点_{P 的坐标；若不存在，请说明理由} 【变式4-2】如图

1

，抛物线

y

  

x

2

3

x

与直线

y

  

2

x

2

交于

A

、 B 两点，过

A

作

AC x

/ /

轴交抛物线 于点

C

，直线

AB

交

x

轴于点

D

．

 

1

_求

_A

_{、 B 、}

_C

_{三点的坐标；}

 

2

_{若点 H 是线段}

_BD

_{上的一个动点，过 H 作}

_{HE y}

_{/ /}

_{轴交抛物线于}

_E

_点，连接

_OE

_、

_OH

_，当

HE



₁₀

3

AC

时，求

S

OEH_的值；

 

3

_如图

₂

_，连接

_BO

_，

_CO

_及

_BC

_，设点

_F

_是

_BC

_{的中点，点 P 是线段}

_CO

_{上任意一点，将}

_

_BFP

_沿边

_PF

GPF



PC

_

GPF

_

CFP

_

BCP

1

4

一、解答题 1．如图，抛物线

y x bx c



2





交

x

轴于

A

、 B 两点，其中点

A

坐标为

 

1,0

，与

y

轴交于点

C 



0, 3



_. （_{1）求抛物线的函数表达式；} （_{2）如图①，连接}

AC

，点 P 在抛物线上，且满足



PAB

 

2

ACO

．求点 P 的坐标； （_{3）如图②，点}

Q

为

x

轴下方抛物线上任意一点，点

D

是抛物线对称轴与

x

轴的交点，直线

AQ

、

BQ

分 别交抛物线的对称轴于点

M

、

N

．请问

DM DN



是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是， 请说明理由． 2．如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线 上点_{A、C 间的一个动点（含端点），过点 P 作 PF⊥BC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），} 连接_{PD，PE，DE．}

（_{1）求抛物线的解析式；}

（_{2）小明探究点 P 的位置是发现：当点 P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于} 任意一点P，PD 与 PF 的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；

（_{3）请直接写出△PDE 周长的最大值和最小值．}

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两 动点_{P、Q 分别从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO} 上沿_{CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒．} （_{1）用含 t 的式子表示△OPQ 的面积 S；} （_{2）判断四边形 OPBQ 的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；} （_{3）当△OPQ∽△ABP 时，抛物线 y＝ x2+bx+c 经过 B、P 两点，求抛物线的解析式；} （_{4）在（3）的条件下，过线段 BP 上一动点 M 作 轴的平行线交抛物线于 N，求线段 MN 的最大值．} 4．如图 1 所示，抛物线

y ax



2



bx c



交x 轴于点

A 4,0







和点

B 1,0

 

，交y 轴于点

C 0,4

 

．

 

1

求抛物线的函数表达式；

 

2

如图2 所示，若点 M 是抛物线上一动点，且

S

AOM



3

S BOC _{，求点M 的坐标；}

 

3

_{如图3 所示，设点 N 是线段 AC 上的一动点，作}

_{PN x}

_

_{轴，交抛物线于点P，求线段 PN 长度的最大} 值． 5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4），B（1，0），C（5，0） （_{1）求抛物线的解析式和对称轴；} （_{2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，} 请说明理由； （3）该抛物线有一点 D（x，y），使得 S△ABC＝S△DBC，求点 D 的坐标．

6．如图，抛物线

y ax bx



2





3

与

x

轴相交于点

A

（﹣_1，0）、

B

（_{3，0），与}

y

轴相交于点

C

，点

P

为 线段

OB

上的动点（不与

O

、

B

重合），过点

P

垂直于

x

轴的直线与抛物线及线段

BC

分别交于点

E

、

F

， 点

D

在

y

轴正半轴上，

OD

=2，连接

DE

、

OF

． （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2）当四边形}

ODEF

是平行四边形时，求点

P

的坐标； （3）过点

A

的直线将（2）中的平行四边形

ODEF

分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必 说明平分平行四边形面积的理由） 7．平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别为(0，3)、(



1

，0)，将此平行 四边形绕点0 顺时针旋转 90°，得到平行四边形

A B OC

' '

'

． (1)若抛物线过点 C，A，

A '

，求此抛物线的解析式； (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形

A B OC

' '

'

重叠部分△

OC D

'

的周长； (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，间：点 M 在何处时△

AMA'

的面积最大?最大面积是多少?并求

出此时点_{M 的坐标．} 8．如图，已知抛物线 2

1

3

y



x bx c





经过点

A 

( 1,0)

、

B

(5,0)

_. （_{1）求抛物线的解析式，并写出顶点}

M

的坐标； （_2）若点

C

在抛物线上，且点

C

的横坐标为_{8，求四边形}

AMBC

的面积 （_3）定点

D m

(0, )

在

y

轴上，若将抛物线的图象向左平移_{2 各单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛} 物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点

D

与动点 P 之间距离的最小值

d

（用含

m

的代数式表示） 9．如图，抛物线

y

  

x bx c

2



交

x

轴于点

A  ,



3 0



和点 B ，交

y

轴于点

C

 

0,3

_. （1）求抛物线的函数表达式； （_{2）若点 P 在抛物线上，且}

S

AOP



4

S

BOC_{，求点 P 的坐标；} （_{3）如图，设点}

Q

是线段

AC

上的一动点，作

DQ x



轴，交抛物线于点

D

，求线段

DQ

长度的最大值， 并求出



DAC

面积的最大值.

10．抛物线

y ax bx c



2





经过点_{A（-1,0）、B（4,0），与 y 轴交于点 C（0,4）.} (1)求抛物线的表达式； (2)点 P 为直线 BC 上方抛物线的一点，分别连接 PB、PC，若直线 BC 恰好平分四边形 COBP 的面积，求 P 点坐标； (3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点 Q,该抛物线对称轴上存在一点 N，使得以 A、P、Q、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出_{Q 点坐标，若不存在，请说明理由.} 11．如图，顶点为

M

的抛物线

y ax bx



2





3

与

x

轴交于

A 

( 1,0)

，B 两点，与

y

轴交于点

C

，过点

C

作

CD y



_{轴交抛物线于另一点}

_D

_，作

_{DE x}

_

_{轴，垂足为点}

_E

_.双曲线

y



6 ( 0)

_x

x



_经过点

_D

_{，连接 MD ，}

BD

_. (1)求抛物线的表达式； (2)点

N

，

F

分别是

x

轴，

y

轴上的两点，当以

M

，

D

，

N

，

F

为顶点的四边形周长最小时，求出点

N

，

F

的坐标；

12．如图，抛物线

y ax bx



2





4

交

x

轴于

A  ，

( 4 0)

、

B ，

(2 0)

两点，交

y

轴于点

C

，顶点为 H ，其对 称轴交

x

轴于点

N

．直线

l

经过 B 、

D

两点，交抛物线的对称轴于点

M

，其中点

D

的横坐标为 5 ． (1)求抛物线的表达式； (2)连接

AM

，求



ABM

的周长； (3)若 P 是抛物线位于直线

BD

的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形

DPHM

的面积最大时，求点 P 的坐标． 13．如图，抛物线经过点 A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且 在x 轴下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形． （_{1）求抛物线的解析式；} （2）当点 E（x，y）运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最 大值？ （_{3）是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形？若存在，求 E 点，F 点的坐标；若不存在，请} 说明理由． 14．如图，在直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0），交 y 轴与 C （0，3），D 为抛物线上的顶点，直线 y=x﹣1 与抛物线交于 M、N 两点，过线段 MN 上一点 P 作 y 轴的平 行线交抛物线与点_Q． （_{1）求抛物线的解析式及顶点坐标；} （_{2）求线段 PQ 的最大值；} （_{3）设 E 为线段 OC 的三等分点，连接 EP、EQ，若 EP=EQ，直接写出 P 的坐标．}

15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）与 B（1，0），与直线 y＝kx（k≠0） 交于点_{C（﹣2，﹣3）．} （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2）如图 1，点 E 是抛物线上（x 轴下方）的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线与直线 OC 交于点 F，试} 判断在点_{E 运动过程中，以点 O，B，E，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点 E 的坐} 标；若不能，请说明理由． （_{3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DM 交 x 轴于点 M，当点 E 在抛物线上 B，D 之间运} 动时，连接_{EA 交 DM 于点 N，连接 BE 并延长交 DM 于点 P，猜想在点 E 的运动过程中，MN+MP 的和是} 否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2

1

4

₁₀

18

9

y



x



x



与_{X 轴的交点为 A,与 y 轴的交点为点 B，} 过点_{B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点 C，连接 AC．现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时出发，} 点P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动，点 P 停 止运动时，点_{Q 也同时停止运动，线段 OC，PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA，交 CA 于点 E，射线 QE} 交_{x 轴于点 F．设动点 P，Q 移动的时间为 t（单位：秒）．}

（_{1）求 A，B，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；} （_{2）当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；} （3）当

9

0

2

t

＜ ＜

时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； （_{4）当 t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．} 17．已知抛物线

y

=

ax

2



bx c



（

a

_≠0）与

x

轴交于_{A､B 两点,与}

y

轴交于_{C 点,其对称轴为}

x

_{=1,且 A（-1,0）} ､_C（0,2）. （_{1）直接写出该抛物线的解析式;} （_{2）P 是对称轴上一点,△PAC 的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点 P} 的坐标_; （3）设对称轴与

x

轴交于点H,点 D 为线段 CH 上的一动点（不与点 C､H 重合）.点 P 是（2）中所求的点. 过点_{D 作 DE∥PC 交}

x

轴于点_{E.连接 PD､PE.若 CD 的长为}

m

_{,△PDE 的面积为 S,求 S 与}

m

之间的函数关系 式_{,试说明 S 是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出 S 取得的最值及此时}

m

的值_{;若不存在,请说明理由.}

⑴求抛物线

C

的函数表达式； ⑵若点

M

是位于直线

AB

上方抛物线上的一动点，以

MA MB

、

为相邻两边作平行四边形

MANB

,当平行 四边形

MANB

的面积最大时，求此时四边形

MANB

的面积

S

及点

M

的坐标； ⑶在抛物线

C

的对称轴上是否存在定点

F

_{,使抛物线}

C

上任意一点 P 到点

F

的距离等于到直线

17

y

4



的 距离，若存在，求出定点

F

的坐标；若不存在，请说明理由_. 19．如图，在平面直角坐标系中，将矩形

AOCD

中的点

D

沿_{AE 对折，使点 D 落在}

OC

上的_{F 点，已知} AO=8，AD=10，G(-1,7),已知抛物线过点 O ,F,G. （_{1）求抛物线的解析式；} （_2）点

M

为抛物线的对称轴上一动点，当

MG MF



取得最大值时，求点_{M 的坐标；} （3）一条动直线过平面上一点 B，点 B 的坐标为(3,-8)，且该直线与（1）中的抛物线交于 P,Q 两点，请判 断：

PQ

PB QB



_{是否为定值.若是定值请求出定值，若不是定值，请求出其取值范围.（参考公式：在平面直} 角坐标系中，若_{H(x1,y1),N(x2,y2)，则}

H N

,

两点间的距离为



 



2 2 2 1 2 1

HN



x x





y



y

）

20．如图，已知抛物线

y a x



(



2)(

x



6)

与

x

轴相交于

A

、B 两点，与

y

轴交于

C

点，且_tan

3

2

CAB





. 设抛物线的顶点为

M

，对称轴交

x

轴于点

N

_. （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2） P 为抛物线的对称轴上一点，}

Q n

( ,0)

为

x

轴上一点，且

PQ PC



_. ①当点 P 在线段

MN

_{(含端点)上运动时，求}

n

的变化范围； ②当

n

取最大值时，求点 P 到线段

CQ

的距离； ③当

n

取最大值时，将线段

CQ

向上平移

t

个单位长度，使得线段

CQ

与抛物线有两个交点，求

t

的取值范 围_.

【考点1】二次函数的线段最值问题 【例_{1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线 BC 上方抛物} 线上一动点，_{DE⊥BC 于点 E．} （_{1）求抛物线的函数表达式；} （_{2）求线段 DE 长度的最大值．} 【答案】（1）y＝﹣

3

4

_x2+

9

4

_{x+3；（2）最大值是}

12

5

． 【解析】 【分析】 （_{1）根据待定系数法，可得函数解析式；} （_{2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的} 判定与性质，可得DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】 解：（1）由题意得，

0

16

4

0

3

a b c

a

b c

c

＝

＝

＝

 





_

_







_， 解得，

3

4

9

4

3

a

b

c

＝

＝

＝



_















_， 抛物线的函数表达式为_y＝﹣

3

4

_x2+

9

4

_x+3； （_{2）过点 D 作 DM⊥x 轴交 BC 于 M 点，}

由勾股定理得，BC＝

OC OB

2



2 ＝5， 设直线_{BC 的解析是为 y＝kx+b，} 则

4

0

3

k b

b









＝

＝

_， 解得

3

4

3

k

b

  







_



_， ∴直线_{BC 的解析是为 y＝﹣}

3

4

_x+3， 设点_{M 的坐标为（a，﹣}

3

4

_a+3）， DM＝（﹣

3

4

_a2+

9

4

_{a+3）﹣（﹣}

3

4

_a+3）＝﹣

3

4

_a2+3a， ∵∠_{DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，} ∴△DEM∽△BOC， ∴

DE

BO

DM



BC

，即

DE

DM

＝

4

5

， 解得，_DE＝

4

5

_DM ∴_DE＝﹣

3

5

_a2+

12

5

_a＝﹣

3

5

（_a﹣2）2+

12

5

， 当_{a＝2 时，DE 取最大值，最大值是}

12

5

． 【点睛】 本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、 一次函数解析式的一般步骤是解题的关键． 【变式_{1-1】．已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0．}

（_{1）求抛物线的顶点坐标；} （_{2）试说明抛物线与直线有两个交点；} （3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于点 Q，当 0＜m≤3 时，求线段_{PQ 长的最大值．} 【答案】（_{1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.} 【解析】 【分析】 （1）化为顶点式即可求顶点坐标; （_{2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛} 物线与直线有两个交点_; （_{3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），} 点_{Q 的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图 1，当-1≤t≤0 时；②如图 2，当 0＜t≤1 时，} 求出对应的最大值即可． 【详解】 解：（_{1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，} ∴抛物线的顶点坐标为（_{-1，-1）．} （_{2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，} mx2+mx=0，mx（x+1）=0， ∵_m≠0， ∴_{x1=0，x2=-1．} ∴抛物线与直线有两个交点． （ _{3 ） 由 （ 2 ） 可 得 ： 抛 物 线 与 直 线 交 于 （ -1 ， -1 ） 和 （ 0 ， m-1 ） 两 点 ，} 点P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）． ①如图1，当-1≤t≤0 时，PQ= 2 Q P

y



y

 

mt mt



₌



m t

(



1

₂

)

2



1

₄

m

． ∵_m＞0， 当

1

2

t  

时，_{PQ 有最大值，且最大值为}

1

4

m

． ∵_{0＜m≤3，∴}

1

4

m

_≤

3

4

，即_{PQ 的最大值为}

3

4

．

②如图_{2，当 0＜t≤1 时，PQ=} 2 P Q

y



y



mt



mt

₌

m t

(



1

₂

)

2



1

₄

m

_． ∵_m＞0， ∴当_{t=1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m．} ∵_0＜m≤3， ∴_{0＜2m≤6，即 PQ 的最大值为 6．} 综上所述，PQ 的最大值为 6． 【点睛】 此题主要考查二次函数的应用，（_{1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题} 型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答． 【变式_{1-2】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+mx+m﹣2 的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）．} （1）求顶点 A 的坐标 （_{2）若 P 是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P 的坐标；} （_{3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于 C，D 两点，} 请问：在抛物线平移的过程中，线段_{CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．} 【答案】（_{1）（﹣1，1）；（2）P（ ， ）；（3） .} 【解析】 【分析】 （_{1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；} （_{2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根据三角形的面} 积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得_{P 点坐标；} （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA 的解析式，可得 C、D 点的横坐标，根据勾股 定理，可得答案． 【详解】 解：（_{1）把 B（3，﹣3）代入 y=﹣x2+mx+m2 得：﹣3=﹣32+3m+m2，} 解得_m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1， ∴顶点_{A 的坐标是（﹣1，1）；} （_{2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q.} ∵直线_{OB 的解析式为 y=﹣x，} 故设_{P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），} ∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，

∴_{S△OPB= （﹣n2+3n）=﹣ （n﹣ ）+} ， 当n= 时，S△OPB 的最大值为 ． 此时_{y=﹣n2+2n= ，} ∴_{P（ ， ）；} （_{3）∵直线 OA 的解析式为 y=x，} ∴可设新的抛物线解析式为_{y=﹣（x﹣a）2+a，} 联立 ， ∴﹣（_{x﹣a）2+a=x，} ∴_{x1=a，x2=a﹣1，} 即_{C、D 两点间的横坐标的差为 1，} ∴_CD= ． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一 次函数的交点问题，难度适中，是常见题型_. 【考点_{2】二次函数的面积定值问题} 【例_{2】已知二次函数}

y x



2



2

mx



4

m



8

． （_{1）图象经过点}

（ ）

1,1

时，则

m 

_{_________；} （2）当

x 

2

时，函数值y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （_{3）以抛物线}

y x



2



2

mx



4

m



8

的顶点_{A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形}

AMN

（_{M，N 两点} 在抛物线上），请问：



AMN

的面积是与_{m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．}

【答案】（_{1）4；（2）m≥2；（3）}



AMN

的面积是与_{m 无关的定值，S△AMN＝}

3 3

_. 【解析】 【分析】 （_1）将点

（ ）

1,1

代入二次函数解析式即可求出_m； （_{2）求出二次函数的对称轴为 x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，可求} 出_{m 的取值范围；} （3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN 的面积是 与_{m 无关的定值．} 【详解】 解：（_1）将点

（ ）

1,1

代入

y x



2



2

mx



4

m



8

可得：

1 1 2

 

m



4

m



8

， 解得：m=4； （_{2）二次函数}

y x



2



2

mx



4

m



8

的对称轴是：_x＝m， ∵当_{x≤2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，} ∴_m≥2； （_3）



AMN

的面积是与_{m 无关的定值；} 如图：顶点_{A 的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点 B，} ∵_{tan∠AMB＝tan60°＝}

3

AB

BM

=

， ∴_AB＝

3

_BM＝

3

_BN， 设_{BM＝BN＝a，则 AB＝}

3

_a，

∴点_{M 的坐标为（m＋a，}

3

_{a−m2＋4m−8），} ∵点_{M 在抛物线上，}

∴

3

_{a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，} 整理得：

a

2

-

3

a

=

0

，

解得：_a＝

3

或_{a＝0（舍去），} ∴△_{AMN 是边长为}

2 3

的正三角形， ∴_{AB=3，S△AMN＝}

1 2 3 3 3 3

2



 

，与_{m 无关.} 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用， 其中（_{3）问有一定难度，根据点 M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．}

【变式_{2-1】如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，} 点_{D 为抛物线的顶点．} （_{1）求抛物线的解析式；} （2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点坐标； （_{3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M2、M3 使得△M1BC、△M2BC、△M3BC 的面积均为定值 S，求} 出定值_{S 及 M1、M2、M3 这三个点的坐标．} 【答案】（_1）y=﹣

2

3

_x2+

4

3

_{x+2；(2)见解析；（3）见解析.} 【解析】 【详解】 分析：（_{1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式} 即可； （_{2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平} 行四边形时，利用平移规律确定出P 坐标即可； （_{3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确}

定出交点与直线_{BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所} 求_{M 坐标，且求出定值 S 的值即可．} 详解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0），C（0，2）， 设抛物线解析式为_{y=a（x+1）（x﹣3），} 把_{C（0，2）代入得：2=﹣3a，即 a=﹣}

2

3

， 则抛物线解析式为_y=﹣

2

3

（_{x+1）（x﹣3）=﹣}

2

3

_x2+

4

3

_x+2； （_{2）抛物线 y=﹣}

2

3

（_{x+1）（x﹣3）=﹣}

2

3

_x2+

4

3

_x+2=﹣

2

3

（_x﹣1）2+

8

3

， ∴D（1，

8

3

）， 当四边形_{CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（4，}

2

3

）； 当四边形_{CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（2，﹣}

2

3

）； 当四边形_{BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（﹣2，}

14

3

）； （_{3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，} 把B（3，0），C（0，2）代入得：

3

0

2

k b

b

 





_



_， 解得：

2

3

2

k

b

  





 



_， ∴y=﹣

2

3

_x+2， 设与直线_{BC 平行的解析式为 y=﹣}

2

3

_x+b， 联立得： 2

2

3

2

4

₂

3

3

y

x b

y

x

x



_{ }

_





  







_，

消去_{y 得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，} 当直线与抛物线只有一个公共点时，△_{=36﹣8（3b﹣6）=0，} 解得：_b=

7

2

，即_y=﹣

2

3

_x+

7

2

， 此时交点_{M1 坐标为（}

3

2

，

5

2

）； 可得出两平行线间的距离为

9 13

26

， 同理可得另一条与_{BC 平行且平行线间的距离为}

9 13

26

的直线方程为_y=﹣

2

3

_x+

1

2

， 联立解得：_M2（

3 3 2

2



，

1

2

2



），_M3（

3+3 2

2

，

1

2

2





）， 此时S=1． 点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分 类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式_{2-2】如图：已知抛物线}







1

₃

₍

₀₎

2

y

x

m x m m

m

 







与

x

轴交于_{A、B 两点（点 A 在点 B 左} 侧），与

y

交于点_{C，抛物线对称轴与}

x

轴交于点_D，

9 3 ,0

2

E





_





_





_为

x

轴上一点． （_{1）写出点 A、B、C 的坐标（用}

m

表示）； （2）若以 DE 为直径的圆经过点 C 且与抛物线交于另一点 F， ①求抛物线解析式； ②_{P 为线段 DE 上一动（不与 D、E 重合），过 P 作}

PQ EC



作

PH DF



，判断

PQ PH

DC EF



是否为定值， 若是，请求出定值，若不是，请说明理由； （_{3）如图②，将线段}

AB

绕点

A

顺时针旋转_30°，与

y

相交于点

M

，连接

BM

_.点

S

是线段

AM

的中点，

连接

OS

_.若点

N

是线段

BM

上一个动点，连接

SN

，将△

SMN

绕点

S

逆时针旋转

60

得到△

SOT

，延长

TO

交

BM

于点

K

．若△

KTN

的面积等于△

ABM

的面积的

1

12

，求线段

MN

的长． 【答案】（_{1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，} 3 2m₎ （_2）① 2

3

_{3 3}

12

y

 

x

 

x

，②

+

1

PQ PH

DC EF



，理由见解析； （_3）线段

MN

的长为_{2 或}

2 5

【解析】 （_{1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，}

3

2

m

） （_{2）△DCE 为直角三角形．} ①_{OC2=OD·OE，m=}

2 3

，∴ 2

3

_{3 3}

12

y

 

x

 

x

②∵_{DE 为直径，∴∠DCE=∠DFE=90°，∵PQ⊥EC，PH⊥DF，∴PQ∥DC，PH∥EF}

PQ

PE

DC DE





，

，

PH

DP

EF



DE

，∴

+

1

PQ PH

PE DP DE

DC EF

DE

DE









（3）A（



6 3

，0），B（

2 3

，0），又∠OAM=60° ，∴cos30°=

OM

OA

，∴OM=6，M（0，6）

又_tan∠ABM=

OM

S

是线段

AM

的中点，∴∠_{OSM=60° ，∴∠AOS=30° ，又∠SOT=90° ，∠AOT=60° ，} ∴直线_TK：y=-

3

_x；BM：y=

3

_{x-6，联立两个方程，解得：K（}

3

，_-3） 设_{MN=a，TK=TO+OK=a+2}

3

，∴△_{KTN 的高 h=TK·sin60°=}

3

₃

2

a 

NK=

2 3 a



，∵_S△KTN=

1

12

_S△ABM

1

_{2 3}

2



NK h

 

， ∴

1

_{2 3}

3

₃

_{2 3}

2

 

a

（

2

a



）



a=2 或 a=

2 5

点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转 化，属于中考压轴题． 【考点3】二次函数的面积最值问题 【例_{3】已知抛物线}

y x



2

 

x m m

2



． （_{1）求证：抛物线与}

x

轴必定有公共点； （_{2）若 P（}

a

，_{y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且 y1}



_y2，求

a

的取值范围； （3）设抛物线与 x 轴交于点

A x



1

,0



、

B x



2

,0



，点A 在点 B 的左侧，与 y 轴负半轴交于点 C，且

x

1



x

2



3

， 若点_{D 是直线 BC 下方抛物线上一点，连接 AD 交 BC 于点 E，记△ACE 的面积为 S1，△DCE 的面积为 S2，} 求 2 1 S S _{是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．} 【答案】（1）见解析；（2）

a  

2

或

a 

3

，（3） 2 1 S S _{没有最小值；} 2₁ S S _{有最大值是}

1

₃

【解析】 分析：（1）本题需先根据判别式解出无论 m 为任何实数都大于零，再判断出物线与 x 轴总有交点． （_{2）分两种情况：当点 P 在对称轴的左侧时，}

y

随

x

的增大而减小，得

a  

2

；当点_{P 在对称轴的右侧时，}

y

_随

_x

_{的增大而增大，}

_{a }

₃

_{，故得解.} 详解：（_1）令

y 

0

得

x

2

 

x m

2

 

m

0

∴

 

b

2



4

ac



4

m

2



4

m



1

∴





2

2

m

1

 



无论

m

取何值，





2

2

m

1

0

 





∴ 抛物线与

x

轴必定有公共点 （2）∵

y x



2

 

x m m

2



，抛物线的对称轴是

1

2

x 

当点_{P 在对称轴的左侧时，}

y

随

x

的增大而减小， ∵_y1



_y2，

a  

2

当点P 在对称轴的右侧时，

y

随

x

的增大而增大， Q（－2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2） ∵_y1



_y2，

a 

3

综上所述：

a  

2

或

a 

3

（_3）

x

1

 

1

m

_，

x

2

 

m

∵

x

1



x

2



3

、∴

1

   

m

m

3

，解得

m 

1

或

m  

2

∴

y x



2

 

x

2

∴

A 



1,0



、

B

 

2,0

，

C



0, 2





∴ 直线_{BC 的解析式是}

y x

 

2

设点_{A 到直线 BC 的距离是}

h

1_{，点D 到直线 BC 的距离是}

h

2_， △_{ACE 的面积 S1} 1

1

2

CE h





，△_{DCE 的面积 S2} 2

1

2

CE h





∴ 1

3 2

2

h 

， 2 2 2 1 1

2

3

S

h

h

S



h



∴ 求 2 1

S

S

_{的最值转化为求}

h

2_的最值 设过点D 与直线 BC 平行的直线解析式为

y x b

 

当点_{D 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，}

h

2_{无最小值，仅当直线}

y x b

 

_与抛物线

y x



2

 

x

2

_只有 一个公共点时，

h

2_有最大值

即方程组 2

₂

y x

x

y x b

 

 



 



_{有两个相等的实数根} ∴

x

2



2

x

  

2

b

0

，

   

4 8 4

b



0

， ∴

b  

3

，此时 2

2

2

h 

∴ 2 1

S

S

_{没有最小值；} 21

S

S

_{有最大值是}

1

₃

∴

A 



1,0



、

B

 

2,0

点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式 是解题的关键． 【变式3-1】如图，直线

3

₃

4

x

y  



与

x

轴交于点

C

，与

y

轴交于点 B ，抛物线 2

3

4

y ax





x c



经过 B 、

C

两点_. ①求点

C

的坐标； ②求抛物线的解析式； ③如图，点

E

是直线

BC

上方抛物线上的一动点，当



BEC

面积最大时，请求出点

E

的坐标和



BEC

面积 的最大值_.

【答案】①

C

 

4,0

；② 2

3

3

₃

8

4

y

 

x



x



；③点

E

的坐标是

 

2,3

时，



BEC

的面积最大，最大面积是

3

_. 【解析】 【分析】 ①利用利用x 轴上点的坐标特点代入一次函数即可. ②根据抛物线 2

3

4

y ax





x c



经过 B 、

C

两点，先求出B 点坐标，再用待定系数法求解析式即可. ③根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点

E

作

y

轴的平行线

EF

交直线

BC

于点

M

，

EF

交

x

轴于点

F

， 利用_{E、M 横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出 EM 的长，再利用}

S

BEC



S

BEM



S

MEC_，把EM

看作△_{BEM 和△MEC 的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可.} 【详解】 解：①∵直线

3

₃

4

x

y  



与

x

轴交于点

C

， ∴当_{y=0 时，解得 x=4} ∴_{C 点坐标为：}

 

4,0

②



直线 3 ₃ 4 y  x 与

x

轴交于点

C

，与

y

轴交于点 B ，



当_{x=0 时，解得 y=3} ∴点 B 的坐标是

 

0,3

，点

C

的坐标是

 

4,0

，



抛物线 2

3

4

y ax





x c



经过 B 、

C

两点，

3

16

4

0

4

3

a

c

c



_{   }





 



解得

3

8

3

a

c

  





 



_,



抛物线的解析式为 2

3

3

₃

8

4

y

 

x



x



. ③如图，过点

E

作

y

轴的平行线

EF

交直线

BC

于点

M

，

EF

交

x

轴于点

F

，

已知点

E

是直线

BC

上方抛物线上的一动点，则可设点

E

的坐标是 2

3

3

,

3

8

4

x

x

x



_

_

_











_，



点

M

的坐标是

3

,

3

4

x

x



_

_











_， 2 2

3

3

₃

3

₃

3

3

8

4

4

8

2

EM

x

x



x



x

x



 



  

_



_

 







_.

BEC BEM MEC

S





S





S





_， 2 2

1

1

3

3

₄

3

₍

_{2) 3}

2

2

8

2

4

BEC

S



ME OC



x

x



x







  

_



_

  









_. 即当

x 

2

时，即点

E

的坐标是

 

2,3

时，



BEC

的面积最大，最大面积是

3

_. 【点睛】 此题考查的是①一次函数的与坐标轴的交点坐标；②待定系数法求二次函数解析式；③用_{“铅垂高，水平宽”} 求面积最值问题_. 【变式_{3-2】如图，抛物线}y ax 2bx2交

x

轴于点

A  ,



3 0



和点

B ,

 

1 0

，交

y

轴于点

C

_. (1)求这个抛物线的函数表达式； (2)若点

D

的坐标为





1,0



，点 P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形

ADCP

面积的最大值_. 【答案】₍₁₎ 2

2

4

₂

3

3

y

 

x



x



；₍₂₎

S

的最大值为

17

4

_. 【解析】

【分析】 （_{1）根据 A,B 两点坐标可得出函数表达式；} （2）设点 2

2

4

,

2

3

3

P x



_



x



x





_





_，根据

S S



四边形ADCP



S

△APO

+

S

△CPO



S

△ODC_{列出S 关于 x 的二次函数}

表达式，再根据二次函数的性质求最值_. 【详解】 解：（_{1）将 A,B 两点的坐标代入解析式得，}

9

3

2 0,

2 0,

a b

a b



 



   



_解得

2 ,

3

4 .

3

a

b

  





  



故抛物线的表达式为： 2

2

4

₂

3

3

y

 

x



x



； （2）连接

OP

，设点 2

2

4

,

2

3

3

P x



_



x



x





_





_， 由（_{1）中表达式可得点}

C

 

0,2

，

则

S S



四边形ADCP



S

△APO

+

S

△CPO



S

△ODC

1

1

1

2

AO y

p

2

OC x

P

2

CO OD

 



 



 



2 2

2

4

₂

1

₂

1

1

_{( )}

_{2 1}

₃

=

3

3

2

3

2

x

x

2

x

2

x

x



_

_

_



_{         }

_









 

， ∵

 

1 0

，故

S

有最大值，当

3

2

x  

时，

S

的最大值为

17

4

_. 【点睛】 本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积 问题，常需用到_{“割补法”.} 【考点_{4】二次函数面积的其它问题} 【 例 4】如图，在平面直角坐标系中，直线

y

  

5

x

5

与

x

轴 、

y

轴 分 别 交 于

A C

,

两 点 ， 抛 物 线 2

y x bx c







_经过

A C

,

_两点，与

_x

_{轴交于另一点 B.}

（1）求抛物线解析式及 B 点坐标； （2）连接

BC

，求



ABC

的面积； （_3）若点

M

为抛物线上一动点，连接

MA MB

,

，当点

M

运动到某一位置时， ABM 面积为



ABC

的面 积的

4

5

倍，求此时点

M

的坐标_. 【答案】（_1）

y x



2



6

x



5

，

B

 

5,0

；（_2）

S

ABC



10

_；（3）

M

_{点的坐标为}

M

1_，

M

2

（

3-2 2 4

，）

_，

M

3_， 见解析_. 【解析】 【分析】 （1）利用

A C

,

两点是一次函数上的点求出

A C

,

两点，再代入二次函数求解即可. （2）根据

A

 

1,0

，

B

 

5,0

，

求出

AB 

4

，求出△ABC. （_3）根据



ABM

面积为



ABC

的面积的

4

5

倍，求出

4

_{4 10 8}

5

5

ABM ABC

S





S



 



，得出

y    ，

M

16 4 4

求出此时_{M 的坐标即可.} 【详解】 （_{1）解：∵直线}

y

  

5

x

5

∴令

y 

0

，则

0

  

5

x

5

，解得

x 

1

∴

A

 

1,0

令

x 

0

，则

y 

5

，∴

C

 

0,5

将点

A

 

1,0

，

C

 

0,5

代入

y x bx c



2





中得，

1

0

5

b c

c

  





_



_，解得

6

5

b

c

 



 



∴抛物线的解析式为：

y x



2



6

x



5

； 令

y 

0

，则

x

2



6

x

 

5 0

，解得

x

1



1,

x

2



5

∴

B

 

5,0

. （_{2）解：∵}

A

 

1,0

，

B

 

5,0

∴

AB 

4

∴

1

_{1 4 5 10}

2

2

ABC

S





AB OC



   

（3）∵



ABM

面积为



ABC

的面积的

4

5

倍， ∴

4

_{4 10 8}

5

5

ABM ABC

S





S



 



∵_{AB=4 ,} ∴

y   

M

16 4 4

， ∵





2 2

₆

₅

₃

₄

y x





x

 

x





∴抛物线的顶点坐标为

M

1



3, 4





符合条件，

当

y 

M

4

_时，

x

2



6

x

 

5 4

_{，解的，x1=}

3-2 2

_，x2=

3 2 2



_，

∴

M

点的坐标为

M

1_{（3，-4），}

M

2



3-2 2 4

，



_，

M

3



3 2 2 4



，



_.

【点睛】

本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.

【变式_{4-1】如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线 y＝kx＋4 与两坐标轴} 分别交于_{A、D 两点，与抛物线交于点 B(1，m)、C(2，2)．}

1. 求直线与抛物线的解析式．

2.若抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P(x，y)，设∠PON＝ ，求当△PON 的面积最大时 tan 的值． 3. 若动点 P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点 P，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的 ？若存 在，请求出点_{P 的坐标；若不存在，请说明理由} 【答案】_{(1) 所求的抛物线为} ． _{(2) (3) 存在点 ，其坐标为（1，3）} 【解析】 【分析】 （_{1）根据 C 点的坐标可确定直线 AD 的解析式，进而可求出 B 点坐标，将 B、C、O 三点坐标代入抛物线} 中，即可求得此二次函数的解析式；

（_{2）此题的关键是求出 P 点的坐标；△PON 中，ON 的长为定值，若△PON 的面积最大，那么 P 点离 ON} 的距离最远，即P 点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得 P 点的坐标，进而可求出α 的正切值；

（_{3）设出点 P 的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出 P 点的纵坐标；根据直线 AD 和抛物线的解析式可} 求出_{A、N 的坐标；以 ON 为底，P 点纵坐标为高可得到△OPN 的面积，以 OA 为底，P 点横坐标为高可得} 到△_{OAP 的面积，根据题目给出的△POA 和△PON 的面积关系即可求出 P 点的横坐标，进而可求出 P 点的} 坐标． 【详解】 （_{1）将点 C（2，2）代入直线 y=kx+4，可得 k=-1} 所以直线的解析式为_y=-x+4 当_{x=1 时，y=3，} 所以B 点的坐标为（1，3） 将_{B、C、O 三点的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx+c，}

可得 解得 ， 所以所求的抛物线为_y=-2x2+5x． （2）因为 ON 的长是一定值，所以当点 P 为抛物线的顶点时，△PON 的面积最大， 又该抛物线的顶点坐标为（ ，此时_tan∠α= （_{3）存在；}

把x=0 代入直线 y=-x+4 得 y=4，所以点 A（0，4） 把_{y=0 代入抛物线 y=-2x2+5x}

得_{x=0 或 x= ，所以点 N（ ，0）} 设动点P 坐标为（x，y）， 其中_{y=-2x2+5x （0＜x＜ ）}

则得：S△OAP= |OA|•x=2xS△ONP= |ON|•y= × •（-2x2+5x）= （-2x2+5x）

由_{S△OAP= S△ONP，} 即_{2x= • （-2x2+5x）} 解得_{x=0（舍去）或 x=1，} 得_{x=1，由此得 y=3} 所以得点P 存在，其坐标为（1，3）． 【点睛】 此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知 识，主要考查学生数形结合的数学思想方法． 【变式4-2】如图

1

，抛物线

y

  

x

2

3

x

与直线

y

  

2

x

2

交于

A

、 B 两点，过

A

作

AC x

/ /

轴交抛物线 于点

C

，直线

AB

交

x

轴于点

D

．

 

1

_求

_A

_{、 B 、}

_C

_{三点的坐标；}

 

2

_BD

HE y

/ /

_E

OE

OH

HE



10

3

AC