Unit 7 直角座標與二元一次方程式圖形

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(1)

Unit 7 直角座標與二元一次方程式圖形 能力指標:◎(A-3-11 & 12) 能運用直角座標系來標定位置。 ◎(A-3-07)能認識變數與函數。 ◎(A-3-07 & 11)能舉出例子,說明一次函數是一種特殊的比例對 應關係。 ◎(A-3-11)能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。 ◎(A-3-11)能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。 ◎(A-3-13 & 14) 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式,並能 理解其解的意義。 ◎(A-3-11 &13)能在直角座標平面上認識二元一次聯立方程式的解。 能力一:直角座標 一、直角座標 平面上兩條互相垂直的數線,分別以交點為原點,其構成的平面稱為座標 平面,而兩條數軸上分別有刻度,因此稱為直角座標,也有人稱為二維座 標或笛卡兒座標。 數軸的說明: 水平的數線 橫軸 X 軸(x-axis) 往右為正 垂直的數線 縱軸 Y 軸(y-axis) 往上為正 二、點座標 過座標平面上任一點 p,分別做垂直於 x 軸與 y 軸的直線,分別交於 m(a,0) 與 n(0,b),則 p 點可用數對(a,b)表示位置,亦即(a,b)為 p 點之座標。 三、象限 兩條座標軸可將座標平面分成四部分,每一部分簡稱為【象限】。象限根據 座標位置關係有正、負性質的差異。象限的命名:由順時針方向分別取名為 第一、第二、第三、第四象限,或者用羅馬數字代表,如:I、II、III、IV 亦 可(如下圖所示),但就是不可以用阿拉伯數字,因為會和座標值搞混。

(2)

◎注意:座標軸不屬於任何一象限。亦即當 x 或 y 座標為 0 的點,其不屬於任一 象限,如:(5,0)或(0,13)皆不屬於任何一象限。 四、座標上兩點距離與中點座標 假設有A x

(

1, y1

) (

, B x2, y2

)

為平面上相異兩點: 則:(1)A 點到 x 軸距離 y1 (2)A 點到 y 軸距離 x1 (3)A 點到原點 O(0,0)的距離 2 2 1 1 OA= x +y (4)AB=

(

x2 -x1

) (

2 + y2 -y1

)

2 (5) 1 2 1 2 , 2 2 x x y y AB =  + +    中點座標 五、平行四邊形座標關係 若平行四邊形 ABCD 其四頂點座標分別為 A

(

x y1, 1

)

、B

(

x2, y2

)

、 C

(

x3, y3

)

、D

(

x4, y4

)

,則有下列性質:x1+x3 =x2 + ,x4 y1 +y3 =y2 +y4 x y M •

( )

1 1, A x y

(

3, 3

)

C x y

(

2, 2

)

B x y

(

4, 4

)

D x y

(3)

( ) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

1 3, 0 - 2, - 7 - 2 0, 2 , 2 0, 2 0 -2, 2 0, 2, -2, 2 2 2, 0 A a x a B d y d d C b c c b c c c b a b c d a b c d x  =  = = + +  + = + =  = = = = = = + = + =  Q 在 軸上 在 軸上 是原點 在 軸上 不在任何象限 【座標與象限的關係】 講解一: 已知座標 A

( )

3, a 在 x 軸上,B

(

d-2, -7 在 y 軸上,且點

)

(

b+c, c+2 是原點,請問:

)

(1)a、b、c、d 為何呢?(2)點

(

a+b, c+d 在第幾象限呢?

)

Sol) 練習一: 假設 a>0, b<0,下列各點 A

( )

a, b 、B

(

-a, b 、C

)

(

a, -b 分別在第幾象限呢?

)

Sol) A(○+, ○- )在第四象限,B(○- , ○- )在第三象限,C(○+, ○+ )在第一象限。 【直角座標】 講解二: 已知 ABCD 為平行四邊形,其座標分別為B

(

-2, -4

)

、C

(

4, -2

)

、D

( )

1, 5 ,請問 A 點座標為何呢?在第幾象限呢? Sol)

(

)

4 -2 1 - 2 -4 5

( )

設 點座標為 , , -5, 3, -5,3 2 2 2 2 x y A x y + = +  =x = +  =y A 在第二象限。 練習二: 如圖,已知 ABCD 為平行四邊形,其座標分別為 A

( )

-1,8 、B

(

0.5,5 ,C

)

(

-1,-6 ,

)

請問:D 點座標為何呢?在第幾象限呢?平行四邊形 ABCD 面積為何呢? Sol)

( ) ( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

         -1 + -1 =x+0.5 x=-2.5 1 A點座標 -2.5, 3 , 第二象限. y=-3 8+ -6 =y+5 1 2 AC= 8- -4 =14, h= 0.5- -1 =1.5, 面積= 14 1.5 2=21 平方單位 2 x y h ( )-1,8 A (-1,-6) C (0.5,5) B ( ), D x y

(4)

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 AB= 7- -5 + -3 -2 =13 BC= 7- -3 + -3 -6 = 181 AC= -3 - -5 + 6-2 =2 5 ABC =13+ 181+2 5 △ 周長 單位 【兩點距離與中點座標】 講解三: (1)在直角座標平面上,有兩點 A

(

3,-5 、B

)

(

-2,-6 ,其距離為何呢?

)

(2)坐標平面上,A(2,3),B(x,y)的中點坐標為(-1,2),則 x+y=? Sol) (1)

( )

2

( )

2 2 2 3 - -2 -5 - -6 5 1 26 AB=  + = + = (2) 2 x 2+ =-1x=-4, 2 y 3+ =2y=1,故 x+y=-3 練習三: (1)有一個三角形的花園,其三點座標分別為 A

(

-5, -2 、B

)

(

7, -3 、C

)

(

-3, 6 ,

)

請問此花園的周長為何呢? (2)座標平面上有兩點 A

(

2, -3 、B

)

(

-4, -5 ,請問

)

AB的中點座標為何呢? Sol) (1) (2) 2+ -4

( ) ( ) ( ) ( )

, -3 + -5 = -1, -4 2 2         【十分鐘即時練習】 (D)1.設 r>s 且|r|=|s|,則點(r+s,r-s)在 (A)第一象限(B)第四 象限(C) x 軸上(D) y 軸上。 Sol) r+s=0 ∴在 y 軸上 (A)2.如圖的坐標平面中,若 O 為原點,且每個方格的邊長為 0.5 個單位長, 則 P 點的坐標該如何表示? (A)(1,-1.75)(B)(2,-3.5)(C) (2,3.5)(D)(1,1.75)。

(5)

Sol) 1 單位長為 2 個方格邊長,(4格 4 ,- 7格 4 )=(1,-1.75)。 (B)3.設 r+s=0 且 rs≠0,則(r,s)在第幾象限? (A)一、三 (B)二、四 (C)x-軸 (D)y-(C)x-軸。 Sol)(+,-)或(-,+) ∴在第二、四象限 (A)3.設 P(r,s)在第二象限,且 Q(s-t,s-2t)在第四象限,則|r-s| +|s-t|+|t-r|=? (A) 2s-2r (B) 2s-2t (C) 2r-2t (D) 0 。 Sol) r<0,s>0,s-t>0,s-2t<0t<s<2tt>0, |r-s|+|s-t|+|t-r|=-r+s+s-t+t-r=2s-2r (A)4.滿足|x+2y-3|+|2x-y-1|=0之(x,y)在第幾象限?(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。 Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 3 1 令 , 2 - 1 - 3 -2, 5 5, 1, 代入 1 , 2 3, 1 2 - 1 2 x y x y y y x x x y  + =  = = = + = =  =  L L (D)5.若a-b=1,且ab<0,則點(a,b)在坐標平面上第幾象限?(A)一 (B) 二 (C)三 (D)四 象限。 Sol)∵ 0, 0, 0 又 - 1, ∴ 0, 0 第四象限 0, 0 a b ab a b a b a b     =       能力二:函數與圖形 一、函數(一般定義):係指當有一個量 y 隨著另一個量 x 的給定而改變,則 x 稱為自變數,y 稱為依(應)變數,並且稱 y 為 x 的函數。記為:y= f x

( )

。 二、函數(集合定義):係指當 A、B 不是一個空集合,對所有 A 集合中的元素 a,在 B 集合中唯一存在一個元素 b 可以對應,則 f a

( )

= 恆成立,b 可說函數 f 為 A 集合映到 B 集合的函數關係。記為: f :AB。 三、函數對應的種類(國中只介紹三種)

(6)

一對一函數 多對一函數 合成函數 四、函數圖形的判別法 做一條 x 軸的垂直線,若與該圖形的交點不只有一個(交點>1),則此圖 形非函數圖形;若僅有一個交點即為函數圖形。 是函數圖形(僅有一交點) 非函數圖形(交點>1) 五、函數的正變(正比)與反變(反比) (一)正變:若有兩組變數 x 與 y,存在有y=kxy k x = (k 為固定數),則稱 y 隨 x 正變(y 與 x 成正比)。 (二)反變:若有兩組變數 x 與 y,存在有xy=ky k x = (k 為固定數),則稱 y 隨 x 反變(y 與 x 成反比)。 例:速度公式:s= v t

( )

( )

( )

1 , 2 , 3 , s v t v s t t s v 當 為定值 與 成反比 當 為定值 與 成正比 當 為定值 與 成正比 【函數的意義】 講解一: 已知函數 x、y 的關係如右表所示: 請問當 x=10 時,y=b,則 b=? Sol) 觀察 x 與 y 的函數對應關係之後,可知每當 x 增加 1 時,y 則增加 3,因此,x 由 5 增加至 10 時,y 應增加 5 3=15 ,故 x=10,y=20+15=35,則 b=35。 x 1 2 3 4 5 10 y 8 11 14 17 20 a

(7)

練習一: 育偉原本有 5000 元的存款,因為想要買一台 PS3,所以自 4 月 1 日起,每天存 50 元,設開始存款 x 天之後,他一共存有 y 元,(1)請問 x 與 y 的關係式為何 呢?(2)到今年暑假 7 月 1 日(含)為止,共可存款多少元呢?(3)請問 y 是否為 x 的函數呢? Sol)

( )

( )

( )

( )

1 5000 50 2 5000 50 92 9600 92 3 , y x y x y y x = + = + = L 四月一日到七月一日共 日 對於每一個 值都僅有一個 值可對應 所以 是 的函數 【函數的判別】 講解二: 下列各式中何者符合 y 是 x 的函數呢?(定義 y 隨著 x 變動而改變)

( )

( )

( )

( )

2 2 1 2 3 5 2 3 , 0 3 +5 4 3 - 2 0 x y xy x x y y x + = =  = + = Sol)

( )

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 -2 5 1 2 3 5 y= + y x 3 3 3 2 3 , 0 y= y x x 3 5 y=x -5 y x 4 3 - 2 0 y =-3x+2, y= -3x+2 y x x y x y xy x x y y x + =  =   = +  + =   ∵ ∴ 是 的函數 ∴ 是 的函數 ∴ 是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∵ 每一個 有兩個對應的 值 練習二: 下列 x 與 y 的關係式中,何者可以將 y 表示為 x 的函數呢?

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 5 4 3 x y x y y x x y + = + = = = Sol) 小秘技: 要判斷 y 是否為 x 的函數與否? (1)先將式子化為y=ax+b的形式。 (2)判斷每一個 x,都有唯一對應的 y 值。

(8)

(

)

, , 1 1 60 2 : 2 :1 15 600 15 30 60 3   =  = =   Q 根據速度公式可知 上下坡所費的時間與速度成反比 斜坡長 公尺

( )

(

)

2 2 2 2 0.4, 18.6 18.6 0.4 , 116.25 116.25 116.25 0.2 4.65 x y y kx x y k k y x y  = = = =  =  =  =  = 設在 秒內球飛行 公尺 代入得 公尺

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 1 3 2 y=-3 x +2 , y x 2 2 y= 2-x , y x 3 5 y= 5x , y x 1 4 3 y= x , y x 3 x y x y y x x y + =  + =   =   =  ∴ 是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∴ 是 的函數 【正變與反變】 講解三: 設 x、y 為相異的兩組量數,若 x 隨著 y 正變,則下列何者的說明是錯誤的呢?

( )

1 1

( )

1

( )

1 1

( )(

)

(

)

, , , -A B x C D x y x y x隨著 正變y 隨著 反變y x隨著 反變y + 隨著 正變 sol)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 , ! -x y x ky A k y x x y B x k x y y C A B C x x y D k k x y k x y y x y x y x y  =  =     =  + =  =  + =  + 依題意可知 隨著 正變 移項 隨著 正變 移項 隨著 反變 根據 可知 是錯誤的 合分比 隨著 正變 練習三: (1)昭弘騎車經過地下道,下坡時每分鐘 30 公尺,上坡時每分鐘 15 公尺,經 過地下道的時間為 60 秒,請問此地下道的長為多少呢? (2)王建民投出伸卡球,投手與捕手的距離函數隨球飛行的時間函數的平方成 正變,已知通常王建民的球在 0.4 秒內會飛行 18.5 公尺,請問:菱木一郎 在 0.26 秒內判斷要揮棒,請問此時王建民的球飛行幾公尺了呢? Sol) (1) (2)

(9)

( )

1 1 70 : 60, : 6 : 7, 70 60 4 12 - 6 , , 10 5 12 - 7 x x x x = = = + = = + 速度比 則時間比 設早上 點出發 則 點 【十分鐘即時練習】 (C)1.筱文的母親早上某時開車從家中到外婆家,若時速為 70 公里,則下午 4 點可到外婆家,若時速 60 公里,則下午 5 點才到外婆家,請問筱文的 母親是早上幾點出發的呢?(A)8(B)9(C)10(D)11 點。 Sol) (A)2.請問下列各圖中,何者為函數圖形? Sol)只有(A)任作 x 軸的垂線,恰好均與圖形交於一點。 (C)3.下列哪一個式子不可用來表示函數呢 (A)y =5(B)2 - 3x = y(C) 2 2 1 3 4 x y + = (D) 2 3 -1 y= x Sol) 2 2 2 -4 2 -4 2 1 - 4 - 4 3 4 3 3 x y y x y x + =  =  =  (C)4.下列何者 y 非 x 的函數? (A) y3=x (B) y=100-9.8x2 (C) y=100- 1.6y2 (D) y=πx2 Sol)一個 x 值有 2 個 y 值對應,非函數。 (A)5.如表是 1 年 18 班部分同學身高和體重的資料表,下列何者敘述錯誤? (A)體重是身高的函數(B)體重是學號的函數(C)身高是學號的函數(D) 體重身高不成正比亦不成反比。 座號 15 16 17 18 19 20 21 體重 (kg) 51 49 54 51 48 48 54 身高 (cm) 149 152 160 153 160 152 156 Sol)體重是身高的函數 能力三:二元一次方程式的圖形 一、二元一次方程式的圖形是一條直線,所以二元一次方程式又稱為直線方程 式,其用途很廣泛,可以用來做線性規劃,為工作流程或工程尋求最佳解 (化)。

(10)

二、二元一次方程式的圖形的重點 (一)二元一次方程式的標準式:y=ax+b,

(

a0, b0

)

與 x 軸的交點座標 與 y 軸的加點座標 X 軸的方程式 Y 軸的方程式 , 0 c a       0, c b       y=0 x=0 圖形垂直 y 軸 圖形垂直 x 軸 圖形通過原點 y=b

(

b0

)

x=b

(

b0

)

ax+by=0 (二)直線方程式的求法: 兩點式 截距式 點斜式 1 2 1 1 2 1 - -- -y -y y y x x = x x 1 x y a+ = b y y- 0 =m x x

(

- 0

)

(三)點與兩平行線及其之間距離的求法 1 過 點 P

(

x y1, 1

)

且 平 行 ax+by=k的直線方程式

(

)

2 1 2 ax+by=k kk 2 1 1 2 2 : 0 : 0 L ax by c L ax by c + + =   + + =  (L L1,2) d  之間的距離 ( 1, 2) 1 2 2 2 -L -L c c d a b = + 3 點 P x

(

0, y0

)

, 與 直 線 : 0 L ax+by+ =c 的距離 (P L, ) 0 2 0 2 ax by c d a b + + = + 【二元一次聯立方程式圖形的繪製】 講解一: 請畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形,請判斷其解為何?並說明二直線的距 離為何呢?

(11)

( )

( )

( )

( ) ( )

3 2 -1 1 1, -2 1, -2 - 3 2 - 0 -2 - 0 0, 0 , 1, -2 -2 - 0 1- 0 x y x y x y y y x x  + =  = = =    =  = L L L 兩直線之交點 得 交點 所求直線通過

( )

(

)

( )

( )

1 3 - 4 0 -1, 2 , 2 3 4 2 0 2 - 0 2, 4 , 2 - 2 0 x y k k x y L x y k k x y + = =  + + = + = =  + = 假設平行線之方程式為 將 代入 得 假設垂直線 之方程式為 將 代入 得 (1)   4x-3y=5 8x-6y=0 (2) 3x+4y=12 6x+8y=24 Sol) (1) x 5 -1 y 5 -3 , x 0 3 y 0 4 (2) x 4 0 y 0 3 , x 4 0 y 0 3 (1)

( )

( ) ( )

2

( )

2 5 - 0 4 - 3 5 1 4 - 3 5 5 2 2 1 8 - 6 0 2 4 - 3 0 4 -3 5 x y x y d x y x y== = = ===   +  L L 同除 (2)因為,兩條直線共線,距離為 0。 Ans:(1)無解,兩直線平行,距離為 1。(2)無限多解,兩條直線共線,距離 為 0。 練習一: (1)已知一直線方程式平行 L:3 - 4x y +6=0,且通過點 P(-1,2),請問此直 線方程式為何呢? (2)一直線 L 與直線 M:x+ + =y 3 0互相垂直,並通過點 P(2,4),請問直線 L 的方程式為何呢? Sol) 【直線方程式的應用】 講解二: 若一直線通過原點與兩直線3x+2y =-13x, -x y = 之交點,則此直線方程式為3 何呢? Sol) 練習二:

(12)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 -1 -1 5 1 0, - -1 - 4 1 5 2 0, -1 - 1 2 0, -1 1 - 2 -2 0 A B C D + =  + =  + = + =  0 , 0 , - , , n m  mx y =n y =mx+n 下列二元一次聯立方程式中,請分別說明兩直線方程式的關係。

( )

- 1

( )

2 3 2

( )

- 8

( )

- 1 3 2 4 3 4 6 1 2 3 6 3 2 5 3 - 4 12 x y x y x y x y A B C C x y x y x y x y   = + = ==      + =+ =    + =   =    Sol)

( )

( )

( )

( )

2 - 3 6 - 1 3 2 3 2 6 3 2 5 2 3 2 2 3 2 4 6 1 4 4 1 - 8 1 -1 2 3 6 2 3 3 - 4 12 - 1 4 3 3 - 4 12 3 - 4 12 x y x y A x y x y x y B x y x y C x y x y x y C x y x y= =  + =   + =  + =   =    + =  =      + =   = =   =   =  此二直線互相垂直 此二直線互相平行 此二直線相交於一點 此二直線重合 【十分鐘即時練習】 (C)1.坐標平面上,通過點(-1,1)的直線方程式為何?(A)3x-y+5=0 (B) -x-4y+5=0 (C)x-y+2=0 (D)x+y-2=0。

sol)

(C)2.mx+y=n 且 n<0,m>0,則下列哪一個選項可能是正確的圖形?

(A) (B) (C) (D)

Sol)

(B)3.如圖,直線 y=ax+b 通過一、三、四象限,則下列何者正確? (A) b -2a>0 (B) a-b>0 (C) b>0,a<0 (D) b<0,a<0。

Sol) y=ax+b, b<0,a>0。

(C)4.圖中四條直線哪一個是 x+y+1=0 的圖形?(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁。 Sol) x+ + =y 1 0, y =- -1x ,

x 0 -b a y b 0

(13)

(C)5.若公園的位置在坐標平面上的(2,11),而大賣場的坐標位置在(4,7), 今小熏騎腳踏車走下列哪一條路線可同時經過公園和大賣場? (A) y=2x+3 (B) y=2x-3 (C) y=-2x+15 (D) y=-2x-15。 Sol)將(2,11)和(4,7)分別代入直線 y=ax+b 中, 11=2a+b

7=4a+b    a=-2,b =15,故直線方程式為 y=-2x+15。 【基本觀念題】 (D)1.如圖,圓心 O(-4,2),且直徑AB垂直 x 軸半徑 10,則 B 點坐標=? (A)(-4,12)(B)(-4,-12)(C)(-4,8)(D)(-4,-8)。 Sol) 2-10=-8(-4,-8)。 (B)2.圓周上有 P、Q 二點,連接 PQ 通過圓心 O 點,A(7,4)、B(-5,- 12),則 O 點坐標=?(A)(2,-4)(B)(1,-4)(C)(2,4)(D) (1,4)。 Sol) O 點(-5+7 2 , -12+4 2 )=(1,-4)。 (C)3.|m+8|+|n-4|=0,則(-n,m)必在第幾象限呢?(A)一(B) 二(C)三(D)四象限。 Sol) m+4=0 且 n-8=0,m=-4,n=8,(-n,m)=(-8,-4)在第 三象限。 (A)4.如圖,程立在坐標平面上畫一個正方形 PQRS,對角線PR、 SQ 交於 O 點,且 O(-4,-8), PQ =14,則 P 點坐標為何呢?(A)(-11,-1) (B)(11,-1)(C)(-3,-1)(D)(3,1)。 Sol)(-4-7,-8+7)=(-11,-1)。 (D)5.請問 P、Q、R 三點的坐標為何?(A)P(3, 1 )、Q(0, 4 )、R(-2 , 0) (B)P(1 , 3)、Q(-4 , 0)、R(2 , 0)(C)P(-1 , 3)、Q(4 , 0)、 R(2 , 0)(D)P(1 , 3)、Q(4 , 0)、R(-2 , 0)。

Sol)由 x+y=4 得 Q(4 ‚ 0),由 x-y=-2 得 R(-2 ‚ 0),再由    2 y x 4 y x =- - = + , 得 x=1,y=3 ∴P(1 ‚ 3)。 (C)6.在坐標平面上,直線L:y=ax+b通過(-1,-5)、(2,3)兩點,則L與x 軸的交點坐標是下列哪一個選項?(A)(2 3,0) (B)(0, 2 3) (C)( 3 2,0) (D)(0,11 2)。

(14)

y x O Sol) -1 -5 2, -3 2 - 3, 令 0代入得 3 2 3 3 a b a b y x y x a b = +   = =  = = =  = +  (B)7.設兩直線L:y=3x-24,M:ax=y+4的圖形交點在x軸上,則a=?(A) 3 2 − (B) 2 1 (C) 3 2 (D)4。 Sol) 3 - 24, 令 0, 則 8, 代入 4 , 0 4 8 , 1 2 y = x y = x = y + =ax  + = a a= 。 (C)8. 16x+8y=56 與兩軸所圍成的三角形面積是多少呢?(A)49 2 (B) 2 49 (C)49 4 (D) 4 49。 Sol)7 7 1 49 2 2 4   = x 0 7 2 y 7 0 (C)9.溫度=9 5x 攝氏溫度+32,華氏溫度以 y 表示,攝氏溫度以 x 表示,則 (A) y 與 x 成正比(B) y 與 x 成反比(C) y 為 x 的函數(D)華氏與攝氏 0 度 時溫度相等。 Sol)y 是 x 的函數,y 與 x-32 成正比 ∴(C) (C)10.一個空水槽,可裝水 200 公升,小華用一水管注水入水槽,如果已知 1 分鐘可注入水槽的水是 x 公升,注滿水槽需要 y 分鐘,則以 x 的函數來 表示 y 可以是 (A) y=200x,x>0 (B) y=200 x ,x≧0 (C) y= 200 x , x>0 (D) y=200 y ,y>0。 Sol) y=f(x)=200 x ,x>0 【溫故歷屆基測試題】 (C)1.在坐標平面上,直線 L 的方程式為 y=-3x+a。若 a>0,則 L 不通過第 幾象限? (A)一(B)二(C)三(D)四。【95.基測一】 Sol) 圖形交於x 軸、+ + y 軸 (C)2.甲、乙、丙、丁、戊五人 各站在不同的位置。已知乙在甲 的正西方 2 公尺處,丙在甲的正東方 3 公尺處,丁在甲的正北方 6 公尺 x 0 a3 y a o

(15)

y x O 戊(3,m) 丁(0,6) 丙(3,0) 甲 乙(-2,0) 處。若戊在丙的正北方 m 公尺處,使得乙、丁、戊的位置恰在一直線 上,則 m=? (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18。【95.基測一】 sol) 2:(2+3)=6:m, 2m=30 (D)3.如圖,在坐標平面上,小明從 A(0,-8)出發,每天皆向右走 1 單位, 向上走 3 單位。第一天由 A 點走到 A1 點,第二天由 A1 點走到 A2 點,…。求小明第九天會到達下列哪一點? (A)(8,16)(B)(8, 19)(C)(9,16)(D)(9,19)。【95.基測二】 Sol) (0+1×9, -8+3×9) 4. 請閱讀下列的敘述後,回答第(1)題和第(2)題。【95.基測二】 如圖,坐標平面有一正方形 ABCD,A、C 的坐標分別為(1,1)、(-1, -1)。已知甲、乙兩人在 A 點第 1 次相遇後,甲自 A 點以每秒 a 公尺的速 率,沿著正方形的邊以逆時針方向等速行走;乙自 A 點以每秒 b 公尺的速 率,沿著正方形的邊以順時針方向等速行走。 (A)○1 若 a=7b,則甲、乙第 2 次相遇在何處? (A)(1,0)(B)(1,1)(C) (0,1)(D)(-1,1)。 (C)○2 若 a≠7b,且甲、乙第 2 次相遇在 D 點,則此兩人第 91 次相遇在何處? (A) A 點(B) B 點(C) C 點(D) D 點。

Sol) ○1 正方形 ABCD 每邊長為 2,當 b=1 時,a=7,故第二次相遇在AD與 x 軸

的交點上。

○2 第 2 次相遇在 D 點,a=3b,相遇依次在 A、D、C、B、A、D、C、B…,

91÷4=22…3,被 4 除餘 1 在 A 點,餘 2 在 D 點,餘 3 在 C 點。

(16)

別為 16 歲、8 歲,則下列哪一個圖形為兩人年齡的關係圖?【94.基測 一】 (A) (B) (C) (D) Sol) 16-8=8→y-x=8 (D)6.哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後,哥哥的張數就是 弟弟的 2 倍;若哥哥給弟弟 10 張,兩人的張數就一樣多。設哥哥的張數 為 x 張,弟弟的張數為 y 張,依題意下列列式何者正確?【94.基測二】 (A)   2(y-10)=x y=x-10 (B) y-10=2x y=x-10 (C) y-10=2x x-10=y+10 (D)   2(y-10)=x+10 x-10=y+10 。 Sol)哥哥有 x 張,弟弟有 y 張,弟弟給哥哥 10 張後哥哥有 x+10,弟弟有 y-10 張,

(

x 10

) (

2 y -10

)

 + = ,哥哥給弟弟 10 張後,哥哥有 x-10 張,弟弟有 y+10 張, -10 10 x y  = + 。 (D)7.若 3x-2y 6 + 2x-4y 3 - x-2y 2 =105,則 x-y=?【94.基測二】 (A) 0 (B) 1 (C) 105 (D) 1.5 × 105 Sol)各項同乘以 6,

(

3 - 2x y

) (

+2 2 - 4x y

) (

- 3 x- 28

)

= 6 105,4

(

x y-

)

= 6 105 (A)8. 如圖為一平面圖。若以學校為原點作一坐標平面,其中學校到游泳池的 方向為 x 軸的正向,學校到新生大樓的方向為 y 軸的負向,則圖 書館在此平面的第幾象限? (A)一(B)二(C)三(D)四。【93.基測一】 sol) 圖書館的座標(x, y)(○+ ,○+ x 0 8 y 8 16 (8,16) (0,8) y x ˙ ˙

(17)

(A)9. 如圖,直線 L1、L2、L3 分別為方程式 y=x+a、y=-x+b、y=c 的圖

形,下列有關 a、b、c 大小關係的敘述何者正確? (A) a>b>c (B)

b>a>c (C) b>c>a (D) a>c>b。【93.基測二】

Sol)

(

)

(

)

1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 由 與 相交於 , 在第二象限, 其中 為負, 為正, , 由 與 相交於 , 在第ㄧ象限, 其中 為正, . L L x y x y a b L L x y x b c     (B)10.在坐標平面上,y=2x2-8 的圖形經由下列哪一種方式移動後,可得到 y =2(x-5)2+12 的圖形? (A)先向左移 5 單位,再向上移 20 單位(B) 先向右移 5 單位,再向上移 20 單位(C)先向下移 5 單位,再向右移 20 單位(D)先向上移 5 單位,再向左移 20 單位。【92.基測二】 Sol)

(

)

2 2 2 - 8, 向右平移5單位, 又向上平移20單位 2 - 5 12 y x y x =  = + 【模擬學力基測試題】 (C)1.坐標平面上畫出函數 y=500 x+5 的圖形,則 x 為何值時沒有對應的點? (A) 0 (B)-4 (C)-5 (D) 5。 Sol)x+5=0,x=-5 (D)2.已知臺南、臺中兩地相距 180 公里,一華由臺南開車到臺中時速 x 公里, 回程時速 y 公里,來回的平均速率每小時 y 公里且每小時平均速率 96 公里, 請以 x 的函數來表示 y,y=?(A)y= 24x x+24(B)y= 24x x-24,x≠24(C)y= 24x x+24(D)y= 48x x-48,x≠48。 Sol) 180+180 180 x + 180 y =96360=96(180 x + 180 y ),2=96( 1 x+ 1 y), 1 48= 1 x+ 1 y, 1 y= 1 48- 1 x= x-48 48x ,∴y= 48x x-48,x≠48。 (C)3. y=500 x ,乙:3x-9y=0,丙:y=x,丁:y=2x 2,戊:y=3x+1,上 述五個函數中,函數圖形通過原點的有幾個? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 Sol)乙、丙、丁共 3 個

(18)

(C)4.何者是 y=-2x+8 的圖形? (A) (B) (C) (D) Sol) x 0 4 y 8 0 (B)5.根據自然課本所提到的溫度變化,由地面算起,每升高 100 公尺,氣溫 下降 0.6℃,若目前地面上的溫度是 26℃,海拔 x 公尺的高山上是 y℃。 請根據題意寫出 y 與 x 的關係並求出在海拔 3000 公尺的高山上氣溫多 少℃?(A)y=26+0.006x,18℃(B)y=26-0.006x,8℃(C)y= 26+0.06x,18℃(D)y=26-0.06x,8℃。 Sol)(1)=26-0.6 100xy=26-0.006x (2)26-0.006x,x=3000y=26- 0.006×3000=8(℃) (D)6.請在問下列哪一個是 y=-2x+4 與 y=5x-15 兩函數圖形的交點,並請 問其位於第幾象限呢?(A)(19 7 , 10 7),第一象限(B)(- 19 7 , 10 7),第 二象限(C)(-19 7 ,- 10 7),第三象限(D)( 19 7 ,- 10 7),第四象限。 Sol)   y=-2x+4……○1 y=5x-15……○2 ○1代入○2,5x-15=-2x+4 7x=19,x= 19 7,代 入○2 y=5x-15=5×19 7-15=- 10 7,∴交點( 19 7 ,- 10 7),第四象限。 (C)7.直角座標平面上有三條直線 L1:y=2x-4,L2:x=3,L3:ax+2y=16 有 共同的交點,則 a=?(A)2(B)-2(C)4(D)-4。 Sol)因為 L1、L2 有共同的交點,即聯立方程式   y=2x-4……○1 x=3……○2 有共同的解 將○2式代入○1式得:y=2×3-4=2,故 L1、L2 的交點為(3,2),又 L3 亦通過 該點,即(3,2)亦為方程式 ax+2y=16 的解,所以 3a+2×2=16,3a=12, a=4 (A)8.假設

(

)

(

)

- 3 - 3 8 4 -1 16 m x y x n y  =   + =  兩直線方程式圖形重合,請問 m-n=?(A)10(B)

(19)

(

)

( )

( )

(

)

, , 1 3 2 4 - -6 2 2,1 5 -6 4 3 -1 1 2 -1 -1 1 - 2 5 3 0 5 5 P Q a b a M PQ b PQ y x x y +  = =  =+  = =    + =  + + = 設 的中點座標 的斜率為 垂直 直線的斜率 -10(C)5(D)-5。 Sol) - 3 -3 8 1 5, -5, - 10 4 -1 16 2 m m n m m n = = =  = = = (D)9.有兩點 P(1,-6)、Q(3,4),請問 PQ 的垂直平分線之方程式為何呢?(A) 3x+y- 9=0(B)4 -x y +8=0(C)3x+2 - 7y =0(D)x+5y+ =3 0。 Sol) (B)10.有一點 P(2,1)到直線 4x-3y+5=0 的距離為多少呢?(A)1(B)2(C) 3(D)4。 Sol) 2 2 4 2 - 3 1 5 10 2 5 4 3 d =   + = = + 【進階練習題】 (D)1.已知一平行四邊形之三頂點座標為

( ) (

2,4 , -2,3 , 4,5 ,請問其第四點

) ( )

座標不為下列何者呢?(A)

(

-4, 2 (B)

)

( )

0, 4 (C)

( )

8, 6 (D)

( )

6, 8 。 sol)由中點公式可知:

( )

( )

( ) (

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 -2 4 1 , -4, 2 4 3 5 -2 4 2 2 , 0, 4 3 5 4 2 4 -2 3 , 8, 6 4 5 3 a a b b a a b b a a b b  + = +  =  + = +  + = +   =  + = +  + = +   =  + = +  (C)2.喜樂國中第二次段考數學成績低落,史老師利用線型函數 y=ax+b 來提 高全班的數學成績,方法是原本考 x 分調整後分數為 y 分,小樂原本考 85 分,提高後變成 100 分,大宏原本考 51 分提高後成為 64 分,請問詩涵提 高後分數是 46 分,詩涵原本考幾分?(A)32(B)33(C)34(D)35 (分)。

(20)

Sol) 原本考 x 分,調整後成為 y 分 y=ax+b 得   85a+b=100……○1 51a+b=64……○2 ,○1-○2 34a=36,a= 18 17 代入○1,90+b =100,b=10y=18 17x+10 提高後分數 y=46,46=18 17x+10, 18 17x=36,x=36× 17 18=34(分) (A)3.下列何者非線型函數的圖形? (A) (B) (C) (D) Sol)鉛直線非函數圖形。

(A)4.在同一坐標平面上,有兩函數 y=-6x+8 與 y=-6x+4,請問此兩直 線方程式有何關係呢?(A)平行(B)垂直(C)相交於一點(D)相 交於二點。 Sol)兩直線平行,如右圖。 (D)5.函數 y=nx+m 的圖形通過二、三、四象限,則 (A) m>0,n>0 (B) m>0,n<0 (C) m<0,n>0 (D) m<0 ,n<0。 Sol) x 0 -m n y m 0 m<0,-m n <0n<0 (B)6.函數 y=-2x-4,y=-3x+2 交於 P(a,b),試求兩函數圖形與 x 軸所 圍成封閉區域的面積為何?(A)32 3 (B) 64 3 (C) 32 5 (D) 64 5 (平方 單位)。 Sol)(1)   y=-2x-4……○1 y=-3x+2……○2 ○1代入○2,-2x-4=-3x+2,x=6,代入○1 y=-2×6-4=-16 ∴交點 C(6,-16) (2)y=-2x-4 x 0 -2 y -4 0 y=-3x+2 x 0 2 3 y 2 0

(21)

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 0 - 0 13 13 2 3 3 2 2 2 2 2 8 x y x y x y + =  + = + =  +   +   +  = 或 共有 個 2 0 0 2 0 -2 1 2 0 2 - 1 0 , 5 5 x y k k x y x y x y + + =  =  + =   + = + =     設垂直線方程式 通過原點 得 與 的交點座標

(

)

, , 18 - 5 6 - 5 -11 -2 - 7 - 7 a a a + =  = 三點共線 所以斜率相同 △ABC 面積=1 2×│ 2 3-(-2)│×│-16│= 1 2× 8 3×16= 64 3(平方單位) (C)7.y= 8 x2+5,x2+5 與何者成反比,函數圖形是否通過(5, 4 15)?(A)8, 是(B)8,不是(C)y,是(D)y,不是。 Sol) y= 8 x2+5,y(x2+5)=8,y 與 x2+5 成反比,(5, 4 15)代入 y= 8 x2+5, 4 15 = 8 52+5= 8 30,該函數通過(5, 4 15)。 (B)8.在直角座標平面上與原點相距 13 單位,且其座標為整數的點共有多少 個呢?(A)6(B)8(C)10(D)無限多個點。 Sol) (C)9.從原點作直線2 -x y + =1 0的垂直線,則兩直線之交點座標為何呢?(A) 1 , 2 2      (B)

( )

1, -1 (C) -2 1 , 5 5      (D) -2 1 , 3 3      。 Sol) (D)10.假設 A

(

a, a+18 、B

)

(

-2, 6 、C

)

( )

7, 5 三點共線,請問 a 值為何呢?(A) 9(B)-9(C)11(D)-11。 Sol)

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