Unit 7 直角座標與二元一次方程式圖形

Unit 7 直角座標與二元一次方程式圖形 能力指標：◎（A-3-11 & 12） 能運用直角座標系來標定位置。 ◎（A-3-07）能認識變數與函數。 ◎（A-3-07 & 11）能舉出例子，說明一次函數是一種特殊的比例對 應關係。 ◎（A-3-11）能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。 ◎（A-3-11）能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。 ◎（A-3-13 & 14） 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式，並能 理解其解的意義。 ◎（A-3-11 &13）能在直角座標平面上認識二元一次聯立方程式的解。 能力一：直角座標 一、直角座標 平面上兩條互相垂直的數線，分別以交點為原點，其構成的平面稱為座標 平面，而兩條數軸上分別有刻度，因此稱為直角座標，也有人稱為二維座 標或笛卡兒座標。 數軸的說明： 水平的數線 橫軸 X 軸（x-axis） 往右為正 垂直的數線 縱軸 Y 軸（y-axis） 往上為正 二、點座標 過座標平面上任一點 p，分別做垂直於 x 軸與 y 軸的直線，分別交於 m（a,0） 與 n（0,b），則 p 點可用數對（a,b）表示位置，亦即（a,b）為 p 點之座標。 三、象限 兩條座標軸可將座標平面分成四部分，每一部分簡稱為【象限】。象限根據 座標位置關係有正、負性質的差異。象限的命名：由順時針方向分別取名為 第一、第二、第三、第四象限，或者用羅馬數字代表，如：I、II、III、IV 亦 可（如下圖所示），但就是不可以用阿拉伯數字，因為會和座標值搞混。

◎注意：座標軸不屬於任何一象限。亦即當 x 或 y 座標為 0 的點，其不屬於任一 象限，如：（5,0）或（0,13）皆不屬於任何一象限。 四、座標上兩點距離與中點座標 假設有A x

(

₁, y₁

) (

, B x₂, y₂

)

為平面上相異兩點： 則：（1）A 點到 x 軸距離 y₁ （2）A 點到 y 軸距離 x₁ （3）A 點到原點 O（0,0）的距離 2 2 1 1 OA= x +y （4）AB=

(

x₂ -x₁

) (

2 + y₂ -y₁

)

2 （5） 1 2 1 2 , 2 2 x x y y AB =  + + _   中點座標 五、平行四邊形座標關係 若平行四邊形 ABCD 其四頂點座標分別為 A

(

x y₁, ₁

)

、B

(

x₂, y₂

)

、 C

(

x₃, y₃

)

、D

(

x₄, y₄

)

，則有下列性質：x₁+x₃ =x₂ + ，x₄ y₁ +y₃ =y₂ +y₄ x y M •

( )

_{1 1}, A x y

(

₃, ₃

)

C x y

(

₂, ₂

)

B x y

(

₄, ₄

)

D x y

( ) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

1 3, 0 - 2, - 7 - 2 0, 2 , 2 0, 2 0 -2, 2 0, 2, -2, 2 2 2, 0 A a x a B d y d d C b c c b c c c b a b c d a b c d x  =  = = + +  + = + =  = = = = = = + = + =  Q 在 軸上 在 軸上 是原點 在 軸上 不在任何象限 【座標與象限的關係】 講解一： 已知座標 A

( )

3, a 在 x 軸上，B

(

d-2, -7 在 y 軸上，且點

)

(

b+c, c+2 是原點，請問：

)

（1）a、b、c、d 為何呢？（2）點

(

a+b, c+d 在第幾象限呢？

)

Sol) 練習一： 假設 a＞0, b＜0，下列各點 A

( )

a, b 、B

(

-a, b 、C

)

(

a, -b 分別在第幾象限呢？

)

Sol) A（○+_{, ○}- ）在第四象限，B（○- _{, ○}- ）在第三象限，C（○+_{, ○}+ ）在第一象限。 【直角座標】 講解二： 已知 ABCD 為平行四邊形，其座標分別為B

(

-2, -4

)

、C

(

4, -2

)

、D

( )

1, 5 ，請問 A 點座標為何呢？在第幾象限呢？ Sol)

(

)

4 -2 1 - 2 -4 5

( )

設 點座標為 , , -5, 3, -5,3 2 2 2 2 x y A x y + = +  =x = +  =y A 在第二象限。 練習二： 如圖，已知 ABCD 為平行四邊形，其座標分別為 A

( )

-1,8 、B

(

0.5,5 ，C

)

(

-1,-6 ，

)

請問：D 點座標為何呢？在第幾象限呢？平行四邊形 ABCD 面積為何呢？ Sol)

( ) ( ) ( )

_{( )}

(

)

( )

( )

( )

(

)

 _  _{ }      _{ } _     -1 + -1 =x+0.5 _x=-2.5 1 A點座標 -2.5, 3 , 第二象限. y=-3 8+ -6 =y+5 1 2 AC= 8- -4 =14, h= 0.5- -1 =1.5, 面積= 14 1.5 2=21 平方單位 2 x y h ( )-1,8 A (-1,-6) C (0.5,5) B ( ), D x y

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 AB= 7- -5 + -3 -2 =13 BC= 7- -3 + -3 -6 = 181 AC= -3 - -5 + 6-2 =2 5 ABC =13+ 181+2 5 △ 周長 單位 【兩點距離與中點座標】 講解三： （1）在直角座標平面上，有兩點 A

(

3,-5 、B

)

(

-2,-6 ，其距離為何呢？

)

（2）坐標平面上，A（2，3），B（x，y）的中點坐標為（－1，2），則 x＋y＝？ Sol) （1）

( )

2

( )

2 2 2 3 - -2 -5 - -6 5 1 26 AB= _ _ +_ _ = + = （2） 2 x 2＋ ＝－1x＝－4， 2 y 3＋ ＝2y＝1，故 x＋y＝－3 練習三： （1）有一個三角形的花園，其三點座標分別為 A

(

-5, -2 、B

)

(

7, -3 、C

)

(

-3, 6 ，

)

請問此花園的周長為何呢？ （2）座標平面上有兩點 A

(

2, -3 、B

)

(

-4, -5 ，請問

)

AB的中點座標為何呢？ Sol) （1） （2） 2+ -4

( ) ( ) ( ) ( )

, -3 + -5 = -1, -4 2 2         【十分鐘即時練習】 （D）1.設 r＞s 且｜r｜＝｜s｜，則點（r＋s，r－s）在 (Ａ)第一象限(Ｂ)第四 象限(Ｃ) x 軸上(Ｄ) y 軸上。 Sol) r＋s＝0 ∴在 y 軸上 （A）2.如圖的坐標平面中，若 O 為原點，且每個方格的邊長為 0.5 個單位長， 則 P 點的坐標該如何表示？ (Ａ)（1，-1.75）(Ｂ)（2，－3.5）(Ｃ) （2，3.5）(Ｄ)（1，1.75）。

Sol) 1 單位長為 2 個方格邊長，（4格 4 ，－ 7格 4 ）＝（1，－1.75）。 （B）3.設 r＋s＝0 且 rs≠0，則（r，s）在第幾象限？ (Ａ)一、三 (Ｂ)二、四 (Ｃ)x-軸 (Ｄ)y-(Ｃ)x-軸。 Sol)（＋，－）或（－，＋） ∴在第二、四象限 （A）3.設 P（r，s）在第二象限，且 Q（s－t，s－2t）在第四象限，則｜r－s｜ ＋｜s－t｜＋｜t－r｜＝？ (Ａ) 2s－2r (Ｂ) 2s－2t (Ｃ) 2r－2t (Ｄ) 0 。 Sol) r＜0，s＞0，s－t＞0，s－2t＜0t＜s＜2tt＞0， ｜r－s｜＋｜s－t｜＋｜t－r｜＝－r＋s＋s－t＋t－r＝2s－2r （A）4.滿足｜x＋2y－3｜＋｜2x－y－1｜＝0之(x，y)在第幾象限？(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。 Sol)

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 3 1 令 , 2 - 1 - 3 -2, 5 5, 1, 代入 1 , 2 3, 1 2 - 1 2 x y x y y y x x x y  + =  _{= = = + = =}  =  L L （D）5.若a－b＝1，且ab＜0，則點(a，b)在坐標平面上第幾象限？(A)一 (B) 二 (C)三 (D)四 象限。 Sol)∵ 0, 0, 0 又 - 1, ∴ 0, 0 第四象限 0, 0 a b ab a b a b a b     _ =       能力二：函數與圖形 一、函數（一般定義）：係指當有一個量 y 隨著另一個量 x 的給定而改變，則 x 稱為自變數，y 稱為依(應)變數，並且稱 y 為 x 的函數。記為：y= f x

( )

。 二、函數（集合定義）：係指當 A、B 不是一個空集合，對所有 A 集合中的元素 a，在 B 集合中唯一存在一個元素 b 可以對應，則 f a

( )

= 恆成立，b 可說函數 f 為 A 集合映到 B 集合的函數關係。記為： f :A→B。 三、函數對應的種類（國中只介紹三種）

一對一函數 多對一函數 合成函數 四、函數圖形的判別法 做一條 x 軸的垂直線，若與該圖形的交點不只有一個（交點＞1），則此圖 形非函數圖形；若僅有一個交點即為函數圖形。 是函數圖形（僅有一交點） 非函數圖形（交點＞1） 五、函數的正變（正比）與反變（反比） （一）正變：若有兩組變數 x 與 y，存在有y=kx或y k x = （k 為固定數），則稱 y 隨 x 正變（y 與 x 成正比）。 （二）反變：若有兩組變數 x 與 y，存在有xy=k或y k x = （k 為固定數），則稱 y 隨 x 反變（y 與 x 成反比）。 例：速度公式：s= v t

( )

( )

( )

1 , 2 , 3 , s v t v s t t s v 當 為定值 與 成反比 當 為定值 與 成正比 當 為定值 與 成正比 【函數的意義】 講解一： 已知函數 x、y 的關係如右表所示： 請問當 x=10 時，y=b，則 b=？ Sol) 觀察 x 與 y 的函數對應關係之後，可知每當 x 增加 1 時，y 則增加 3，因此，x 由 5 增加至 10 時，y 應增加 5 3=15 ，故 x=10，y=20+15=35，則 b=35。 x 1 2 3 4 5 10 y 8 11 14 17 20 a

練習一： 育偉原本有 5000 元的存款，因為想要買一台 PS3，所以自 4 月 1 日起，每天存 50 元，設開始存款 x 天之後，他一共存有 y 元，（1）請問 x 與 y 的關係式為何 呢？（2）到今年暑假 7 月 1 日（含）為止，共可存款多少元呢？（3）請問 y 是否為 x 的函數呢？ Sol)

( )

( )

( )





( )

1 5000 50 2 5000 50 92 9600 92 3 , y x y x y y x = + = + = L 四月一日到七月一日共 日 對於每一個 值都僅有一個 值可對應 所以 是 的函數 【函數的判別】 講解二： 下列各式中何者符合 y 是 x 的函數呢？（定義 y 隨著 x 變動而改變）

( )

( )

( )

( )

2 2 1 2 3 5 2 3 , 0 3 +5 4 3 - 2 0 x y xy x x y y x + = =  = + = Sol)

( )

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 -2 5 1 2 3 5 y= + y x 3 3 3 2 3 , 0 y= y x x 3 5 y=x -5 y x 4 3 - 2 0 y =-3x+2, y= -3x+2 y x x y x y xy x x y y x + =  =   = +  + =   ∵ ∴ 是 的函數 ∴ 是 的函數 ∴ 是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∵ 每一個 有兩個對應的 值 練習二： 下列 x 與 y 的關係式中，何者可以將 y 表示為 x 的函數呢？

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 5 4 3 x y x y y x x y + = + = = = Sol) 小秘技： 要判斷 y 是否為 x 的函數與否？ （1）先將式子化為y=ax+b的形式。 （2）判斷每一個 x，都有唯一對應的 y 值。

(

)

, , 1 1 60 2 : 2 :1 15 600 15 30 60 3   =  = _  _=   Q 根據速度公式可知 上下坡所費的時間與速度成反比 斜坡長 公尺

( )

(

)

2 2 2 2 0.4, 18.6 18.6 0.4 , 116.25 116.25 116.25 0.2 4.65 x y y kx x y k k y x y  = = = =  =  =  =  = 設在 秒內球飛行 公尺 代入得 公尺

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 1 3 2 y=-3 x +2 , y x 2 2 y= 2-x , y x 3 5 y= 5x , y x 1 4 3 y= x , y x 3 x y x y y x x y + =  + =   =   =  ∴ 是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∴ 不是 的函數 ∴ 是 的函數 【正變與反變】 講解三： 設 x、y 為相異的兩組量數，若 x 隨著 y 正變，則下列何者的說明是錯誤的呢？

( )

1 1

( )

1

( )

1 1

( )(

)

(

)

, , , -A B x C D x y x y x隨著 正變y 隨著 反變y x隨著 反變y + 隨著 正變 sol)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 , ! -x y x ky A k y x x y B x k x y y C A B C x x y D k k x y k x y y x y x y x y  =  =     =  + =  =  + =  + 依題意可知 隨著 正變 移項 隨著 正變 移項 隨著 反變 根據 可知 是錯誤的 合分比 隨著 正變 練習三： （1）昭弘騎車經過地下道，下坡時每分鐘 30 公尺，上坡時每分鐘 15 公尺，經 過地下道的時間為 60 秒，請問此地下道的長為多少呢？ （2）王建民投出伸卡球，投手與捕手的距離函數隨球飛行的時間函數的平方成 正變，已知通常王建民的球在 0.4 秒內會飛行 18.5 公尺，請問：菱木一郎 在 0.26 秒內判斷要揮棒，請問此時王建民的球飛行幾公尺了呢？ Sol) （1） （2）

( )

1 1 70 : 60, : 6 : 7, 70 60 4 12 - 6 , , 10 5 12 - 7 x x x x = = = + _{= =} + 速度比 則時間比 設早上 點出發 則 點 【十分鐘即時練習】 （C）1.筱文的母親早上某時開車從家中到外婆家，若時速為 70 公里，則下午 4 點可到外婆家，若時速 60 公里，則下午 5 點才到外婆家，請問筱文的 母親是早上幾點出發的呢？（A）8（B）9（C）10（D）11 點。 Sol) （A）2.請問下列各圖中，何者為函數圖形？ Sol)只有（A）任作 x 軸的垂線，恰好均與圖形交於一點。 （C）3.下列哪一個式子不可用來表示函數呢 （A）y =5（B）2 - 3x = y（C） 2 2 1 3 4 x y + = （D） 2 3 -1 y= x Sol) 2 2 2 -4 2 -4 2 1 - 4 - 4 3 4 3 3 x y y x y x + =  =  =  （C）4.下列何者 y 非 x 的函數？ (Ａ) y3_{＝x (Ｂ) y＝100－9.8x}2 _{(Ｃ) y＝100－} 1.6y2 (Ｄ) y＝πx2_。 Sol)一個 x 值有 2 個 y 值對應，非函數。 （A）5.如表是 1 年 18 班部分同學身高和體重的資料表，下列何者敘述錯誤？ (Ａ)體重是身高的函數(Ｂ)體重是學號的函數(Ｃ)身高是學號的函數(Ｄ) 體重身高不成正比亦不成反比。 座號 15 16 17 18 19 20 21 體重 （kg） 51 49 54 51 48 48 54 身高 （cm） 149 152 160 153 160 152 156 Sol)體重是身高的函數 能力三：二元一次方程式的圖形 一、二元一次方程式的圖形是一條直線，所以二元一次方程式又稱為直線方程 式，其用途很廣泛，可以用來做線性規劃，為工作流程或工程尋求最佳解 （化）。

二、二元一次方程式的圖形的重點 （一）二元一次方程式的標準式：y=ax+b,

(

a0, b0

)

與 x 軸的交點座標 與 y 軸的加點座標 X 軸的方程式 Y 軸的方程式 , 0 c a       0, c b       y=0 x=0 圖形垂直 y 軸 圖形垂直 x 軸 圖形通過原點 y=b

(

b0

)

x=b

(

b0

)

ax+by=0 （二）直線方程式的求法： 兩點式 截距式 點斜式 1 2 1 1 2 1 - -- -y -y y y x x = x x 1 x y a+ = b y y- 0 =m x x

(

- 0

)

（三）點與兩平行線及其之間距離的求法 1 過 點 P

(

x y1, 1

)

且 平 行 ax+by=k的直線方程式

(

)

2 1 2 ax+by=k k k 2 1 1 2 2 : 0 : 0 L ax by c L ax by c + + =   _{+ + =}  (L L1,2) d  之間的距離 ( 1, 2) 1 2 2 2 -L -L c c d a b = + 3 點 P x

(

0, y0

)

， 與 直 線 : 0 L ax+by+ =c 的距離 (P L, ) 0 ₂ 0 ₂ ax by c d a b + + = + 【二元一次聯立方程式圖形的繪製】 講解一： 請畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形，請判斷其解為何？並說明二直線的距 離為何呢？

( )

( )

( )

( ) ( )

3 2 -1 1 1, -2 1, -2 - 3 2 - 0 -2 - 0 0, 0 , 1, -2 -2 - 0 1- 0 x y x y x y y y x x  + =  _{ = = }  ₌    =  = L L L 兩直線之交點 得 交點 所求直線通過

( )

(

)

( )

( )

1 3 - 4 0 -1, 2 , 2 3 4 2 0 2 - 0 2, 4 , 2 - 2 0 x y k k x y L x y k k x y + = =  + + = + = =  + = 假設平行線之方程式為 將 代入 得 假設垂直線 之方程式為 將 代入 得 (１)   4x－3y＝5 8x－6y＝0 (２) 3x＋4y＝12 6x＋8y＝24 Sol) （1） x 5 －1 y 5 －3 ， x 0 3 y 0 4 （2） x 4 0 y 0 3 ， x 4 0 y 0 3 （1）

( )

( ) ( )

₂

_{( )}

2 5 - 0 4 - 3 5 1 4 - 3 5 5 2 2 1 8 - 6 0 2 4 - 3 0 _{4 -3} 5 x y x y d x y x y  ₌  ₌  _  _{ = = =}  ₌  ₌  _ +  L L 同除 （2）因為，兩條直線共線，距離為 0。 Ans：（1）無解，兩直線平行，距離為 1。（2）無限多解，兩條直線共線，距離 為 0。 練習一： （1）已知一直線方程式平行 L：3 - 4x y +6=0，且通過點 P（-1,2），請問此直 線方程式為何呢？ （2）一直線 L 與直線 M：x+ + =y 3 0互相垂直，並通過點 P（2,4），請問直線 L 的方程式為何呢？ Sol) 【直線方程式的應用】 講解二： 若一直線通過原點與兩直線3x+2y =-13x， -x y = 之交點，則此直線方程式為3 何呢？ Sol) 練習二：

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 -1 -1 5 1 0, - -1 - 4 1 5 2 0, -1 - 1 2 0, -1 1 - 2 -2 0 A B C D + =  + =  + = + =  0 , 0 , - , , n m  mx y =n y =mx+n 下列二元一次聯立方程式中，請分別說明兩直線方程式的關係。

( )

- 1

( )

2 3 2

( )

- 8

( )

- 1 3 2 4 3 4 6 1 2 3 6 3 2 5 3 - 4 12 x y x y x y x y A B C C x y x y x y x y   _{=  + = =}  ₌      _{+ =}  _{+ =}    _{+ =}   ₌    Sol)

( )

( )

( )

( )

2 - 3 6 - 1 3 2 3 2 6 3 2 5 2 3 2 2 3 2 4 6 1 4 4 1 - 8 1 -1 2 3 6 2 3 3 - 4 12 - 1 4 3 3 - 4 12 3 - 4 12 x y x y A x y x y x y B x y x y C x y x y x y C x y x y  _{=  =}  _{ }  _{ + =}   + =  + =   =    _{+ =}  =      _{+ =}   _{=  =}  _{ }   ₌   ₌  此二直線互相垂直 此二直線互相平行 此二直線相交於一點 此二直線重合 【十分鐘即時練習】 （C）1.坐標平面上，通過點(－1，1)的直線方程式為何？(A)3x－y＋5＝0 (B) －x－4y＋5＝0 (C)x－y＋2＝0 (D)x＋y－2＝0。

sol)

（C）2.mx＋y＝n 且 n＜0，m＞0，則下列哪一個選項可能是正確的圖形？

(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)

Sol)

（B）3.如圖，直線 y＝ax＋b 通過一、三、四象限，則下列何者正確？ (Ａ) b －2a＞0 (Ｂ) a－b＞0 (Ｃ) b＞0，a＜0 (Ｄ) b＜0，a＜0。

Sol) y＝ax＋b， b＜0，a＞0。

（C）4.圖中四條直線哪一個是 x＋y＋1＝0 的圖形？(Ａ)甲(Ｂ)乙(Ｃ)丙(Ｄ)丁。 Sol) x+ + =y 1 0, y =- -1x ，

x 0 －b a y b 0

（C）5.若公園的位置在坐標平面上的（2，11），而大賣場的坐標位置在（4，7）， 今小熏騎腳踏車走下列哪一條路線可同時經過公園和大賣場？ (Ａ) y＝2x＋3 (Ｂ) y＝2x－3 (Ｃ) y＝－2x＋15 (Ｄ) y＝－2x－15。 Sol)將（2，11）和（4，7）分別代入直線 y＝ax＋b 中， 11=2a+b

7=4a+b    a＝-2，b ＝15，故直線方程式為 y＝-2x＋15。 【基本觀念題】 （D）1.如圖，圓心 O（－4，2），且直徑AB垂直 x 軸半徑 10，則 B 點坐標=？ （A）（－4，12）（B）（－4，－12）（C）（－4，8）（D）（－4，－8）。 Sol) 2－10＝－8_{（－4，－8）。} （B）2.圓周上有 P、Q 二點，連接 PQ 通過圓心 O 點，A（7，4）、B（－5，－ 12），則 O 點坐標＝？（A）（2，－4）（B）（1，－4）（C）（2，4）（D） （1，4）。 Sol) O 點（－5＋7 2 ， －12＋4 2 ）＝（1，－4）。 （C）3.｜m＋8｜＋｜n－4｜＝0，則（－n，m）必在第幾象限呢？（A）一（B） 二（C）三（D）四象限。 Sol) m＋4＝0 且 n－8＝0，m＝－4，n＝8，（－n，m）＝（－8，－4）在第 三象限。 （A）4.如圖，程立在坐標平面上畫一個正方形 PQRS，對角線PR、 SQ 交於 O 點，且 O（－4，－8）， PQ ＝14，則 P 點坐標為何呢？（A）（-11,-1） （B）（11,-1）（C）（-3,-1）（D）（3,1）。 Sol)（－4－7，－8＋7）＝（－11，－1）。 （D）5.請問 P、Q、R 三點的坐標為何？（A）P（3, 1 ）、Q（0, 4 ）、R（－2 , 0） （B）P（1 , 3）、Q（－4 , 0）、R（2 , 0）（C）P（－1 , 3）、Q（4 , 0）、 R（2 , 0）（D）P（1 , 3）、Q（4 , 0）、R（－2 , 0）。

Sol)由 x＋y＝4 得 Q（4 ‚ 0），由 x－y＝－2 得 R（－2 ‚ 0），再由    2 y x 4 y x ＝－ － ＝ ＋ ， 得 x＝1，y＝3 ∴P（1 ‚ 3）。 （C）6.在坐標平面上，直線L：y＝ax＋b通過(－1，－5)、(2，3)兩點，則L與x 軸的交點坐標是下列哪一個選項？(A)(2 3，0) (B)(0， 2 3) (C)( 3 2，0) (D)(0，11 2)。

y x O Sol) -1 -5 2, -3 2 - 3, 令 0代入得 3 2 3 3 a b a b y x y x a b = +  _{ = =  = = =}  = +  （B）7.設兩直線L：y＝3x－24，M：ax＝y＋4的圖形交點在x軸上，則a＝？(A) 3 2 − (B) 2 1 (C) 3 2 (D)4。 Sol) 3 - 24, 令 0, 則 8, 代入 4 , 0 4 8 , 1 2 y = x y = x = y + =ax  + = a a= 。 （C）8. 16x＋8y＝56 與兩軸所圍成的三角形面積是多少呢？（A）49 2 （B） 2 49 （C）49 4 （D） 4 49。 Sol)7 7 1 49 2 2 4   = x 0 7 2 y 7 0 （C）9.溫度＝9 5x 攝氏溫度＋32，華氏溫度以 y 表示，攝氏溫度以 x 表示，則 (Ａ) y 與 x 成正比(Ｂ) y 與 x 成反比(Ｃ) y 為 x 的函數(Ｄ)華氏與攝氏 0 度 時溫度相等。 Sol)y 是 x 的函數，y 與 x－32 成正比 ∴(Ｃ) （C）10.一個空水槽，可裝水 200 公升，小華用一水管注水入水槽，如果已知 1 分鐘可注入水槽的水是 x 公升，注滿水槽需要 y 分鐘，則以 x 的函數來 表示 y 可以是 (Ａ) y＝200x，x＞0 (Ｂ) y＝200 x ，x≧0 (Ｃ) y＝ 200 x ， x＞0 (Ｄ) y＝200 y ，y＞0。 Sol) y＝f（x）＝200 x ，x＞0 【溫故歷屆基測試題】 （C）1.在坐標平面上，直線 L 的方程式為 y＝－3x＋a。若 a＞0，則 L 不通過第 幾象限？ (Ａ)一(Ｂ)二(Ｃ)三(Ｄ)四。【95.基測一】 Sol) 圖形交於x 軸、+ + y 軸 （C）2.甲、乙、丙、丁、戊五人 各站在不同的位置。已知乙在甲 的正西方 2 公尺處，丙在甲的正東方 3 公尺處，丁在甲的正北方 6 公尺 x 0 a₃ y a o

y x O 戊(3,m) 丁(0,6) 丙(3,0) 甲 乙(-2,0) 處。若戊在丙的正北方 m 公尺處，使得乙、丁、戊的位置恰在一直線 上，則 m＝？ (Ａ) 9 (Ｂ) 12 (Ｃ) 15 (Ｄ) 18。【95.基測一】 sol) 2：（2+3）=6：m, 2m=30 （D）3.如圖，在坐標平面上，小明從 A（0，－8）出發，每天皆向右走 1 單位， 向上走 3 單位。第一天由 A 點走到 A1 點，第二天由 A1 點走到 A2 點，…。求小明第九天會到達下列哪一點？ (Ａ)（8，16）(Ｂ)（8， 19）(Ｃ)（9，16）(Ｄ)（9，19）。【95.基測二】 Sol) （0+1×9, -8+3×9） 4. 請閱讀下列的敘述後，回答第(１)題和第(２)題。【95.基測二】 如圖，坐標平面有一正方形 ABCD，A、C 的坐標分別為（1，1）、（－1， －1）。已知甲、乙兩人在 A 點第 1 次相遇後，甲自 A 點以每秒 a 公尺的速 率，沿著正方形的邊以逆時針方向等速行走；乙自 A 點以每秒 b 公尺的速 率，沿著正方形的邊以順時針方向等速行走。 （A）○1 若 a＝7b，則甲、乙第 2 次相遇在何處？ (Ａ)（1，0）(Ｂ)（1，1）(Ｃ) （0，1）(Ｄ)（－1，1）。 （C）○2 若 a≠7b，且甲、乙第 2 次相遇在 D 點，則此兩人第 91 次相遇在何處？ (Ａ) A 點(Ｂ) B 點(Ｃ) C 點(Ｄ) D 點。

Sol) ○1 正方形 ABCD 每邊長為 2，當 b=1 時，a=7，故第二次相遇在_AD與 x 軸

的交點上。

○2 第 2 次相遇在 D 點，a=3b，相遇依次在 A、D、C、B、A、D、C、B…，

91÷4=22…3，被 4 除餘 1 在 A 點，餘 2 在 D 點，餘 3 在 C 點。

別為 16 歲、8 歲，則下列哪一個圖形為兩人年齡的關係圖？【94.基測 一】 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) Sol) 16-8=8→y-x=8 （D）6.哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後，哥哥的張數就是 弟弟的 2 倍；若哥哥給弟弟 10 張，兩人的張數就一樣多。設哥哥的張數 為 x 張，弟弟的張數為 y 張，依題意下列列式何者正確？【94.基測二】 (Ａ)   2（y－10）＝x y＝x－10 (Ｂ) y－10＝2x y＝x－10 (Ｃ) y－10＝2x x－10＝y＋10 (Ｄ)   2（y－10）＝x＋10 x－10＝y＋10 。 Sol)哥哥有 x 張，弟弟有 y 張，弟弟給哥哥 10 張後哥哥有 x+10，弟弟有 y-10 張，

(

x 10

) (

2 y -10

)

 + = ，哥哥給弟弟 10 張後，哥哥有 x-10 張，弟弟有 y+10 張， -10 10 x y  = + 。 （D）7.若 3x－2y 6 ＋ 2x－4y 3 － x－2y 2 ＝105，則 x－y＝？【94.基測二】 (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 105 (Ｄ) 1.5 × 105_。 Sol)各項同乘以 6，

(

3 - 2x y

) (

+2 2 - 4x y

) (

- 3 x- 28

)

= 6 105，₄

(

_{x y-}

)

_{= 6 10}5_。 （A）8. 如圖為一平面圖。若以學校為原點作一坐標平面，其中學校到游泳池的 方向為 x 軸的正向，學校到新生大樓的方向為 y 軸的負向，則圖 書館在此平面的第幾象限？ (Ａ)一(Ｂ)二(Ｃ)三(Ｄ)四。【93.基測一】 sol) 圖書館的座標（x, y）（○+ _,○+ _） x 0 8 y 8 16 （8,16） （0,8） y x ˙ ˙

（A）9. 如圖，直線 L1、L2、L3 分別為方程式 y＝x＋a、y＝－x＋b、y＝c 的圖

形，下列有關 a、b、c 大小關係的敘述何者正確？ (Ａ) a＞b＞c (Ｂ)

b＞a＞c (Ｃ) b＞c＞a (Ｄ) a＞c＞b。【93.基測二】

Sol)

(

)

(

)

1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 由 與 相交於 , 在第二象限, 其中 為負, 為正, , 由 與 相交於 , 在第ㄧ象限, 其中 為正, . L L x y x y a b L L x y x b c     （B）10.在坐標平面上，y＝2x2_{－8 的圖形經由下列哪一種方式移動後，可得到 y} ＝2（x－5）2_{＋12 的圖形？ (Ａ)先向左移 5 單位，再向上移 20 單位(Ｂ)} 先向右移 5 單位，再向上移 20 單位(Ｃ)先向下移 5 單位，再向右移 20 單位(Ｄ)先向上移 5 單位，再向左移 20 單位。【92.基測二】 Sol)

(

)

2 2 2 - 8, 向右平移5單位, 又向上平移20單位 2 - 5 12 y x y x =  = + 【模擬學力基測試題】 （C）1.坐標平面上畫出函數 y＝500 x+5 的圖形，則 x 為何值時沒有對應的點？ (Ａ) 0 (Ｂ)－4 (Ｃ)－5 (Ｄ) 5。 Sol)x＋5＝0，x＝－5 （D）2.已知臺南、臺中兩地相距 180 公里，一華由臺南開車到臺中時速 x 公里， 回程時速 y 公里，來回的平均速率每小時 y 公里且每小時平均速率 96 公里， 請以 x 的函數來表示 y，y＝？（A）y＝ 24x x+24（B）y＝ 24x x-24，x≠24（C）y＝ 24x x+24（D）y＝ 48x x－48，x≠48。 Sol) 180＋180 180 x ＋ 180 y ＝96360＝96（180 x ＋ 180 y ），2＝96（ 1 x＋ 1 y）， 1 48＝ 1 x＋ 1 y， 1 y＝ 1 48－ 1 x＝ x－48 48x ，∴y＝ 48x x－48，x≠48。 （C）3. y＝500 x ，乙：3x－9y＝0，丙：y＝x，丁：y＝2x 2_{，戊：y＝3x＋1，上} 述五個函數中，函數圖形通過原點的有幾個？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。 Sol)乙、丙、丁共 3 個

（C）4.何者是 y＝－2x＋8 的圖形？ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) Sol) x 0 4 y 8 0 （B）5.根據自然課本所提到的溫度變化，由地面算起，每升高 100 公尺，氣溫 下降 0.6℃，若目前地面上的溫度是 26℃，海拔 x 公尺的高山上是 y℃。 請根據題意寫出 y 與 x 的關係並求出在海拔 3000 公尺的高山上氣溫多 少℃？（A）y＝26+0.006x，18℃（B）y＝26－0.006x，8℃（C）y＝ 26+0.06x，18℃（D）y＝26－0.06x，8℃。 Sol)（1）＝26－0.6 100xy＝26－0.006x （2）26－0.006x，x＝3000y＝26－ 0.006×3000＝8（℃） （D）6.請在問下列哪一個是 y＝－2x＋4 與 y＝5x－15 兩函數圖形的交點，並請 問其位於第幾象限呢？（A）（19 7 ， 10 7），第一象限（B）（－ 19 7 ， 10 7），第 二象限（C）（－19 7 ，－ 10 7），第三象限（D）（ 19 7 ，－ 10 7），第四象限。 Sol)   y＝－2x＋4……○１ y＝5x－15……○２ ○１代入○２，5x－15＝－2x＋4 7x＝19，x＝ 19 7，代 入○２ y＝5x－15＝5×19 7－15＝－ 10 7，∴交點（ 19 7 ，－ 10 7），第四象限。 （C）7.直角座標平面上有三條直線 L1：y＝2x－4，L2：x＝3，L3：ax＋2y＝16 有 共同的交點，則 a＝？（A）2（B）-2（C）4（D）-4。 Sol)因為 L1、L2 有共同的交點，即聯立方程式   y＝2x－4……○１ x＝3……○２ 有共同的解 將○２式代入○１式得：y＝2×3－4＝2，故 L1、L2 的交點為（3，2），又 L3 亦通過 該點，即（3，2）亦為方程式 ax＋2y＝16 的解，所以 3a＋2×2＝16，3a＝12， a＝4 （A）8.假設

(

)

(

)

- 3 - 3 8 4 -1 16 m x y x n y  =   _{+ =}  兩直線方程式圖形重合，請問 m-n=？（A）10（B）

(

)

( )

( )

(

)

, , 1 3 2 4 - -6 2 2,1 5 -6 4 3 -1 1 2 -1 -1 1 - 2 5 3 0 5 5 P Q a b a M PQ b PQ y x x y +  = =  _{  =}  ₊  = =    + =  + + = 設 的中點座標 的斜率為 垂直 直線的斜率 -10（C）5（D）-5。 Sol) - 3 -3 8 1 5, -5, - 10 4 -1 16 2 m m n m m n = = =  = = = （D）9.有兩點 P（1,-6）、Q（3,4），請問 PQ 的垂直平分線之方程式為何呢？（A） 3x+y- 9=0（B）4 -x y +8=0（C）3x+2 - 7y =0（D）x+5y+ =3 0。 Sol) （B）10.有一點 P（2,1）到直線 4x-3y+5=0 的距離為多少呢？（A）1（B）2（C） 3（D）4。 Sol) 2 2 4 2 - 3 1 5 10 2 5 4 3 d =   + = = + 【進階練習題】 （D）1.已知一平行四邊形之三頂點座標為

( ) (

2,4 , -2,3 , 4,5 ，請問其第四點

) ( )

座標不為下列何者呢？（A）

(

-4, 2 （B）

)

( )

0, 4 （C）

( )

8, 6 （D）

( )

6, 8 。 sol)由中點公式可知：

( )

( )

( ) (

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 -2 4 1 , -4, 2 4 3 5 -2 4 2 2 , 0, 4 3 5 4 2 4 -2 3 , 8, 6 4 5 3 a a b b a a b b a a b b  + = +  =  _{+ = +}  + = +   =  + = +  + = +   =  + = +  （C）2.喜樂國中第二次段考數學成績低落，史老師利用線型函數 y＝ax＋b 來提 高全班的數學成績，方法是原本考 x 分調整後分數為 y 分，小樂原本考 85 分，提高後變成 100 分，大宏原本考 51 分提高後成為 64 分，請問詩涵提 高後分數是 46 分，詩涵原本考幾分？（A）32（B）33（C）34（D）35 （分）。

Sol) 原本考 x 分，調整後成為 y 分 y＝ax＋b 得   85a＋b＝100……○１ 51a＋b＝64……○２ ，○１－○２ 34a＝36，a＝ 18 17 代入○１，90＋b ＝100，b＝10y＝18 17x＋10 提高後分數 y＝46，46＝18 17x＋10， 18 17x＝36，x＝36× 17 18＝34（分） （A）3.下列何者非線型函數的圖形？ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) Sol)鉛直線非函數圖形。

（A）4.在同一坐標平面上，有兩函數 y＝－6x＋8 與 y＝－6x＋4，請問此兩直 線方程式有何關係呢？（A）平行（B）垂直（C）相交於一點（D）相 交於二點。 Sol)兩直線平行，如右圖。 （D）5.函數 y＝nx＋m 的圖形通過二、三、四象限，則 (Ａ) m＞0，n＞0 (Ｂ) m＞0，n＜0 (Ｃ) m＜0，n＞0 (Ｄ) m＜0 ，n＜0。 Sol) x 0 -m n y m 0 m＜0，-m n ＜0n＜0 （B）6.函數 y＝－2x－4，y＝－3x＋2 交於 P（a，b），試求兩函數圖形與 x 軸所 圍成封閉區域的面積為何？（A）32 3 （B） 64 3 （C） 32 5 （D） 64 5 （平方 單位）。 Sol)（1）   y＝－2x－4……○１ y＝－3x＋2……○２ ○１代入○２，－2x－4＝－3x＋2，x＝6，代入○１ y＝－2×6－4＝－16 ∴交點 C（6，－16） (２)y＝－2x－4 x 0 －2 y －4 0 _，y＝－3x＋2 x 0 2 3 y 2 0

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

2 2 _{2 2} 2 2 2 2 2 2 - 0 - 0 13 13 2 3 3 2 2 2 2 2 8 x y x y x y + =  + = + =  +   +   +  = 或 共有 個 2 0 0 2 0 -2 1 2 0 2 - 1 0 , 5 5 x y k k x y x y x y + + =  =  + =   + = + = _{  }   設垂直線方程式 通過原點 得 與 的交點座標

(

)

, , 18 - 5 6 - 5 -11 -2 - 7 - 7 a a a + =  = 三點共線 所以斜率相同 △ABC 面積＝1 2×│ 2 3－（－2）│×│－16│＝ 1 2× 8 3×16＝ 64 3（平方單位） （C）7.y＝ 8 x2＋5，x2＋5 與何者成反比，函數圖形是否通過（5， 4 15）？（A）8， 是（B）8，不是（C）y，是（D）y，不是。 Sol) y＝ 8 x2＋5，y（x2＋5）＝8，y 與 x2＋5 成反比，（5， 4 15）代入 y＝ 8 x2＋5， 4 15 ＝ 8 52_＋5＝ 8 30，該函數通過（5， 4 15）。 （B）8.在直角座標平面上與原點相距 13 單位，且其座標為整數的點共有多少 個呢？（A）6（B）8（C）10（D）無限多個點。 Sol) （C）9.從原點作直線2 -x y + =1 0的垂直線，則兩直線之交點座標為何呢？（A） 1 , 2 2      （B）

( )

1, -1 （C） -2 1 , 5 5      （D） -2 1 , 3 3      。 Sol) （D）10.假設 A

(

a, a+18 、B

)

(

-2, 6 、C

)

( )

7, 5 三點共線，請問 a 值為何呢？（A） 9（B）-9（C）11（D）-11。 Sol)