《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1．如图所示，AB、AC 为⊙O 的切线，B 和 C 是切点，延长 OB 到 D，使 BD＝OB，连接 AD．如果∠DAC＝78°，

那么∠ADO 等于( )． A．70° B．64° C．62° D．51° 2．在半径为 27m 的圆形广场中心点 O 的上空安装了一个照明光源 S，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截 面 SAB 的顶角为 120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度 SO 为( )． A．54m B．

6 3

m C．

9 3

m D．

18 3

m 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图

3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=8cm，以 A 为圆心、AD 的长为半径作半

圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ). A.(4π+8)cm2 B.(4π+16)cm2 C.(3π+8)cm2 D.(3π+16)cm2 4．如图， 的半径为 5，弦 的长为 8，点 在线段 (包括端点 )上移动，则 的取值范围 是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦

AB⊥CD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径 CD 的长为( )

A．12.5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸

6．（2015•贵港）如图，已知 P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M，连接 OP，OM．若

7．一条弦的两个端点把圆周分成 4:5 两部分，则该弦所对的圆周角为( )．

A．80° B．100° C．80°或 100° D．160°或 200°

8．如图所示，AB、AC 与⊙O 分别相切于 B、C 两点，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B、C 的一动点，则∠BPC

的度数是( )． A．65° B．115° C．65°或 115° D．130°或 50° 二、填空题 9．如下左图， 是 的内接三角形， ，点 P 在 上移动(点 P 不与点 A、C 重合)，则 的变化范围是__ ________. 第 9 题图 第 10 题图 10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°， 那么∠A的度数是________________.

11．已知⊙O1与⊙O2的半径

r

1、

r

2 分别是方程

x

2



6

x

 

8 0

的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距

d

=5．则

⊙O1与⊙O2的位置关系是 __ __ .

12．（2015•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点 D，AC 交⊙O 于点 E，∠BAC=45°，

给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧 是劣弧 的2 倍；⑤AE=BC， 其中正确的序号是 ． 13.两个圆内切，其中一个圆的半径为 5，两圆的圆心距为 2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形 ABCD 外接圆的直径为

2a

，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形 EFGHIJLK 的边长为 ____ ____，面积为_____ ___． 15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于 2 的三角形、四边形、……、凸 n 边形，分别以它们的各顶点为圆心， 以 l 为半径画弧与两邻边相交，得到 3 条弧，4 条弧，……

(1)图(1)中 3 条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中 4 条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中 n 条弧的弧长的和为____ ____(用 n 表示)． 16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 9πm2 ，高 为 3.5m，外围高 4 m 的蒙古包，至少要____ ____m2 的毛毡． 三、解答题

17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平 分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF．

（1）证明：AF 平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD.

18.（_{2015•南京）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且}

DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

19．如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边. 求两圆相交弧间阴影部分的面积.

20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图(1)，在正△ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝60°， 则 BM＝CN；

②如图(2)，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝90°，则 BM＝CN．

然后运用类似的思想提出了如下命题：

③如图(3)，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝108°， 则 BM＝CN．

任务要求：

(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明； (2)请你继续完成下面的探索；

①在正 n(n≥3)边形 ABCDEF…中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，试问当∠BON 等 于多少度时，结论 BM＝CN 成立(不要求证明)；

②如图(4)，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，∠BON＝108°时， 试问结论 BM＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B；

【解析】由 AB 为⊙O 的切线，则 AB⊥OD．又 BD＝OB，则 AB 垂直平分 OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO． 由 AB、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．

∠ADO＝90°-26°＝64°．

本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．

2．【答案】C；

【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．

由题意，SO⊥AB 于 O，∴ ∠SOA＝∠SOB＝90°．又 SA＝SB，∠ASB＝120°，

∴ ∠SAB＝∠SBA＝

180 120

30

2



°-

°

°

，设 SO＝x m，则 AS＝2x m．∵ AO＝27，

由勾股定理，得(2x)2 -x2 ＝272 ，解得

x 

9 3

(m)． 3．【答案】A.； 【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形 ABCD 中，AB=2BC，AB=8cm， ∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°， ， ， 又 AF=AD=4cm， ∴ ， ∴ . 4.【答案】A；

【解析】OM 最长是半径 5；最短是 OM⊥AB 时，此时 OM=3，故选 A.

5．【答案】D；

【解析】因为直径 CD 垂直于弦 AB，所以可通过连接 OA(或 OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知 (寸)，在 Rt△AOE 中， ， 即 ，解得 OA=13，进而求得 CD=26(寸). 故选 D. 6．【答案】B. 【解析】设_{OP 与⊙O 交于点 N，连结 MN，OQ，如图，} ∵_{OP=4，ON=2，} ∴N 是 OP 的中点，

∴_{MN 为△POQ 的中位线，} ∴_{MN= OQ= ×2=1，} ∴点_{M 在以 N 为圆心，1 为半径的圆上，} 当点_{M 在 ON 上时，OM 最小，最小值为 1，} ∴线段_{OM 的最小值为 1．故选 B．} 7．【答案】C； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为

360

5 1

100

9 2

  

°

°

；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为

360

4 1

80

9 2

  

°

°

．注意分情况讨论． 8．【答案】C； 【解析】连接 OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点 P 在优弧上时， ∠BPC＝

1

2

∠BOC＝65°；点 P 在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理． 二、填空题 9．【答案】 ； 10．【答案】99°； 【解析】由 EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°.

11．【答案】相交； 【解析】求出方程

x

2



6

x

 

8 0

的两实根

r

₁、

r

₂ 分别是 4、2，则

r

₁-

r

_{2 <}

d

_<

r

₁ +

r

₂ ,所以两圆相交. 12.【答案】①②④； 【解析】连接_{AD，AB 是直径，} 则_AD⊥BC， 又∵△_{ABC 是等腰三角形，} 故点D 是 BC 的中点，即 BD=CD，故②正确； ∵_{AD 是∠BAC 的平分线，} 由圆周角定理知，∠_{EBC=∠DAC= ∠BAC=22.5°，故①正确；} ∵∠_{ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；} ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确； ∵_{AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．} 综上所述，正确的结论是：_①②④． 13.【答案】7 或 3； 【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时， 圆心距 ，题中一圆半径为 5，而 d=2，所以有 ，解得 r=7 或 r=3，

即另一圆半径为 7 或 3. 14.【答案】

( 2 1)a



；

(2 2 2)a



2； 【解析】正方形 ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为 a．如图所示，设正八边形 的边长为 x．在 Rt△AEL 中，LE＝x，AE＝AL＝

2

2

x

，∴

2

2

2

x x a



 

，

x



( 2 1)



a

， 即正八边形的边长为

( 2 1)a



． 2 2 2 2 2

4

_AEL

[( 2 1) ]

(2 2 2)

S

正八边形



S

正方形



S

△



a



x



a





a





a

． 15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π； 【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前 n 条弧的弧长的和为

(

2)180 1 ( 2)

360

2

n



_n





个以某定点为 圆心，以 1 为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为

2

1

1

(

2) (

2)

2

n

n



 









． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为



₁，



₂，…，



_n， 则

 

₁



₂

 

…



_n



(

n



2)180

°

， ∴ n 条弧长的和为 1

1

2

1

1

(

_{1 2}

)

180

180

180

n

180

n

 

 

 

_{  }

_

 

  

…

 



 

…

(

2) 180 (

2)

180

n

n



_



 





． 16.【答案】720π； 【解析】∵ S＝πr2 ，∴ 9π＝πr2 ，∴ r＝3．∴ h1＝4，∴ 2 2 1

5

l



h



r



， ∴

S S



_锥



S

_柱





rl



2



rh

₂

   



3 5 2



 

3 3.5 15







21





36



，

20 36

720

S











．

所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积． 三、解答题 17.【答案与解析】 （1）连结 OF ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分 BC ∴

 

BF FC



∴AF 平分∠BAC . （2）由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4 =∠5+∠3 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD. 18．【答案与解析】 证明：（_{1）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，} ∴∠_{A+∠BCD=180°，} ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠_A=∠DCE， ∵_DC=DE， ∴∠_{DCE=∠AEB，} ∴∠_A=∠AEB； （_{2）∵∠A=∠AEB，} ∴△_{ABE 是等腰三角形，} ∵_EO⊥CD， ∴_CF=DF， ∴EO 是 CD 的垂直平分线， ∴_ED=EC， ∵_DC=DE， ∴_DC=DE=EC， ∴△_{DCE 是等边三角形，} ∴∠AEB=60°， ∴△_{ABE 是等边三角形．} 19.【答案与解析】 解：∵公共弦 AB＝120



a

₄



R

₆



120

A B C D E F O 1 2 3 4 5 H A B C D E F O 1 2 H

r

₆

R

₆2

a

4 2 2 2

2

120

60

60 3



 















O



o

a



R



AB



1

60

4

120

4

2

2

60 2

，

，





 

 















r

R

a

O

o 4 42 4 2 2 ₂ 2

2

60 2

60

60

，∠

90

S

弓形_AmB



S

扇形_{AO B2}



S

_{AO B2}



R



a r





90

360

1

2

1800

3600

4 2 4 4 



_

S

弓形_AnB



S

扇形_{AO B1}



S

_{AO B1}



R



a r





60

360

1

2

2400

3600 3

6 2 6 6 



_







S

阴影



S

弓形_AmB



S

弓形_AnB



4200





3600 1



3











两圆相交弧间阴影部分的面积为

4200





3600 1



3

cm

2. 20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中， ∵ ∠BON＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°， ∴ △BCM≌△CAN，∴ BM＝CM． 如选命题②． 证明：在图(2)中， ∵ ∠BON＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°， ∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN． 如选命题③． 证明：在图(3)中， ∵ ∠BON＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°， ∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN． (2)①答：当∠BON＝

(

n

2)180

n



°

时结论 BM＝CN 成立． ②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN 还成立．

在△BCD 和△CDE 中， ∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE， ∴ △BCD≌△CDE． ∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD． ∵ ∠CDE＝∠DEN＝108°， ∴ ∠BDM＝∠CEM． ∵ ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°． ∴ ∠MBC＝∠NCD． 又∵ ∠DBC＝∠ECD＝36°， ∴ ∠DBM＝∠ECM． ∴ △BDM≌△CEN， ∴ BM＝CN．