0216 圓方程式解答

0216 圓方程式

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.試問在坐標平面上，斜率為1 2且通過 x 2  y2  2x  4y  4  0 之圓心的直線方程式為何？ (A)x  2y  5  0 (B)2x  y  5  0 (C)x  2y  5  0 (D)2x  y  5  0 【096 年歷屆試題.】 解答 A 解析 x2 y2 2x  4y  4  0 的圓心為( 2, 4) ( 1, 2) 2 2      ∵ 直線斜率為1 2，且通過圓心(  1 , 2)  2 1( 1) 2 y  x  2y  4  x  1  x  2y  5  0 ∴ 所求直線方程式為 x  2y  5  0 （ ）2.若圓 C 的方程式為 x2 _{ y}2 _{ 6x  4y  4  0，則下列各方程式的圖形，何者與圓 C 相切？ (A)3x  4y  1  0 (B)3x  4y  2  0 (C)3x}  4y  7  0 (D)3x  4y  14  0 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 圓 C：x2 _y2 _6x  _4y  ₄  ₀ 圓心 ( 6, 4) (3, 2) 2 2 O    ，半徑 1 2 2 ( 6) ( 4) 4 4 3 2 r       (A) 2 2 | 3 3 4 2 1| 16 5 3 4 d       r  (B) 2 2 | 3 3 4 2 2 | 15 5 3 4 d       r  (C) 2 2 | 3 3 4 2 7 | 10 5 3 4 d       r  (D) 2 2 | 3 3 4 2 14 | 3 5 3 4 d       r  故(B)3x  4y  2  0 與圓 C 相切 （ ）3.一圓通過A



4 ,2



且與x、 y 軸均相切，則此圓的半徑為 (A)4 或 10 (B)2 或 10 (C)4 或 8 (D)2 或 8 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 rBA



r4



2   



r

 

2



2  r2



r28r16

 

 r24r4



2 _{12 20 0}  r  r  



r2



r10



0  r2或10 （ ）4.已知一圓半徑為 r 且圓心在 (4 , 4) 。若該圓與直線x y 0有二交點，則下列何者可為 r 之值？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 設圓心(4 , 4)到直線x y 0的距離為d， 則 2 2 | 4 4 | 4 2 1 1 d   

∵ 圓與x y 0有二交點 ∴ rd 則r4 2≒5.657，故選(D) （ ）5.圓心(0,  4)且與 x  y  0 相切的圓方程式為 (A)x2  y2  8 (B)x2  (y  4)2  2 (C)x2  (y  4)2  8 (D)x2  (y  4)2  4 (E)x2  (y  4)2  16 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓心(0,  4)到切線 x  y  0 的距離為半徑 r ∴ 2 2 | 0 4 | 4 2 2 2 1 1 r     故圓方程式為 x2_ (y  4)2 8 （ ）6.點 ( 6 , 2)P  到圓 C ： 2 2 (x1) (y2) 9上的任一點的最遠距離為 (A)10 (B) 8 (C) 6 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 圓C的圓心為O(1 , 2)，半徑為 3 2 2 [1 ( 6)] (2 2) 7 OP      半徑 則點P到圓C上的點之最遠距離為7 3 10  （ ）7.設 x2 _{ y}2 _{ 100，則 3x  4y 的最大值為 (A)2500 (B)500 (C)50 (D)25 (E)10} 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓 x2 y2 100 的參數式為 10 cos 10sin x y        0  2

3x  4y  3  10cos 4  10sin 30cos 40sin

∵ 2 2 30 40 30cos 40sin     2 2 30 40   ∴  50  30cos 40sin 50 故 3x  4y 的最大值為 50 （ ）8.若方程式_x2_y2_2x_ky_2k _{2 0的圖形不存在，則} k的範圍為 (A) 2 k 6 (B) 6   k 2 (C)k2或k6 (D)k 6或 2   k 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析



x22x

 

 y2ky



2k 2 0





2 2 2 _{2 1} 2 _{2 2 1 0} 4 4      _   _       k k x x y ky k





2 2 1



₂



1 8 12 2 4     _  _      k x y k k ∴ _k2_8k₁₂₀ 



_k₂



_k₆



₀  ₂ _{k 6} （ ）9.與直線 y  2x 平行，且與圓 x2 _{ y}2 _{ 9 相切的直線方程式為 (A)y  2x  9 (B)y  2x 3 (C)} 2 3 5 0 y x  (D) 2x y 3 50 (E)y2x 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 圓的切線與直線 y  2x 平行 故設切線為 y  2x  k 圓心(0,0)到切線的距離為半徑長 3  2 2 | 0 0 | 3 2 ( 1) k       | | 3 5k   k 3 5

切線方程式為y2x3 5  2x y 3 50 （ ）10.設x、 y 為實數且滿足x2y24，則 4x3y2的最大值為 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 2 2 4 2cos 2sin     _{ }   x x y y   ∴ 4x3y 2 8cos6sin2 4 3 2  x y 的最大值 2

 

2 8 6 2 12     

（ ）11.過 P(  3,0)且與 x2 _{ y}2 _{ 9 相切的直線方程式為 (A)x  y  3 (B)y   3 (C)x  3  0 (D)y  3 (E)x  y  3  0}

【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 將 P(  3,0)代入圓方程式得(  3)2 ₀2 ₉ ∵ P(  3,0)在圓上，即 P 點為切點 又 P(  3,0)在 x 軸上，所以切線垂直 x 軸 故切線為 x  3  0 （ ）12.若方程式 x2 _{ y}2 _{ 2kx  6y  (k}2 _{ k  1)  0 的圖形為一點，則此點坐標為 (A)(4 , 3) (B)(  4 , 3) (C)(  8 , 3) (D)(8 , 3)} 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 _y2 _2kx  _6y  _(k2 _k  ₁₎  _{0 是一點}  (x  k)2 (y  3)2 k2 k  1  k2 32 0  8  k  0  k  8 此點(  k , 3)  (  8 , 3) （ ）13.設圓 C ： 2





2 2 9    x y ，點A



3 ,2



，若 P 為圓 C 上一點，則 AP 的最小值為 (A)2 (B)3 (C)5 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ 32  



2 2



29 ∴ A在圓C外部 圓心O



0 , 2



，r 93 AP的最小值ABOA r 



0 3



2



2 

 

2



2 3 2 （ ）14.圓 2 2 2 6 5 0      x y x y 與直線 2x  y k 0相交，則k的範圍為 (A) 3  k 5 (B) 3  k 5 (C) 4  k 6 (D) 4  k 6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 圓：



x1

 

2 y3



2 5，圓心



1 ,3



，r 5 由題意知 2 2 2 1 3 5 1 5 2 1         k k 5 1 5 4 6     k    k （ ）15.自 A (1 , 2)向圓 x2  y2  2 作二切線，切點為 P、Q，則△APQ 之外接圓方程式為 (A)x2  y2  x  3y  0 (B)x2  y2  5x  5y  0 (C)x2  y2  3x  4y  0 (D)x2  y2  x  2y  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 如圖：圓 x2 y2 2 之圓心為 O (0 , 0) 過 A (1 , 2)向圓所作二切線切圓於 P、Q，

則∠OPA  ∠OQA  90（∵ 過切點之半徑垂直切線）  O、P、A、Q 四點共圓，且以OA為直徑 ∴ △APQ 之外接圓方程式（以OA為直徑） 為(x  0)(x  1)  (y  0)(y  2)  0 即 x2 y2 x  2y  0 （ ）16.下列哪一方程式所表示的圖形為一圓？ (A)x2 _{ y}2 _{ 6x  4y  15  0 (B)} 2 9 y x (C) 2 1 9 x  y (D) 2 2 2 x y  【龍騰自命題.】 解答 D （ ）17.圓 x2 _{ y}2 _{ 4x  6y  12  0 之圓心與點(4 , 5)所連成之直線的斜率等於 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8} 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）18.以(2 , 1)、(3 ,  4)為直徑端點的圓方程式為 x2 _{ y}2 _{ dx  ey  f  0，則 d  e  f  (A)5 (B)2 (C)0 (D)  2} 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）19.圓 x2 _{ y}2 _{ ax  by  c  0 過(  1 , 1)及(1 , 3)兩點，且圓心在 x 軸上，則 a  b  c  (A)  10 (B)  6 (C)1 (D)4} 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ x2 _y2 _ax  _by  _c  _{0 圓心在 x 軸上}  _b  ₀ 又圓過(  1 , 1)及(1 , 3)兩點  2 0 10 3 0 a b c a b c             2 10 a c a c          4 6 a c        ∴ a  b  c  10 （ ）20.若直線 L 的方程式為 2x  y  4  0，圓 C 的方程式為 x2  y2  2x  4y  11  0，則直線 L 與圓 C 有幾個交點？ (A)3 (B)0 (C)4 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 圓 x2 y2 2x  4y  11  0  (x  1)2 (y  2)2 11  12 22 16  圓心(1 , 2)，半徑 r  4 圓心(1 , 2)到直線 L：2x  y  4  0 之距離 2 2 | 2 1 2 4 | 8 4 5 2 1 d      r  ∴ 直線 L 與圓 C 交 2 點 （ ）21.設圓 C 為 x2  y2  2x  4y  4  0，下列何點會在圓外？ (A)(0 , 0) (B)(2 ,  2) (C)(  1 ,  1) (D)(5 , 7) 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）22.設圓 C：x2  y2  25，P (x , y)為圓 C 上任一點，則 x  y 的最小值為 (A)5 (B)0 (C)  5 (D) 5 2_ 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 設 P (x , y)  (5cos , 5sin )  x  y  5cos 5sin

∴ 最小值 2 2

5 ( 5) 5 2      

【龍騰自命題.】

解答 A

（ ）24.設 P 點(  1 ,  2)，圓 C：x2  y2  2x  5y  7  0，直線 L 過 P 點與圓 C 相切於 Q 點，則 PQ _{(A)8 (B)6 (C)4 (D)2}

【龍騰自命題.】

解答 D

（ ）25.設 P (1 , 3)對圓 x2 _{ y}2 _{ 1 作二切線，切點分別為 A、B 兩點，圓心為 O 點，則 OAPB 的外接圓方程式為 (A)x}2 _{ y}2 _{ x  3y  20 } 0 (B)x2  y2  x  3y  2  0 (C)x2  y2  x  3y  0 (D)x2  y2  x  3y  18  0 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 OAPB 的外接圓  以OP為直徑的圓  (x  0)(x  1)  (y  0)(y  3)  0  x2_ y2 x  3y  0