0216 圓方程式
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.試問在坐標平面上,斜率為1 2且通過 x 2 y2 2x 4y 4 0 之圓心的直線方程式為何? (A)x 2y 5 0 (B)2x y 5 0 (C)x 2y 5 0 (D)2x y 5 0 【096 年歷屆試題.】 解答 A 解析 x2 y2 2x 4y 4 0 的圓心為( 2, 4) ( 1, 2) 2 2 ∵ 直線斜率為1 2,且通過圓心( 1 , 2) 2 1( 1) 2 y x 2y 4 x 1 x 2y 5 0 ∴ 所求直線方程式為 x 2y 5 0 ( )2.若圓 C 的方程式為 x2 y2 6x 4y 4 0,則下列各方程式的圖形,何者與圓 C 相切? (A)3x 4y 1 0 (B)3x 4y 2 0 (C)3x 4y 7 0 (D)3x 4y 14 0 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 圓 C:x2 y2 6x 4y 4 0 圓心 ( 6, 4) (3, 2) 2 2 O ,半徑 1 2 2 ( 6) ( 4) 4 4 3 2 r (A) 2 2 | 3 3 4 2 1| 16 5 3 4 d r (B) 2 2 | 3 3 4 2 2 | 15 5 3 4 d r (C) 2 2 | 3 3 4 2 7 | 10 5 3 4 d r (D) 2 2 | 3 3 4 2 14 | 3 5 3 4 d r 故(B)3x 4y 2 0 與圓 C 相切 ( )3.一圓通過A
4 ,2
且與x、 y 軸均相切,則此圓的半徑為 (A)4 或 10 (B)2 或 10 (C)4 或 8 (D)2 或 8 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 rBA
r4
2
r
2
2 r2
r28r16
r24r4
2 12 20 0 r r
r2
r10
0 r2或10 ( )4.已知一圓半徑為 r 且圓心在 (4 , 4) 。若該圓與直線x y 0有二交點,則下列何者可為 r 之值? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 設圓心(4 , 4)到直線x y 0的距離為d, 則 2 2 | 4 4 | 4 2 1 1 d ∵ 圓與x y 0有二交點 ∴ rd 則r4 2≒5.657,故選(D) ( )5.圓心(0, 4)且與 x y 0 相切的圓方程式為 (A)x2 y2 8 (B)x2 (y 4)2 2 (C)x2 (y 4)2 8 (D)x2 (y 4)2 4 (E)x2 (y 4)2 16 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓心(0, 4)到切線 x y 0 的距離為半徑 r ∴ 2 2 | 0 4 | 4 2 2 2 1 1 r 故圓方程式為 x2 (y 4)2 8 ( )6.點 ( 6 , 2)P 到圓 C : 2 2 (x1) (y2) 9上的任一點的最遠距離為 (A)10 (B) 8 (C) 6 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 圓C的圓心為O(1 , 2),半徑為 3 2 2 [1 ( 6)] (2 2) 7 OP 半徑 則點P到圓C上的點之最遠距離為7 3 10 ( )7.設 x2 y2 100,則 3x 4y 的最大值為 (A)2500 (B)500 (C)50 (D)25 (E)10 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓 x2 y2 100 的參數式為 10 cos 10sin x y 0 2
3x 4y 3 10cos 4 10sin 30cos 40sin
∵ 2 2 30 40 30cos 40sin 2 2 30 40 ∴ 50 30cos 40sin 50 故 3x 4y 的最大值為 50 ( )8.若方程式x2y22xky2k 2 0的圖形不存在,則 k的範圍為 (A) 2 k 6 (B) 6 k 2 (C)k2或k6 (D)k 6或 2 k 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析
x22x
y2ky
2k 2 0
2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 4 4 k k x x y ky k
2 2 1
2
1 8 12 2 4 k x y k k ∴ k28k120
k2
k6
0 2 k 6 ( )9.與直線 y 2x 平行,且與圓 x2 y2 9 相切的直線方程式為 (A)y 2x 9 (B)y 2x 3 (C) 2 3 5 0 y x (D) 2x y 3 50 (E)y2x 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 圓的切線與直線 y 2x 平行 故設切線為 y 2x k 圓心(0,0)到切線的距離為半徑長 3 2 2 | 0 0 | 3 2 ( 1) k | | 3 5k k 3 5切線方程式為y2x3 5 2x y 3 50 ( )10.設x、 y 為實數且滿足x2y24,則 4x3y2的最大值為 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 2 2 4 2cos 2sin x x y y ∴ 4x3y 2 8cos6sin2 4 3 2 x y 的最大值 2
2 8 6 2 12 ( )11.過 P( 3,0)且與 x2 y2 9 相切的直線方程式為 (A)x y 3 (B)y 3 (C)x 3 0 (D)y 3 (E)x y 3 0
【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 將 P( 3,0)代入圓方程式得( 3)2 02 9 ∵ P( 3,0)在圓上,即 P 點為切點 又 P( 3,0)在 x 軸上,所以切線垂直 x 軸 故切線為 x 3 0 ( )12.若方程式 x2 y2 2kx 6y (k2 k 1) 0 的圖形為一點,則此點坐標為 (A)(4 , 3) (B)( 4 , 3) (C)( 8 , 3) (D)(8 , 3) 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 y2 2kx 6y (k2 k 1) 0 是一點 (x k)2 (y 3)2 k2 k 1 k2 32 0 8 k 0 k 8 此點( k , 3) ( 8 , 3) ( )13.設圓 C : 2
2 2 9 x y ,點A
3 ,2
,若 P 為圓 C 上一點,則 AP 的最小值為 (A)2 (B)3 (C)5 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ 32
2 2
29 ∴ A在圓C外部 圓心O
0 , 2
,r 93 AP的最小值ABOA r
0 3
2
2
2
2 3 2 ( )14.圓 2 2 2 6 5 0 x y x y 與直線 2x y k 0相交,則k的範圍為 (A) 3 k 5 (B) 3 k 5 (C) 4 k 6 (D) 4 k 6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 圓:
x1
2 y3
2 5,圓心
1 ,3
,r 5 由題意知 2 2 2 1 3 5 1 5 2 1 k k 5 1 5 4 6 k k ( )15.自 A (1 , 2)向圓 x2 y2 2 作二切線,切點為 P、Q,則△APQ 之外接圓方程式為 (A)x2 y2 x 3y 0 (B)x2 y2 5x 5y 0 (C)x2 y2 3x 4y 0 (D)x2 y2 x 2y 0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 如圖:圓 x2 y2 2 之圓心為 O (0 , 0) 過 A (1 , 2)向圓所作二切線切圓於 P、Q,則∠OPA ∠OQA 90(∵ 過切點之半徑垂直切線) O、P、A、Q 四點共圓,且以OA為直徑 ∴ △APQ 之外接圓方程式(以OA為直徑) 為(x 0)(x 1) (y 0)(y 2) 0 即 x2 y2 x 2y 0 ( )16.下列哪一方程式所表示的圖形為一圓? (A)x2 y2 6x 4y 15 0 (B) 2 9 y x (C) 2 1 9 x y (D) 2 2 2 x y 【龍騰自命題.】 解答 D ( )17.圓 x2 y2 4x 6y 12 0 之圓心與點(4 , 5)所連成之直線的斜率等於 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【龍騰自命題.】 解答 B ( )18.以(2 , 1)、(3 , 4)為直徑端點的圓方程式為 x2 y2 dx ey f 0,則 d e f (A)5 (B)2 (C)0 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 C ( )19.圓 x2 y2 ax by c 0 過( 1 , 1)及(1 , 3)兩點,且圓心在 x 軸上,則 a b c (A) 10 (B) 6 (C)1 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ x2 y2 ax by c 0 圓心在 x 軸上 b 0 又圓過( 1 , 1)及(1 , 3)兩點 2 0 10 3 0 a b c a b c 2 10 a c a c 4 6 a c ∴ a b c 10 ( )20.若直線 L 的方程式為 2x y 4 0,圓 C 的方程式為 x2 y2 2x 4y 11 0,則直線 L 與圓 C 有幾個交點? (A)3 (B)0 (C)4 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 圓 x2 y2 2x 4y 11 0 (x 1)2 (y 2)2 11 12 22 16 圓心(1 , 2),半徑 r 4 圓心(1 , 2)到直線 L:2x y 4 0 之距離 2 2 | 2 1 2 4 | 8 4 5 2 1 d r ∴ 直線 L 與圓 C 交 2 點 ( )21.設圓 C 為 x2 y2 2x 4y 4 0,下列何點會在圓外? (A)(0 , 0) (B)(2 , 2) (C)( 1 , 1) (D)(5 , 7) 【龍騰自命題.】 解答 D ( )22.設圓 C:x2 y2 25,P (x , y)為圓 C 上任一點,則 x y 的最小值為 (A)5 (B)0 (C) 5 (D) 5 2 【龍騰自命題.】 解答 D
解析 設 P (x , y) (5cos , 5sin ) x y 5cos 5sin
∴ 最小值 2 2
5 ( 5) 5 2
【龍騰自命題.】
解答 A
( )24.設 P 點( 1 , 2),圓 C:x2 y2 2x 5y 7 0,直線 L 過 P 點與圓 C 相切於 Q 點,則 PQ (A)8 (B)6 (C)4 (D)2
【龍騰自命題.】
解答 D
( )25.設 P (1 , 3)對圓 x2 y2 1 作二切線,切點分別為 A、B 兩點,圓心為 O 點,則 OAPB 的外接圓方程式為 (A)x2 y2 x 3y 20 0 (B)x2 y2 x 3y 2 0 (C)x2 y2 x 3y 0 (D)x2 y2 x 3y 18 0 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 OAPB 的外接圓 以OP為直徑的圓 (x 0)(x 1) (y 0)(y 3) 0 x2 y2 x 3y 0