0216 圓方程式解答

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0216 圓方程式

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.試問在坐標平面上,斜率為1 2且通過 x 2  y2  2x  4y  4  0 之圓心的直線方程式為何? (A)x  2y  5  0 (B)2x  y  5  0 (C)x  2y  5  0 (D)2x  y  5  0 【096 年歷屆試題.】 解答 A 解析 x2 y2 2x 4y  4  0 的圓心為( 2, 4) ( 1, 2) 2 2      ∵ 直線斜率為1 2,且通過圓心(  1 , 2)  2 1( 1) 2 y  x  2y  4  x  1  x 2y  5  0 ∴ 所求直線方程式為 x 2y  5  0 ( )2.若圓 C 的方程式為 x2  y2  6x  4y  4  0,則下列各方程式的圖形,何者與圓 C 相切? (A)3x  4y  1  0 (B)3x  4y  2  0 (C)3x  4y  7  0 (D)3x  4y  14  0 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 圓 C:x2 y2 6x 4y 4 0 圓心 ( 6, 4) (3, 2) 2 2 O    ,半徑 1 2 2 ( 6) ( 4) 4 4 3 2 r       (A) 2 2 | 3 3 4 2 1| 16 5 3 4 d       r  (B) 2 2 | 3 3 4 2 2 | 15 5 3 4 d       r  (C) 2 2 | 3 3 4 2 7 | 10 5 3 4 d       r  (D) 2 2 | 3 3 4 2 14 | 3 5 3 4 d       r故(B)3x 4y  2  0 與圓 C 相切 ( )3.一圓通過A

4 ,2

且與x、 y 軸均相切,則此圓的半徑為 (A)4 或 10 (B)2 或 10 (C)4 或 8 (D)2 或 8 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 rBA

r4

2   

r

 

2

2  r2

r28r16

 

r24r4

2 12 20 0rr  

r2



r10

0  r2或10 ( )4.已知一圓半徑為 r 且圓心在 (4 , 4) 。若該圓與直線x y 0有二交點,則下列何者可為 r 之值? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 設圓心(4 , 4)到直線x y 0的距離為d, 則 2 2 | 4 4 | 4 2 1 1 d   

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∵ 圓與x y 0有二交點 ∴ rdr4 2≒5.657,故選(D) ( )5.圓心(0,  4)且與 x  y  0 相切的圓方程式為 (A)x2  y2  8 (B)x2  (y  4)2  2 (C)x2  (y  4)2  8 (D)x2  (y  4)2  4 (E)x2  (y  4)2  16 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓心(0,  4)到切線 x y 0 的距離為半徑 r ∴ 2 2 | 0 4 | 4 2 2 2 1 1 r     故圓方程式為 x2 (y  4)2 8 ( )6.點 ( 6 , 2)P到圓 C : 2 2 (x1) (y2) 9上的任一點的最遠距離為 (A)10 (B) 8 (C) 6 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 圓C的圓心為O(1 , 2),半徑為 3 2 2 [1 ( 6)] (2 2) 7 OP      半徑 則點P到圓C上的點之最遠距離為7 3 10  ( )7.設 x2  y2  100,則 3x  4y 的最大值為 (A)2500 (B)500 (C)50 (D)25 (E)10 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 圓 x2 y2 100 的參數式為 10 cos 10sin x y        0  2

3x 4y  3  10cos 4  10sin 30cos 40sin

∵ 2 2 30 40 30cos 40sin     2 2 30 40   ∴  50  30cos 40sin 50 故 3x 4y 的最大值為 50 ( )8.若方程式x2y22xky2k 2 0的圖形不存在,則 k的範圍為 (A) 2 k 6 (B) 6   k 2 (C)k2或k6 (D)k 6或 2   k 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析

x22x

 

y2ky

2k 2 0

2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 4 4                k k x x y ky k

2 2 1

2

1 8 12 2 4           k x y k kk28k120

k2



k6

02 k 6 ( )9.與直線 y  2x 平行,且與圓 x2  y2  9 相切的直線方程式為 (A)y  2x  9 (B)y  2x 3 (C) 2 3 5 0 yx  (D) 2x y 3 50 (E)y2x 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 圓的切線與直線 y 2x 平行 故設切線為 y 2x k 圓心(0,0)到切線的距離為半徑長 3  2 2 | 0 0 | 3 2 ( 1) k       | | 3 5k   k 3 5

(3)

切線方程式為y2x3 5  2x y 3 50 ( )10.設x、 y 為實數且滿足x2y24,則 4x3y2的最大值為 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 2 2 4 2cos 2sin         x x y y   ∴ 4x3y 2 8cos6sin2 4 3 2  xy 的最大值 2

 

2 8 6 2 12     

( )11.過 P(  3,0)且與 x2  y2  9 相切的直線方程式為 (A)x  y  3 (B)y   3 (C)x  3  0 (D)y  3 (E)x  y  3  0

【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 將 P(  3,0)代入圓方程式得(  3)2 02 9 ∵ P( 3,0)在圓上,即 P 點為切點 又 P( 3,0)在 x 軸上,所以切線垂直 x 軸 故切線為 x  3  0 ( )12.若方程式 x2  y2  2kx  6y  (k2  k  1)  0 的圖形為一點,則此點坐標為 (A)(4 , 3) (B)(  4 , 3) (C)(  8 , 3) (D)(8 , 3) 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 y2 2kx 6y (k2 k 1) 0 是一點 (x k)2 (y  3)2 k2 k  1  k2 32 0  8  k  0  k  8 此點(  k , 3)  (  8 , 3) ( )13.設圓 C : 2

2 2 9    x y ,點A

3 ,2

,若 P 為圓 C 上一點,則 AP 的最小值為 (A)2 (B)3 (C)5 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ 32  

2 2

29 ∴ A在圓C外部 圓心O

0 , 2

r 93 AP的最小值ABOA r 

0 3

2

2 

 

2

2 3 2 ( )14.圓 2 2 2 6 5 0      x y x y 與直線 2x  y k 0相交,則k的範圍為 (A) 3  k 5 (B) 3  k 5 (C) 4  k 6 (D) 4  k 6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 圓:

x1

 

2 y3

2 5,圓心

1 ,3

r 5 由題意知 2 2 2 1 3 5 1 5 2 1         k k 5 1 5 4 6     k    k ( )15.自 A (1 , 2)向圓 x2  y2  2 作二切線,切點為 P、Q,則△APQ 之外接圓方程式為 (A)x2  y2  x  3y  0 (B)x2  y2  5x  5y  0 (C)x2  y2  3x  4y  0 (D)x2  y2  x  2y  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 如圖:圓 x2 y2 2 之圓心為 O (0 , 0) 過 A (1 , 2)向圓所作二切線切圓於 P、Q,

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則∠OPA ∠OQA  90(∵ 過切點之半徑垂直切線)  O、P、A、Q 四點共圓,且以OA為直徑 ∴ △APQ 之外接圓方程式(以OA為直徑) 為(x 0)(x  1)  (y 0)(y  2)  0 即 x2 y2 x 2y  0 ( )16.下列哪一方程式所表示的圖形為一圓? (A)x2  y2  6x  4y  15  0 (B) 2 9 y x (C) 2 1 9 x  y (D) 2 2 2 xy  【龍騰自命題.】 解答 D ( )17.圓 x2  y2  4x  6y  12  0 之圓心與點(4 , 5)所連成之直線的斜率等於 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【龍騰自命題.】 解答 B ( )18.以(2 , 1)、(3 ,  4)為直徑端點的圓方程式為 x2  y2  dx  ey  f  0,則 d  e  f  (A)5 (B)2 (C)0 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 C ( )19.圓 x2  y2  ax  by  c  0 過(  1 , 1)及(1 , 3)兩點,且圓心在 x 軸上,則 a  b  c  (A)  10 (B)  6 (C)1 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ x2 y2 ax by c 0 圓心在 x 軸上 b 0 又圓過(  1 , 1)及(1 , 3)兩點  2 0 10 3 0 a b c a b c             2 10 a c a c          4 6 a c        ∴ a b c  10 ( )20.若直線 L 的方程式為 2x  y  4  0,圓 C 的方程式為 x2  y2  2x  4y  11  0,則直線 L 與圓 C 有幾個交點? (A)3 (B)0 (C)4 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 圓 x2 y2 2x 4y  11  0  (x  1)2 (y  2)2 11  12 22 16  圓心(1 , 2),半徑 r  4 圓心(1 , 2)到直線 L:2x y  4  0 之距離 2 2 | 2 1 2 4 | 8 4 5 2 1 d      r∴ 直線 L 與圓 C 交 2 點 ( )21.設圓 C 為 x2  y2  2x  4y  4  0,下列何點會在圓外? (A)(0 , 0) (B)(2 ,  2) (C)(  1 ,  1) (D)(5 , 7) 【龍騰自命題.】 解答 D ( )22.設圓 C:x2  y2  25,P (x , y)為圓 C 上任一點,則 x  y 的最小值為 (A)5 (B)0 (C)  5 (D) 5 2 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 設 P (x , y)  (5cos , 5sin )  x y  5cos 5sin

∴ 最小值 2 2

5 ( 5) 5 2      

(5)

【龍騰自命題.】

解答 A

( )24.設 P 點(  1 ,  2),圓 C:x2  y2  2x  5y  7  0,直線 L 過 P 點與圓 C 相切於 Q 點,則 PQ (A)8 (B)6 (C)4 (D)2

【龍騰自命題.】

解答 D

( )25.設 P (1 , 3)對圓 x2  y2  1 作二切線,切點分別為 A、B 兩點,圓心為 O 點,則 OAPB 的外接圓方程式為 (A)x2  y2  x  3y  20  0 (B)x2  y2  x  3y  2  0 (C)x2  y2  x  3y  0 (D)x2  y2  x  3y  18  0 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 OAPB 的外接圓  以OP為直徑的圓  (x 0)(x  1)  (y 0)(y  3)  0  x2 y2 x 3y  0

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