第二节

四、 旋转体的侧面积

充 )

三、已知平行截面面积函数的 立体体积

第二节

一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长

定积分在几何学上的应用

第六 章

一、平面图形的面积

1.

直角坐标情形

设曲线 y  f ( x ) (  0 ) 与直线

) (

, x b a b a

x    _{及 x 轴所围}

则 曲

f

A ( )d d 

b x a

o

y

x

x x

f

A ^b

a ( )d





边梯形面积为

右下图所示图形面积为

y

o a b x

)

2(x f

y  )

1(x f

y 

x x

f x

f

A ^b

a ₁( ) ₂( ) d



 x x d x

例 1. 计算两条抛物线

在第一象限所围 所围图形的面积 .

x x

y² 

o y

x2

y  xx d x

解 : 由

x2

y 

得交点

1





A d

d   ²



3 2 x





0 3 1

3 1 x



3

 1





 ¹

A 0

x x

y²  2

o y

 4

 x y

例 2. 计算抛物

线

与直线 的面积 .

解 : 由

 4

 x

y

^得交点

) 4 , 8 ( , ) 2 ,

2 ( 

) 4 , 8 (

y y

y

A ( 4 )d

d    ¹₂ ²

18

 4

 x

y

_所围图形

) 2 ,

2 ( 



  4y ^{ y}₆^{1 3}



为简便计算 , 选取 y 作积分变量 , 则有

yy y d





 ⁴

A 2

a b

x o

y

x

例 3. 求椭圆

2 2

2  

b y a

x

解 : 利用对称性 ,

x y

A d

d 

所围图形的面积 . 有



 ^a y x A 4 0 d

利用椭圆的参数方程

) 2 0

sin (

cos  





 

t t b

y

t a

x

应用定积分换元法得



 ⁰

2

4 _

A bsin t (asint) dt ^{ 4ab}



b a

 4





^

当 a = b 时得圆面积公 式

x x d

o y

a b x

一般地 , 当曲 梯形的曲 由参数方 边 边 程



 

) (

) (

t y

t x

 

给出时 , 按 顺时针方向规定起点和终点的参数值

则曲边梯形面积



^

^

) (t₁ 对应 x  a

例 4. 求由摆线

的一拱与 x 轴所围平面图形的面积

. 解 :

t

a ² (1 cos ) d

0

2

2



 ^

t t

a d

sin 2

4 ²

0

4 2



 ^

2)

( t

u  令

u u

a sin d

8 0

4 2



 ^

u u

a sin d

16 ²

0

4 2



 ^

16a2

  

4

3  2 1

2



3 a







 ^2 A 0

x y

o 2 a

2.

极坐标情形

, 0 )

( ,

] ,

[ )

(



   



设

^求由曲线





_及









射线

围成的曲边扇形的面积 .

) (



 r

 x



 d

在区间





上任取小区间







则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为

 ^

^



^

2

dA  1 ²

所求曲边扇形的面积为









 ( )d 2

1 ₂





A ^

对应

从 0 变

例 5. 计算阿基米德螺线

解 :

) 0 ( 

 a a

r



ax

 o  2

 d





1 ₂



 ^2 A 0

2 a2

 

 3

3 1



0 2



2 3

3

4





到 2 所围图形面积 .

t t a cos d

8 ²

0

4 2



 ^

例 6. 计算心形线 所围图形的

面积 . 解 :

) 0 (

) cos 1

(  

 a a

r



a x o  2

 d





1 2 (

1 a₂  ₂



 ^

2 0

A



 ^

0

a2

 

2 d cos

4 ⁴

( 利用对称性 )

2

 令t



 8a²  4

3  2 1

2



2

3







 cos² cos

2

1 

) 2 cos 1

2 (

1 



a _2a

o _x

y





1 2 (

1 ₂  ₂



例 7. 计算心形线 与圆

所围图形的面积 . 解 : 利用对称

性 ,

) 0 (

) cos 1

(  

 a a

r



 2

2

2

1 a A 



2





 ^{2 2}

2

1









cos 1 2 2

(3  

所求面积

) 4 2

(3 2

1 ₂  ₂ 







2

2 2

4

5 a  a





a r 









^ 



例 8. 求双纽线 所围图形面

解 : 利用对称性 积 . ,



2cos

2 a

r 





2 cos 1 ₂



 ⁴

4 0^

A



 ⁴

0 2 ^

a cos 2





则所求面积为

4

a2



思考 : 用定积分表示该双纽线与

圆



a r 

所围公共部分的面

积 .

 

^

^

^

^{ }

6



 a

y

o x

4

 

4

  

答案 :

二、平面曲线的弧长

定义 : 若在弧 AB 上任意作内接折 线 ,

M0



1

Mi

Mi

Mn

A B

y

o x

当折线段的最大 边长 → 0

时 , 折 的 度 向于一个确定的极 线 长 趋 为为 为为 限 ,

此极限曲弧

的弧 长 ,

即

并称此曲线弧为可求长的 .

i

i M

M _1

定理 : 任意光滑曲 弧都是可求 线 长 的 .



0 i 1

lim

 

s

则称

s y d

a b x

o

(1) 曲线弧由直角坐标方程给出 :

) (

)

(x a x b f

y   

) (x f y 

弧长元素 ( 弧微分 ) :

x x d x x

y d 1 ²



因此所求弧长

x y

s ^b

a 1 ² d





x x

b f

a 1 ²( ) d





2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

(2) 曲线弧由参数方程给 出 :

) ) (

( )

(

 

 



 

t t y

t x

弧长元素 ( 弧微 分 ) :

因此所求弧长

t t

t

s ^



^

^

t) ( ) d

( ²

2







2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

(3) 曲线弧由极坐标方程给出 :

( )

(

 





 r r

, sin )

( ,

cos )

(

 

 

x  

令

因此所求弧长









 ²( ) ²( ) d



 r r

s







[x ²  y ²







( ²

2 r

r  



则得

 s d

弧长元素 ( 弧微分 ) :

) ch

( 

c c x

c x c  1c sh



例 9. 两根电线杆之间的电线 , 由于其本身的重 量 ,

) (

ch b x b

c c x

y    

成悬链 线 .

求这一段弧长 .

解 :

x d sh

1 ²

 x

c x d

 ch





 ^b x

c s x

0 ch d

2 



 c

c sh x

2 0

b

c csh b

 2

ch 2

x

x e

x e

 



)  (ch x sh 2

x

x e

x e

 



)  (sh x

x sh

x ch c

x

b ^o b y

下垂

悬链线方程为

例 10. 求连续曲线

段



 _

解 :

x y

s ² 1 ² d

2

 





的弧 长 .

x x d) cos

( 1

2 ²

0

2 





x x 2 d cos 2

2 ²



 ^

 ^

sin 0 2

2

2 ₂^{x 2}



 4

例 11. 计算摆线



  

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0)

^一拱



的弧长 .

解 :

) cos 1

( ²

2 t

a 

  a² sin² t d t t

t a 2(1 cos ) d



t t

a d

sin 2

 2

t t a

s d

sin 2

2 2





 ^





 2 2cos 2t

a 0

2

a

 8

x y

o 2_a



 ^{2 2} d

2 a

a 



例 12. 求阿基米德螺线 相应于 0≤

≤2

一段的弧长 . 解 :

) 0 ( 

 a a

r



a x

 o 2

 a r 







( ²

2 r

r s

d   





 a







d

2 1

0





 s a ^{(P349 公式 39)}

 

 1 ²

2



a









 ln 1 ²

2

1

 

0 2



) 4

1 2

2 ln(

4

1



 



 a

a

三 、已知平行截面面积函数的立体体积

设所给立体垂直于x 轴的截面面积为 A(x),

则对应于小区间

^{的体积元素为}

x x

A

V ( )d d 

因此所求立体体积为

A

V ^b

a ( )d





a x x d x b x )

(x A

上连续 ,

x y

o a b x

y

o a b

) (x f y 

特别 , 当考虑连续曲线

段

)]2

( [ f x



轴旋转一周围成的立体体积时 , 有

轴 绕 x b

x a

x f

y  ( ) (   )

x



 ^b V a

当考虑连续曲线段

) (

)

(y c y d

x 



绕

轴旋转一周围成的立体体积 时 , 有

)]2

( [







 ^d V c

x

o x y

) ( y x  

c d

y

a y

x b

例 13. 计算由椭

圆

2 2

2  

b y a

x

所围图形绕 x 轴旋转 转而成的椭球体的体积 . 而

解 : 方法 1 利用直角坐标方

程

y  b    

则

x x

a a

b ^a

d ) (

2 ²

0

2 2

2 



^ 

( 利用对称性 )



 

 ²₂ ^{2 3}

3

2 a x 1 x

a



0

a 2

3

4





o



 ^a

V 2 0



x

方法 2 利用椭圆参数方程









t b

y

t a

x

sin cos

则

0







^ 



 3

 2

2

3

4





1

0

2

特别当

时 , 就得半径为 a 的球体的体 积

3 .

4 ₃



x y

o 2_a

例 14. 计算摆线



  

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0)

_{的一拱与 y ＝} 0

所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体 积 . 解 : 绕 x 轴旋转而成的体积

为

V_x ^{2 a} d

0



 ^



利用对称性







^ 

t t

a (1 cos ) d

2 0

3 3







a d

sin 2

16 0

6 3







u u

a sin d

32 ²

0

6 3









5  4

3  2 1

2



3

5 a







2)

( t

u  令

x y

o



绕 y 轴旋转而成的体积 为













) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0) 2a

y y

x

V_y ^2a ( ) d

0

22













 2

y y

a x

d )

2 (

0

12







)

2 (y x

x 











注意上下限 !









0

2

3 (t sin t) sin tdt a

3

6 a



 _注

)

1( y x

x 



例 15. 一平面经过半径为

的圆柱体的底圆中心

, 并

与底面交成

角 ,



2 2

2 y R

x  

解 : 如图所示取坐标 系 ,

则圆的方程为 垂直于 x 为 的截面是直角三角

形 ,

其面积为



2 ( ) 1

(x R² x²

A   (R  x  R)



 ^R R x x

V 0

2

2 ) tan d

2(

2 1







3 tan 1

2 R x  x





0

R tan



2 ₃

 R

利用对称性

计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .

o

R x y x



o

R x y

思考 : 可否选择 y 作积分变

量 ?

此时截面面积函数是什

么 ? 如何用定积分表示体积 ?

) , ( yx

 ) ( y A

提示 :



2

tan 2

2  y R  y







V ^2tan

^



内容小结

1. 平面图形的面积

边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长

曲线方程 参数方程方程 极坐标方程

2 2 (d ) )

(d

d s  x  y

弧微分 :







d s  r²  r²

直角坐标方程

上下限按顺时针方向 确定

直角坐标方程

注意 : 求弧长时积分上下 限必须上大下小



 ²

1 ( ) ( )d

t

t t t t

A

 









 ( ) d 2

1 ₂



 A

3. 已知平行截面面面积函数的立体体积



 ^b

a A x x

V ( )d

旋转体的体积

(x y A 



绕 x 轴

:

)

( x x

A  

绕 y 轴 :

) (x y y 

思考与练习

1. 用定积分表示图中阴影部分的面积

及边界长

提示 : 交点为

 

A ³ d





y2

x 

0 3

2  

 y y x

o x

1 3

) y

3 2

( y   y²

3

 32

y d

3





弧线段部分 直线段部分





4 5 1

5 37

3     



 s

以 x 为积分变量 , 则要分

两段积分 , 故以 y 为积分变量 .

2. 试用定积分求圆

绕 x 轴

o x

y

R

b

 R

上 半圆为

下

2 2

2 )

(b  R  x  (b  R²  x² )²

 

 ^R

V 2 0

 

b R² 2





求体积 : 提示 :

利用对称性

旋转而成的环体体积 V.