「身為老師上臺就要展現專業，

第四章 研究發現

本研究歷經六個月近四十節的教室觀察、多元資料的蒐集、分析、歸類、

整理，以為「國中數學專家教師教學專業知識內涵」做一研究結果與討論的探究，

並根據本研究之研究目的與待答問題，分為三節，依序分為第一節數學專家教師 的教學表現；第二節數學專家教師所理解的教學專業知識；第三節數學專家教師 成功的教學創新動因。

第一節 數學專家教師的教學表現

教師的教學表現，其所呈現之教學風格與特質深受教師個人的教學背景、歷 練、理念及知識表徵所代表的教學知識影響。本節將依次說明本研究觀察、訪談所 得，對於馬老師在教授數學課程時所呈現之表現，分析其背景來源及主要形態，以 從中去歸納知識表徵所代表的教學專業知識的類型，這在下一節時會提出相關研究 探討。本節分為三部分，壹、馬老師的背景分析；貳、馬老師的教學表現的成因及 教學特質；參、馬老師所呈現教學表現下的主要型態，各部份分別陳述如下：

壹、馬老師的背景分析

馬老師的基本背景資料，如下：

馬老師是一位年齡四十五歲的已婚男老師，教學總年資達十年，在現今學校服務 近七年，任職過導師、副組長、組長、家長會幹事，在每一項工作角色都勝任愉

的學歷，尤其對中輟生輔導及教育現況的探討有深刻接觸表達。

從馬老師個人教師背景、先備經驗及信念探究訪談表中，更詳細知道其成 長過程，他走入教職是歷經一番波折，大學因非師範院校畢業，先在社會上從事 其他行業後，再去美國修習中等教育碩士，起步較晚，近 36 歲才投身教職；這 一路下來包括私校高中 1 年、私校補校半年、國中代課 1 年、公立國中 8 年；通 過學士後教育學分班、臺北縣教師甄試，之後又進修臺灣師大進修部專業輔導學 分班，經歷了師資養成、代課、生手教師的階段，國中時期任教較長，現已屬純 熟階段。由於具有資訊能力又登記為數學科專長資格，在教學應用資訊融入學科 上沒有障礙，可完全表現於教學之中，這是最被學生所信服的一項﹔再者因為本 身是學中等教育出身，對於學生輔導及教育行政支援方面更是投入甚多，研究者 個人就是在學校行政相關工作上結識馬老師為開始，馬老師曾擔任過導師、副生 教組長、特教組長、家長會幹事，平日熱心校務、具溝通及默默的苦幹精神，是 一位好的行政人才、好老師。

至於從學生的眼光來看，馬老師又是如何？如同學接受訪談時說﹕「第一 眼看到馬老師時蠻恐怖的，理個大平頭、嘴上有些許鬍渣，上課聲音時大時小、

又很激動，很難將外表與其內心真實一面聯想起來﹔後來熟悉之後，才覺得數學 老師其實蠻另類的，是很認真、很有方法的老師。」

（S911030-a-talks） 「也記

「當相處久了，我們比較知道老師是多變化的造形，從頭到腳有大小平頭、西裝

（S920227-a-talks）這在整理資料時，覺得可以反應出馬老師的特殊風格，在 此留下介紹。

貳、馬老師的教學表現的成因及教學特質

一位老師的教學操作表現，會產生其教學風格與教學特質，並建立其教師 教學專業角色。正如同 Wilson,Shulman & Richert（1987）在探究教師們的想 法一文中曾提及﹕要當一位教師時，需擁有 l50 項的教學表現，如此方足以面對 每個不同學生的表現。而這種教學的實際表現，它的來源係發自何處？我們現就 以一位數學專家教師的現身說法為素材，整理研究者對馬老師之深度訪談資料及 馬老師發表過之文章等相關文件資料，並藉由同領域內其他專家教師的對他瞭解 作三角檢測，剖析他的教學表現的成因及教學特質。

一、馬老師教學表現的成因

這一部分大都來自看完教室觀察後，由其教學表現的來源去探究，請數學專 家教師的現身說法，回朔或反省出自己的實務教學經驗的生成再生、教育理念的 秉持實現、自認教學成功的關健心得等成因為何？歸納出這種教學的實際表現，

它的來源係發自何處？其中比較重要、較能突顯馬老師的表現有下列六點教學表 現的成因﹕

（一）求學過程的經驗

青少年時期曾為問題學生，至今仍感念中學老師的教晦輔導，沒有走 上歧路，雖走得辛苦但有一番點滴在心頭，更能引以為鑑、提供現身說法

（二）好為人師的信念

由於堅信老師的責任、喜歡與年輕人為伍，投身教人工作是學以致 用；況且，他相信為人師不僅是生活安定、精神生活豐富，也代表理想、

可以改變影響他人，何樂而不為？有樂在為師的信念，主動進取必然有好 的教學表現。

（三）教師楷模的角色

重視“榜樣”的教師角色功能，常引用說﹕「教育無它唯愛與榜樣而 已。」他對自己有要求、想自勵為楷模，曾說﹕「典型在夙夕，亦或在自 我追求還是從旁去找呢？」即時當下為師就該成師。

（四）同儕觀摩的學習

馬老師學習力很強，因此會用心觀摩、分析同儕教師的優點轉化為己 用，並分享他人。他說﹕「最優秀的教師絕不是一個人，而是許多優秀教 師的集合體、是多面向的呈現，尤其更懂得與人合作。」

（五）自我反省的成長

馬老師曾說：「在我剛出道出來作老師時，會效法當時優秀老師作法，

現在卻覺得不太恰當﹔同樣地，我每一年都會覺得自己略有不同，因為時 空在變、觀念要變、作法要變，這一切來自自我反省，你會感覺到成長。」

（六）教學環境的運用

人是活的、環境因人而變﹔環境是創造的、人在環境下潛移默化。馬 老師善用教具、教材資源、資訊融入教學、帶教學活動、生活引例、情境

佈置、課程設計等規劃運用以協助教學，讓教師表現與環境結合為一，相 輔相成。

二、馬老師教師教學特質

他的特質很難單方面形容，但可以說是一個「有經驗」、「有獨特解決問 題能力及作法」、「重視自己現場反應」、「有耐心又堅持理念」、「常會自我省思」、

「保有學習心創新力」的老師。這可由同事領域內的其他專家教師訪談及訪談同 學的反應、學生對數學老師的教學知覺問卷、同儕對馬老師的評語與看法來歸 納，也比較上述六項教學表現的成因，或許顯示有些相關性。也符合本研究中專 家教師的操作性定義﹕一是具有經驗解決問題的能力、二是有反省思考能力、三 是有自成知識體系的知識內涵。

（一）有經驗：

在深度訪談時馬老師曾說﹕「經驗是最佳導師！一個歷經感受所留下 的經驗教訓，會帶來成長改變，如此教學才會長久。」（T911218-type-a1）

他所教的學生說：「老師很有經驗，什麼事都很清楚，我們是被他玩弄於 手掌之間！很難唬過他。」（S920325-a-talks）這可從他帶班風格上，展 現的步調、處理的明快、同學家長的接受程度來看，所具有的一項特質。

（二）有獨特解決問題能力及作法：

馬老師曾說﹕「沒有一個永遠好的解決辦法，只有一個適當可被接受 的方法就是好辦法。」

「現場不立刻處理，有時也是一種適當的方法﹔因

師有時作法很不一樣，令人異樣又意外。例如﹕有一次班上同學忘記帶數 學課本，正常老師會罰站處罰，但他不是，是採老師課本借他，帶回家寫 在自己課本內，明天帶來給老師檢查，下次再忘就要上臺用老師課本教幾 題給同學聽，壓力好大哦！」（S920307-c-talks）當然，這也是研究者在 與他同事多年，認為可以感受到的一項特質。

（三）重視自己現場反應：

在有一次與馬老師聊到教學，他說：

「身為老師上臺就要展現專業，

這個專業有時是現場立即反應，而不是經過深思熟慮或計劃來的，這種機 會常會碰到。」（T911021-talk-p1）同學在問卷中也要寫道﹕「老師每次 要我們上臺寫黑板，就是要看同學的反應，不光是會算還要會解釋﹔也就 是說同學會做的不見得會教，真難！」（S920411-write-a-09）不過由此 可訓練同學的表達能力，很好。馬老師曾做說明：

「學生的反應，常常邏

（四）有耐心又堅持理念：

多次談及與家長溝通時，馬老師會有堅持但又有耐心聽家長談，這點是 要智慧的。他說﹕「對家長如同對學生，有時耐心不可無，但提及對的信念 是要堅守的，就是要打破也要奮戰，讓別人知道我的立意出發點在那裏，可 改變的合理的是什麼。」（T911021-talk-p3）「老師沒有了一些專業的堅持，

很難讓家長信服、間接地也是被社會輕忽教育的專業。」（T911021-talk-p4）

或許這是一位專家教師為所當為的一種特質，蠻常見的。

（五）常會自我省思：

馬老師有寫作習慣，所以常會獨思、省思記錄，這點是研究者看在眼 裏，時時令人印象深刻的。他說﹕「保有反省空間將可納入新意！這是一 種自我成長的激素。尤其時代在變、社會在變教育工作不可能不變，教育 專業是在變的環境中，越變越好，而非隨波逐流。」（T911021-talk-p5）

他的經歷應該算是優秀的了，但還是有如此感慨，真是學無止境、反省令 人成長，愈老愈覺得不懂的太多了。

（六）保有學習心和創新力：

馬老師說他一路的經歷，就是因為想完成當老師心願，所以比別人辛 苦他不覺得不好，在於再學習的動力、時時想創新挑戰環境。

「例如﹕千

（T911021-talk-p6）尤其

這比一眛抄襲或模仿更有意義」。

參、馬老師所呈現教學表現下的主要型態

就任何一位教師而言，必然是內在認知去決定外在言行；正如同先有了先 備知識背景、學習得來的教學知識、內省過的專家經驗或看法，而後才蘊釀出自 己的一套、多套教學歷程之表現，活絡暢用於教學之中。所以，在探究專家教師 教學表現的成因及教學特質之同時，實有必要知道他實際教學表現的主要形態，

質的教學模式。

身為老師的我們都很明白，我們不可能用同樣一種方法來教所有不同的學 科。而且，即使只是一個學科，在不同的時候，我們甚至會用一種以上的方法來 教學。一位老師為什麼要用不同的教學法，是有許多不同的正面因素，如：提高 學習動機，或因應學生背景素質等；但其中一個很重要的理由則是因為「知識表 徵」(knowledge representation) 的類別，會是教學中一個特定單元的表達重 點。知識表徵指的是在我們的長期記憶與工作記憶中，訊息如何呈現的方式（引 自岳修平，民 87，頁 82）。簡言之，教師要靈活運用自己的知識、情境及一切資 源，將所知作最活潑、最實際有效的傳授與呈現。

所以，分析這些教室觀察、教學檔案、師生訪談記綠、問卷調查等資料，

再藉由與馬老師的回饋修正，我們將觀察四十節的研究資料，分類出馬老師的教 學表現主要形態，並從中去歸納知識表徵所代表的教學專業知識的類型，這在下 一節時會提出相關研究探討。現就研究發現，馬老師教學所呈現之教學表現主要 形態，計有以下幾種做說明：敏銳洞察、幽默解說、類比推理、生活化導向、問 題化導向、機會教育、補救教學、銜接課程、學習步道、麻辣題庫、強化重點、

概念聯結、題外話、肢體語言、信心喊話、放下身段、規勸輔導、現場調查、獎 懲與回饋、製造情境、問答對話、走動式教學、分組教學、創新教學、佈題策略、

提問偵錯、上臺演算、指定作業、學生發表、圖表解說、多元評量、習題考試、

留空白時間等三十三種。

這三十三種教學表現的主要形態，我們分別依序說明於后﹕

一、敏銳洞察

1. 馬老師在教學中，相當在意學生的了解程度，常常會口語試探、眼神掃 瞄帶過，或停頓幾秒鐘等待回答；甚至會去鼓勵同學反應出不懂之處。

習慣會在解題或例題講解後，巡視全場觀察同學眼神表情，抽問每排一 位同學是否懂了？（CR911018-a）（CR911018-b）

2. 上課進行的時段，最常反問同學觀念的答案、或在洞察大家回答問題滿 臉疑惑時，他會說﹕「很接近了，很近了，可是還差一點點。」或要求 講出理解的意思，

「不對，我是問你意義，不是答案多少？再想一下。」

比方說﹕「π是什麼意義？」他要的答案是解釋，不只是３.１４而己。

這樣頗能洞察出同學是否真懂？而不只是硬發出來罷了。（CR911029-c）

3. 馬老師有一句名言：「不管帶班或上課，都要有敏銳的溝通能力，為防止 訊息中斷或接收不良，一定要有節奏感的洞察力！」許多認真的年輕老 師，只顧傾倒自己所知，卻毫無在意學生的接收能力，沒有了洞察力去 抓住協調的節奏，成為叫好不叫座的感慨。（T910923-talk）

二、幽默解說

這是馬老師很吸引同學的一項教學表現，是運用他的教學經驗，為了使 學生能輕鬆學習到數學抽象概念、增強印象，以營造輕鬆學習氣氛，充分反 應出一般的教學知識；甚至自創口訣、以較幽默生動的口吻，接近學生想法、

學生語言，來使學生喜歡上數學課。例如﹕

1.

ｘ＝５–３ 我們就可以清楚知道，無所遁形，這隻是２號老鼠。

ｘ＝２ （CR911021-a）

2. ｘ＋３與ｘ＋３＝０ 問台語﹕“圓仔沒圓仔”指湯圓嗎？原來是國語

子 ； 一 個 是 多 項 式 另 一 個 則 是 方 程 式 。

（CR911029-c）

3. 看到同學在小睡片刻時，他會幽默的說：「旁邊的同學小聲點，不要吵到 隔壁的同學睡覺」

，讓同學不好意思自我反省不敢睡了。

或者是「靜靜走到睡覺的同學頭上，做出大衛魔術手勢及誇大動作，讓 在場其他同學爆笑，驚醒了睡覺的同學」

，而睡覺的同學丈二金剛還不知

三、類比推理

這是數學教學上一項很必要的知識表徵，如何運用數學學科的知識？展 現在實務教學操作上，以實物、同音義、同題型來協助理解抽象定義或幫助 記憶，加深、延伸數學概念的建立與推理。例如﹕

1. 三角形內角和等於 180°，用實物三角硬紙卡，現場剪三個角來拼湊出

一個平角，證明內角和等於 180°；同理要求同學推理出，三角形外角

2. 引用“負負得正”的含義說明–（–３）是什麼意思？如何解釋請各組 上臺用語句描述出來：有人說“不欠了３元”就是有了＋３元才可還 錢；另外一組說“在一個定點上，用反方向倒退走３步“就是如同正向

向前走了３步，一樣到同一前進點上。”這是訓練類比的思考，將數學

3.「類推是歸納推理的一種，可以顯現學生推理能力，用在教室中提昇邏輯 思考，我常舉例去引導學生學習。例如﹕要教『倒數』概念，用“白天之 於夜晚如同”，“２之於 ? ”來反問同學思考（這有點像２碰到誰，

結果答案變成１；白天碰到夜晚雖是相反現象，但是是一天的呈現結果。）」

（T920110-talk-p2）

4. Ａ 三角形 ABC 兩邊中點連線段一條 DE 線段與 ？ BC 線段的關係，可以延伸同題型：請問三角 形 ADE 多加了兩邊中點連線段時，此線段與 Ｄ D Ｅ DE線段及 BC 線的關係如何？這是馬老師常常 留下的思考題，讓同學去延伸推理思考。

Ｂ Ｃ （CR911210-a）

四、生活化導向

馬老師常藉生活上的實例，透過自己教學經驗，表現最直接的教學方 法，去啟發同學學習的動機，導引直觀的數學，有助當場理解，這對學生學 習來說格外顯得有意義。例如﹕

1. 在教「估計值」時，“一平方公尺有多大？一坪有多大？這間教室有多 大？”馬老師用隨身的教尺量一下他的教鞭，就量出一公尺多長，大家 站出來比一比，在教室中實際作估算，上課反應熱絡。（CR920307-b）

2. 調查土城市現有人口多少人？現場用手機打電話問市公所，得知後設計 不同的位數做「概算」單元教學，馬上用在生活例子中，很鮮活！（例 如 ： 今 年 的 概 數 多 少 ？ 明 年 增 加 多 少 人 後 概 數 又 是 多 少 ？ ）

（CR920312-a）

3. 馬老師曾說﹕「可以體驗的數學是真知！學生若會引用生活例子來說 明、解釋、求證數學，那真是人生一大樂也！」（T911213-talk-p2）

五、問題化導向

在與馬老師聊到學科教學觀念時，他一直很強調：

「數學的學習並非只

而誤用了他的機會。可是他若給學生們一些和他們的知識相稱的問題，藉以 引起好奇心，同時用些鼓勵的問句去幫助他們解決問題，那他也許就教給了 他們獨立思想的興趣和方法。」（引自張憶壽譯，民 80，Polya，1944 原序）

這種概念不謀而合，引發馬老師常有出現給問題的教學法，用問題化導 向點燃學習的動機、從學習中啟示以保有持續主動學習力。例如：

1. 上新教材單元會以設計的問題，或較接近學生可理解的程度語言，加以 輔助說明，甚至類似以「國文解釋」來類推聯想「數學名詞」；例如：國 文的「規矩」如同是數學的畫圓、畫方的工具，圓規直尺，圓形矩形的 基本特性，就由此舊經驗點燃作探索的開始。（T911121-talk-p1）

2. 問題教學法的表現，結合生活中例子：有一位窗簾師傅套量了一扇落地 窗框長 210 ㎝、寬 180 ㎝，每隔 15 ㎝摺三紋長 6 ㎝並留布邊 2 ㎝，上擺 摺 9 ㎝、下擺摺 15 ㎝，作成左右開兩大面窗簾，請問至少要用多大面積 的布才夠作？現場各組討論派一人上臺說明計算搶答，並用不同的方式 說明，一樣的作法就不用再上臺了。（CR911115-a）教學現場活潑、討論 聲不斷，

「同學很喜歡、搶時間衝上臺，可以提出怪招或對的想法，很刺

六、機會教育

「教學現場中教師的角色是多樣的、是靈活的，因為可以運用現況情 境、或即時性的感觸，給學生最當下的機會教育，如此不但是經師亦是人師 的角色。」（T911231-type-meeting）由於在會議上聽了馬老師這一席話，

引發研究者在教室觀察中要記錄此要項。

1. 在講述“平行”概念時，附帶提到人生有些事是要保持平行碰不得的，

不能相交、有接觸是會碰出火花釀成意外；例如：“毒與賭”，一生都 要與它們保持「平行」永不相交的安全距離。（CR911014-b）

2. 在介紹“圓”的種類概念時，說到何謂同心圓、相等圓、重疊圓？引用 班上同班同學相處學習之道﹕同心圓是圓心（目標志向）同一個，但半 徑（努力能力）的不同；相等圓是半徑相等但圓心不同，是指能力接近 的好同學“死黨”，未來志向目標不同一個；重疊圓是半徑相等且圓心 相同，是指如複製雙胞胎一般，外表一樣內心也一樣的圓。（CR911220-c）

七、補救教學

如果學生沒學好，早期馬老師會把測試不及格的同學全部留下，教過後 同樣卷子再考一遍，但強調要有計算過程。現在的做法是改為平時測驗卷訂 正檢查、並從中抽問、現場做一題解釋給老師聽，段考考卷亦同並算一次平 時分數計算。馬老師知道某些同學很辛苦，會規定如果考 20 分以下的同學，

儘量做答、勾選基本題做給老師看，不會的題目老師再加強教一遍。

（CR910919-a）（CR911016-b＆c）馬老師認為真正有長足效果的補救教學，

是在寒暑假的長時間課輔，在沒有進度壓力下，老師需跳離教科書作一平舖 直敘的整冊觀念整理。

八、銜接課程

馬老師與全校一年級數學老師，普遍洞察七年級學生數學銜接程度有落 差，在召開教研會後決定，由召集人及馬老師、實習老師等幾人，針對小六 及 國 七 學 生 進 行 為 期 四 個 月 的 「 有 關 學 生 學 習 分 數 單 元 行 動 研 究 」。

（T910830-type-meeting1）（附錄十 數學銜接教材行動研究給老師的問 卷）這次是好時機可觀察馬老師參與的情形；後來馬老師表示：

「銜接課程

（T911223-talk-p1）本次行動研究參與的同學，亦有在受訪者當中，所以 請他們說明一下感受：

S1：好複雜！有的時候是作馬老師自己的銜接評量卷，有時候是練習用的 考卷，都搞不清楚。（S920110-type-a1）

S2： 很 好 玩 ， 能 知 道 得 更 多 ， 還 好 我 本 身 喜 歡 數 學 ， 有 幫 助 吧 ！

（S920110-type-a2）

S3：不知道在作什麼？只知道把小學六年級討厭的分數運算，再拿來重教、

重考，沒關係！（S920110-type-a3）

（附錄十一 部分行動研究錄音記錄稿）

九、學習步道

這是馬老師為了配合各國小教材的版本不同，深淺難易不等，先做分類 依單元及難易度，設計一本有步驟的學習題目，稱為「學習步道」（包含國 小的四則運算、整數、分數、小數的混合計算、因倍數等）。重點在瞭解學 生學習起點、複習基本概念，銜接教材內容，因時間有限又顧及課程進度，

現場觀察到僅由導師班實施，利用剛開學時前兩週的每一天早自習、第八節 課推行，馬老師很辛苦。由這看出馬老師在運用專家教師的數學學科知識，

真正投入教學設計，重新為學生的數學基礎打底。（CR910903-a）

十、麻辣題庫

為了提升校內討論數學之風氣、鼓勵研究數學，在數學教研會上老師共 同提議，可以收集各位老師您上課或課外相關題目，支持同仁成立「麻辣題 庫」，引發同學思考、投稿解題，並希望用不同方式來呈現，事後頒獎鼓勵。

（T911029-type-meeting2）由於如此，研究者在課堂觀察到馬老師常會去 思索，丟出麻辣題，訓練同學延伸應用之能力。

十一、強化重點

馬老師在上課時總是會先告知，本節課上課內容重點，尤其在進行中 時時會要求同學劃下重點、記下標準題型，做記號「劃五星級、或學測必 考題、歷屆段考題、馬蹄條（馬老師必考題）」等等，以提醒同學鼓勵有 準備必有分。馬老師認為：

「現今段考或基本學測範圍較以往少、難度較

十二、概念聯結

數學的概念，在縱的方面是如同階梯一般，一層層的往上疊，往往要 複習舊經驗、找出前概念來串接；在橫的方面是如同蜘蛛網一般，一圈圈 擴散出去，要有推理邏輯來聯結，張出相通的概念面。所以，馬老師認為：

關、相通點，打通此任督二脈之後才會功力大增，概念理解強化了，學習 是豁然開朗，前景一片大好。（T920312-talk-p1）舉例而言：

1.講授平行時相關的同位角相等、內錯角相等、同側內角互補，必以三角 形內角和 180°的舊經驗作聯結，其中有鼓勵學生剪紙實作更加深印 象。（CR920310-c）

2.國小的未知數常以□代表，其中未知的比例、分數，以等量公理的方式 作解釋，讓學生了解出「乘的移過等號的另一邊變成除的﹔加的移過等 號的另一邊變成減的」之道理，依此法帶領入 x 的方程式領域。

（T910923-talk）

十三、題外話

老師的角色中很重要的一項工作，是經驗的過來人、被學習的楷模，

兼負身教、言教之責﹔所以在不知不覺中他會影響著學生的言行觀念。有 鑑於此，一個有經驗的老師會運用他的長處、掌握情境，在一般的教學程 序外適時拋出話題，達到拉近師生距離、立下學習信心、建立專業及被崇 拜楷模的形象等等課堂附加價值。這點在馬老師身上是不難看到，有的是 老師主動提起、有的時侯是同學問起，例如﹕馬老師有提起人生專注做一 件對的事，是堅持的、可愛的人；說到「阿明起大學」電視廣告真人真事﹔

還有在民國八十三年自己投入「師培法」與立委一起奮鬥的歷程；我想這 都是對學生有另一番啟示才是。（CR920327-c）

十四、肢體語言

馬老師於課堂中常有誇大的肢體動作，誘過誇大的肢體語言，強化講 解、數學抽象概念，好讓同學在該單元上對於數學印象深刻，或吸引同學

注意，使同學融入樂於學習。例如﹕

1.同學說到：我們老師上課的聲音會時大時小怪嚇人的，或模仿怪聲引起 我們注意，敘述到激動處手舞足蹈全出籠，好好笑！（S910926-talks-c）

2.有一次老師說課時有搞笑動作，太誇張了，比手劃腳要我們「照過來！」

好 像 老 師 體 力 超 棒 的 ， 挺 耍 寶 的 ！ 他 也 說 這 是 犧 牲 色 相 ！

（S910926-talks-b）

3.馬老師有一次問我們，我講笑話好聽嗎？我們班異口同聲的說﹕老師看 到 你 在 台 上 面 部 的 表 情 、 搞 笑 的 誇 張 動 作 就 很 可 笑 了 。

（S910926-talks-a）

4.馬老師的肢體語言有時會配合臉上表情，在上課時作提神的功用；又比 如常有裝出一幅獰笑狀，卻用手搭在愛講話的男同學肩上，假意很友好 的說：「我看起來很親切，對不對？」「你最近是不是在外面說我的壞話 了！」嚇得同學收斂起來、乖乖上課。（CR911002-a）（CR911220-c）

十五、信心喊話

一個細膩的老師，是要停下看看學生學習的障礙在那兒？遇到挫折時 要適時鼓勵、信心喊話。教學歷程中兼顧學生學習心理、學習情緒很重要，

身為專家老師是有洞察能力察覺出來的，也有能力去輔導解決。馬老師是 以提供學習經驗來輔導，加上以同理心、情緒管理的例子來鼓勵。

1. 同學考試心煩、準備不及；馬老師以過去學生時期學習經驗，說到﹕

其實期末考前小考多很正常，我們以前是抱持著考試就是幫忙找錯、

找出自己學習的盲點，就讓每一科考嗎！偵錯比較好準備，重點在期 末考我會考好！告訴自己辛苦不會白費。（CR920114-c）

要是努力了，難過一定有！因為你有付出；但是，不努力就什麼都沒 有，沒有成就也沒有難過，因為沒有知覺，這很可悲！正因有低潮才 有高潮的動力。以前老師曾教過兩個數學不好的同學，但是他們有一 個信念就是「不努力就什麼都沒有」，沒想到分別在一年、一年半拿到 全班的第一名。人是有無限的可能！這個案例讓我記到現在還很鮮 明，同學們加油！（CR911126-b）

十六、放下身段

教師與學生不能有太大的距離，有時該放下身段製造真實的親近印 象，教學中展現「親和力」及「人味」，少了它就不自然；尤其，現今社 會老師的威權不像以往，吸引不了同學就不具魅力。（T920227-talk-p1）

馬老師教學中常有動作、口語上的放下身段之處，例如﹕

1. 黑板上的講解計算，必要時要蹲下、單腳跪地，只講求時效及上課的 專注，不計形象了。（CR910916-b）

2. 有時上課同學回答不出來答案時，向同學說：「快！老師命短還聽不到 答 案 呢 ？ 」 常 自 我 解 嘲 就 是 為 了 製 造 真 實 的 親 近 ， 有 人 情 味 ！

（CR911128-c）

3. 跟自己導師班學生打籃球，被抄球、蓋火鍋，即使嘴上恐嚇同學，也 要笑笑甘之如貽！（CR911209-a-outside）

4. 馬老師認為：曖眛的忍受同學故意拖延請求不要考試、改天再考，這 也是一種刻意的放下身段手法，讓部分同學覺得有得到商量、可以多 準備充分些，但是，切記不可常用！否則會喪失考試的權威、以後不 準時準備的人多了，失去考試的目的、弊多於利。（Ｔ920307-talk）

5. 有時在黑板上計算錯誤被同學指出，馬老師會裝出一幅心虛的笑容：

「其實你們都知道，老師有時會故意寫錯，只是看你們有沒有專心上 課，嘿、嘿、嘿！！」，然後接受同學的揶揄，無形之中拉近師生的距 離。（CR911115-b）

十七、規勸輔導

老師往往是苦口婆心的角色，運用一般教學知識輔導技巧，常在課堂 上出現規勸輔導的功能。就因為同學表現不佳、有鬆懈、沒責任感等反應，

會令老師三令五申一再要求，規勸同學改善做到，這是每一位當老師的一 定會有的表現。馬老師最常規勸同學改善做到，在課堂上有兩件事：第一 是習作、回家作業的完成，即使不得已也要抄完，這是要求責任心；當學 生到校上課、寫作業是天職。第二是很簡單的計算也要用筆算，不可以用 看出答案的，不用筆算用看的數學永遠學不好、也不踏實﹔馬老師會給全 班計算的時間，而且一定一面巡一邊看一邊唸！堅決要求。有時會全班起 立，算出來的請坐下，老師巡迴檢查，不會的同學可以問別人，因此到中 後段時間，就看到教室有人在走動、問聲此起彼落，最後全部都坐下。依 照 馬 老 師 的 說 法 是 ， 運 用 同 儕 壓 力 及 協 助 的 力 量 在 輔 導 學 習 。

（CR910916-b）（CR910918-a）（CR910923-c）

十八、現場調查

教與學之雙向互動，老師要從現場情境中得到學生的反應，學生也由 老師身上看到教學的表現；尤其，身為老師為了立即效果，常常藉由口語 詢問、舉手統計、聲音回饋、眼神表達、書面資料等當下的情境去作判斷，

修正現場步調或課程設計，當然也可調查學生過去的程度、起點行為如

同學聲音的回應；或一堂課中會多次調查“這一題聽不懂的請舉手”；或 眼神巡視後，立刻抽點同學對話。（CR910916-b＆c）（CR910903-a）

十九、獎懲與回饋

一個完整的教學過程是必須包括有評鑑的歷程，而回饋獎勵或糾正懲 罰皆是一種手段，它的目的是在適時給適當的正增強或正趨避，用以評鑑 教學效果。馬老師在這方面是有深思熟慮、應變之道，操作得很仔細、拿 捏恰當﹔尤其，現場即時性的回饋更是常有的事，而獎勵多於懲罰、鼓勵 事後彌補、提供修正機會，讓同學重拾學習信心，安心地學習。例如﹕

1. 遇有同學搶答時，程度好的同學當然比較積極，馬老師會用“很好”、

“很有概 1 念哦”、“很有智慧哦”來回饋，即時口頭獎勵。至於，

關照程度較不好的同學，會另闢一個單元現場作答時間，以下課有交 卷「加分」方式鼓勵他們交回課堂努力的成果，彌補欠缺表現的失落 感。（CR910917-a）

2. 同學說﹕「老師有幫我們分級訂定努力標準，凡是考試評量有達到的 可以加平時成績，這是跟自己比﹔另外如果進步更多，超過全班的進 步平均值，老師會頒獎品或請吃東西，這是跟班上比。我覺得很公平，

又 有 機 會 ， 很 好 ！ 而 不 是 一 直 追 求 比 別 人 強 ， 勝 過 別 人 ！ 」

（S911022-c-M）

3. 也有同學說﹕「老師很恐怖，問到不會的同學會罰站、考試沒有通過 標準的要罰留校，說是陪老師下班﹔其實我們最怕老師纏著、死黏著，

這比乾脆打一打還討厭多了！」（S911022-c-D）

二十、製造情境

上任何課程一個專家教師一定會佈置適合教學的情境，運用它來融入 教學中，製造最佳效果。這往往是經過思考反省，結合教與學的關係，想 要設計達成教學目標，讓同學有「渾然而成、自然而得」的收穫，如此樂 在學習。馬老師從教學環境、教學流程、教材講解等安排方面，有著製造 的用心，我們舉下述例子說明﹕

1. 教 學 環 境 為 了 上 估 計 值 單 元 ， 借 來 城 了土 市 里別 的 地圖 公所 製 、

統計表、某社區戶數圖、擴音機，及海報紙﹔使同學身歷其境知道生 長在土城市的人口、面積、鄰里數、社區戶數等實際估計例子，又可 現場聽到老師用手機聯絡公所最新一手資料，很刺激、很有印象。

（CR920307-b）

2. 教學流程的 例 設 計 小 組 先 發 表 、 講 出 單 元 子

或以演出課 本單 例 元

子內容，來製造引發學習動機之情境。也有安排模仿秀，請小組同學 表演別科老師口吻、手勢、姿態來上數學，點燃上課活力，從活動中 喜歡參與數學﹔這是結合學習的最佳情境表現。（CR911024-a）

3. 教 材 講 解 用 現 場 可 表 現 的 實 物 講 解 讓 法， 同 學看 到活 生的 結 生

果，加深學習印象。例如﹕在解相似三角形角度時，∠A＝2∠B＝∠C 則三角形ＡＢＣ中各角度是多少？請三個同學上臺，用５個蘋果來當 作三角形內角和 180°，請Ａ、Ｂ、Ｃ三同學現場各拿幾個才能表現

∠A＝2∠B＝∠C 式子中比的關係，確定後再求出一個蘋果代表幾度、

兩個蘋果又代表幾度？即三角形ＡＢＣ中各角幾度？（CR911121-c）

二十一、問答對話

露一些訊息，在教與學上各是重要的，尤其提供教師最直接立即求證、

明瞭學生學習現況的好方式。在這強調互動教學、以學生為中心的教學 型態下，問答對話是現今老師必然要充分實施，會善加運用的一項利器。

1. 馬老師常會指定學生回答，若不會就問其他人，讓全班共同注意，

然後儘可能幫助同學順利解答，我們形容是「既期待，又怕受傷害」。

（S910920-b-talks）

2. 「一堂課中通常最少會 10 人被問，此時全班都有機會，也可瞭解學 生學習現況。」（T911002-talk）他的習慣是全班一律平等，程度好 的學生題目較難、而程度較差的題目較簡單，沒人逃得掉。

3. 「我問的內容有時是指定一題、或幾頁中的重點回顧、或一堂課中 你認為懂的部分，是讓學生察覺其真正懂了什麼？意義為何？若能 主動提出且準確的我會讚美予以加分，增強他的求知慾、學習力。」

（T911121-talk-p3）就研究者觀察： 他的問題通常很扼要，而他 要的答案不是差不多（just ok），而是要有很精確（precisely）的 感覺。

二十二、走動式教學

教學是課程設計的一項展現，教學模式導引不同的課程歷程，教師 主動引用不同模式就會產生不同的教學效果。在專家教師課程設計中必 有他的配合教學模式，以符合他的理念、或他所想要達到怎樣的教學目 標？馬老師在此次研究中，特別有用到一些教學模式，本研究發覺這是 重要的實際教學表現，與其背後專家教師教學專業知識有關聯。馬老師 認為：

1.「為了增加與學生親近、瞭解學生個別狀況、甚至即時個別指導；尤 其數學學習上現場演算練習是必要的，老師在課堂中走動巡視，是可

以做到上述目的，而且可以讓老師清楚學生學習的盲點，偵察出修正 教學的方向在那兒？」

（T911220-talk-p1）

2.「課堂間的陳述，絕不限於講台、或僅習慣靜坐，必須師生流動；老 師可以巡迴走動直接和學生面對面對話、看學生練習情形，讓學生感 受到關照而不死板﹔學生也可起立表達陳述或走上臺演示提出問題 與看法，活絡了教學互動生命。」

（T911220-talk-p2）

3.「很多國中小的老師都認為學生會認真上課、或輕忽課堂管理，卻忽

（T920109-talk-p1）

在觀察這麼久，幾乎每一堂課，馬老師到有呈現走動式教學，絕不 會出現一堂課四十五分鐘，教師在講臺上從頭講到尾，教師可以利用考 試的時候、同學抄筆記的時間、演算練習時機，作走動的教學。由此可 見，馬老師的走動式教學，是結合自己理念，貫徹遵行始終不變的教學 模式之一，也符合他對教學用心、對學生盡力付出之教學特質。

二十三、分組教學

以數學課程教學模式來說，採分組教學是常用的模式之一，它只要 注意每個分組是否顧及學生程度的各層分布、可以設計有讓組員角色輪 流表現的機會，這樣就可以製造組員互動頻率，提升學習興趣與程度。

本研究在進行教室觀察時，常常會看到馬老師運用它展現課堂魔力，使 課堂教室充滿生機，學生熱烈反應，有時難免聲音較大，常要加以提醒 壓制。馬老師說：「分組教學是看課程設計需要，避免受趕進度影響，

用，有時也為了讓程度較不好的同學有人可問，拉近同一組互教、互學 通路，必要時要指定習作演示、輔助批改、分組上臺，打同一組一個共 同表現分數，運用同儕力量刺激學習，學會合作學習。但是在整體上應 避免兩個缺點，一是因為提高關懷、互動，會略為降底整體時效，二是 秩序的掌控，在階段性目標完成後，即要恢復。」

（T920227-talk）

二十四、創新教學

教學的新機在於老師有自省能力、運用經驗能力去巧思求變，活用 知識靈感接受挑戰，嘗試創發出另一個教學的生命體。馬老師認為：「數 學教學上常會有更新刺激的機會，在每一章、每一單元、每一個概念，

都有靈感展現新的教法；所謂創新是必須比舊思維有效，重組了架構、

改 變 了 程 序 、 評 估 好 了 ， 而 採 大 膽 的 嘗 試 作 為 。 」

（T920121-type-meeting3）馬老師是個可以接受新知新法的老師，會 主動找企業上或同行、同仁的知識靈感，表現在他的教學、帶班理念、

輔導措施上；就以教學方面來說﹕觀察這麼多他會引用不同的「多樣教 學模式」∼合作式、走動式、分組式、發表式等教學；採不同的評量方 式即「多元評量」∼紙筆測驗、剪圖、表演、分組評量、上臺現測、作 品展示、自我行銷等評量方式。可見他是有心在創造教學的新機、豐富 教學的色彩、更新教學的生命。

二十五、佈題策略

所謂「佈題」是指老師設計某道題、某些題目，供學生透過解題學 習某一、某些觀念或定義者稱之。對數學專家教師而言，在經驗能力上 運用瞭解有關學生學習的知識，去設計佈題策略，這是很重要的一項教

學能力，也可以事半功倍使學生學習得更上手，老師教的更順暢，達到 師生雙贏的局面。一般來說，馬老師比較常用在給學生練習卷、評量卷、

分組共同思考題上，有計畫的佈題，甚至統計出資料作為修正、補強教 學之用；有時課堂中也有安排例題作為佈題，來講解重要觀念或定義、

不僅告之標準題型也有加深印象之功用，蠻有經驗的。（CR911016-b）

二十六、提問偵錯

課堂上師生是必須互動，老師無非想多一點知道學生到底懂了沒？

疑惑在那裏？學生也無非是想多聽懂老師在傳授什麼？怎麼問老師？

馬老師曾說：「“佈題”是書面或傳達對象的單線偵借與校正，往往是 老師對學生的動作為主﹔但“提問”是對面或直接對象的雙向偵錯與 校正，常是一問一答往來的立即反應。」

（T920227-talk）

馬老師提問的題目，多為觀念或邏輯的判斷，目的在刺激學生思 考、分辦其數學解題步驟中，同學常犯或可能犯的錯誤觀念，進而強化 數學解題觀念，使他們重拾對數學的信心。要求同學在解題過程中配合 大聲說對或錯，遇有離譜的或無聲無息時，就會重新停頓反問及解釋，

如此可以更加清楚學生舊經驗的盲點，釐清數學觀念，若學生回答的夠 水準時，亦會斟酌獎勵。（CR911220-c）

二十七、上臺演算

對數學科而言，學習者會作演算、解題步驟能寫出來，這是瞭解數 學置身數學的第一步。身為數學專家教師熟悉學科專長知識的馬老師，

常會運用課堂上５至１０分鐘，作配合學生程度的上臺演算，並嘗試讓

演算課本、習作、測驗卷，將計算過程或圖形寫在黑板上，一次五題５ 人上臺，由同學講解老師補充提問。馬老師規定任何同學在臺上講解 時，臺下均須有風度保特肅靜，否則扣分。（CR910917-a）根據馬老師 的說法：某種解題方式由同儕說出，有時同學更容易懂、容易吸收，但 同學輸流上臺並不代表老師可偷懶，更需要去扼要的再快講一次，作澄 清或加深的說明。（T911016-talk）

二十八、指定作業

馬老師會思考反省學生的程度與學習狀況，到底要如何去誘發對數 學的學習興趣，所以，對習作有不同的要求、每個人有共同的指定題、

也有不同的補充題或程度題，可以因程度做調整。對於補救教學更有不 同的教學題目及練習題的設計，原則上是採選題方式、會得人全選、較 不會的人僅選基本題重新再教。幾乎每節課都會指定一、兩題，交待回 家寫好，下一節課上臺演算，列入平時表現成績，又是多元評量的依據。

（CR910924-b）

二十九、學生發表

「給學生發表舞臺，可表現真實的一面！」「在我的課程設計中，

發表式教學是佔有重要的份量，要不是顧及進度，我會思考讓學生來多 做！」（T911021-talk）觀察下來，馬老師大多有分組的發表、分題發 表、個人發表、讀書心得發表等方式﹔例如：

1. 有時成績好的同學會想“現”就用分題發表、進步極大的同學就讓 他發表“撇步”。（CR911217-b）

2. 個人有對讀書或學習上有心得的可用讀書心得發表。（CR911107-c）

3. 屬於團體創作的就用分組的發表、學生所問的問題，有價值或代表 性的，請其上臺畫出或寫明題意，再由個人發表。（CR911018-a）

「大約一學年下來多數的學生，不會完全信任課本、習作及認為老 師一定能提供標準答案，藉由學生發表他們也會挑出課本印刷錯誤，及 編排深淺等個人看法。」馬老師如比說。（T920317-talk-p1）

三十、圖表解說

在數學專家教師經驗上會藉圖表或製卡操作來教學，這是常會被發現 的，直觀的教學是最好的方式。馬老師偶爾會用出版商提供的教具圖表，

但多數是用簡單的器具將書本的概念作解釋，他認為﹕最好的教具是自己 設計過的、垂手可得的，不必藉由一定的或美觀的模型道具、在某種程度 上讓教具遠超過一般教師能力，這是反主其道，值得深思。

（T920109-talk）

三十一、多元評量

馬老師會引用多元智慧的教與學一書中的話，來印證自己對評量的 看法：他說看學生的評量要知道，一是否有隨時間的成長變化、二是否 有多向度的、三是可否有為教學提供資訊、四是學生是否有表現主動 性、五是可以逐量完成或有非正式的表現。（T920109-talk）所以，觀 察結果有時會去求證回顧，其對學生的評量方式，例如：習作可依程度 逐量勾選、有以做圖表做模型方式評量、起點行為測驗、學生上課工具 的檢查、剪報資料、紙筆考卷的整理、上課筆記、上課對話記錄、上台 演算表現、分組角色扮演、數學步道及麻辣數學解題等多元方式。

（CR910918-a）（CR910924-b）（CR911220-c）

平日成績雖不是頂好，該題目可以有另類的方法算出來，他會仔細聆聽 該同學的解題思路，並作為下一次教學的參考。他說：「多元評量的精 神之一，無非就是發掘到學生的未知領域、其他的潛力，希望能導入一 些對數學的探索興趣。」（T920317-talk-p2）

三十二、習題考試

馬老師的考試有其目的；一種是先發下要考的試卷平時從中選題出 來考，題型會稍做更動，原來選擇變填充題、填充題變計算題，可鼓勵 誘發做答動機﹔第二種是絕對滲有上課提醒要考的題目試卷、或上課要 求做記號的重點題，如此可強化上課專心、有目標有重心的學習；第三 種是考過的考卷、檢討後的考卷會再重考，加上一些老師個人出題，以 給同學信心、重新學會。至於習題指派，大致上分為課本上例題、隨堂 練習、動動腦及評量、自創勾選題，會依程度來調配。根據馬老師的說 法：「考試出題對他來說並不輕鬆，老師要有自己單元的題庫，至少要 教過三年才算完整，如此配套於教學之中、規定於習作練習內容，比較 有整體設計，這是專家教師的一種必備風格與表現」。（T911210-talk）

三十三、留空白時間

一位有經驗的專家教師一定會讓同學保有“空白時間”，這是為了 同學有時間回想、澄清、沉澱、思索，這一堂課所聽的重點概念﹔也可 以去對論相互澄清。有時這也是自我學習、演算的時間，老師可以下去 巡視接近同學，直接對話立即解決困擾，所以適當的停頓、休息，反而 是一種進力，走得更踏實。馬老師如此說。（T920312-talk-p3）並且在 可能情況下給學生一些時問思考問題、寫習作，甚至提前一、兩分鐘讓

學生先抬便當，和學生話家常，這種非教學的空白時間運用，是有其意 義 的 ， 絕 非 是 “ 放 牛 吃 草 ” ， 如 此 是 對 它 表 面 上 的 一 種 誤 解 。

（T920312-talk-p4）

綜合以上三十三種教學表現的主要形態，這是一位數學專家教師在面對高深 抽象的數學知識，欲將此數學知識經由自己傳達給學習者時，若能真正多為同學 們考量其學習的先備經驗、先備知識，並加以融合自己教學上的學科教學知識，

運用情境、瞭解學生學習心理，以呈現最有效課程設計的教學表現，以及表現出 教學特質時，必可將數學學科知識傳達的更事半功倍，並能獲取其最大教學成效。

第二節 數學專家教師所理解的教學專業知識

本節是對於馬老師在教授數學課程時所呈現之表現，在分析其背景來源及主 要形態後，再從中去歸納知識表徵及經驗能力、思考反省所代表的教學專業知識 的類型。由本研究第二章文獻探討中所言對「專家教師」的意涵，指出：（一）

專家教師在知識表徵上，擁有豐富且融會貫通的學科知識、教學知識、情境脈絡 知識及教學內容知識等授業知識體系。（二）專家教師在經驗能力上，具有自己 慣例型式解決問題之方法，並賦有尋求更有效率、有創造力的創新型式的解決問 題能力。（三）專家教師在思考反省上，擁有敏銳的洞察力、自我反省能力，能 自動監測、評估、修正教學歷程中的策略，謀求最佳模式，以便更有效能的去解 決教學問題。所以，我們針對此專家教師教授數學課程時所呈現之表現，及學生 對數學學習狀況、學生對數學教師的知覺反應，提出個案教師對教學專業知識及

問卷調查為佐證，來評估「專家教師」這三方面的內涵下，所理解出有何種的教 學專業知識的類型。

我們發現對於專家教師所理解的教學專業知識，並非有一定明顯區分，或嚴 格界定在那一項實務教學時，被單獨「知識表徵化」、「經驗呈現化」、「思考反省 化」，亦即有可能是隨時在混合著，它包含有對知識的理解、對技巧的經驗、對 反思的想法滲雜其間，綜合表現在實務教學內。就如同張惠昭(1996)提到根據 shulman(1987)的說法，認為教師的教學專業知識，乃是教師為達成教學工作，

所具備的各種想法、理解、技巧。

我們依據所研讀文獻心得，認為專家教師所理解的教學專業知識走向知識化 (知識結構)、成長化(終身進修)、全面化(多元重視)。本研究教學專業知識之內 涵應包括：一般教學知識、學科專長知識、學科教學知識、有關學生學習的知識、

教與學運用情境的知識、課程知識等六部分。當然，這六大部分並非全然是獨立 的個別部分，它是具有關聯性、重疊性，有時是會相互產生或連貫多元運用的，

基本上應該是融會貫通渾然而生，也必須保持成長進化、以符合現況的最大需 求。所以分類只是方便研究之敘述，更明白分析的方向而已。試分述如下：

壹、一般教學知識

在此探討馬老師進行課堂教學活動、班級經營、所具備的一般性教育理念、

知識系統及策略。從上一節提到三十三項實務教學表現主要型態來看，我們發現 極其相關，且都有交錯運用，試就相關教學表現型態，以綜合出那些一般教學知 識的內涵。

一、 敏銳洞察—顯見馬老師的洞察力、修正教與學的活動節奏，掌握學 生的注意力、強化教學管理，可見擁有教學者基礎教學的能力與思考反 省的內涵。

二、 幽默解說—表現了馬老師的人格特質，可親近、善溝通，讓同學先 喜歡老師進而喜歡上數學課學習數學，這是一位有經驗的專家教師的特

長教學方法之一，善用其基本教學知識。

三、 題外話—馬老師善用題外引例，表達出教學者的教育理念、哲學觀，

希望藉個人經驗能力，以收潛移默化之效，這是專家教師一般教學知識 的自然傳達。

四、 強化重點—觀察出馬老師把單元知識歸納出重點，方便同學學習，讓 同學相信努力的必有收穫，待成績效果一出來，自然可增強學生學習成 就感及自信心。這是專家教師運用基礎教學在知識系統上促進學生學習 的一種表現。

五、 放下身段—從馬老師自然的反應在師生互動、拉近彼此距離，這種 放下身段的表現，無非是經過思考反省評估，有其背後的教學目的、教

育目標，也吻合其人格特質；如此可看出專家教師所要達成教學的同 時，是以他的一般教學知識為基礎，而絕不是為討好學生、違背自己人 格的一種被迫表現。

六、 規勸輔導—這一部份是看到馬老師運用教學者輔導的知識概念，去轉 化傳達教育理念，運用一般教學知識的輔導技巧，對同學表現不佳、有 鬆懈、沒責任感等反應，在課堂上苦口婆心、出現規勸輔導的功能。

從以上的實務教學表現，結合進行課堂教學活動、班級經營的觀察，

我們認為馬老師的一般教學知識其內涵應包括﹕擁有教學者基礎教學的概

管理基本知識等。

貳、學科專長知識

本項範圍指著重在數學專家教師，在數學學科的教學過程中，教授內容、引 用及延伸的學科教材內容的知識。研究者進入馬老師的教學情境，經過一段時期 的觀察後發現，馬老師為了進行數學學科教學，不但運用了他的數學學科知識，

也引用其他學科的某些概念，來解說數學學科的內容。

一、 類比推理—馬老師認學數學學科特質在理解邏輯、演算推理，進而創造思 考﹔所以教學上運用類比，以實物、同音義、同題型來協助理解抽象定 義或幫助記憶，加深、延伸數學概念的建立與推理，這是數學學科知識的 一項重大表徵。

二、學習步道—馬老師運用數學學科的結構，在瞭解學生學習起點、複習基 本概念，銜接教材內容，設計一本有步驟的學習題目，稱為「學習步道」。

由此看到教導數學學科內容的設計、表現出數學專家教師數學學科知識的 專業內涵。

三、麻辣題庫—馬老師為了提升校內討論數學之風氣、鼓勵研究數學，收集校 內數學老師上課或課外相關題目，支持同仁成立「麻辣題庫」，引發同學 思考、投稿解題，並希望用不同方式來呈現，事後頒獎鼓勵。這不僅是鼓 勵引用學科知識，也延伸了數學專家教師數學學科知識的內容。

四、上臺演算—從課堂操作上有如此過程，不難知道是一位數學專家教師熟悉 學科內容、會運用經驗表達自己專長教學的知識、要求學生對數學有最好 的現場置身表現，也考驗學生演算能力。

五、圖表解說→這是善用教具及其他學科相關概念的借例，來協助學科內容的