勾股定理證明-G205

(1)

勾股定理證明-G205

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH .

2. 取 AB 的中點 O 點，過 O 點作垂直 AC 的直線，在此直線上取 F 點, S 點使得

2 AC BC FOOS   .

3. 在 OS 上取一點T ，使得 FT  ACb，以 A點為中心， FT 為邊長作正方形 FTVG . 4. FT 與 CA 相交於 D 點，直線 AH 與 FG 相交於 L 點。

5. 直線 AB 與 GV 相交於U 點，TV 與 AH 相交於 P 點。

6. 以 ST 為邊長作正方形 STQR .

7. 直線QR 與 HK 相交於 M 點，直線 RS 與 BK 相交於 N 點。

A B

H

C

K G

F

N

M L

O

P Q

R

S U T

V

D

【求證過程】

以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 FTVG 的面 積加上正方形 STQR 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明四邊形UGLA、四邊形 PVUA、四邊形 OTPA 皆與四邊形 LFOA全等：

(2)

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^y^90^。因為 CAB x^, ODA90^，所 以 DOA  y^，可推得FLA180^y^。因為LFO90^  UGL,

90

LAO ^ UAL

    ，所以

LFOA UGLA

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等，

又因為 A點為正方形 FTVG 的中心且 OU LP，所以 OA LA , LA UA ，因此

LFOA UGLA

四邊形與四邊形全等。

同理可證

UGLA PVUA

四邊形與四邊形全等，

且

PVUA OTPA

四邊形與四邊形全等，

故

UGLA PVUA OTPA LFOA

四邊形、四邊形、四邊形皆與四邊形 全等。

2. 證明四邊形 NSOB 與四邊形 LFOA全等：

因為 CAB  x^, ODA90^，所以 DOA  y^。因為 SOB  FOA y^, 90

OBN ^ OAL

    , NSO90^  LFO，所以

NSOB LFOA

又因為 1

OB 2ABOA,

2 2

AC BC a b

SO    FO，所以

NSOB LFOA

3. 證明四邊形 OTPA 與四邊形 NSOB 全等：

由第 1 點知四邊形 OTPA 與四邊形 LFOA全等，由第 2 點知四邊形 NSOB 與四邊形 LFOA全等，故

OTPA NSOB

4. 證明四邊形 NSOB 與四邊形 MRNK 全等以及四邊形 MRNK 與四邊形 PQMC 全等：

因為SOB y^ 180^ BNS  RNK, NSO90^  MRN, 90

OBN ^ NKM

    ，所以

NSOB MRNK

又因為四邊形 OTPA 與四邊形 NSOB 全等，所以 1 1

2 2

BN OA AB c且 OT SN。

(3)

因為 1

BN  2c NK, OS OTTS SN RS NR，所以

NSOB MRNK

同理可證

MRNK PQMC

5. 由第 1、2、3、4 點知四邊形UGLA、四邊形 PVUA、四邊形 OTPA、四邊形 NSOB、 四邊形 MRNK、四邊形 PQMC 皆與四邊形 LFOA全等。

6. 證明正方形STQR 的面積為a ： ²

因為 2 2

AC BC AC BC

ST FO OS FT     AC BC a，所以 STQR a2

正方形的面積為。 7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH OTPA NSOB MRNK

PQMC STQR

LFOA LFOA LFOA

LFOA STQR

  

 

  

 

四邊形四邊形四邊形

四邊形正方形

正方形面積面積面積面積

面積面積

面積面積面積

四邊形四邊形四邊形積正方形

面四邊形

2 2

,

LFOA UGLA PVUA

OTPA STQR

FTVG STQR

b a

  

 

 

四邊形四邊形四邊形

四邊形正方形

面積

面積面積面積

面積面積正方形面積正方形

面積

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Perigal, Henry(1873). On geometric dissections and transformations. Messenger of Mathematics, 2, 103.

2. 心得：此證明的切割方式比較特別，將正方形 ABKH 切割成四個四邊形以及一個小 正方形，接下來再把四邊形的面積再轉換，由於必須證明一些四邊形的全等，

所以整個證明是比較複雜的。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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(4)

4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：