勾股定理證明-G094
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 過 D 點作 AB 的平行線，分別與 BC , AC 交於 S 點, L 點。
3. 過 G 點作 HK 的平行線，分別與 AH , BK 交於 P 點, Q 點。
4. 過 L 點作 AB 的垂線，與 AB 交於 M 點。
5. 在 AG 上取一點 N ，使得 GN BC，且過 N 點作 AC 的平行線，與 AH 交於 O 點。
6. 延長 NO , GP ，使其相交於 I 點。
7. 連接 LG 。
A B
C
D E
F
G
H K
M L
O
N R
P Q
S
I
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 AON 與三角形 BRF 全等：
由作圖的平行關係可知 AH // BK , AG // CF ，因此 OAN RBF，又因為
90 ANO BFR
，且 AN AG GN CFBCBF，所以 AON BRF
(ASA 全等).
2. 先證明三角形 ELD 與三角形 CAB 全等，再得到 ELCA：
由作圖的平行關係可知 AL // BD , LD // AB ，故四邊形 ALDB 為平行四邊形，因此
BDBC，又因為 ED CB , E ACB90，所以 ELD CAB
(RHS 全等).
3. 先證明三角形 AGL 與三角形 CAB 全等，再得到 AGL CAB, LG AH： 因為 EL CA ，所以 AL CA LC ELLCECCB，又 AG AC,
90 GAL ACB
，所以
AGL CAB
(SAS 全等).
可得到
AGL CAB
, LGBA AH. 4. 先證明 LG // AH ，再得到 LMG共線, LM PH：
因為CAB 90 GAB HAG，又 AGL CAB，所以 AGL HAG，故 LG // AH (內錯角相等).
又因為 LM // AH ，所以 L M G 共線。
由作圖的平行關係可知四邊形 APGM 為長方形，因此 APMG，又因為 LG AH， 所以
. LM LGMG AH APPH 5. 證明四邊形 PQKH 的面積與正方形 BCED 的面積相等：
由作圖的平行關係可知四邊形 PQKH 為長方形，四邊形 LDBA為平行四邊形，因此
PQKH PQ PH AB LM
LDBA BD BC
BCED
長方形 面積＝
＝
＝平行四邊形 面積 ＝
＝正方形 面積.
6. 證明三角形 IOP 與三角形 GRQ 全等：
因為 AON BRF，所以 AOBR，又 AP BQ ，故 OP AP AO BQ BR RQ . 且由作圖的平行關係可知IPO GQR90, IOP GRQ，因此
IOP GRQ
(ASA 全等).
7. 證明三角形 NIG 與三角形 CAB 全等，：
因為 GN BC，且由作圖的平行關係可知ING ACB90, IGN ABC， 所以
NIG CAB
(ASA 全等).
8. 說明四邊形 ONGP 與三角形 GRQ 的面積和等於三角形 NIG 的面積：
因為 IOP GRQ, NIG CAB，所以
ONGP GRQ ONGP IOP
NIG CAB
面積＋ 面積＝ 面積＋ 面積
＝ 面積
四邊形 四邊形
＝ 面積.
9. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
AON G
ABKH ABRG
ONGP A
RQ PQKH
BRF CAB
B BR
E G C D
正方形 面積＝四邊形 面積＋ 面積
＋(四邊形 面積＋ 面積)＋長方形 面積 ＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＋正方形 面積
＝正方形ACFG面積＋正方形BCED面積.
得到
2 2 2
, AB AC BC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1900 年 7 月 20 日想出來的。
2. 心得：此題的作圖與 G095 相似，但證明過程更加繁瑣，證明的關鍵在於LM G三點 共線。此外，原作者所寫的三角形 ALM 與三角形 GRQ 的面積相等，是錯誤的，
因此又另作一個與三角形GRQ全等的三角形IOP來輔助證明。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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