勾股定理證明-G053
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 過K點作一直線L平行AC。 3. 延長CB，與直線L交於Q點。
4. 延長GA，與HK交於R點，與直線L交於O點。
5. 延長DB，與AR交於M 點。
6. 過H點分別作直線L, MO的垂線，與直線L交於N點，與MO交於P點。
7. 連接MN, DQ。
M
R P
A B
C
D E
F
G
H K
Q
O
N
L
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先證明圖中的三角形全等，再 利用作圖的平行關係，得到兩個平行四邊形AMNH與MBKN，經過全等圖形的增補與 移除關係，分別得到正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積，來推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 BAM ，三角形 AHP，三角形 KHN ，三角形 BKQ 皆與三角形 ABC 全等：
因為BAH 90 CAB ABC，且ABAB, ACB AMB 90 ，所以 BAM ABC
(AAS 全等), 同理可證
AHP ABC
, KHN ABC, BKQ ABC. 綜合以上結果可得
.
BAM AHP KHN BKQ ABC
2. 證明四邊形AMNH, 四邊形MBKN皆為平行四邊形：
由作圖的平行關係可知AM //HN，又因為BAM KHN，所以AM HN. 因此 四邊形AMNH為平行四邊形.
同理可證
四邊形MBKN為平行四邊形.
3. 證明四邊形HPON，四邊形MBQO皆為正方形：
由作圖的平行關係可知四邊形HPON為長方形，又因為AHP KHN，所以HPHN. 因此
四邊形HPON為正方形.
同理可證
四邊形MBQO為正方形.
4. 證明平行四邊形AMNH面積等於正方形HPON面積，平行四邊形MBKN的面積等於 正方形MBQO面積：
AMNH HP
HP HN
ON
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
同理可證
MBKN BQ
MB MB
QO
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
5. 證明正方形HPON面積等於正方形BCED面積，正方形MBQO面積等於正方形ACFG 面積：
因為AHP KHN ABC，所以HPHN BC. 因此
HN BC
HPON HP
BC BCED
正方形 面積＝
＝
＝正方形 面積.
.
同理可證
MB AC
MBON BQ
AC ACFG
正方形 面積＝
＝
＝正方形 面積.
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH BAM AHR MBKR
KHN AHR MBKR
AHNKBM
AMNH MBKN
正方形 面積＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積 ＝凹六邊形 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
HPON MBQO
BCED ACFG
＝正方形 面積＋正方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.157). New York : Macmillan and co.
2. 心得：此題先證明圖中的三角形全等，再利用作圖的平行關係與全等圖形的增補，
將正方形 AHKB 分割成兩塊平行四邊形，再利用底高的面積計算概念，分別 將兩塊平行四邊形轉換為面積相同的正方形，進而推得勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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