第三章 导数与微分

微积分

第三章 导数与微分

• 引例

• 导数概念

• 导数的基本公式与运算法则

• 高阶导数

• 微分

微积分

3-3 导数的基本公式

微积分

初等函数微分法

求导数的方法称为微分法。用定义只能求 出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数

、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对 于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就 来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于 这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函 数——初等函数的导数，从而是初等函数的求 导问题系统化，简单化。

微积分

微积分

微积分

（ 2 ）算比 值：

2 sin 2 2 )

2 cos(

sin 2 )

cos(

2

x x x x

x

x x x

x y



 



 



 

 



（ 3 ）取极限：

2 sin 2 2 )

cos(

lim d lim

d

0

0 x

x x x

x y x

y

x

x 

 



 

 









(sin )x   cos x

(cos )用类似的方法，可求得余弦函数 y=cosx 的导数为：x   sin x

微积分

) 0 ,

0 ,

0 (

log   

 x a a x

y

x

x x x

x x

y 

  



 

 log ( ) log log

 

 



 



 x

x

a

1 log

x x a

a

x x x

x

x x x

y

 

 



  

 

 

 



  

 

 log 1 1 log 1

微积分

x x x a

x

x

x x

x y x

y













 



 



 

  1 log 1

lim d lim

d

0 0

a x

x

ln

e 1 1 log 



a x x

a

ln

) 1 (log  



x 1 x )

(ln  

特别地

微积分

x

y 

n

x

x x

y    

 ( )

n n

n

n n x x x

x

nx ( ) ( )

! 2

) 1

(

1

      





1 2

1

( )

! 2

) 1

(



     

 



x x

n x nx n

x

y 

1 2 1

0 0

d ( 1)

lim lim ( )

d 2!

n n n

x x

y y n n

nx x x x

x x

  

   

   

         

1

nx

   ^x

^nx

微积分

一、和、差、积、商的求导法则

定理

并且 可导

处也 在点

分母不为零 们的和、差、积、商

则它 处可导

在点 如果函数

,

) (

, )

( ),

(

x x

x v x

u

).

0 )

( ) (

(

) ( ) ( )

( ) ] (

) (

) [ (

) 3 (

);

( ) ( )

( ) ( ]

) ( )

( [ ) 2 (

);

( )

( ]

) ( )

( [ ) 1 (

2  

 



 

 

 

 

 

 

x x v

v

x v

x u x

v x u

x v

x u

x v

x u x

v x u

x v x

u

x v

x u

x v x

u

微积分

) (

)

( x v x u

y   设

) (

) (

) (

)

( x x v x x u x v x x

u       



v x

u x

x v

u  

    

 ( ) ( )

) (

) (

) (

)

( x v x x u x v x

u  

 

) (

) (

) (

)

( x x v x x u x v x

u

y        



证(1) 略 .

证（ 2 ）

微积分

x x v

u x

x x v

u x

y



 







   (  )  ( ) 

) (

) (

) ( )

(

] )

( )

( [

lim

lim

x v

x u x

v x

u

x x v

u x

x x v

u x

y y

x x

 



 













 







 













微积分

证 (3)

), 0 )

( ( ) , (

) ) (

(

v x

x

v x x u

设

f

x

x f x

x x f

f x 





) ( )

lim ( )

( 0



 

 

x

x v

x u x

x v

x x

u

x









) (

) ( )

(

) (

lim

 





x x

v x x

v

x x

v x u x

v x x

u

x  





 ( ) ( )

) (

) ( )

( ) lim (

0 





 



微积分

x x

v x x

v

x v x

x v x u x

v x u x

x u

x  





 ( ) ( )

)]

( )

( )[

( )

( )]

( )

( lim [

0 









 



) ( ) (

) ( )

) ( ( )

) ( ( )

(

lim0 v x x v x

x

x v x

x x v

u x

x v

x u x

x u

x  







 



 



 



 

)]

( [

) ( )

( )

( ) (

x v

x v

x u x

v x

u



. )

(x 在x处可导

 f

微积分

注

① （ 1 ）即是和、差的导数等于导数的和、差

（ 2 ）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数

（ 3 ）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方

② （ 1 ）可推广到任意有限个可导函数的情形

; ) ( ]

) ( [

1

1





 

 ⁿ

i

i n

i

i x f x

f

③ （ 2 ）也可推广到任意有限个函数的情形

微积分

w uv w

v u vw

u

uvw )       (

; ) ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( ]

) ( [

1 1

2 1

2 1

1





 



 

 



 



n i

n

i kk

k i

n n n

i

i

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f







④ 作为（ 2 ）的特殊情况 u

c cu

c

v  ，则( )  

若 或 ^{[Cf (x)]  Cf (x);}

即常数因子可以提到导数符号的外面 )

( ]

) ( [

1 1

x f

k x

f k

n i

i i i

n i

i





 



微积分

即线性组合的导数等于导数的线性组合

—— 说明求导是一线性运算

⑤ 作为（ 3 ）的一种特殊情况，

) 2

(1 ,

1 v

v

u v 



 

 则 若

二、例题分析

例 1 求 y  x³  2x²  sin x 的导数 . 解 y  3x² _{ 4x  cos x.}

微积分

例 2 求 y  ^sin2x  ^ln x 的导数 ^. 解 _ ^{y  2sin x  cos x  ln x}

x x

x

y  2cos  cos  ln  2sin x ( sin x) ln x x x

x 1

cos sin

2  



. 2 1 sin

ln 2

cos

2 x

x x

x 



例 3 求 y  ^tan x 的导数 ^. 解 ^{y  (tan x)  (}_cos^{sin x}_x^)

微积分

x

x x

x x

cos2

) (cos sin

cos )

(sin   



x

x x

2

2 2

cos

sin cos 

 x

x

2

2 sec

cos

1 

 . sec

)

(tan x   ² x 即

同理可得 (cot x)   csc² x.

例 4 y  sec x 求y

解 



 



 

 x y cos

1

x x cos2

) (cos 



 x x

x x

x sec tan

cos 1 cos

sin   



同理可得 (csc x)  csc x cot x

微积分

例 5 , ( ).

0 ),

1 ln(

0 ) ,

( f x

x x

x x x

f 









  求

设

解 当 x 0时, f  x( )  1, ,

0时 当 x

h

x h

x x

f h

) 1

ln(

) 1

lim ln(

)

( 0







 

 

1 ) 1

1 ln(

lim0 x

h h

h  

 

1 , 1

 x



微积分

, 0时 当 x

h f h

h

) 0 1

ln(

) 0

lim ( )

0

( 0





 

  

  1,

h f h

h

) 0 1

ln(

)]

0 ( 1 lim ln[

) 0

( 0







 

  

  1,

. 1 )

0 ( 

 f 

0 . 1 ,

1

0 ,

1 )

( 





 

 

 

x x

x x

f

微积分

三、反函数的导数

定理

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 . ] .

) ( [

) 1 (

) . ( ] 1

) ( [

, ]

) ( [

, )

(

, 0 )

( ,

) (

1 1

1 1

 



 



 

 











y x f

f or

x y f

f

y f

y f

x

x f

x x

f y

且 存在

则 在相应点连续

反函数

且其 且

可导 在

如果函数

微积分

证明

. 0

. 0 lim

, )

(

) (

), (

, :

0 ,

:

) (

00 1

1 1

1





































x

x y

f x

y y

f x

x y

f x

x x

x x

y y

y y

y

y f

x

yy

















可以证明

的连续性 由

其中 对于

微积分

) . ( ] 1

) ( [

lim 1 lim

0

. ,

0

. )

(

, )

( 0

) (

) ( .

0 .

. 0

1

0 0

1 1

x y f

f ie

y x x

y

x f y

y y

y x

x f y

y

y y

f y

f x

x

x x y

y

 















































 

















矛盾

是函数矛盾 这与

与之对应 有两个不同的值

在 则对于

若

设 反证

可以证明

微积分

或者：

定理

). ( ) 1

( ,

) ( ,

0 )

(

) (

x x f

I

x f y

y

I y

x

x

y

 











 且有 内也可导

在对应区间 那末它的反函数

且

内单调、可导 在某区间

如果函数

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 .

微积分

例 6 _求函数 ^{y  arcsin x} _的导数^.

解 ^{) ,}

, 2 ( 2

sin 在   内单调、可导





 y I _y

 x

, 0 cos

)

(sin y   y 

且 在 I_x (1,1)内有

) (sin ) 1

(arcsin

 

 y

x cos y

 1

2 y sin 1

1

  .

1 1

x2

 

同理可得 ^.

1 ) 1

(arccos ₂

x x

 

  1 ;

) 1

(arctan ₂

x x

 

 .

1 ) 1

cot

( ₂

x x

 

  arc

微积分

例 7 求函数 y  ^log_a x 的导数^.

解  x  a ^y在I _y (,)内单调、可导 ,

, 0 ln

)

(a ^y   a ^y a 

且 在I_x (0,)内有,

) (

) 1

(log_a   _y  x a

a a ^y ln

 1 .

ln 1

a

 x

特别地 ^{(ln ) 1 .}

x   x

微积分

四、复合函数的求导法则

前面我们已经会求简单函数——基本初等函数 经有限次四则运算的结果——的导数，但是像

1 sin 2

, ,

tan

ln ² ₂

 x e x

x ^x

等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数

先看一个例子

例 8 y  (1  x²)²，求y

微积分

2 2) 1

( x

y    1 2x²  x⁴ 4 3

4x x y   

  4x(1 x²)

这里我们是先展开，再求导，若像 y  (1  x²)¹⁰⁰⁰ 求导数，展开就不是办法，再像 y  ⁵ 1 x ²

求导数，根本无法展开，又该怎么办？

仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结 构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。_{2 2}

) 1

( x

y   是由y  u²和u  1 x ²复合而成的 u

y_u  2 u_x  2x

) 1

( 4 )

2 (

2u x x x²

u

y_u  _x        y_x

微积分再如 y  sin 2x ) cos sin

2

( 

  x x

y  2[(sin x)cos x  sin x(cos x)] )

sin (cos

2 ² x  ² x

  2cos2x

注意到 y  sin2x y  sinu,u  2x u

y_u  cos u_x  2 u

u

y_u  _x  2cos  2cos2x  y_x

由以上两例可见：由 y  f (u),u  (x) 复合 而成的函数 y  f [(x)] 的导数 yx 恰好等于 y 对中间变量 u 的导数 y_u 与中间变量 u 对自变量

x 的导数 u_x 的乘积

x u

x y u

y     —— 这就是链式法则

微积分

定理

).

( )

( ,

)]

( [ ,

) (

) ( ,

) (

0 0

0

0 0

0

0 f u x

dx dy x

x f

y x

u

u f y

x x

u

x

x 







 

 











且其导数为 可导

在点 则复合函数

可导 在点

而 可导

在点 如果函数

即 因变量对自变量求导 , 等于因变量对中间变 量求导 , 乘以中间变量对自变量求导 .( 链式法则 )

dx du du

dy dx

I dy

x f

y I

x u

I x

I u

f y

I x

u



















上可导，且有 在

则复合函数

上可导 在

上可导，

在 若

)]

( [ ,

) ( ,

) ( )

(

1

1







微积分证 由y  f ⁽u⁾在点u0可导 ^, lim ( ₀)

0 f u

u y

u  



 





) 0 lim

( )

( 0  0 

 







 

 u

u u f

故 y

u u

u f

y     

 ( ₀)  则

x y

x 

 



lim0 lim[ ( ₀) ]

0 x

u x

u u

x f 

 



 

   

x u x

u u

f x x x 

 

 

 

 ( 0)lim0 lim0 lim0

).

( )

(u₀ x₀ f ^ ^



? 0

,

0

当

 x

 u

上面的证法有没有问题？

微积分

证 由

y

f ( u )

u

, lim (

)

00

f u

u y

uu  











) 0 lim

( )

( 0  0 

 

 

 



u

u u f

故 y

) 0 (  u

u

u u

f

y

  

(

)

时

当

 u

0

y

f ⁽ u

u ⁾

f ⁽ u

⁾

⁰

当然也成立

u

u u

f

y

  

(

)

x y

x 



lim0

 

lim [ (

) ]

0

x

u x

u u

x

f

 







 



x u x

u u

f

 









 0 0 0

0

) lim lim lim

(



 

).

( )

( u

x

f



x

u x

u u

f

 









 0 0 0

0

) lim lim lim

(



 

微积分注 ^1. 链式法则——“由外向里，逐层求导”

2. 注意中间变量

推广 设 y  f

(

),

(

),

(

), .

)]}

( [ {

du du

dy dx

dy

x f

y







 的导数为

则复合函数

 

例 9 求函数 y  ^{ln sin} x 的导数^. 解 ^{ y  ln u, u  sin x.}

dx du du

dy dx

dy  

 x

u cos 1 

 x

x sin

 cos _{ cot x}

微积分

例 10求函数 y  x( ²  1)¹⁰ 的导数 . 解  ₁₀₍x²  ₁₎⁹  ₍x²  ₁₎

dx dy

x x 1) 2 (

10 ²  ⁹ 

  20x(x²  1)⁹.

例 5 arcsin .

2 2

2 2

2 的导数

求函数 a

x x a

x a

y   

) 0 (a 

解 ^{arcsin )}

( 2 2 )

(

2 2

2    

 

a x x a

x a y

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 1 2

1

x a

a x

a x x

a  

 





2 .

2 x

a 

