1104 高毅甲 2-2 測驗 姓名 座號 一、單選題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)

－ 1 － 1104 高毅甲 2-2 測驗

姓名 座號

一、單選題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)

（ ）1.試問圖中鋪色部分（包含邊界）為下列哪一個不等式

組之解﹖ (1) 3

4 3 12 2 3 6

x y x y x y

 

  

  



(2) 3

4 3 12 2 3 6

x y x y x y

 

  

  



(3) 3

4 3 12 2 3 6

x y x y x y

 

  

  



(4) 3

4 3 12

2 3 6

x y x y x y

 

  

  



(5) 3

4 3 12 2 3 6

x y x y x y

 

  

  



﹒

x y

O

4x 3y =12 3x=y

2x3y=6

【龍騰自命題】

解答 2

解析 由圖形可看出﹐鋪色區域在 3x  y 右側﹐4x  3y  12 左 側﹐2x  3y  6 左側﹐得 3x  y﹐4x  3y  12﹐2x  3y  6﹐

故選(2)﹒

（ ）2.設 x﹐y 皆為整數﹐則不等式組

1 2 1 x y x y ì + ? ïïïï ? íïï > - ïïî

有多少個格

子點？ (1)7 (2)8 (3)9 (4)10 個﹒

【課本類題】

解答 4

解析 如圖﹐其中格子點有(2 , 3)﹐(2 , 2)﹐(2 , 1)﹐(2 , 0)﹐

(1 , 2)﹐(1 , 1)﹐(1 , 0)﹐(0 , 1)﹐(0 , 0)﹐(1 , 0)共 10 個﹐故選(4)﹒

x y

O ( 2,3)

( 2,0)

(0,1) (1,0)

x= 2 y= 1

x+y=1 （ ）3.某汽車公司有 A﹑

B 二廠生產同規格汽車﹐其每天產能分別為 15 輛及 20 輛﹐該公司二經銷站 M﹑N﹐每日需求分別為 10 輛及 25 輛﹐公司欲擬最佳運輸計劃﹐使每日總運費 最低；其中每輛車運費為：由 A 廠至 M 站 150 元﹐A 廠至 N 站 200 元﹐B 廠至 M 站 200 元﹐B 廠至 N 站 100 元；則其最低總運費是 (1)3000 元 (2)3500 元 (3)4000 元 (4)4500 元﹒

【課本類題】

解答 4

解析 設 A 廠送至 M 站每日 x 輛車﹐送至 N 站每日 15  x 輛 車﹐B 廠送至 M 站每日 y 輛車﹐送至 N 站每日 20  y

輛車﹐依題意列式得

0 15

0 20

10

(15 ) (20 ) 25 x

y x y

x y

ì ㄒïï ïï ㄒïï íï + ?

ïïï - + - ? ïïî

L L

L L

﹐

且 x﹐y 均為整數﹐

由可得 x  y  10﹐如圖﹐

x y

O x+y= 10

y= 20

x= 15 (0,10)

(10,0)

各種運費之一覽表如下：

M N

A 150 元 200 元 B 200 元 100 元

寫成方程式可得 f (x , y)  150x  200(15  x)  200y  100(20  y)  50(x  2y)  5000﹐

故 f (0 , 10)  50  (20)  5000  6000﹐f (10 , 0)  50

 10  5000  4500﹐

即最低總運費為 4500 元﹐故選(4)﹒

（ ）4.直角坐標平面上﹐以(0,0)﹐(1,0)及(0,1)為頂點的三角形 區域（不含邊）為下列哪一個不等式的解集合﹖ (1) xy (x + y  1) > 0 (2) xy (x + y  1) < 0

(3) x y x(   y 1) 0 (4) x y x(   y 1) 0 (5) x y( x  y 1) 0﹒

【龍騰自命題】

解答 4

解析 《方法一》

以(0,0)﹐(1,0)﹐(0,1)為頂點的三角形區域（不含邊）為 不等式組

0 0

1 0 x

y x y

 

 

   



的解集合﹐又 x > 0﹐y > 0  x> 0﹐ y>

0﹐

故不等式組可表為 x y x(   y 1) 0﹒

x y

O

(0,1) (1,0)

－ 2 －

《方法二》

(1)

x y

O

(2)

x y

O

(3)

x y

O

(4)

x y

O

(5)

x y

O

（ ）5.下圖中 A﹐B﹐C﹐D﹐E 為坐標平面上的五個點﹐將這 五個點的坐標(x,y)分別代入 2x  y﹐哪一個點代入所得 的值最小﹖ (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E﹒

A B

E D C

x y

O

【課本例習題】

解答 1

解析 利用平行線法﹒先畫出通過原點的直線 2x  y  0﹐

而後將直線 2x  y  0 向右上方平行移動﹐如圖所示﹕

因為所有與 2x  y  0 平行的直線 2x  y  k﹐當直線越 往右移動﹐則 k 的值越大﹐所以由圖可知﹕A 點代入所 得的值最小﹐故選(1)﹒

A B

E D C

x y

O 2x+y =0

二、填充題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)

1.已知 x﹐y 滿足

3 2 12 0 2 0 0

0

x y

x y x y

ì + - ? ïïïï + - ? ïïí

ï ³ïï ï ³ ïïî

﹐求 2x  y  1 之(1)最大值為

____________﹒(2)最小值為____________﹒

【課本類題】

解答 (1)7;(2)1 解析 如圖﹐

(4,0) (2,0)

(0,2) (0,6)

x y

O

3x +2y 12= 0 x +y 2= 0

( , ) (2,0) (4,0) (0,6) (0, 2)

2 1 3 7 5 1

x y x+ y-

故 2x  y  1 之最大值為 7﹐最小值為 1﹒

2.某公司擁有 A﹑B 兩座在不同地區的倉庫﹐A 倉庫存貨 48 公噸﹐B 倉庫存貨 60 公噸﹒今公司接獲甲地客戶訂貨 36 公噸﹐同時接獲 乙地客戶訂貨 44 公噸﹒而由 A 倉庫運至甲地每公噸運費 400 元﹐

運至乙地每公噸運費 500 元；由 B 倉庫運至甲地每公噸運費 600 元﹐運至乙地每公噸運費 650 元﹐則此公司運費最低為

____________元﹒

【課本類題】

解答 41200

解析 設由 A 倉庫運至甲 x 公噸﹐運至乙 y 公噸﹐

由 B 倉庫運至甲(36  x)公噸﹐運至乙(44  y)公噸﹐

可得不等式組

48

(36 ) (44 ) 60

0 36

0 44

x y

x y

x y ì + ?

ïïïï - + - ? ïïí

ï ㄒïï ï ㄒïïî



48 20

0 36

0 44

x y x y x y ì + ? ïïïï + ? ïïí ï ㄒïï ï ㄒïïî

﹐

目標求 400x  500y  600(36  x)  650(44  y)  200x

 150y  50200 之最小值﹐如圖﹐

(0,20)

(20,0) (36,0) (36,12) (4,44)

x +y = 20

x +y = 48 y = 44 x = 36

x y

O (0,44)

( , ) (20,0) (36,0) (36,12) (4, 44) (0, 44) (0, 20) 200 150 50200 46200 43000 41200 42800 43600 47200

x y

x y

- - +

最小

故 A 運至甲 36 公噸﹐B 運至甲 0 公噸﹐A 運至乙 12 公 噸﹐B 運至乙 32 公噸﹐能使運費最低為 41200 元﹒

－ 3 － 3.設 A (  1 , 2)﹐B (4 , 3)且直線 y  mx  3 與 AB 相交﹐試求 m 之範

圍為____________﹒

【龍騰自命題】

解答 3

m2或 m   5

解析 因為AB與直線 f (x , y)  mx  y  3  0 相交﹐則 A 與 B 不在直線 f (x , y)  0 之同側

 f (  1 , 2)  f (4 , 3)  0  (  m  2  3)  (4m  3

 3)  0

 (m  5)(2m  3)  0﹐

故 3

m2或 m   5﹒

4.設 a 為一實數﹐已知在第一象限滿足聯立不等式 3

2 14 x y a x y

 

  

 的所

有點所形成之區域面積為213

5 平方單位﹐則 a  ____________﹒

【105 學測】

解答 6

解析 當 a  0 時﹐x  3y  0 與 x  2y  14 的交點為 42 14 ( , )

5 5 ﹐

得區域面積為1 42 147

2 7 5  5 ﹐小於213

5 ﹐得知 a 為正 數﹒

（也可以由答案格式的提示知 a 不為負﹒）

如圖﹐解 3

2 14 x y a x y

 

  

 ﹐得交點 P 的 y 坐標為14 5

a

﹒

因為區域面積為213

5 ﹐所以

1 1 14 213

14 7 (14 )

2 2 5 5

a a

       ﹐

 (14 )² 213

49 10 5

a

   (14  a)²  64  a  6 或 22

（不合）﹒

14 7 x + 2y =14

x- 3y = a

a x

P y

O

5.某公司所生產的產品﹐存放在甲﹑乙兩倉庫各有 40 單位﹐現在 A 鎮的需求量為 20 單位﹐B 鎮的需求量為 30 單位﹒各倉庫運送到兩

鎮的費用如下表（元／單位）﹒在滿足兩鎮的需求下﹐最節省的運

費為____________元﹒

城鎮

倉庫 A 鎮 B 鎮

甲倉庫 500 元 450 元 乙倉庫 400 元 300 元

【新突破講義】

解答 18000

解析 從甲倉庫運 x 單位到 A 鎮﹔運 y 單位到 B 鎮﹐從乙倉庫 運(20  x)單位到 A 鎮﹔運(30  y)單位到 B 鎮﹒

依題意可列式如下﹕

0 0 20 0

30 0

40

(20 ) (30 ) 40 x

y x y x y

x y

 

 

  

  

  

    





0 20

0 30

40 10 x y x y x y

  

  

  

  



此聯立不等式的解如圖﹒

(0,30) (0,10)

(10,30) (20,20)

(20,0) (10,0)

x y

O

xy= 10 xy= 40

所求為 500x  400  (20  x)  450y  300  (30  y)  100x  150y  17000 的最小值

∴目標函數  100x  150y  17000

由於解區域為一封閉多邊形﹐可將頂點代入可得﹒

( , ) (0,30) (0,10) (10,0) (20,0) (20, 20) (10,30) 100 150 17000 21500 18500 18000 19000 22000 22500

x y x y

由此可知﹐當(x,y)  (10,0)時﹐最少運費為 18000 元﹒

因此﹐從甲倉庫運 10 單位到 A 鎮﹔運 0 單位到 B 鎮﹐

從乙倉庫運 10 單位到 A 鎮﹔運 30 單位到 B 鎮﹒所需 運費最少為 18000 元﹒