勾股定理證明-G199

(1)

勾股定理證明-G199

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 延長 CA 至 F 點，使得 AF CAb.

3. 過 F 點作垂直 AF 的直線，在直線上取一點 G 點，使得 FG AF b. 4. 在 GH 上取一點 P ，使得 APAF b.

5. 設 AP , HK 相交於 R 點。

6. 延長 CB 至 E 點，使得 BECBa，以 BE 為邊長作正方形 BEDM , ED 交 BK 於V 點。

7. 設 BM , AP 相交於 N 點。

8. 過 K 點作垂直 AR 的直線，與 AR 交於U 點。

9. 在 AB 上取一點T ，使得TBRK，過T 點作垂直 BM 的直線，與 BM 交於 S 點。

A B

H

C

K D

E

G F

R N

M

P

S T

U V

(2)

【求證過程】

以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 BEDM 的 面積加上正方形 AFGP 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明四邊形 AFGP 是面積為b 的正方形： ²

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^ y^ 90^。因為 90

PAH BAN ^ CAB BAN

        ，所以 PAH  CABx^，又 AP b  AC, AH  AB，可推得

AHP ABC

   (SAS 全等)，

即APH  ACB90^。因為HAF 90^ CAB90^x^  y^，所以 90

PAF PAH HAF x^ y^ ^

        。四邊形 AFGP 中，因為APG90^, 90

PAF ^

  ，且已知AFG90^，所以

四邊形AFGP的四個內角都是直角，

又 AP AF b，故

AFGP b2

四邊形是面積為的正方形。

2. 證明三角形 HPR 與三角形 BVE 全等：

因為 AHP  ABC，所以 HPBCa。因為

90 90 90

PHR ^ AHP ^ CBA ^ y^ x^

          且

90 90 90

EBV ^ ABC ^ CBA ^ y^ x^

          ，所以 PHR  EBV ，又

HP a BE, HPR90^  BEV，故 HPR BEV

   (ASA 全等).

3. 證明三角形TBS 與三角形 RKU 全等：

因為TBS 90^ CBA90^y^ x^,

(3)

90 90 90

RKU ^ KRU ^ HRP ^ y^ x^

          ，所以 TBS  RKU，又因為

90

TSB ^ RUK

    , TBRK，所以 TBS RKB

   (AAS 全等).

4. 證明四邊形 BNUK 與四邊形 AFGH 全等：

因為 ABN  TBS  x^  CAB, BNA90^ ACB, BA AB，所以 BAN ABC

   (AAS 全等), 可推得

. BN AC b 四邊形 BNUK 與四邊形 AFGH 中，因為

90 90 90

KBN ^ TBS ^ x^ ^ PAH HAF

           , BNU 90^  AFG, 90

NUK ^ FGH

    ，所以

BNUK AFGH

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等，

又 BK  AH, BN  AC  b AF，因此

. BNUK AFGH

四邊形四邊形

5. 證明四邊形 ANST 與四邊形 BMDV 全等：

四邊形 ANST 與四邊形 BMDV 中，因為TAN 90^ CAB90^x^  y^  VBM, 90

ANS ^ BMD

    , NST 90^  MDV，所以

ANST BMDV

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等，

又因為 AT  AB TB HKRKHR, HPR



BEV, HRBV，所以 AT BV。 因為 BAN



ABC，所以 AN BC  a BM，因此

. ANST  BMDV

四邊形四邊形

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

(4)

ABKH ANST TBS AHP HPR BNRK

BMDV RKU AHP BEV

BNRK

      



      

 四邊形

四邊形

正方形面積面積面積面積面積

面積

面積面積面積面積

四邊形四邊形

面積

( BMDV BEV ) ( RKU BNRK AHP

BEDM BNUK AHP

BEDM AFGH AHP

    

  

   

四邊形四邊形

面積面積面積

面積) 面積

正方形面積四邊形面積面

積

正方形面積四邊形面積面

BEDM AFGP

 

正方形正方形

積

面積面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 26 日想到的。

2. 心得：此證明利用切割的方法，將正方形ABKH 切割成若干區塊，再證明這些區 塊的面積等於正方形BEDM 的面積加上正方形 AFGP 的面積，就能得到三個 正方形的面積關係，進而推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ● ●

4. 補充：

(1) 在魯米斯書中所繪的圖形並沒有U 點，有U 點是為了方便證明三角形TBS 的 面積加上四邊形 BNRK 的面積等於四邊形 AFGH 的面積。先證明三角形TBS 與三角形 RKU 全等，再證明四邊形 BNUK 與四邊形 AFGH 全等，就能證得 三角形TBS 的面積加上四邊形 BNRK 的面積等於四邊形 AFGH 的面積。

(2) 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：

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