第一章 直線方程式
1-1 直角坐標
直角坐標 1. 點與坐標：
(1) 水平線稱為x軸，向右為正，向左為負。
(2)垂直線稱為y軸，向上為正，向下為負。
(3)x軸與y 軸的交點稱為原點，以O表示。
(4) 若P 點坐標為 ( , )a b ，則
稱a為P 點的x坐標，稱b為P 點的y坐標。
2. 象限位置：
判別點所在象限 坐標平面上，點P a b ab( , )在第四象限，則
點 ( 2, )a
Q ab b 在第幾象限？
∵ P a b ab( , )在第四象限
a b 0，ab0
a0，b0
ab2 0，a 0 b
∴ ( 2, )a
Q ab b 在第四象限
已知點A a b 在第二象限，則點 (( , ) B a b ab , ) 在第幾象限？
∵ A a b( , )在第二象限
a0，b0
a b 0，ab0
∴ B a b ab( , )在第三象限
距離公式
設A x y 、( , )1 1 B x y 為坐標平面上相異兩點，則( , )2 2 AB (x2x1)2 (y2y1)2 。
距離公式 設 A(4, 4) 、 (1, 6)B 、 ( 1, 3)C ， 試 判 別
ABC為何種三角形。
2 2
(4 1) ( 4 6) 13 AB
2 2
(1 1) ( 6 3) 13 BC
2 2
(4 1) ( 4 3) 26 AC
∵ AB BC 且AC2 AB2BC2
∴ ABC為等腰直角三角形
設A(1,7)、B( 2,3) 、C(1,3)，試求ABC之 周長。
2 2
(1 2) (7 3) 25 5
AB
2 2
( 2 1) (3 3) 9 3
BC
2 2
(1 1) (7 3) 16 4
AC
∴ ABC之周長為5 3 4 12
參考 NO.3、NO.4
分點公式、中點公式與重心公式
1.分點公式：
設A x y( , )1 1 、B x y 為坐標平面上相異兩點， ( , )2 2 若P x y 在 AB 上，且 AP ：( , ) PB m ：n， 則P 點坐標為(nx1 mx ny2, 1 my2)
m n m n
。
(1)內分點公式記憶方法，分母為比之和，分子為交叉相乘之和。
(2)解外分點之題型，只需使用內分點的觀念即可解出。
2. 中點坐標：
設A x y( , )1 1 、B x y ，若 M 為 AB 之中點，則 M 之坐標為( , )2 2 ( 1 2, 1 2)
2 2
x x y y
。 3. 平行四邊形頂點的求法：
設A x y 、( , )1 1 B x y 、( , )2 2 C x y 、( , )3 3 D x y ，為平行四邊形( , )4 4 ABCD四個頂點，
則利用平行四邊形對角線互相平分的特性：
AC之中點BD之中點
2 2
A C B D
A C B D 1 3 2 4
1 3 2 4
x x x x
y y y y
。
4. 重心公式：
設A x y 、( , )1 1 B x y 、( , )2 2 C x y 為( , )3 3 ABC的三個頂點，
則ABC的重心坐標G為( 1 2 3, 1 2 3)
3 3
x x x y y y
。
分點公式 設A( 6,5) 、B(4, 5) ，若點 ( , )P x y 在 AB 上
且AP BP: 2 : 3，求P 點坐標。
2 4 3 ( 6) 2 3 2 x
2 ( 5) 3 5
2 3 1 y
∴ P點坐標( 2,1)
設A(2, 5) 、 ( 1,1)B 、C x y 三點共線，且 B( , ) 點在A 、C之間，若AB BC: 3 :1，則C點 坐標為何？
3 1 2 3 1 1 3 1 ( 5)
3 1 1 x y
2
3 x y
∴ C點坐標( 2,3)
參考 NO.5、NO.6、NO.7
中點公式 在ABC中，已知三頂點坐標為 A(2,3)、
(3, 2)
B 、 ( 5,0)C ，試求：
(1)BC的中點坐標 (2)BC邊上的中線長。
(1)BC中點 3 ( 5) 2 0
( , ) ( 1, 1)
2 2
M (2)BC邊上的中線長為
2 2
(2 1) (3 1) 25 5
AM
設 ABCD為 平 行 四 邊 形 ， 已 知 A( 2,5) 、 ( 3, 4)
B 、C x y 、 (3, 2)( , ) D ，試求x y 之值。
由平行四邊形對角線互相平分性質知：
2 3 3
5 4 2
x y
2
1 x y
∴ x y 3
參考 NO.8、NO.9、NO.10
重心公式 在ABC中，已知A( 1,1) 、B(3,3)、C x y( , )
三點，且ABC之重心G的坐標為(4, 1) ， 試求x y 之值。
重心 1 3 1 3
( , ) (4, 1)
3 3
x y
G
x10，y 7 ∴ x y 3
已 知ABC 的 三 頂 點 分 別 為 A( 1, 1) 、 (0, 2)
B 、C(4,5)，試求ABC之重心坐標。
重心 1 0 4 1 2 5
( , ) (1, 2)
3 3
( Ａ ) 1. 已知點 (P a b ab , )在坐標平面的第四象限，則下列敘述何者正確？ (A) ( ,A a b 在) 第一象限 (B) ( | | , )a
B ab b 在第二象限 (C) ( ,a )
C b
b 在第三象限 (D) ( ,a ) D b a
b 在
第四象限。 【101 藝】
( Ｃ ) 2. 在坐標平面上，若a0且b0，則點( ,ab b a 在第幾象限內？ (A)一 (B)二 )
(C)三 (D)四。 【96 商】
( Ｄ ) 3. 設A(a,1)與B(0,2)為坐標平面上的兩點，若AB5且a0，則a 之值為何？ (A) 1
(B) 2 (C) 3 (D) 4。 【105 護】
( Ｂ ) 4. 設A(4, 4) 為坐標平面上一點，若 P 點在x軸上，且PA2 5，則P 點坐標可能為下 列何者？ (A) ( 2,0) (B) (2, 0) (C) (0, 2) (D) (0, 2) 。 【102 藝】
( Ｃ ) 5. 設 (0,0)A 、B(2, 2)為平面上二點，若點P m n 在線段 AB 上，且( , ) AP PB: 3 :1，則m n 之值為何？ (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5。 【103 工】
( Ｃ ) 6. 設平面上有 A 、 B 、C三點共線，且已知點B 在線段AC上。若坐標分別為A a b 、( , ) ( 3,3)
B 、C(1,1)，且 1 2 AB
BC ，則a、b之值為何？ (A)a 11，b7 (B)a 7， 7
b (C)a 5，b4 (D)a 4，b5。 【101 藝】
( Ａ ) 7. 設直角坐標平面上四點A( 2,1) ，B b b ，( , )1 2 C c c ，( , )1 2 D(4,3)在同一直線上，依序為 A 、 B 、C、D ，且 B 、C兩點將線段AD 三等份，則點C之坐標( , )c c 為何？ 1 2 (A) 7
(2, )
3 (B) 2 4 ( , )
3 3 (C) 1 2 ( , )
3 3 (D) 5 (0, )
3 。 【101 商】
( Ｃ ) 8. 已知ΔABC的三頂點為A(1,2)、B(3,3)、C(3,1)，則AB 邊上的中線長為何？
(A) 2
26 (B) 2
71 (C) 2
101 (D) 26 。 【105 商】
( Ａ ) 9. 已知 ( ,0)A a 與B(3, )b 兩點，若線段 AB 的中點為M( 1, 2) ，則點A 到 y 軸的距離與點 B 到x軸的距離之和為何？ (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12。 【100 商】
( Ａ ) 10. 已知坐標平面上三點 (2, 3)A 、 ( 5,7)B 、C(9,11)。試問下列何者可與A 、 B 、C三 點連成一平行四邊形？ (A)(2, 21) (B) ( 11, 7) (C) (2,5) (D) (16, 2) 。
【103 藝】
( Ａ ) 11. 已知三角形三頂點的直角坐標分別為 (3, 5)A 、 ( 1,8)B 、C(7,6)，此三角形的重心 坐標為何？ (A) (3,3) (B) (1,3) (C) (2, 4) (D) (3, 2) 。 【97 護】
( Ｄ ) 12. 設 (5,8)A 、B(7,0)、C( 3, 2) 是三角形ABC的三頂點，若D、E、F 分別是 AB、BC、 CA 的 中 點 ， 則 三 角 形 DEF 的 重 心 坐 標 為 下 列 何 者 ？ (A) ( 2,3) (B)(2, 3)
(C) (2,3) (D) (3, 2) 。 【101 護】
1-2 直線的斜率與方程式
直線的斜率
1. 斜率的定義：水平方向前進一單位，鉛直方向變化m單位，稱為斜率。以符號m表示。
2. 斜率的求法：設A x y 、( , )1 1 B x y 為直線 L 上相異兩點，則 ( , )2 2 (1)當x1 時， L 的斜率x2 2 1 1 2
2 1 1 2
y y y y m x x x x
。
(2)當x1 時， L 的斜率x2 m不存在。
3. 斜率的性質：
斜
率 m 0 m 0 m 0 m 不存在
圖 示
說
明 上坡斜率為正 下坡斜率為負 水平線斜率為0 鉛直線斜率不存在
直線的傾斜程度越大（越陡），則斜率的絕對值越大。
4. 三點共線：A、B、C三點共線 mAB mBC mAC（任兩點斜率相等）。 A 、 B 、C 三點共線 A 、 B 、 C 三點無法構成一個三角形。
5. 平行與垂直：設直線L 與1 L 的斜率分別為2 m 與1 m ，則 2 (1)L1//L2 m1m2。
(2)L1L2 m m1 2 1。
兩點求斜率 試求過下列各組A 、 B 兩點的直線斜率：
(1)A( 4,3) 、B(3, 1) (2) ( 4,3)A 、B(4,3)。 (1) 3 ( 1) 4
4 3 7
m
(2) 3 3 4 4 0 m
試求過下列各組A 、 B 兩點的直線斜率：
(1)A( 2,3) 、B(2, 3) (2) (2,5)A 、B(2, 5) 。 (1) 3 3 3
2 ( 2) 2 m
(2) 5 5 10
2 2 0 m
不存在
兩點求斜率 已知通過P a( 1, 2)、Q(2, )a 兩點的直線斜率
為5
2，試求a之值。
2 2 5
1 2 1 2
a a
m a a
9 a7
已知直線L 通過 (4,0)A 、B a( , 2)兩點，若直 線L 的斜率為 ，試求1 a值。
2 0 1 m 4
a
a2
參考 NO.2
三點共線 平面上三點A(3, )k 、 ( 3, 4)B 、C(2, 1) ，若
A、B、C 三點共線，試求k值。
∵ 三點共線
∴ mAB mBC
4 4 ( 1) 3 ( 3) 3 2
k
k 2
已知平面上A(2,0)、B( 3,10) 、C(4, )k 三點 無法構成一個三角形，試求k值。
三點無法構成一個三角形三點共線
mAB mAC
10 0 0 3 2 4 2
k
k 4
參考 NO.3
平行與垂直 設A k( 1,3)、B k 、 ( 3,1)(1, ) C 、D( 2, 1) ，
(1)若AB CD// ，試求k值。
(2)若ABCD，試求k值。
(1)∵ AB CD// ∴ mAB mCD
3 1 1
1 ( 1) 2 ( 3) k
k
3 2 1 k
k
k 3
(2)∵ ABCD ∴ mABmCD 1
3 2 1 1 k
k
k2
設A( 1,7) 、B(1,3)、C(5, 1) 、 (3,D k ，1) (1)若AB CD// ，試求k值。
(2)若ABCD，試求k值。
(1)∵ AB CD// ∴ mAB mCD
3 7 1 ( 1) 1 ( 1) 3 5
k
4 2
2 2
k
k 2
(2)∵ ABCD ∴ mABmCD 1
4 2 2 2 1
k
k 3
參考 NO.4
直線方程式的求法
求 法 已 知 條 件 直 線 方 程 式
點斜式 過( , )x y ，斜率為0 0 m y y 0 m x x( 0) 兩點式 過( , )x y1 1 、( , )x y2 2 兩點 1 2 1 1
2 1
( )
y y
y y x x
x x
斜截式 斜率為m，y 截距為b y mx b 截距式 x截距為a，y 截距為b x y 1
a b
直線L 與x 軸相交於 ( ,0)a ，與y 軸相交於 (0, )b ，則稱a為x截距，b為y截距，
直線L 與二坐標軸所圍成三角形面積為1
| |
2 a b 。
點斜式 試求過點P( 3,1) ，斜率為2
3的直線方程式。
1 2( 3) y 3 x
2x3y 9 0
試求過點P(2,1)，斜率為 1
的直線方程式。2 1 1( 2)
y 2 x
x2y 4 0
參考 NO.5
點斜式的應用 設P( 3,5) 、Q(1, 1) ，試求 PQ 的垂直平分線
方程式。
PQ之中點 3 1 5 ( 1)
( , ) ( 1, 2)
2 2
1 5 3
1 ( 3) 2 mPQ
所求直線斜率 2
L 3 m
∴ 所求直線為 2 2( 1) y 3 x
2x3y 8 0
已知ABC中，A(4, 2)、B( 4,1) 、C(1, 3) ， 試求BC邊上之高的直線方程式。
3 1 4
1 4 5
mBC
BC邊上之高的斜率 5
L 4 m
∴ 所求直線為 2 5( 4) y 4 x
5x4y12 0
兩點式及其應用 求過A( 2,5) 、B(4, 1) 兩點的直線方程式。
5 1 5 ( 2) 4 ( 2) y x
x y 3 0
ABC
中，設A(1,3)、B(6, 3) 、 ( 2, 1)C ， 試求BC邊的中線方程式。
BC之中點
6 ( 2) 3 ( 1)
, (2, 2)
2 2
M 由兩點式知：
3 2 3( 1) y 2 1 x
3 5( 1)
y x 5x y 8 0
參考 NO.7
斜截式 求斜率為 4
，且 y 截距為 5 的直線方程式。3 由斜截式知：
4 5
y 3x 3y 4x 15
4x3y15 0
試求斜率為3，y 截距為2 的直線方程式。
由斜截式知：
3 2
y x 3x y 2 0
截距式 設直線L 之 x 截距為3，y 截距為2，試求 L 的方程式。
由截距式知：
3 2 1 x y
2x3y 6 0
設直線L 的x截距為5，y 截距為3，試求L 的方程式。
由截距式知：
5 3 1 x y
3x5y15 0
參考 NO.8
二元一次方程式的圖形
1.二元一次方程式的圖形：
設a、b、c為實數且b0，則二元一次方程式L ax by c: 稱為直線的一般式， 0
其圖形為一直線，斜率 a
m b。 2. 二直線互相垂直：
設直線L a x b y c1: 1 1 與1 0 L a x b y c2: 2 2 互相垂直，則2 0 a a1 2 b b1 2 0。 3. 平行垂直已知直線方程式的求法：
設直線L ax by c: 0
(1)若L1//L，可設L 之方程式為1 ax by k 0（k c ）。 (2)若L2 L，可設L 之方程式為2 bx ay k 0。
直線的斜率 試求下列各直線方程式的斜率：
(1)L x1: 3y 8 0 (2)L2: 5y 6 0。
(1) 1 1 1
3 3 m a
b
(2) 2 0
5 0 m
試求下列各直線方程式的斜率：
(1)L1: 4x y 3 0 (2)L2: 2y 7 0。 (1) 1 4
1 4 m a
b
(2) 2 0
m 2 0
兩直線互相垂直 設 L1: 2x (k 1)y 與3 L2: (k2)x3y7
互相垂直，試求k值。
∵ L1L2
∴ 2(k 2) (k 1) ( 3) 0
2k 4 3k 3 0
k 7
設 L1: 3x(2k1)y 與3 L2: (k1)x2y1 互相垂直，試求k值。
∵ L1 L2
∴ 3(k 1) (2k 1) ( 2) 0
3k 3 4k 2 0
k 1
平行垂直直線 求過點(3, 2) 且與直線3x2y 平行 4 0
之直線方程式。
設所求直線L x: 3 2y k 0
∵ 過點(3, 2)
3 3 2 ( 2) k 0 k 13
∴ L x: 3 2y13 0
求過點( 2,3) 且與直線x2y 垂直 4 0 之直線方程式。
設所求直線L: 2x y k 0
∵ 過點( 2,3)
2 ( 2) 3 k 0 k1
∴ L: 2x y 1 0
參考 NO.10
二元一次方程組的幾何意義 設兩直線 1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
L a x b y c L a x b y c
，則
(1) 1 1
2 2
a b
a b 相交於一點 恰有一組解 相容方程組
(2) 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c 重合(L1L2) 無限多組解 相依方程組 (3) 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c 平行(L1//L2) 無解 矛盾方程組
兩直線的關係 試判別下列各組兩直線為交於一點、平行或
重合：
(1) 1
2
: 3 2 1 : 6 4 2 L x y L x y
(2) 1
2
: 3 4
: 2 6 8 L x y L x y
。
(1)3 2 1
6 4 2
∴ 二直線重合 (2)1 3 4
2 6 8
∴ 二直線平行
試判別下列各方程組所代表兩直線為交於一 點、平行與重合關係：
(1) 1
2
: 3 2
: 3 9 6 L x y L x y
(2) 1
2
: 3 6 5 : 2 15 L x y L x y
。
(1)1 3 2 3 9 6
∴ 二直線重合 (2)3 6
1 2
∴ 二直線交於一點
兩直線的平行與重合 設L kx1: 2y3，L2: 2x (k 3)y6，若
(1)L1L2 (2)L1//L2，試求k的值。
2
2 3
k
k
k23k 4 0
(k4)(k 1) 0 k 4or1 (1)當k1 1 2 3
2 4 6二直線重合 (2)當k 4 4 2 3
2 1 6
二直線平行
設兩直線L1: 2x ay 4與L ax2: 8y8，若 (1)L1L2 (2)L1//L2，試求a的值。
2 8 a
a a2 16 a 4 (1)當a4 2 4 4
4 8 8二直線重合 (2)當a 4 2 4 4
4 8 8
二直線平行
參考 NO.11
點到直線的距離
1. 點到直線的距離：
設點P x y ，直線( , )0 0 L ax by c: ，則點 P 到直線 L 的距離為0 0 0
2 2
|ax by c|
d a b
。
2. 兩平行線的距離：
設兩平行線L ax by c1: 與1 0 L ax by c2: ，則2 0 L 與1 L 的距離為2 1 2
2 2
|c c |
d a b
。
點至直線的距離 試求點P(2, 3) 到直線 : 5L x12y 的距6 0
離。
2 2
| 5 2 12 ( 3) 6 | ( , )
5 ( 12) d P L
4
試求點P( 2, 4) 到直線L x: 3 4y 的距5 0 離。
2 2
| 3 ( 2) 4 4 5 | ( , )
3 4 d P L
1
