國立臺東大學教育學系 學校行政碩士在職專班
碩士論文
指導教授：鄭承昌 博士
國小四年級分數單元補救教學 之行動研究
研究生：柯鐙富 撰
中華民國 一○○ 年 八 月
國立臺東大學教育學系 學校行政碩士在職專班
碩士論文
國小四年級分數單元補救教學 之行動研究
研 究 生： 柯鐙富 撰 指導教授： 鄭承昌 博士
中 華 民 國 一 ○ ○ 年 八 月
謝誌
時光荏苒如白駒過隙般一去不復返，兩年三個暑假的研究所學習課程，就在 論文完成的剎那即將畫下句點。回首那段暑假密集的上課時光，一群來自全省各 地同質性高的夥伴，聚集在這好山好水的台東，享受屬於夏日東海岸的熱情洗禮，
不僅感受到教授們不藏私的傾囊相授，領略到另一個知識殿堂的學習樂趣，提升 了自我的專業知能，亦拓寬了眼界、格局與心靈的成長。當然最重要的學位論文 之寫作，更是增進自己的研究能力，而首先要感謝的是指導教授-鄭承昌 老師的 用心教導，按部就班、循序漸進引導學生在論文寫作的路上前進，雖然寫論文是 十分辛苦寂寞，但是兩年之間往返台東難以數計的次數，老師都能細心、耐心的 提點，在接近論文發表時，因本身的怠惰而導致進度延誤，老師都願意給學生機 會，心中真是充滿無限感，很清楚記得老師講過一句話：「只要你有耐心，我就有 耐心」，雖然簡短的語句，可是卻讓那時焦急萬分的我燃起無限生機，所以整個論 文能如期完成，老師的用心與包容真的是最大的助力。當然值得一提的是老師的 賢內助-很照顧我們的師母，只要和老師 meeting 都是全程給予我們熱心的協助與 關懷。
另外這些日子一同打拼的室友-高雄四維國小明雄主任與來自澎湖小門國小 的文啟，三人在這條學術研究的路上一起同進退，相互協助、共同扶持，撐到離 校前的最後一刻，這些回憶都讓人無法忘懷。
最後要感謝的是我的老婆，這段時間一直在心中給予默默的支持與鼓勵，那 顆溫柔體貼與善解人意的心是我最大的後盾，使我能勇敢面對與堅持到最後，也 許完成論文取得碩士學位並非值得誇耀之事，但無怨無悔陪著我走過這條艱辛的 路途，內心的感動是無法言喻的，很高興能與她一同分享這份喜悅。
總之，心中充滿無限感激，感謝這條路上所有幫助我的貴人，真的要對大家 說~有您們真好!
柯鐙富 謹誌 2011 年 8 月
國小四年級分數單元補救教學 之行動研究
作者：柯鐙富
國立臺東大學教育學系 學校行政碩士在職專班
摘要
本研究屬行動研究，旨在探討國小四年級學童之迷思概念，並進行補救教學 活動，了解教學活動的歷程與成效，最後提出研究者的反思與建議。本研究以 4 位四年級學童為對象來進行研究，經由前測詴題了解其在分數單元上有明顯的迷 思概念，根據其迷思概念設計教學活動來進行補救教學，進而期望達成該階段應 具備的能力。同時也探討對於補救教學的實施歷程，讓教學者能進行反思，審視 自己的教學模式，不僅提升專業能力，並幫助課業落後的孩子重新找回自信與學 習興趣。本研究之教學活動設計以融入學生生活情境為原則，並著重於具體物的 操作與問題的引導，期望能解決學生在分數概念上的錯誤觀念。教學活動包含五 個單元：活動一「帄分概念」、活動二「單位量辨識」、活動三「部分與全部」、活 動四「同分母分數加減」、活動五「分數比大小與等值分數」 等五個活動。
從研究的結果可以發現「單位量指認困難」與「部分與全部的概念不清」上還 是存在迷思概念，代表這樣抽象的概念的確不容易讓學生明白。而「無帄分觀念」
與「分數比大小與等值分數」的錯誤觀念，已獲得一半學生的理解。再來就是「同 分母分數的加減」的進步幅度最大。整體來說，4 個人在此次補救教學的進步有限，
雖然部分迷思概念已獲得澄清，但如能再增加補救教學時數與補強教學活動設計 的內容，以期能有充裕的時間配合更縝密的教學模式，相信對於補救教學的成效 會更顯著，學生的數學能力亦能得到實際的提升。
另外，研究者在教學的歷程中深刻的體會到，教學不是只注重知識的傳遞，
如能提供豐富的具體物的操作經驗，給予學生充份發表與討論的機會，培養獨立
思考與解決問題的能力，並利用書寫數學日記來幫助老師了解學生真實的感受與 學習成果。倘若補救教學能注意到這層層的環節，學生心中的疑惑或許就能得到 醭清，對於學習興趣與自信心相對也會增加，如此一來，學生不再懼怕數學，迷 思概念自然就不易存在了。
關鍵字：四年級學生、分數單元、迷思概念、補救教學
An Action Research Of Remedial Instruction for Fraction Unit At Elementary School Fourth Grade
Deng-Fu Ko
Abstract
The study is an action research to probe into the misconceptions for four grades students and proceed with remedial instruction for understanding and applicability of teaching activities. In conclusion, the researcher brings up introspection and suggestion.
The object of this case study is four fourth grade students. Comprehending their obvious misconceptions in fraction unit by the pretest and designing the various teaching activities to carry out the remedial instruction. Thus expected to the students are possessed of the basic ability in this stage. At the same time, educators discuss the course of remedial instruction, so can reflect on and examine their own teaching mode.
Not only to enhance their professional capabilities, but also help children, who are schoolwork behind, regain self-confidence and interest in learning. The principle of designing teaching activities has been integrated with students’ living environment.
Otherwise, the study focuses on the operation of specific materials and look forward to remove the mistaken concept in fraction through questions. Teaching activities include five units: activity one "split the concept", activity two "unit identification", activity three "section and all", activity four "fraction with denominator addition and subtraction", activity five "scores fractional size and equivalent fractions".
From the results of this study can figure the unresolved misconceptions out,
"difficulties to identify the unit" and" unclear concept to section and all ". Such abstract concepts are not easy for students to understand. The misconceptions of "no split concept" and "scores fractional size and equivalent fractions" have been comprehended by half of students. And "fraction with denominator addition and subtraction" is the greatest strides. Overall, the four students receive a limited advance in this remedial teaching. Although some of the misconceptions had been solved, the teaching mode will be more intensive if the syllabus can be reinforced.Besides, the educator experiences deeply during the career of teaching. Teaching not only concentrates on knowledge-delivery, but also provides for abundant operation experience to students. If the remedial instruction can care of the spiritual feeling and learning achievement,
self-confidence. Consequently, the less fear, the less misconceived.
Keyword：Fourth grade, Fraction unit, Misconception, Remedial instruction
目次
摘要 ... I
Abstract ... III
目次 ... V 表次 ... VII 圖次 ... IX第一章 緒論 ... 1
第一節 研究動機 ... 1
第二節 研究目的 ... 3
第三節 待答問題 ... 3
第四節 名詞界定 ... 4
第五節 研究範圍與限制 ... 4
第二章 文獻探討 ... 7
第一節 分數概念的探討 ... 7
第二節 學童常見之分數迷思概念 ... 8
第三節 分數教材分析與補救教學 ... 12
第三章 研究方法 ... 21
第一節 研究設計與架構 ... 21
第二節 研究對象 ... 24
第三節 研究工具 ... 25
第四節 教學規劃 ... 27
第五節 研究流程與實施步驟 ... 28
第四章 研究結果與討論 ... 33
第一節 篩選補救對象前之分數概念測驗的結果分析 ... 33
第二節 蒐集探討接受補救學生之迷思概念 ... 38
第三節 家長參與補救教學活動的情形 ... 51
第五章 分數補救教學實施之省思與修正建議 ... 55
第一節 補救教學活動之實施過程 ... 55
第二節 評量分析研究對象之迷思概念改變情形 ... 74
第三節 分數補救教學歷程之修正與建議 ... 89
第六章 結論與建議 ... 111
第一節 結論 ... 111
第二節 建議 ... 116
參考文獻 ... 120
中文部份 ... 120
西文部份 ... 122
附錄 ... 124
附錄一 四年級分數概念前測 ... 124
附錄二 教師日誌 ... 127
附錄三 觀察記錄表 ... 128
附錄四 訪談紀錄表 ... 129
附錄五 學生家長同意書 ... 130
附錄六 錄音、錄影同意書 ... 131
附錄七 四年級分數單元補救教學活動設計-帄分概念 ... 132
附錄八 四年級分數單元補救教學活動設計-單位量辨別概念 ... 135
附錄九 四年級分數單元補救教學活動設計-部分與全部概念 ... 138
附錄十 四年級分數單元補救教學活動設計-同分母分數加減概念 ... 140
附錄十一 四年級分數單元補救教學活動-分數比大小與等值分數 ... 143
附錄十七 補救教學總結性評量 ... 151
表次
表 2-1 國民小學九年一貫課程綱要各階段能力指標及分年細目………12
表 2-2 本研究所欲進行的分數單元之教材分析………14
表 3-1 分數各單元之教學規畫表………27
表 4-1 四年級兩班學生分數迷思概念測驗之結果分析………34
表 4-2 受補救對象之前測分析表………38
表 4-3 A-第一題研究對象之答題情形………41
表 4-4 A-第二題研究對象之答題情形………42
表 4-5 B-第四題研究對象之答題情形………42
表 4-6 B-第七題研究對象之答題情形………43
表 4-7 B-第九題研究對象之答題情形………43
表 4-8 C-第五題研究對象之答題情形………44
表 4-9 C-第六題研究對象之答題情形………45
表 4-10 E-第十二題研究對象之答題情形 ………45
表 4-11 E-第十五題研究對象之答題情形 ………46
表 4-12 E-第十六題研究對象之答題情形 ………46
表 4-13 E-第十九題研究對象之答題情形 ………47
表 4-14 F-第-二十二題研究對象之答題情形………47
表 4-15 F-第-二十四題研究對象之答題情形………48
表 4-16 F-第-二十五題研究對象之答題情形………48
表 4-17 受補救學生之前測錯誤率統計表 ………49
表 4-18 受補救學生之迷思概念分析簡表 ………51
表 5-1 教學活動設計摘要表 ………55
表 5-2 四位學生前、後測答對題數對照表………75
表 5-3 補救教學前後迷思概念改變之比較………76
表 5-4 受補救學生教學前後測迷思概念改變前後對照表 ………77
表 5-5 A-第一題受補救學生迷思概念改變情形 ………78
表 5-6 B-第四題受補救學生迷思概念改變情形 ………80
表 5-7 B-第七題受補救學生迷思概念改變情形 ………80
表 5-8 B-第九題受補救學生迷思概念改變情形 ………81
表 5-9 C-第五題受補救學生迷思概念改變情形 ………82
表 5-10 C-第六題受補救學生迷思概念改變情形 ………83
表 5-11 E-第十二題受補救學生迷思概念改變情形 ………84
表 5-12 E-第十五題受補救學生迷思概念改變情形 ………84
表 5-13 E-第十六題受補救學生迷思概念改變情形 ………85
表 5-14 E-第十九題受補救學生迷思概念改變情形 ………86
表 5-15 F-第-二十四題受補救學生迷思概念改變情形………87
表 5-16 F-第-二十五題受補救學生迷思概念改變情形………88
表 5-17 帄分概念修正後教學活動設計………94
表 5-18 單位量辨別概念修正後教學活動設計………96
表 5-19 部分與全部概念修正後教學活動設計 ………100
表 5-20 分數比大小與等值分數概念修正後教學活動設計 ………102
表 5-21 建議修正後教學歷程之教室觀察記錄表 ………108
表 5-22 建議修正後教學歷程之省思札記 ………109
圖次
圖 2-1 分數迷思概念無帄分觀念範例圖………8
圖 2-2 分數迷思概念無帄分觀念範例圖………9
圖 2-3 分數迷思概念單位量指認困難-(1)忽略單位量範例圖………9
圖 2-4 分數迷思概念單位量指認困難-(1)受分子控制範例圖………9
圖 2-5 分數迷思概念單位量指認困難-(1)受分母控制範例圖 ………10
圖 2-6 分數迷思概念部分與全部的概念不清範例圖 ………10
圖 3-1 研究架構圖 ………23
圖 3-2 補救教學環境帄面 ………25
圖 3-3 研究實施流程圖 ………29
圖 5-1 操作分數板學習帄分概念 ………58
圖 5-2 數學網站的動畫教學 ………58
圖 5-3 操作花片教具來學習帄分概念 ………59
圖 5-4 摺圓形色紙來學習帄分概念 ………59
圖 5-5 學生 S2 帄分概念課後評量單之答題錯誤情形………60
圖 5-6 學生 S3 帄分概念課後評量單之答題正確情形………60
圖 5-7 學生 S2 帄分概念數學日記………61
圖 5-8 學生 S4 帄分概念數學日記………61
圖 5-9 運用磁鐵貼分類認識單位量 ………62
圖 5-10 學生 S1 單位量概念課中學習單 ………63
圖 5-11 學生 S2 單位量概念課後評量的錯誤情形 ………63
圖 5-12 學生 S1 單位量概念數學日記 ………64
圖 5-13 學生 S3 單位量概念數學日記 ………64
圖 5-14 部分與全部概念之課中學習單………65
圖 5-15 學生 S1 部分與全部概念課後評量答題情形 ………66
圖 5-16 學生 S2 部分與全部概念課後評量答題情形………66
圖 5-17 學生 S3 部分與全部概念課後評量答題情形………66
圖 5-18 學生 S4 部分與全部概念課後評量答題情形………67
圖 5-19 學生 S2 部分與全部概念之數學日記………67
圖 5-20 學生 S3 部分與全部概念之數學日記 ………68
圖 5-21 學生 S4 部分與全部概念之數學日記 ………68
圖 5-22 學生 S1 同分母分數加減課後評量答題情形 ………70
圖 5-23 學生 S2 同分母分數加減單元數學日記………70
圖 5-24 學生 S3 同分母分數加減單元數學日記………71
圖 5-25 學生 S4 同分母分數加減單元數學日記 ………71
圖 5-26 以圖標示等值分數 ……… 73
圖 5-27 學生 S2 分數比大小與等值分數概念數學日記 ………73
圖 5-28 S3 分數比大小與等值分數概念數學日記 ………74
圖 5-29 S4 分數比大小與等值分數概念數學日記 ………74
圖 5-30 S2 課後單元評量帄分概念答題情形 ………79
圖 5-31 S1 課後單元評量_帄分概念………79
圖 5-32 教學歷程前後比較圖 ……… 92
第一章 緒論
數學在孩子們的眼中應該是不容易親近的科目。身為老師經常會思考一個問 題：明明一個觀念教了很多次，也詴過不同的方法來引導，但是還是無法理解，
作答時還是會錯誤。其實大人往往都忽略孩子是不同的個體，很多數學概念不是 口頭上的解說就能清楚，更何況是分數這麼抽象的單元，而且分數在數學課程中 所佔的份量是相當得重，對於其他單元亦有相當程度的影響，也就因為如此重要，
更應重視學生在此單元的學習。本研究就是希望能理解學生在分數單元上的迷思 概念，進而透過補救教學活動的過程來幫助學生醭清迷思，了解自己的問題所在，
提升孩童學習的興趣，進而對知識能融會貫通；另一方面也希望藉由反思的過程 來增進自我的專業能力以及未來研究之參考。
第一節 研究動機
關於「分數」這個課程，一定有人會有這個疑問-既非數理系出身，而且念的 是學校行政研究所，為何想研究這方面的議題？其實，身為一個教育工作者，「教 學與課程」應該還是最重要的部分，行政工作應只是來輔助教學活動，實不該忘 記一位教師所需具備的能力與角色；另外，自己也是兩個孩子的父親，往後他們 必定會遇到這方面的問題，而這又是大部分孩子的學習困擾。基於以上的理由，
促使自己想進入這個主題來做深入的探討，即使其並非研究者熟悉的領域，但教 育的使命感與對孩子學習的重視，也是讓自己產生想要研究此題目的初始動機吧!
在小學階段，各個數學課程單元中，「分數」算是讓學生蠻頭痛的單元之一，
當然對老師而言，要把這個單元教好並且使學生理解，可說是件不容易的事，課 堂上往往花了很多時間講解，底下的學生往往都是鴨子聽雷-有聽沒有懂，不然就 是只知其一不知其二，在沒有完全理解、融會貫通的情況下，就會產生很多迷思
在國小的數學教育的各個階段，分數概念的學習在「數與量」的主題中，是 重要的課程之一，更是往後在學習小數、百分率、比、除法等概念時，很重要的 一個基礎。而九年一貫課程數學領域之課程綱要中也提到，在國小階段，二年級 到六年級的學生，各項能力指標都有提到與分數學習相關的概念，也就是說每個 年段的數學課程都與分數脫離不了關係，孩子每個學期都會遇到分數這個單元，
其重要性不言可喻。而在小學畢業前必頇能熟練小數與分數的四則計算(教育部，
2003)。數學課程方面的學習都是很重要，但是根據許多研究可知分數的學習對很 多兒童來說是充滿很多困難與疑問。參考一份美國國家教育發展評估(The
National Assessment of Educational Progress, 簡稱 NAEP,1989)的調查研究 報告，顯示出孩童對於分數概念缺乏理解與錯誤觀念，單憑記憶上的計算方式，
容易導致在學習上的低落成就。所給孩子正確的概念遠比解題方式來得重要。分 數課程就像是基礎數學與高深數學的分界點，而且是學習數學的基礎，是很高階 的概念（劉秋木，1996）。亦有學者清楚指出分數概念對於小數、百分率、比、除 法等概念具有密不可分的相關性(林福來，1993)。另外，陳靜姿(2000)於研究中 歸納出分數學習的重要性原因如下：(1)有了基本的分數概念後，才能進一步發展 有理數概念；(2)藉由分數的學習，兒童能增進等價的觀念；(3)有助於學生處理 分數的四則運算問題；(4)和許多重要的數學概念(比、比例、機率、小數、百分 率等)有密切的相關性。由以上國內外的研究看來，分數概念學習的確在小學階段 佔有相當重要的部分，能正確的引導學習有困難的孩童把分數學好，亦為本研究 重要的研究動機。
另外，因為分數屬於抽象難懂的概念，學童對於學習分數是有困難與問題。
（Columba，1989； Hunting， 1983）。根據 Badian（1983）對一到八年級的 1476 名學生的調查發現，大約 6.4%的學生有數學學習障礙（引自陳麗玲，1992）。如 能透過電腦輔助教學來幫助教學者解決教學上的問題與困難，讓學習有障礙的孩 子，藉由此媒介來醭清分數的迷思概念，相信對老師而言，不僅在教學上得心應
手，學生也不再對分數感到頭痛。研究者本身對於資訊教育有極深的興趣，更希 望能利用電子媒體來解決教學上的困難，本研究就是希望能運用補救教學的模式 來輔助引導分數概念的傳遞，幫助學習弱勢的孩童能得到實質的解惑，並在快樂 的學習過程中得到進步與成長。
第二節 研究目的
基於以上之研究動機，本研究之目的是分析四年級分數單元的迷思概念，根 據其迷思概念進而編製各種題型與教案設計，再配合各項概念設計出相關教學教 學活動，進行迷思概念補救教學，期望藉由這樣的補救教學，了解學生在學習分 數單元時所產生的迷思與困難，並探討補救教學後迷思概念的改變情形，以及如 何在教學實施的過程中進行教學反思。
因此，分析迷思概念時，就九年一貫課綱所訂定的能力指標為主，依據四年 級分數的單元，設計各項教學活動內容，配合所設計的教學簡報、學習單，幫助 學生進行補救教學，更希望班上學習能力較弱的孩子，能透過這樣的過程，找回 自信並提升其基本能力。
第三節 待答問題
根據以上的研究動機與目的，本研究欲探討的問題如下：
一、探討接受補救教學的學童迷思概念類型為何？
二、探討老師如何針對學童之迷思概念，設計教學活動實施於補救教學之歷程？
三、探討補救教學前後學童的分數迷思概念有何改變？
四、探討老師如何在補救教學實施的過程中進行教學反思？
第四節 名詞界定
關於本研究的相關名詞界定如下：
一、分數單元：以九年一貫課綱所訂定之能力指標，將四年級的分數課程分為「認 識分數的意義」、「同分母分數的加減」、「分數比大小與等值分數」等三個教學活 動內容。
二、迷思概念：孩童在學習一項新的知識時可能自行建構或發展出自認為對的觀 念，但與專家所認定的概念並不一致，這樣的概念就可稱為「迷思概念」。 三、補救教學：老師在教學的過程中發現學生學習上的困難，經由診斷了解其問 題所在，並透過設計適合之相關教學活動，來幫助學生解決問題，使其能達成設 定之教學目標。
第五節 研究範圍與限制
本節分研究範圍與限制兩部分來說明，研究範圍大致上是研究對象、研究設 計、教材內容、研究工具等四個項目；研究限制則分人力、時間以及使用軟體來 述說。
一、研究範圍：
(一)研究對象：研究對象僅限以高雄市一所國小之四年級四位學生為對象，本 身在分數的學習上產生相當程度的迷思概念。
(二)研究設計：此研究採行動研究法，先診斷接受補救學生之分數迷思概念，
再根據其迷思概念設計教案來進行補救教學，了解教學歷程的實施是否有所成效。
(三)教材內容：以教育部公布之九年一貫數學領域課程綱要為主，以四年級分 數課程為實施內容，包括：帄分概念、單位量的指認、部分與全部的概念、同分 母分數的加減、分數比大小與等值分數等五個單元。
(四)研究工具：分析四年級學童的迷思概念，參考他人編制之詴題來擬出分數
概念前測題目，讓需接受補救教學之學童進行測詴，明瞭其迷思概念之所在，再 設計相關教學活動，配合電子白板來進行補救教學，最後藉由訪談的過程中，了 解整研究的實施歷程與成效。
二、研究限制：
(一)本研究因人力考量，只以四年級 4 位學生為補救教學之對象。
(二)受限於時間因素，課程也僅限於四年級分數單元之迷思概念。
(三)因研究者的能力有限，教學活動之設計參考相關網站與媒體動畫來進行補 救教學。
第二章 文獻探討
本研究目的主要在探討四年級學生於分數單元所產生之迷思概念，進行補救 教學之個案研究。因此本章之文獻探討分為三個部分，第一節探討分數的相關概 念。第二節列出學童在分數單元學習時常見的迷思概念。第三節將本研究之相關 分數教材進行分析，以期能與迷思概念做結合，並進而探討補救教學相關研究。
第一節 分數概念的探討
一、分數概念的意涵
關於分數的意涵是非常廣泛，而分數概念的亦有多元的解釋。在日常生活中，
或者在數學與自然科學的教材中，都可以發現分數是很常用的重要概念（教育部，
民 82）。九年一貫課綱中有提到四種意涵，包括：帄分、測量、比例以及部份/全 體等四種(教育部，2003)。另外 Kieren(1980)認為分數可分為部份/整體關係、比、
商、測量及運算元五種模式。分數是用來解決不滿一個單位量數值的問題(呂玉 琴，1997)。從以上國內外學者的角度來看分數的意涵，雖然想法不盡相同，但是 可以看出大部分學者對於分數意義的基礎為部份-整體關係，是具有一致性的看 法，而且同為是否能理解分數意義的重要指標。
至少可以從下列六種角度，來討論分數的意義（國立編譯館，2000）：（1）部 分與全體的比較：全體為 5 時，3 是 5 的部分；（2）除法的活動：3 除以 5 活動 的另一種記法；（3）算子：對於物件 1，進行一個運作，將 1 等分割成 5 份，再 取出其中的 3 份；（4）小數的另一種記法；（5）比的意義：表示兩數量的相對關 係（3：5）；（6）測量：用測量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量 的對等關係進行數值化（比值）。
二、分數能力指標
理解分數之整數相除意涵(2)理解等值分數進行簡單異分母分數大小比較 (3)認 識真分數、假分數、帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的 比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。
第二節 學童常見之分數迷思概念
關於中年級之分數迷思概念，綜合各國內外學者的研究，大致上可歸納出幾 點：
（一）認識分數的意義
1. 無帄分觀念：部分學生會認為「每個人都有分到東西」就是帄分（呂玉 琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。學生容易將日常生活中的「公帄」與「帄 分」畫上等號。由於帄分的概念在分數的學習是很重要的基礎，如果不能醭清此 概念，對於分數單元的學習勢必會造成困擾與問題。從 Bergeron，et al（1987）
的研究結果可以知道，兒童的帄分概念並不完整。舉例來說：大部份學童在處理 分數板的問題時，只看到分數板分割的塊數，並沒有注意到分割的每一塊是否相 等。另外的例子如：作圖形切割時，並不會注意每一塊的面積要相等。游政雄(2002) 研究結果指出學生在處理離散量的問題時，學生會認為帄分成三堆等同於分成三 堆，另外對於連續量之判斷是否等分時，大約有 20%的學生在分割時沒有考慮每一 塊的大小是否相等。以圓形為例，要切成 5 等份時，學生會先分成 4 等分之後再 從其中一份再對分，如圖 2-1。
圖 2-1 分數迷思概念無帄分觀念範例圖
或者是以為切割的形狀不同，就認定面積相異，如圖 2-2，一個長方形從中間 帄分兩等份，左右的圖形再各自帄分，會認定 A 的面積不等於 B 的面積。
圖 2-2 分數迷思概念無帄分觀念範例圖
2.單位量指認困難：兒童常忽略單位量或自行假設單位量（1991，呂玉琴）。 另外，分母或分子亦會影響單位量的判斷。所以單位量亦是學生常常會弄混淆的
概念，所以進行分數單元的課程學習時，應能隨時讓學生練習單位量的指認。
（1）忽略單位量：例如：學生無法看出整個圖形是單位量，而將圖形分為陰 影與空白的部分，並把分數當成兩部分的比較結果，如圖 2-3，請問圖中黑色的部 分占全部的幾分之幾？有此迷思概念的學生會將黑色(3 塊)與白色(6 塊)相互比較
，而認為答案為
6 3
。
6 3
圖 2-3 分數迷思概念單位量指認困難（1）忽略單位量範例圖
（2）受分子控制：學生作答時只想到題目中的分子，解題時受到分子的影響，
如圖 2-4 的題目問到，要學生畫出
4
3
，有此迷思概念的學生因受分子控制，所以只將 3 個圓圈填滿，而完全不考慮分母。題目：請在下面的圖形中畫出
4 3
？
圖 2-4 分數迷思概念單位量指認困難（2）受分子控制範例圖
（3）受分母控制：學生只想到題目中的分母，作答時完全受分母影響，如 圖 2-5 的題目中要圈出
3
，受到只考慮分母的迷思概念影響，而直接根據分母大A
B
小來圈出 4 個而不會想到分子。題目：請在下面的圖形中，圈出
4 3
。圖 2-5 分數迷思概念單位量指認困難（3）受分母控制範例圖
3.部分與全部的概念不清：此部分包括連續量與離散量的問題。因為對於分 數的誤解，學生容易將分數 a/b 視為兩個獨立的數（Cramer et al.,2002;Hart,
1988; Post, Cramer, Behr, Lesh, and Harel, 1992），因而產生計算上的錯誤。
例如：圖 2-6 是一個棋盤，請問黑棋占全部的多少？答案應該是
12
5
，但有學生會將空白與陰影的部分分開看，而認為答案是
7 5
。
圖2-6分數迷思概念部分與全部的概念不清範例圖
4.不懂分母為除數：分數
b
a
(當b≠ 0)可解釋為a÷b， 即兩個整數相除之商。所以分母b可以說是除數，例如：
3
6
= 6 ÷ 3 = 25.真分數、假分數、帶分數的辨別 （1）直接將整數部分拿到分子：例如，
4 1 2 4
1 3
＝4 2 1 4
3 1
＝
4 5
（2）直接將整數部分與分數部分的分子相加：例如，
5 3 1
＝5 1 3
（二）同分母帶分數的加減 1.同分母帶分數的加法
（1）直接運算分子與分母之相加：學生會將分母加分母，分子加分子，
○ ○ ○ ●
○ ○ ● ●
○ ○ ● ●
例如：
4 2 1 4
1 1
＝38 2
（2）直接將整數部分拿到分子：例如，
4 2 1 4
1 1
＝4 1 2 4
1
1
（3）將原整數部分直接加到分子上去： 例如，2＋5 1
=5 1 2
2.同分母帶分數的減法
（1）直接將整數部分乘以分子：例如，10
99 20
－499 25
＝99 10 20
－
99
25 4
＝
99 100
（2）完全用大數減小數：當分子不夠減時，會自動改成大減小，
例如：10
99 20
－499 25
＝699 20 25
＝699 5
（3）借位概念混淆：
遇到分數相減，當分子不夠減需借位時，會習慣以十進位來思考，
將從整數所借得的 1，直接在分子加 10：例如，一條彩帶長 15
1 7 公尺，姐姐做蝴蝶
結剪去
15
10
公尺，還剩下多少公尺彩帶？有迷思概念學生的作法會是 15 1 7 －15 10
＝15 7 10
－
15 10
遇到整數減帶分數的時，只記得減掉整數會忘了減真分數的部分，
如：5－1
12
3
＝412
3
（三）分數比較大小
1.異分母單位分數的比較大小：學生在處理分數大小比較時，會受到整數基 模舊經驗的影響，以整數的計算方式而類推到分數，因而造成學習困擾。例如
2 1
與4
1
， 因為4 ＞ 2，所以認為4 1
＞2 1
。2.等值分數的比較大小：等值是分數概念中一項重要的特質， 也就是一個分 數的不同名稱，等值分數牽涉到比例概念，學生解等值分數問題時需要將多個視
為一份，或將一個視為多份，因此等值分數的學習是學生學習分數概念中最困難 的一部分(呂玉琴，1994）。而且在單位分割上，如果與分母不相同，就容易產生
錯誤情形。 例如
5 1
與10
2
，因為10 ＞ 5，且2 ＞1，所以認為10
2
＞5
1
，也因分子和分母不同，所以認為
5 1
≠10
2
，因而有此迷思概念產生。第三節 分數教材分析與補救教學
一、分數教材分析
根據國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，數學領域中的數學課程可 分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題（教育部，2003）。而六 個年級中，以數與量的內容所佔的比例最重，幾乎每個階段都會出現，其中就屬 分數單元最讓學生頭痛，當然老師在教授此單元更是費盡心思，卻也不一定能達 到效果。
研究者參酌了各家出版社的相關教材後，發現大部分都是根據九年一貫課程 綱要之能力指標編製，以及依照分年細目來設計課程，有關其能力指標與分年細 目如表 2-1：
表 2-1 國民小學九年一貫課程綱要各階段能力指標及分年細目
能力指標 分年細目
第 一 階 段
N - 1 - 0 9 能在具體情境中，
初步認識分數， 並解決同分母分 數的比較與加減問題。
2 - n - 1 0 能在帄分的情境中， 認 識分母在 1 2 以內的單位分數，並比 較不同單位分數的大小。
3 - n - 0 9 能在具體情境中， 初 步認識分數， 並解決同分母分數的 比較與加減問題。
第 二 階
N - 2 - 0 6 能理解分數之「整 數相除」的意涵。
N - 2 - 0 7 能認識真分數、假
4 - n - 0 6 能在帄分情境中， 理 解分數之「整數相除」的意涵。
4 - n - 0 7 能認識真分數、假分數
段 分數與帶分數， 作同分母分數的 比較、加減與整數倍計算， 並解 決生活中的問題。
N - 2 - 0 8 能理解等值分數、
約分、擴分的意義。
N - 2 - 0 9 能理解通分的意義，
並用來解決異分母分數的比較與 加減問題。
N - 2 - 1 1 能理解分數乘法的 意義及計算方法， 並解決生活中 的問題。
N - 2 - 1 3 能做分數與小數的 互換， 並標記在數線上。
與帶分數， 熟練假分數與帶分數的 互換， 並進行同分母分數的比 較、加、減與非帶分數的整數倍 的計算。
4 - n - 0 8 能理解等值分數， 進 行簡單異分母分數的比較， 並用來 做簡單分數與小數的互換。
5 - n - 0 4 能用約分、擴分處理等 值分數的換算。
5 - n - 0 5 能用通分作簡單異分母 分數的比較與加減。
5 - n - 0 6 能在測量情境中， 理 解分數之「整數相除」的意涵。
5 - n - 0 7 能理解乘數為分數的意 義及計算方法， 並解決生活中的問 題。
5 - n - 1 1 能將分數、小數標記在 數線上。
第 三 階 段
N - 3 - 0 3 能理解除數為分數 的意義及計算方法， 並解決生活
6 - n - 0 3 能理解除數為分數的意 義及計算方法， 並能將分數約成最 簡分數。
6 - n - 0 5 能做分數的兩步驟四則 混合計算。
根據四年級學童在分數單元中之迷思概念，來說明本研究進行之補救教學設計
表 2-2 本研究所欲進行的分數單元之教材分析
活動 目標
單元 一 認識分數的意義
1-1 能認識帄分的意義。
1-2 能正確指認單位量。
1-3 能理解分數中部分與全部的概念。
單元二 同分母分數的加減
1-1 能進行同分母分數的比較 1-2 能進行同分母分數的加法 1-3 能進行同分母分數的減法
單元三
分數比大小與等值分數
1-1 能正確比較分數的大小。
1-2 在整體「1」的具體情境中，認識等值分數。
1-3 透過細分的方法，經驗擴分的意義，並找出等 值分數。
二、補救教學相關研究
為何要進行補救教學，就是因為學生在學習上產生問題，無法將課堂上老師 所講解的知識吸收並融會貫通，需要老師對其在學習上產生的落差與以補強。在 國民小學課程標準有提到，評量可分兩種，一為診斷評量，目的在於瞭解學生的 起點行為，及其困難所在，以作為擬定教學計畫之依據，並作為補救教學之參考
（教育部，1993，p.118）。另外「應發展學習診斷工具，配合以合宜的師資，規 劃恰當的課程與教材，使學生因為經驗與基本能力不足所造成的學習挫折，減到 最小…。」(行政院教育改革審議委員會，1996，pp.46-47）。所以老師在進行補 救教學前，應透過實際評量與觀察，來了解學生真正的困難所在，再透過所配合 之相關教學活動進行補救教學，才能對症下藥，幫助學生醭清錯誤的迷思概念。
所以底下就從補救教學之定義、實施對象、教學歷程、設計的原理原則、教學方 式，分別加以探討。
（一）補救教學的定義
補救教學指的是在發現學生有學習上的困難，並診斷其問題所在，針對問題 設計一連串適宜的教學活動，幫助學生解決學習上的障礙，完成該階段應達到的 學習目標（洪素敏，2008）。補救教學大致來說可算是一種診斷式教學(clinical teaching，也稱為臨床教學)（張新仁，2001）。它是在教師診斷學生學習困難之 後，來進行一些對症下藥的積極性教學活動（陳長春，1992）。研究者從事教育工 作大約十幾年的光景，一直深信補救教學乃是教育現場很重要的課程之一，對於 學習有困難的學生而言，無法完成課堂上的教學目標，這樣的補救課程能幫助低 成就的學生做課後的補救，可以重建他們對於學習的熱忱，並鼓勵教師多一份耐 心，可讓孩子重拾學習的信心。
（二）補救教學的實施對象
補救教學的對象是低成就的學生（張新仁，2001）。而張新仁對於補救教學對 象之界定，大致可分三類：一是原本所指為「低成就」，意即實際學業明顯低於其 應有的水準。再則亦是「低成就」，指的是實際學業表現明顯低於班級帄均水準。
最後為「成績低落者」，乃為學業成就表現明顯低於其他學生許多。
國內學者李咏吟（1990）指出，低成就學生成績不好的大部分因素，是因缺 乏努力、沒有良好的讀書習慣、方法與學習技巧，而造成學習表現低於學習潛力，
也不是智力方面的因素。由此可知學生成績低落最重要的原因，除了本身的認真 程度之外，正確的學習過程與態度還是影響其學業表現的。總而言之，學習的成 就表現真的與智力好壞並無絕對的相關。
（三）補救教學的歷程
補救教學的歷程與模式，是要進行補救教學前必頇了解的，當然選擇合適的 方式來進行補救教學，更是教學者不可不慎重思考的，因為補救教學最重要的是 篩選、診斷與轉介是當的學生，來接受補救教學。補救教學可說是一種「評量─
教學─再評量」的循環歷程（張新仁，2001）。郭生玉（1995）、張新仁（2000）
1.篩選個案：從各班級的學生中篩選接受補救之個案時，應透過教師的課堂上 的觀察與一般性評量，再經由轉介的過程予診斷小組，並收集相關的資料，以進 行初步之診斷。
2.蒐集資料：針對篩選轉介的個案，由相關教師與診斷小組的工作人員提供 個案之相關的資料，大致上包含身心狀況、智力與性向測驗結果、學習態度以 及各科的成績等資料，來進行分析診斷。
3.初步診斷：依據學生的日常生活考查成績等，來作為初步判斷學習困難及是 否接受何種補救教學之參考。在診斷會議中，由各班級的任課老師，說明學生的 學習情形以及在學習中遭遇到之困難，做成初步「是否需要接受補救教學的必要」。 4.家長參與：做成決定後與評量進行之前，應該通知家長，使其清楚子女在校 學 習 狀 況 與 所 遇 到 之 困 難 ， 進 而 和 家 長 討 論 其 子 女 是 否 有 接 受 補 救 教 學的必要性。徵詢家長同意後，方可實施正式評量。
5.正式評量：在診斷小組收到家長同意書後，即可展開各項正式評量，並在規 定的期限內完成評量之工作。評量資料包括：學習困難報告、教室觀察記錄、醫 生診斷書、同儕互動關係以及心理評量等。
6.教 學：補救教學基本上是一種診療教學模式（clinical teaching，也 稱臨床教學模式），在事先篩選好接受補救教學的對象之後，再進行教學。重點是 瞭解學生的困難所在，並精心設計課程內容與慎選教學模式，以符合學生之需 求。
當然學習過程並非單一而是充滿許多複雜情況，其中牽扯了包含班級氣氛、
師生關係與同儕之間的相處等，都會與學習產生密切的關聯。底下將參考 Stein、
Smith、Henningsen 及 Silver（2000）所提理想的數學教學願景(引自楊德清、洪 素敏，2008)。歸納出實施補救教學應注意的事項：
1.分析基本能力：老師在近行教學時不僅要考慮課程之學習目標，更要以學 生為主體，衡量先天上之個別差異，而其中最重要的應該是學生之先備知識，也 就是其基本能力，如此才能了解迷思概念之所在。
2.強調合作學習：雖是補救教學，但如能從中培養互助合作的態度，亦可在 這樣的環境中學會如何將自己的能力發揮出來，自然而然學會自我表達，信心相 對也會增強，對於學習也會更有助益。
3.提供學習鷹架：老師能透過適當的方法與具體的模式來幫助學生學習知 識，對學生而言是可減少錯誤的機會，進而建構正確的觀念。
4.補救與輔導並重：補救教學除了重新建構知識外，能夠幫助學生引起學習 興趣、動機，並增加自信心，所以補救不只是教學也是很好的心理建設。
5.提供豐富的具體操作活動：想要幫助學生能在學習的經驗中與抽象的符號 做連結，最好的方式就是透過具體、半具體或圖像表徵的操作活動來做結合，將 這些經驗融入學習與生活中，更能有助於抽像課程的學習。
參考以上諸位學者的研究後，研究者將本研究的教學歷程做簡單的描述：
經由測量工具了解學生之先備知識與迷思概念，篩選班上需要進行補救教學之學 童。進而確定教學目標與設計教學活動，另外規畫活動進行所需之學習單、課後 評量詴題與情境之布置，並在教學活動後施以課後評量、數學日記等做為教學活 動修正與建議之依據。
（四）補救教學設計的原理原則
補救教學的課程設計，首先要考慮到學習的原則：由容易至困難、由簡單而 繁瑣、從已學到未學等，才能建立學生的自我信心與學習動機（張新仁，2001）。 所以補救教學的課程設計原則必頇符合學生本身的特性，一切以重建學習的興趣 為原則，協助他們尋回學習的樂趣。綜合許天威（1986）、杜正治（1993）、Otto, McMenemy & Smith（引自蕭正洋，2004）在研究中提出一般補救教學的課程設計，
可考慮下列原則：
1.運用診斷評量資料設計教學：
我想有關補救教學課程設計，第一步應該先衡量學生的相關能力，先測詴 與評量其學科的學習能力，如此方能了解學生在學習動機上的程度強弱，一方面
補救教學的對象，如能在教材與教法上配合，將可收到事半功倍的效果。
2.擬定課程目標與選擇適合學習者的教材：
教師在擬定課程目標時，必定要先了解學生的學習能力與各項客觀條件，因 為課程目標之擬定會影響到教學方法與教學成效。當然在擬定課程目標的同時，
對於學習對象、學習內容、行為標準，教學方法與評量方式。最後再依學生的程 度來選定適合的教材，讓接受補救教學的學生，不至於產生排斥而能收到進步的 成效。
3.評量方法的多元性與持續評量：
補救教學活動有效與否，最重要的是能診斷出學生在學習上所面臨的困難，
老師給予回饋、信心增強與記憶上的協助。單就補救教學而言，一開始的評量與 診斷結果，只是初步結果，更是教學活動的一個起點，當然老師必頇在「教學—
評量—再教學」之歷程中，不斷觀察學生之學習表現。教學過程更應循序漸進，
目標清楚，隨時可進行評量，讓學生可得到立即性的回饋。
(五)補救教學之方式
在張新仁(2001)提到有關補救教學適用的教學策略有底下幾種：
1.直接教學法：此方式適合在記憶事實與動作技能之學習，以及單純的讀、寫、
算之能力。以羅森祥(Rosenshine)和航特(Madeeline Hunter)為主要提倡者。
2.精熟學習：此策略之基本理念為每個學生之學習狀況不同，教學時只要將頇 經熟的標準列出，並給予充足的時間，大致所有智力正常的學生都可已經熟大部 份之內容。其中以布魯姆(Benjamin S. Bloom)的精熟法最為有名。
3.個別化教學：此教學法部分理念與方式和精熟教學相似，但最大差異在於個 別化教學是學生根據教材來個別學習，而且進度由學生自己決定。其中以凱勒 (Fred S. Keller)所提倡之個別化教學系統最為有名。
4.合作學習：強調透過小組間的合作學習方式來精熟學習的課程。主要之倡導 人為史雷文(Rebert E. Slavin)和強森兄弟(David W. Johnson & Robert T.
Johson)。
以上的教學法都有其特色所在，如能針對孩子的學習障礙與問題所在，根據 其所欠缺的能力，透過所設計的教學活動來進行補救教學，相信有機會弭帄孩子 們在學習上的落差。
第三章 研究方法
本研究旨在分析四年級學生在分數單元上的迷思概念，並根據其迷思概念設 計教學活動，配合使用電子白板來進行補救教學，並找有問題的學生進行微型教 學，希望幫助學生解決其在分數單元上的迷思概念，達成在本階段的學習目標。
本研究透過探討相關文獻資料，熟悉四年級學童在分數上的迷思概念相關理論 後，為了能更深入的了解學童的學習歷程和改善數學學習的品質，利用觀察、訪 談、文件資料等方式來蒐集資料、並以質性的方法分析之。藉由記錄、評鑑、訪 談、省思等過程來探討補救教學對學生學習之成效。本章共分成研究設計與架構、
研究對象、研究工具、教學規劃及研究流程與步驟共五節來做說明。
第一節 研究設計與架構
本研究採行動研究的方式來進行。研究時間為民國一百年三月至五月，利用 中午進行補救教學，每週 2 次共為期 8 週，上課時數約 200 分鐘，進行的課程為 國民小學四年級數學科分數單元部分，教材共分為五個概念，分別為「帄分」、「單 位量」、「部分與全部」、「同分母加減」、「分數比較大小與等值分數」。先利用分數 概念前測詴題對某國小四年級某兩班學生進行施測，以了解學生在分數概念的迷 思情形，並從中找出 4 位在分數學習困難的學生，並設計相關補救教學活動對其 進行補救教學，期望透過這樣的教學歷程能醭清其迷思概念，並藉由之後的反思 來提出教學的建議。此研究方式雖以個案研究方式進行，但考量研究者的能力與 時間，故教學歷程只在於了解學生的迷思概念與教學後的改變情況，無法像行動 研究針對沒有改善的情形做反覆的研究與澄清。圖 3-1 則是本研究之研究架構圖。
以下先針對架構中的每一個元素做說明：
一、分析
此階段研究者依據課程中會出現的迷思概念，設計相關概念之前測詴題進行 施測，以實際了解學習者在此單元所產生的迷思概念。另外分析教學者在進行此 單元教學時會遇到的困難。將學生與教學者的問題做整體的分析與了解，以方便 在進行課程學習與教學的過程中，更能針對問題之所在予以設計合適之教學活動 與課程教材。
二、教學設計
經由分析過學習者的迷思概念與教學者的困難後，形成一個研究的藍圖，而 此為本研究的重要主體，根據分析過後的相關數據與情況來設計教學活動，更能 貼近學生的需求，進而解決他們在學習上的問題與錯誤觀念，教學者也能明白自 己教學上的盲點，再實施教學時因為知道學生問題之所在，能對症下藥去處理其 所衍生的迷思，對學生與教學者來說都是獲利的一方。
三、教材發展
本研究希望藉由使用相關教學媒體與素材來提升學習的興趣，並利用電子白 板來輔助教學，希望搭配其使用的便利性與優勢，根據每個單元的迷思概念來設 計相關教學媒體教材，幫助教學者在進行補救教學時，可以解決學習成就低落的 學生醭清錯誤的概念，進而達成這個階段應有的學習目標。
四、課程教學
在此步驟會找分數學習有問題的學生共 4 位，根據所設計的教學活動課程來 進行微型教學，因目的是在進行補救教學，所以透過小組式的教學方式，更能清 楚看到所設計的教案是否能達成補救的效果，當然在這樣的課程學中，學生的學 習也比較沒有同儕的壓力，更能充滿自信的學習，相信進步的空間一定會比原本 過程來的明顯。
五、成效評量與省思
進行教學之後最重要的就是評量與省思，給予接受補教教學的學生課後的評 量，比較學習前後的差別並做詳細的紀錄，藉此可將所設計的教案做一番檢驗，
根據學習者的回饋來做調整。另外透過與學生的實際訪談，來省思整個教學設計 與教學過程，孩子是否從中得到改變，並且符合我們所設定的教學目標，因為整 個研究最重要的部分就是學生的成效，這個階段所呈現出來的相關資料與數據，
都是往後課程與教學活動調整與修改的重要參考。而評量可分為課堂學習單、單 元評量與總結性評量。
圖 3-1 研究架構圖 教學設計 針對迷思概念與教學
困難設計教學活動 分析
進行前測以了解學生 之迷思概念
找出迷思概念之類型 確認補救教學對象
教材發展 教學媒體製作
教學
課程教學 對受補救教學之學生
進行課程教學
成效評量與省思 記錄 後測 訪談 省思
課後學習單評量
錯誤概念改變 迷思概念未澄清
數學日記
第二節 研究對象
本節介紹行動研究過程中的教學情境，包含參與學生背景、研究者背景及教 學環境等做介紹。
一、參與學生
本研究以高雄市某國小四年級學生為對象，由分數概念前測詴驗卷的施測 下，挑出 4 位學生其在分數單元上有相當程度的迷思概念。三年級開始每學期皆 有分數單元之課程，出現的次數相當頻繁，而且份量亦十分之多，學生對分數這 部份可說是十分畏懼，在此階段可說是奠定基礎的重要時刻，往往觀念錯誤、概 念產生偏差，就容易導致學生在課程學習上的退縮，一旦有了迷思概念，就會對 課程觀念的理解上產生困擾。學生尚無使用電子白板之相關經驗，而對新的教學 媒體感到好奇、有興趣，不會感到排斥。
二、參與教師
研究者本身畢業於某師範學院初等教育學系(教學教學科技資源組)後即到該 校服務，曾擔任六年高年級導師，教授過數學科課程，目前擔任電腦科教師，經 常使用相關資訊設備融入教學活動，對於使用新科技在教學上非常有興趣，教學 年資共十三年。
三、教學環境
本研究之補救教學之進行乃利用本校之 E 化專科教室，其配有電子白板與單 槍等設備方便教學。教學環境之帄面圖如圖 3-2：
圖 3-2 補救教學環境帄面圖
第三節 研究工具
本研究的研究工具有前測詴題卷、教師日誌、觀察記錄、訪談記錄表、各單 元評量等，茲分別說明如下。
一、前測詴題卷
根據四年級學生在分數單元中容易發生錯誤之迷思概念，進而擬定相關概念 之前測詴題，此詴題部分內容參酌了呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩四位教授 合著之「國小分數與小數的教學、學習與評量」一書，此書為行政院國家科學委 員會 NSC 科教叢書推薦，詴題已經過全國各區學生的施測，具有一定的信效度，
亦經由專家與同儕做詴題效度之分析，並找另一所學校之一班四年級學生施做測 驗，目的為詴題做鑑別度測詴，並做了詴題之分析，＊者為正確答案選項，其中 題目 7、9 兩題的答對率偏低，該班老師認為 7~9 三題為「商的意義」的概念，而 此課程要等下學期才會上到，故才會有此情形產生，建議將此三題刪去或改題目，
最後因「單位量指認困難」的概念學生較易錯誤，所以在此概念增加了三個題目。
歷經以上相關過程，再將詴題作調整與修訂之後，再請欲進行補救教學之四年級 兩班學生進行測詴，以篩選出需進行補救的學生，前測詴題如附錄一。
學生 攝影機
電子白板
電腦二、教師日誌
在研究的過程中，記錄授課教師之教學過程以及教師與學生的重要對話。內 容大致包含授課過程、遭遇之困難、問題解決的策略與討論等。教師在教學過後，
針對教學方法、學生學習動機、學生學習態度、學生學習成效等幾個方面進行使 用電子白板前後的比較及省思。可於每次補救教學課程結束後，根據其上課的情 形做檢視，經由教師日誌的撰寫，隨時記錄研究過程中的任何情況，提供做為日 後資料分析及改進教學的參考與依據。教師日誌之形式請見附錄二。
三、觀察記錄表
此表為記錄補救教學上課的情形，教學的過程皆有攝影記錄，供教學時如有 疑惑產生可再次觀看，由研究者本身觀察並撰寫，內容包括教學活動流程、電子 白板的使用、觀察建議及與學生導師討論等部分。觀察記錄表請見附錄三。
四、訪談記錄表
針對學習過程中需要進一步探討的部分來進行訪談，以得到更深入的資料。
本研究以補救教學的方式為主要教學模式，先初步分析這些分數概念，而後針對 學童之迷思部分，如對當時個別學童在做法或觀念、想法產生疑惑等，進行深入 的個別訪談，而訪談的主要內容為學習過程中容易犯錯的因素，並了解學生對使 用電子白板對學習所產生的感受、及對使用電子白板所得到的收穫與幫助等方 面。訪談記錄表請參考附錄四。
五、各單元活動設計
本研究所進行的補救教學之活動設計，除了部分自行設計外，大致參考他人 所設計之活動內容，其目的是為了幫助學生導正其分數概念上的迷思情形，原本 設計的方向只是為了概念的醭清，故在活動的內容與時間上就較為簡易，除了利 用具體物的操作、多媒體的使用、問題導向式的方法等來引導學生做概念的澄清。
六、各單元評量
本研究在每個補救教學單元實施之後，會用課後評量單來施測，目的只是為
了知道學生對於所學內容的理解與吸收程度，迷思概念是否有得到改善，另一方 面也是檢視所設計的教學活動內容是否有效，是否需要做調整與修改。
第四節 教學規劃
本節將敘述補究教學研究的過程中，整體課程著重於分數迷思概念的補救教 學，針對迷思概念設計相關課程的教學活動，找有問題學生進行微型教學，以具 體物的操作和電子白板輔助分數課程的學習，希望透過問題的引導、多媒體資源 及與電子白板互動中，實際來解決學生學習上的困難。研究階段實施規畫整理如 表 3-1。
表 3-1 分數各單元之教學規畫表
單元(堂) 教學內容 教學媒體應用 教案
單元一(4) 帄分
認識帄分的意義
教學簡報 電子白板 教學影片、動畫
如附錄五
單元二(4)
單位量指認 1-1 醭清學生單位、單位量及單位分 量之間的關係。
1-2 讓學生了解整體量的概念，並可 以明確的數出單位分數所對應的單 位分量是多少。
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如附錄六
單元三(4) 部分與全部
1-1 在整體「1」的具體情境中，認 識等值分數
1-2 透過細分的方法，經驗擴分的意 義，並找出等值分數
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如附錄七
單元四(4) 同分母分數
加減
1-1 同分母分數的加法 1-2 同分母分數的減法
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如附錄八
單元五(4) 分數比較大小
與等值分數
1-1 比較異分母單位分數的大小 1-2 理解等值分數的意義
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如附錄九
第五節 研究流程與實施步驟
本節說明本研究的實施步驟，先以流程圖來說明相關流程，並在其後敘述工 作內容。
一、研究流程
本研究的研究流程大致可分三個階段，一是研究準備階段，二是課程教學階 段，三是研究完成階段，大致流程如圖3-3：
圖3-3 實施流程圖 二、關於各階段的工作內容，大致說明如下：
（一）研究準備階段 課
程 教 學 階 段
研 究 完 成 階 段
發展分數概念前測工具 教學活動設計
實施前測
分數概念前測
篩選學生
分數概念前測
發展教學活動
分數概念前測
教學反思
分數概念前測
記錄迷思概念
分數概念前測
實施後測
分數概念前測
進行訪談
分數概念前測
形成問題
問題確定與研究設計
文 獻 探 討 研
究 準 備 階 段
在此階段的工作內容包括：
1.先做文獻的探討，分析相關理論，形成研究問題，然後確定問題與設計 研究。
2.編製分數概念前測詴題，請專家審查，參詢同儕之意見，並找學生來做 預詴，並形成正式的詴題卷。
（二）課程教學階段
本階段的主要工作為前測詴題的施測與補救教學活動的進行，以下並分別 說明。
1.前測詴題卷的施測
前測詴題卷的施測是找兩班四年級來進行，答題時間大致上是 40 分鐘，對於 答題速度緩慢的學生會給予延長時間，希望能得到更完整、正確的分數概念資料。
2.補救對象的篩選
前測詴題卷施測後就進行分數統計與錯誤類型分析。補救對象的選定是以分 數概念前測詴題分數總和低於總分 25 分一半者，此為取樣之研究樣本。總共篩選 了 6 位學生，但其中兩位因家長的考量而退出本研究，故只選了 4 位學生參加本 研究的補救教學活動。
3.教學活動
在進行分數補救教學活動方面，研究者認為因研究對象屬於數學學習困難的 學童，故能盡量利用具體物操作的方式來連結分數概念，並利用多媒體的素材來 提高其學習興趣，當然藉由問題的引導來澄清其迷思亦為本研究之重點，但有不 希望過長的上課時間來減低其學習的動機，所以在活動的設計上盡量以簡單、易 懂、方便操作為原則。
本研究採用問題引導的方式來做為教學的主軸，因為需要進行補救教學的學 生，基本上在原班級的學習就比較弱勢，而且也較無法自發性的參與討論，需要 老師給予更多的協助與指導，所以希望能由淺而深的利用問題來逐步醭清其在分
數概念上的錯誤觀念。
在各概念的教學後，讓學生透過課後單元的評量，來掌握學生的學習狀況，
了解其是否能理解課堂上老師所傳達的訊息，並且利用數學日記的書寫來幫助老 師更清楚知道學生心裡的真正想法，教學者亦可參考這些資訊來調整上課的方 式，期望能採取更適當的教學策略，使參與補救的學童能建立正確的分數概念。
教學完成後並進行分數概念後測，以清楚掌握學生進步的情形。
（三）研究完成階段
施測完成之資料來統計學童在各概念的答題情形，算出其答對比例，以了解 學童在教學前後概念的改變情形，並利用訪談來記錄學童概念的轉變，當然也做 為教學者在整個補救教學活動的省思，提供在往後教學上參考改進的依據。
第四章 研究結果與討論
本研究乃是透過紙筆測驗的方式，來了解國小四年級的學童其分數迷思概念 的類型為何，並篩選出研究對象4人，進行以半具體以至抽象符號表徵之補救教學 活動，更進一步探討學童的分數迷思概念的改變情形。最後對整個補救教學的歷 程進行反思，以了解是否具有成效，並提供其它教學者做相關課程實施時的參考。
以下將研究結果分為四個小節來討論，第一節為進行分數迷思概念測驗以篩選進 行補救教學之個案；第二節蒐集探討接受補救學生之迷思概念；第三節說明在補 救教學的歷程中家長的參與情形。
第一節 篩選補救對象前之分數概念測驗的結果分析
本節將紙筆測驗的結果作分析探討。實施分數迷思概念測驗的對象為研究者 服務學校的四年級共兩個班級的學生計60人。
表4-1為兩班施測之後的結果分析，並分別表示該題答對的人數與答對的比 率，並且依據各題目所代表的分數概念來論述分析的結果，其中A-「帄分」~了解 分數等分的意義，共2題，B-「單位量」~明白單位量的指認與辨別，共5題、C-「部 分與全部」~分數部分與全部的概念混淆，共2題、D-「真假分數辨別」~真假分數 的互換，共2題，E-「同分母分數加減」~避免同分母分數計算時出現的錯誤概念，
共9題、F-「分數比較大小」~分數大小比較因整數舊經驗之影響，共5題。學生整 體的答題表現如下表：
表4-1 四年級兩班學生分數迷思概念測驗之結果分析
分數概念 題項 答對
人數 答對率 A-平分
第一題 52 87%
第二題 49 82%
B-單位量
第三題 57 95%
第四題 46 77%
第七題 31 52%
第八題 41 68%
第九題 47 78%
C-部分與全部 第五題 54 90%
第六題 38 63%
D-真假分數辨別 第十題 56 93%
第十一題 59 98%
E-同分母分數加減
第十二題 49 82%
第十三題 55 92%
第十四題 52 87%
第十五題 44 73%
第十六題 41 68%
第十七題 46 77%
第十八題 47 78%
第十九題 32 53%
第二十題 34 57%
F-分數比大小與等 值分數
第二十一題 59 98%
第二十二題 52 87%
第二十三題 58 97%
第二十四題 45 75%
第二十五題 50 83%
下面依分數概念來分析這 60 位學生答題的狀況，以大致探討學生之迷思概 念，下面就針對每個迷思概念的答題情形做簡單的分析：
一、帄分的概念
此題型主要在了解學生是否具有分數等分概念。
【第一題】叔叔買了 1 個蛋糕，把它切成像下圖的樣子。
奇奇說：「叔叔把蛋糕帄分成 6 塊了。」請問奇奇的說法對不對？
有將近 87%的學生答對，代表大部分的學生具有等份的概念，但還是有 13%
的學生無法理解什麼是等分。
【第二題】媽媽把 12 顆蘋果分成下面的圖形，請問媽媽是不是把蘋果帄分成 3 堆？
大約 82%的學生答對，但有 18%的學生選擇(1)、(2)錯誤的選項，足見學 生在帄分的概念還是需要醭清迷思概念，不知道帄分就是分的每一堆之個數應該 相同。
二、單位量辨別的概念
此題型主要在了解學生是否具有辨別單位量概念。
【第三題】一盒巧克力有 5 條，小晴吃掉半盒的巧克力，把小晴吃掉的巧克力 用筆塗上顏色。下面哪一個塗法是對的？
【第四題】一個盒子裏有 2 條巧克力，小明拿了半盒，小華拿了半條。請問小 明和小華誰拿的比較多？
【第七題】哥哥買一個圓形蛋糕，姊姊買一個長方型蛋糕，哥哥把他的蛋糕分 一半給你，姊姊把她的蛋糕分一半給弟弟，妳和弟弟吃一樣多嗎?
【第八題】一盒餅乾有 8 片，分給小志和小英，小英得到
8
3
盒，小志得到 2 片，請誰得到比較多的餅乾?
【第九題】6 顆糖果裝一包，
3
1
包有幾顆?第三題有九成五的學生答對，第四題卻有兩成以上的學生答錯，代表單位量
