高三複習試題 第章二次曲線班級座號姓名◎學測篇一、單選題

高三複習試題 第 14 章 二次曲線

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.令橢圓



2 2

2 2 1

5 3

x  y  ﹐



2 2

2 2 2

5 3

x  y  ﹐



2 2

2 2

2 5 3 5

x  y  x的長軸長分別為 l1﹑l2﹑l3﹒請問下列哪

一個選項是正確的﹖ (1)l1  l2  l3 (2)l1  l2  l3 (3)l1  l2  l3 (4)l1  l3  12 (5)11  l3  l2﹒(99 學測) 解答 4

解析



2 2

2 2 1

5 3

x  y   a  5  l1  2a  10﹐



2 2

2 2 1

(5 2) (3 2)

x y

  a5 2l₂ 2a10 2﹐



2 2

2 2

2 5 3 5

x y x

  ( ₂5)² ₂² 5 3 1

x y

   a  5 l3  2a  10﹐

∴l1  l3  l2﹐故選(4)﹒

（ ）2.坐標平面上方程式

2 2

9 4 1

x  y  的圖形與

2 2

( 1) 16 9 1 x y

  的圖形共有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒(96 學測)

解答 1

解析 如圖﹐恰有一交點﹐故選(1)﹒

（ ）3.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4﹐2﹐如 圖所示﹒通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則此交點 P 與中 心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 ﹒(學測)

x y

( 1,0)

x y

O 45o

P

解答 2

解析 OP斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t  0﹐

又 P 在

2 2

4 1 1

x  y  上﹐故

2 2

4 1 1

t t  ﹐t  0﹐解得 4 t 5 ﹐

得 4 8

2 1.6

5 5

OP    ﹐故選(2)﹒

（ ）4.坐標平面上滿足方程式

2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) 0

5 4 3 4

x  y x  y  的點(x,y)所構成的圖形為 (1)只有原點 (2)橢圓及原點

(3)兩條相異直線 (4)橢圓及雙曲線 (5)雙曲線及原點﹒(100 學測) 解答 3

解析

2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) 0

5 4 3 4

x  y x  y  ( ²_{2 2}²)( )( ) 0 5 4 3 4 3 4 x  y x y x y 

 ²_{2 2}² 0 5 4 x y

   x  0﹐y  0 或 0 3 4

x y 或 0 3 4 x y ﹐

∵x  0﹐y  0 為 0 3 4 x y

  及 0

3 4 x y

  上的點﹐

∴圖形為 0

3 4

x y 或 0 3 4

x y ﹐兩相異直線﹐故選(3)﹒

二、多選題

（ ）1.設 F1﹑F2為橢圓的兩個焦點﹒S 為以 F1為中心的正方形（ S 的各邊可不與的對稱軸平行）﹒試問 S 可能有幾個頂點落在上？ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)0﹒(102 學測)

解答 125

解析 因為正方形的四個頂點到中心等距離﹐所以 S 的頂點必落在以 F1為圓心的圓 C 上﹒

又因為在所有橢圓上的點中﹐以頂點 A 距離 F1最近（近日點）﹐所以圓 C 最多與橢圓交 2 點﹐即 S 最多有 2 個頂點落在上﹒

底下三個圖中的 S 分別有 0﹑1﹑2 個頂點在橢圓上：

圖 1 圖 2 圖 3

三個圖中﹐圓C的半徑在圖 1 小於AF₁﹐在圖 2 等於AF₁﹐在圖 3 等於正焦弦長之半﹒

故選(1)(2)(5)﹒

（ ）2.平面上兩點 F1﹑F2滿足F F_{1 2}4﹒設 d 為一實數﹐令表示平面上滿足|PF₁PF₂|d的所有 P 點所 成的圖形﹐又令 C 為平面上以 F1為圓心﹑6 為半徑的圓﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)當 d  0 時﹐為直線 (2)當 d  1 時﹐為雙曲線 (3)當 d  2 時﹐與圓 C 交於兩點 (4)當 d  4 時﹐與

F₁

A A

F_{1 A F}

1

圓 C 交於四點 (5)當 d  8 時﹐不存在(101 學測) 解答 125

解析 (1)○﹐當 d  0 時﹐|PF₁PF₂|0  PF₁PF₂  P 點所形成的圖形為F F_{1 2}的中垂線 (2)○﹐當 d  1 時﹐|PF₁PF₂| 1 F F_{1 2} 4  P 點所形成圖形為雙曲線

(3)╳﹐當 d  2 時﹐|PF₁PF₂| 2 F F_{1 2}4

 P 點所形成圖形為雙曲線﹐與圓 C 交於 4 點 (4)╳﹐當 d  4 時﹐|PF₁PF₂| 4 F F_{1 2}

 P 點所形成圖形為以 F1﹑F2為起點的射線﹐與圓 C 交於 2 點 (5)○﹐當 d  8 時﹐|PF₁PF₂| 8 F F_{1 2}

 P 點所形成的圖形不存在 故選(1)(2)(5)

（ ）3.坐標平面上有一雙曲線﹐其漸近線為 x  y  0 和 x  y  0﹒關於此雙曲線的性質﹐請選出正確的選項﹒

(1)此雙曲線的方程式為

2 2

2  2 1 x y

r r 或

2 2

2  2  1 x y

r r ﹐其中 r 為非零實數 (2)此雙曲線的貫軸長等於共 軛軸長 (3)若點(a,b)為此雙曲線在第一象限上一點﹐則當 a  1000 時﹐| a  b |  1 (4)若點(a,b)﹐(a,b) 為此雙曲線在第一象限上兩點且 a  a﹐則 b  b (5)此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y 軸﹒(104 學測)

解答 1245

解析 (1)因為漸近線的斜率為 ± 1﹐所以圖中的矩形為正方形﹐

即貫軸長  共軛軸長﹒

因此若是左右開﹐則為

2 2

2  2 1 x y

r r ﹐

若是上下開﹐則為

2 2

2  2  1 x y

r r ﹒

(2)由(1)知此選項正確﹒

(3)錯﹗例如﹕當

2 2

2 2 1

1000x 1000y  時﹐

若 a  1001﹐則b²1001²1000²(1001 1000)(1001 1000)  2001 ﹐ 即b 200145﹐不滿足| a  b |  1﹒

(4)因為不論左右開或上下開﹐在第一象限的圖形都是遞增的﹐所以此選項正確﹒

(5)因為 x 軸與 y 軸為貫軸或共軛軸所在的直線﹐所以此選項正確﹒

F1 F2

故選(1)(2)(4)(5)﹒

（ ）4.設 F1與 F2為坐標平面上雙曲線



2 2

9 16 1

x  y  的兩個焦點﹐P 為



角形﹒試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周長﹖ (1)20 (2)24 (3)28 (4)32 (5)36﹒(94 學測) 解答 25

解析 a²  9﹐b²  16﹐c²  a²  b²  9  16  25  c  5﹐F F_{1 2}2c10﹐

∵△PF1F2成一等腰三角形﹐∴PF₁F F_{1 2}10﹐ 則|PF₁PF₂|2a6|10PF₂|6PF₂ 16或 4﹐

周長  10  10  16  36 或 10  10  4  24﹐故選(2)(5)﹒

（ ）5.考慮坐標平面上所有滿足 (x2)²y²  (x2)²(y4)² 10的點(x,y)所成的圖形﹐下列敘述何者

正確﹖ (1)此圖形為一橢圓 (2)此圖形為一雙曲線 (3)此圖形的中心在(2,  2) (4)此圖形對稱於 x  2  0 (5)此圖形有一頂點(2,3)﹒(95 學測)

解答 1345

解析 令 F1(2,0)﹐F2(2,  4)﹐則PF₁PF₂10﹐2cF F_{1 2} 4﹐2a  10﹐

(1)○﹕2a  2c 表橢圓 (2)╳

(3)○﹕F F_{1 2}之中點(2,  2)即為中心 (4)○﹕x  2  0 為長軸

(5)○﹕長軸之頂點 A(2,3) 故選(1)(3)(4)(5)﹒

x y

O

y=x y=－x

x y

O

F2 F1

P

（ ）6.坐標平面上考慮兩點 Q1(1,0)﹐Q2(  1,0)﹒在下列各方程式的圖形中﹐請選出其上至少有一點 P 滿足內 積PQ PQ₁ ₂0的選項﹒ (1) 1

y2 (2)y  x²  1 (3)  x²  2y²  1 (4)4x²  y²  1 (5) ^{2 2} 1 2 2 x  y  ﹒

(102 學測) 解答 134

解析 設 P(x,y)﹐代入PQ PQ₁ ₂0﹐得

(1  x,  y)(  1  x,  y)  0  (1  x)(  1  x)  y²  0  x²  y²  1﹐

即 P 是圓心(0,0)﹐半徑 1 的圓之內部的點﹒

(1) (2) (3)

(4) (5)

選項(1)(3)(4)有交點﹐故選(1)(3)(4)﹒

（ ）7.在坐標平面上﹐圓 C 的圓心在原點且半徑為 2﹐已知直線 L 與圓 C 相交﹐請問 L 與下列哪些圖形一定

相交﹖ (1)x 軸 (2) 1 ( )2

y x (3)x²  y²  3 (4)(x  2)²  y²  16 (5) ^{2 2} 1 9 4

x  y  ﹒(100 學測)

解答 45

解析 ∵直線 L 與圓 C 相交﹐∴包含圓 C 的圖形必與 L 相交﹐

(1)╳﹕若 L//x 軸﹐則不相交 x

y

O F1

F2

A'(2, 7) A(2,3)

y =1 2 x y

O

y =x²+ 1

x y

O x

x²+ 2y²= 1 y

O

x y

O

4x²+ y²= 1

x² 2

y² 2 = 1

x y

O

(2)╳﹕若 L 為 y   1﹐則不相交

(3)╳﹕若 L 為 y  1.8﹐則與 x²  y²  3 不相交

(4)○﹕(x  2)²  y²  16 包含 x²  y²  4﹐∴L 與(x  2)²  y²  16 必相交

(5)○﹕

2 2

9 4 1

x  y  包含 x²  y²  4﹐∴L 與 ^{2 2} 1 9 4

x  y  必相交

故選(4)(5)﹒

x L (0,0) (2,0) y

y

x L: y 1 (0,0)

1 y ¹₂^x (2,0)

O x

y

2 L: y

y

2 (0,0) 2 6 x

y

3 (0,0) x 2

2 3

三、填充題

1.設 E1﹕

2 2

2 2 1

x y

a b  （其中 a  0）為焦點在(3,0)﹐(  3,0)的橢圓﹔E2﹕焦點在(3,0)且準線為 x   3 的拋物線﹒已知 E1﹐E2的交點在直線 x  3 上﹐則 a  ____________﹒(100 學測)

解答 3 3 2

解析 由題目可知﹐E2﹕y²  12x﹐

∵E1﹐E2交點在 x  3 上﹐∴將 x  3 代入 E2﹐可得交點坐標為(3,6)﹐(3,  6)﹐

即橢圓的正焦弦長 2 2

b 12

a  ……﹐又 a²  b²  9……

由b²  6a 代入 a²  6a  9  a²  6a  9  0 a 3 3 2（負不合）﹐故a 3 3 2﹒

2.已知坐標平面上圓 O1﹕(x  7)²  (y  1)²  144 與 O2﹕(x  2)²  (y  13)²  9 相切﹐且此兩圓均與直線 L﹕x   5 相 切﹒若





解答 1 53 ( , )

5 5

解析 由拋物線的定義知﹐焦點 F 即為二圓的切點﹐由分點公式 8 7 52 1 1 53

( , ) ( , )

5 5 5 5

F    F

  ﹒

3.設 m﹑n 為正實數﹐橢圓

2 2

x y 1

m  n  的焦點分別為 F1(0,2)與 F2(0,  2)﹒若此橢圓上有一點 P 使得△PF1F2為一正三 角形﹐則 m  (1)____________﹐n  (2)____________﹒(101 學測)

解答 (1)12;(2)16

解析 ∵ △PF1F2為正三角形

∴ PF₁PF₂﹐P 點在F F_{1 2}的中垂線上﹐設 P(x,0)

∵ △PF1F2為正三角形 ∴ PF₁F F_{1 2} 4

 x² 4 4  x²  12﹐得x 12或 12

∴ c  2﹐b 12﹐a²  12  4  16

 m  b²  12﹐n  a²  16 O(0,0)

y

F1(3,0) x F2( 3,0)

x =3

O₂( 2,13) F O₁(7,1)

3 12

4.設 P 為雙曲線

2 2

9 16 1

x  y  上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且PF ：₁ PF₂ 1：3﹐則

△F1PF2的周長為____________﹒(學測) 解答 22

解析 由



2 2

9 16 1

x  y  知 a  3﹐b  4﹐c a²b² 5﹐

依題意﹐令PF₁k﹐PF₂ 3k﹐k  0﹐

並由雙曲線的定義|PF₁PF₂|2a﹐得| k  3k |  6  k  3﹐

又F F_{1 2} 2c10﹐故周長  3  9  10  22﹒

5.設 A(1,0)與 B(b,0)為坐標平面上的兩點﹐其中 b  1﹒若拋物線



則 b  ____________﹒(學測)

解答 5

解析 如圖﹐在第一﹑四象限上各有一點 P﹐可使△ABP 為正三角形且兩點互相對稱於 x 軸﹐

又因△ABP 是邊長為 b  1 的正三角形﹐所以 P 點的坐標為 1 3( 1)

( , )

2 2

b  b ﹐

由於 P 點在



4 2

b  b

3b²  14b  5  0  1

b 3或 5﹐但 b  1﹐故 b  5﹒

x y

O P

F1(0,2)

F2(0, 2)

x y

F2 O F1

P

6.有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1﹑F2﹐且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等﹒若 P 為此橢圓與雙曲線的一 個交點﹐且PF₁PF₂64﹐則F F_{1 2}____________﹒(98 學測)

解答 16

解析 橢圓中﹐a1 2  b1

2  c²……

雙曲線中﹐c²  a2 2  b2

2……

而 a2  b1代入得 a1 2  a2

2  c²  c²  a1 2  a2

2﹐ 橢圓中﹐PF₁PF₂2a₁……

雙曲線中﹐PF₁PF₂2a₂……

   PF₁ a₁ a₂﹐   PF₂  a₁ a₂﹐ 由已知PF₁PF₂64 (a1  a2)(a1  a2)  64  a1

2  a2

2  64  c²﹐∴c  8﹐

故F F_{1 2} 2c16﹒

7.坐標平面上給定點 9 ( , 2)

A 4 ﹐直線 L﹕y   5 與拋物線





解答 21 4

解析 P 為拋物線上之點﹐由定義知﹕PFPH﹐

PFAFAP﹐ 9

PF 4 AP﹐∴ 9 AP 4 PF

   ﹐

9 21

| ( , ) | ( 3) ( )

4 4

d P L AP  PH  PF  ﹐故最大值為21 4 ﹒ x

y

O A M B(b,0) (1,0)

b+1,0 2 y²=4 x P

x y

P

F2 F1

O

8.在坐標平面上﹐設直線 L﹕y  x  2 與拋物線





解答 10

解析

2

2 4 y x

x y

  

 



由代入得 x²  4(x  2)  x²  4x  8  0 x 2 2 3﹐y 4 2 3﹐ 因此P(2 2 3,4 2 3)  ﹐Q(22 3, 42 3)﹐

又由拋物線的定義知﹕PFd P L( , ₁)﹐QFd Q L( , ₁)﹐ 其中 L1﹕y   1 為拋物線 x²  4y 的準線﹐

故PFQFd P L( , ₁)d Q L( , ₁) (5 2 3) (5 2 3) 10 ﹒

9.在坐標平面上﹐過 F(1,0)的直線交拋物線



解答 3 2

解析 設 P(t²,2t)﹐Q(x,y)﹐

利用分點公式﹐

3 2 2

1 5

x t

  1 ²

(5 2 )

x3  t ﹐ 3 4

0 5

y t

  4

y 3t﹐

將 5 2 ² 4

( , )

3 3 3

Q  t  t 代入 y²  4x﹐得 4 ² 5 2 ² ( ) 4 ( )

3t 3 3t

     ² 15 3 10 2 t   ﹐

故 P 點之 x 坐標為3 2﹒

x y

O H

P F(0,2)A 9,2

4

y = 2 L: y= 5 x²=8y

P F

Q

O x

y

L₁: y = 1 L: y =x+2 : x²=4y

10.坐標平面上有一以點 V(0,3)為頂點﹐F(0,6)為焦點的拋物線﹒設 P(a,b)為此拋物線上一點﹐Q(a,0)為 P 在 x 軸上的 投影﹐滿足FPQ  60﹐則 b  ____________﹒(96 學測)

解答 12

解析 如圖 x 軸為準線﹐∴PFPQb﹐

△PFH 中﹐PF2PH  b  2(b  6)  b  12﹒

11.假設



 且焦距（焦點到頂點的距離）為1

8 ﹒若







解答 9 8

解析 設



4 8

x   yk ﹐





得 3 ² 1 ²

( ) ( )

4 2

x  x k  ² 9

3 ( ) 0 x  x 8k  ﹐

∵只有一交點﹐∴D  0﹐ ² 9

3 4( ) 0

D  8k   9 k8 ﹒ x

y

O F(1,0) P t²,2t

Q(x, y)

b b 6 H P(a,b) F(0,6)

V(0,3) 6 Q(a,0) 60

x y

O

o