高三複習試題 第 11 章 空間向量
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◎學測篇 一、單選題
（ ）1.令 A(5,0,12)﹐B( 5,0,12)為坐標空間中之兩點﹐且令 P 為 xy 平面上滿足PAPB13的點﹒請問下列 哪一個選項中的點可能為 P﹖ (1)(5,0,0) (2)(5,5,0) (3)(0,12,0) (4)(0,0,0) (5)(0,0,24)﹒(103 學測) 解答 4
解析 設 P(x,y,0)﹒因為PAPB13﹐所以 (x5)2y2144 (x5)2y214413﹐
即
2 2
2 2
( 5) 25
( 5) 25
x y
x y
﹒
兩式相減﹐得(x 5)2 (x 5)2 x2 10x 25 x2 10x 25 x 0﹐
代入原式得 y 0﹐即 P(0,0,0)﹒故選(4)﹒
二、多選題
（ ）1.坐標空間中﹐在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切﹐設其球心分別為 A﹐B﹐C﹒今將第四個半 徑為 1 的球置於這三個球的上方﹐且與這三個球都相切並保持穩定﹒設第四個球的球心為 P﹐試問下 列哪些選項是正確的﹖ (1)點 A﹐B﹐C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC 是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P 到 xy 平面的距離為1 3﹒ (96 學測)
解答 124
解析 四球心連成一邊長為 2 之正四面體﹐如圖所示﹐
(1)○ (2)○ (3)╳﹕△PAB 為正三角形 (4)○
(5)╳﹕正四面體之高為 6 2 6
3 2 3 ﹐∴P 到 xy 平面之距離為 2 6 1 3
故選(1)(2)(4)﹒
（ ）2.如圖﹐正立方體 ABCD EFGH 的稜長等於 2（即AB2）﹐K 為正方形 ABCD 的中心﹐M﹑N 分別為 線段 BF ﹑ EF 的中點﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1 1 1
2 2 2
KM AB AD AE (2)（內積）
2 2
1 2 1
A C
B P
3
1
KM AB (3)KM 3 (4)△KMN 為一直角三角形 (5)△KMN 之面積為 10
2 ﹒(98 學測)
解答 14
解析 坐標化 A(0,0,2)﹐B(2,0,2)﹐D(0,2,2)﹐E(0,0,0)﹐F(2,0,0)﹐M(2,0,1)﹐N(1,0,0)﹐K(1,1,2)﹐
(1)○﹕KM (1, 1, 1)﹐AB(2,0,0)﹐AD(0, 2,0)﹐
AE(0,0, 2) ﹐ 1 1 1
2 2 2
KM AB AD AE
(2)╳﹕KM AB 2 (3)╳﹕|KM| 1 1 1 3
(4)○﹕KM MN (1, 1, 1) ( 1,0, 1) 0
(5)╳﹕KMN 90﹐|MN| 2﹐|KM| 3﹐面積 1 6 2 3
2 2
故選(1)(4)﹒
（ ）3.如圖﹐ABCD EFGH 為一平行六面體﹐J 為四邊形 BCGF 的中心﹐如果 AJ a ABb ADc AE﹐試
問下列哪些選項是正確的﹖ (1)1 2
3 b 3 (2)a b c 2 (3)a 1 (4)a 2c (5)a b﹒(學測)
解答 1234
解析 因 J 為四邊形 BCGF 的中心﹐則自 J 作BC的垂線﹐垂足 M 必是BC的中點﹒
連接AJ 及AM﹐由向量的加法原理知 1 1
2 2
AJAM MJ ABBM MJ AB AD AE﹐
得 a 1﹐ 1﹐ 1﹐故選(1)(2)(3)(4)﹒
A D
B M
C
E H
G F
N K
A E
D
H G
C B
F J
（ ）4.如圖 O ABCD 為一金字塔﹐底是邊長為 1 之正方形﹐頂點 O 與 A﹑B﹑C﹑D 之距離均為 2﹒試問下
列哪些式子是正確的﹖ (1)OAOBOCOD 0 (2)OAOBOCOD 0 (3)
0
OA OB OCOD (4) OA OB OC OD (5)OA OC 2﹒(93 學測)
解答 34
解析 設 P 為 O 關於平面 ABCD 的對稱點﹐
因四邊形 OAPC 及 OBPD 均為平行四邊形﹐所以OAOCOP﹐OBODOP﹒
(1)OAOBOCOD(OAOC)(OBOD)OPOP2OP 0
(2)因為OA OB OCOD﹐所以OA OB OC OD 0
(3)因為OA OC OPOBOD﹐所以OA OB OC OD 0
(4)因為|OA| | OB| | OC| | OD|2﹐且AOB COD﹐
所以OA OB 2 2 cosAOB 2 2 cosCODOC OD 故選(3)(4)﹒
A E
D
H G
C B F J
M
A D
B C
O
A B D
C O
P
三、填充題
1.在空間中﹐一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角
的正切值 tan
﹒若一金字塔（底部為一正方形﹐四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為2
5﹐如圖﹒則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為____________﹒
（化為最簡分數）(104 學測)
解答 25 29
解析 建立空間坐標系﹐如下圖﹒
依題意﹐得兩斜面方程式為
1
2
5
：
E z yE1：2y 5z 0﹐ 2 2
5
：
E z xE2：2x 5z 0﹒
利用兩法向量n1 (0, 2, 5) ﹐n2 (2,0, 5) ﹐得
1 2
1 2
25 25
| cos | | | | | 29 29 29
| || |
n n
n n
﹒2.令 A( 1,6,0)﹐B(3, 1, 2)﹐C(4,4,5)為坐標空間中三點﹒若 D 為空間中的一點且滿足 3DA4DB2DC 0 ﹐ 則點 D 的坐標為____________﹒(97 學測)
解答 ( 7,30,18) 解析 設 D(x,y,z)﹐
則DA ( 1 x,6 y, z)﹐DB (3 x, 1 y, 2 z)﹐DC(4x, 4y,5z)﹐
3DA4DB2DC 3( 1 x,6 y, z)4(3 x, 1 y, 2 z) 2(4x, 4y,5 z) 0 3 3x 12 4x 8 2x 0 x 7
E1
E2
x
y z
O
3.附圖為一正立方體﹐若 M 在線段 AB 上﹐BM 2AM ﹐N 為線段 BC 之中點﹐則 cosMON ____________ 10 ﹒
（分數要化成最簡分數）(95 學測)
解答 4 15
解析 坐標化﹐令 O(0,0,0)﹐A(0,0,6)﹐B(0,6,6)﹐C(6,6,6)﹐M(0,2,6)﹐N(3,6,6)﹐
則OM (0, 2,6)﹐ON(3,6,6)﹐
0 12 36 48 8 8 10 4
cos 10
30 15 40 81 2 10 9 3 10
| | | | OM ON MON
OM ON
﹒
4.坐標空間中﹐在六個平面 14
x13﹐ 1
x13﹐y 1﹐y 1﹐z 1 及 z 4 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異 頂點﹒若每個頂點被選取的機率相同﹐則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為____________﹒（化成最簡分數）
(101 學測) 解答 3
7
解析 將平面組成的長方體坐標列出為 (1 , 1, 4)
A13 ﹑ 14
( , 1, 4)
B 13 ﹑ 14 ( ,1, 4)
C 13 ﹑ 1 ( ,1, 4)
D13 ﹑ 1
( , 1, 1)
E 13 ﹑ 14
( , 1, 1)
F 13 ﹑ 14 ( ,1, 1) G 13 ﹑ (1 ,1, 1)
H 13
其中BF 3﹐AB1﹐BC2兩頂點距離大於 3 者有
AF﹑GD﹑EB﹑HC﹑FC﹑GB﹑ED﹑HA﹑FD﹑HB﹑EC﹑AG﹐共 12 種
故 8
2
12 3 P 7
C
A M B
C N O
A (0,0,6) M (0,2,6)B (0,6,6) N (3,6,6) C
O
5.附圖為一正立方體﹐被一平面截出一個四邊形 ABCD﹐其中 B﹐D 分別為稜的中點﹐且EA：AF1 2： ﹒則 cosDAB
____________﹒（化成最簡分數）(學測)
解答 1 37
解析 將圖形坐標化﹐ 2 (1,0, )
A 3 ﹐ 1
(1,1, )
B 2 ﹐ 1
(0,0, )
D 2 ﹐則 1
(0,1, )
AB 6 ﹐ 1
( 1,0, ) AD 6 ﹐
故
1 1
0 0
36 36 1 cos( )
37 37
1 1
| | | | 1 1
36 36 36 AB AD
DAB
AB AD
﹒
6.有一底面為正方形的四角錐﹐其展開圖如下圖所示﹐其中兩側面的三角形邊長為 3﹐4﹐5﹐則此角錐的體積為 ____________﹒（化為最簡根式）
(104 學測) 解答 16 5
3
解析 立體圖﹐如下﹒
B C
A D
F G
E H
A E
F
B D
C
A E
F B
D
C
x y
z
(1,0,0) (0,1,0)
3
3 5
5 4 4
3 2 P
