§2 §2 一元元函数积分学函数积分学§2 §2 一元元函数积分学函数积分学

全文

(1)

§2 一 §2 元 元 函数积分学 函数积分学

(2)

5

旋轮线 6 旋轮线也叫摆线

7

旋轮线是最速降线

8

心形线

9

星形线

10

圆的渐伸线

11

笛卡儿叶形线

12

双纽线

13

阿基米德螺线

14

双曲螺线

主 目 录

主 目 录

1–25 1–25

15

16

面积求曲线

r

 3cos

θ

r

1cos

θ

分别所围成的图形的公共部分的 sin cos 分别所围成的图形的 公共部分的面 求曲线 r 2 θ r2 2 θ

2

求曲线

y

2 2

x

y

x

4 围成的面积

3

成图形的面积

切线所围 ,0)处的

)和点( 与其在点(0,

求抛物线 y x2 4x 3 3 3

1

曲边梯形的面积

4

曲边扇形的面积

(3)

19

平行截面面积为已知的立体的体积。

20

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截,得 一圆柱楔。求其体积。

21

求以半径为 R 的圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,高为 h 的正 劈锥体的体积。

22

旋转体体积 (y =f(x) 绕 x 轴 ) 23 旋转体体积 (x =g(y) 绕 y 轴)

24

旋转体体积(柱壳法) 25 旋转体的侧面积

18

17

ρ

1被心形线

ρ

1 cos

θ

分割为两部分,求这两 部分的面积。

求由双纽线 ( 2 2)2 2( 2 2 ) 2 2 2 a2

y x

y x

a y

x 所围而且在圆周 内部的面积。

.

(4)

x

i

x

i1

x

1

i

x

2

元素法元素法

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

i i

i

f x

S  

()

3 积零为整

y

o x

y=f (x)

1

x

n

n

i

i

i

x

f S

1

) (

a b

.

.

分法越细,越接近精确值

1.

曲边梯形的面积曲边梯形的面积

f (

i

)

.

(5)

x

i i

x

i1

元素法元素法

4 取极限

y

o x

y=f (x)

令分法无限变细 .

a

.

b

.

.

分法越细,越接近精确值

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

3 积零为整

n

i

i

i

x

f S

1

) (

i i

i

f x

S  

()

1.

曲边梯形的面积曲边梯形的面积

.

f (

i

)

(6)

x

i i

x

i1

元素法元素法

4 取极限

y

o x

y=f (x)

令分法无限变细 .

.

.

.

分法越细,越接近精确值

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

3 积零为整

n

i

i

i

x

f S

1

) (

i i

i

f x

S  

()

1.

曲边梯形的面积曲边梯形的面积

.

f (

i

)

n

i

i

i

x

f

1

) ( lim

S = .

ab

f ( x ) d x

S

.

a b

(7)

围成的面积

求曲线

y

x y

x

4

–2

0 y

x

2.

4

4

–4

解方程组:

x y

x y

得交点:

(8, 4)

, (2,–2)

问题:选谁为积分变量?

d )

( y y

y

S

18

(8)

切线所围成图形的面积

(3,0)

和点 处的

与其在点

求抛物线 y   x

  x   (0,   )

3.

x

y

o

3

–3

x y

得两切线的斜率为 k ,

故两切线为 l : y x ,

其交点的横坐标为 x

d )]

(

[

x

x

x

x

k

y x

l :

d )]

3 4

( 3 4

[

2

2 3

0

x x x x

S =

l

1

l

2

(9)

( )

d

o

+d

r =( )

元素法元素法

1 取极角

为积分变量,

其变化区间为 [

,

]

( )d

d

  S

以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积,得到 面积元素:

] [

,

. .

S

[

(

)]

d

4.

曲边扇形的面积曲边扇形的面积

S dS

3

作定积分

.

r

(10)

x

a

圆上任一点所画出的曲线。

5. 旋轮线

一圆沿直线无滑动地滚动,

(11)

x

来看动点的慢动作

圆上任一点所画出的曲线。

.

一圆沿直线无滑动地滚动,

5. 旋轮线

(12)

2a

2a

0

y

a x x = a (t – sint)

y = a (1– cost) t 的几何意义如图示

a t

t 0

2 , x 0

2a

即曲线走了一拱

a

圆上任一点所画出的曲线。

5. 旋轮线

.

一圆沿直线无滑动地滚动,

(13)

x=a (t – sint) y=a (1– cost)

将旋轮线的一拱一分为二,并倒置成挡板

6. 旋轮线也叫摆线 单摆

单摆

(14)

x=a (t – sint) y=a (1– cost)

将旋轮线的一拱一分为二,并倒置成挡板

.

单摆

单摆

6. 旋轮线也叫摆线

(15)

单摆

单摆

.

6. 旋轮线也叫摆线

x=a (t – sint)

y=a (1– cost)

将旋轮线的一拱一分为二,并倒置成挡板

(16)

两个旋轮线形状的挡板 , 使摆动周期与摆幅完全无关。

在 17 世纪,旋轮线即以此性质出名,所以旋轮线又称摆

线。

单摆

单摆

.

6. 旋轮线也叫摆线

x=a (t – sint)

y=a (1– cost)

将旋轮线的一拱一分为二,并倒置成挡板

(17)

x=a (t – sint)

B

A

答案是:当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B

当曲线是什么形状时所需要的时间最短?

y=a (1– cost) 7.

旋轮线是最速降线

生活中见过这条曲线吗?

(18)

x=a (t – sint)

B

A

答案是:当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B

当曲线是什么形状时所需要的时间最短?

y=a (1– cost)

.

生活中见过这条曲线吗?

7. 旋轮线是最速降线

(19)

x=a (t – sint)

B

A

答案是:当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B

当曲线是什么形状时所需要的时间最短?

y=a (1– cost)

生活中见过这条曲线吗?

7. 旋轮线是最速降线

.

(20)

x=a (t – sint)

B

A

答案是:当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B

当曲线是什么形状时所需要的时间最短?

y=a (1– cost)

生活中见过这条曲线吗?

滑板的轨道就是这条曲线

7. 旋轮线是最速降线

.

(21)

x

y

o a a

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

8. 心形线 (

圆外旋轮 线 )

(22)

x

y

o a

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

8. 心形线 (

圆外旋轮 线 )

a

(23)

x

y

o a a

2a

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

(

圆外旋轮

8. 心形线

线 )

(24)

x

y

o

2a

r = a (1+cos )

0   2

0  r  2a

P

r

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

(

圆外旋轮

8. 心形线

线 )

(25)

x

y

o a

4 a

– a

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

9. 星形线 (

圆内旋轮 线 )

(26)

x

y

o a

– a

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

9. 星形线 (

圆内旋轮 线 )

(27)

x

y

o a

– a

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

来看动点的慢动作 .

9. 星形线 (

圆内旋轮 线 )

(28)

x

y

o

3 2 3

2 3

2

a y

x  

 

3 3

sin cos a

y

a

x – a a

0   2

.

P

.

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动,动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

9. 星形线 (

圆内旋轮 线 )

(29)

 

) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

一直线沿圆周滚转(无滑动)

直线上一个定点的轨

10. 圆的渐伸线

a

(30)

 

) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

一直线沿圆周滚转(无滑动)

直线上一个定点的轨

.

a 10. 圆的渐伸线

再看一遍

(31)

 

) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

.

a

一直线沿圆周滚转(无滑动)

直线上一个定点的轨

10. 圆的渐伸线

(32)

 

) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

.

a

一直线沿圆周滚转(无滑动)

直线上一个定点的轨

10. 圆的渐伸线

(33)

0

a x

M

t t a

at

(x,y)

 

) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

试由这些关系推出曲线的方程

.

一直线沿圆周滚转(无滑动)

直线上一个定点的轨

10. 圆的渐伸线

(34)

1.

曲线关于

y= x

对称

2.

曲线有渐进线

x+y+a = 0 分析

3.

y = t x,

得参数式

1 3

1 3

3 2 3



t y at

t x at

-1) ,

(-

t



t



,

t

,

0

t

故在原点,曲线自身相交 .

,

t

) ,- (

(0,0)  动点由

t

,

(0,0) )

,

(  动点由

, t



(0,0) (0,0)

动点由

线

.

依逆时针方向画出叶形

) (

0 0

3

3

3

yaxya

11.

狄卡儿 叶形线

x

) 0 , 0 ( )

, (

x y

) 0 , 0 ( )

,

( x y

也有

4.

(35)

0

x

y

x+y+

a = 0

) (

0 0

3

3

3

yaxya

x

曲线关于 y= x 对称

1 3

1 3

3 2 3

 

 

 

  t y at

t x at

曲线有渐近线 x+y+a=0

.

11.

狄卡儿 叶形线

(36)

0

x

y

a 2

P ,

2 a F

F  

) 0 , ( a

F F (a,0)

F

F

( a2)

r

2 r2 a2 2racos

2r2a22racos

4 2

2 2 2

2 2

2

( ) 4 cos

)

(   rar aa

2 cos 2

2

2

a

r

cos 2

0 , 2 )

4 ( 7 4 )

, 5 4 ( 3 4 )

, 0

(

.

. .

. .

. .

... .

) (

2 )

(

x

2

y

2 2

a

2

x

2

y

2

曲线在极点自己相交,与此对应的角度为  =

4 , 4 , 3

4 , 5

4

7

...

距离之积为 a

2

的点的轨迹

直角系方程

12.

纽线

(37)

0

x

y

a 2

2 cos 2

2

2

a

r

.

所围面积

4

.

)d

(

 

  r

S

2a

2

..

由对称性

cos

d

a

.

12.

双纽线双纽线

(38)

0 r

r =a

曲线可以看作这种点的轨迹:

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

13. 阿基米德螺线

(39)

0 r

曲线可以看作这种点的轨迹:

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

.

13. 阿基米德螺线 r =a

(40)

0 r

曲线可以看作这种点的轨迹:

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

请问:动点的轨迹什么样?

再看一遍

.

13. 阿基米德螺线 r =a

(41)

0 r

.

13. 阿基米德螺线 r =a

(42)

0 r

r =a

.

13. 阿基米德螺线

(43)

0 r

r =a

.

13. 阿基米德螺线

(44)

r

这里

0

+ 8

r =a

0

2a 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数

.

13. 阿基米德螺线

(45)

0 r

8

0

r =a

.

13. 阿基米德螺线

(46)

r

a

0 r

.

这里

0

+ 8

a

0 lim

r

θ

极点是曲线的渐近点

sin r y

sin

 a

a

θ

y

lim

0

是曲线的渐近线

a

y

. .

14. 双曲螺线

(47)

r

a

0 r

.

0

8

a

.

14. 双曲螺线

(48)

x

y

o 15.

2

θ θ

π

d ) cos 1

2 (

1

2

3

0

. .

S =

=1+cos

3

r =3cos

部分的面积

分别所围成的图形的公

求曲线

r

cos θ r

cos θ

由 3cos

=1+cos

得交点的坐标

θ

S S

2

3

2

d

2 cos

π

9

π

θ θ

2

3 π

. .

.

(49)

16.

1

部分的面积

分别所围成的图形的公

求曲线

r

sin θ r

2

cos

θ

0

x

y

令 cos2

= 0,

 

 k θ

由 sin

> 0,

 θ

 联立后得交点坐标 θ , θ

θ θ

π

π

cos2 d

2

4

1

6

...

θ θ

π

d sin

2 2

1

2

6

0

[

S = 2

]

6 θ π

.

4 θ π

(50)

的面积。

部分 分割为两部分,求这两

被心形线

ρ

1 ρ

1

cos θ

x

y

o 17.

1

( cos θ d ) θ

s

1

s

2

s

s

s

s

. .

. .

. .

s

S =

=1+cos

(51)

求由双纽线

0

x

y

θ a

r

cos

..

2 12

a

2

π 

..

由对称性

.

18.

a

a

6 θ π

)

( )

( 所围而且在圆周 a22

y x

y x

a y

x

内部的面积。

双纽线化成极坐标

(

) a

令 r = 0,

 k

θ

 k

θ

,

a

r

d 2 cos2

1

2

4 6

θ θ a

π

π

S = 4 +

.

4 θ π

(52)

x

A(x)

dV=A(x)dx

x

已知平行截面面积为 A(x) 的立体

b

a

A x x

V ( ) d

.

a V

以下是几个例子 以下是几个例子

19. 平行截面面积为已知的立体的体积

b

(53)

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截,得一圆柱楔。求其体积。

2

2 x

R

y

o R

x

y

20.

(54)

o R y

x

–R

R

20.

.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截,得一圆柱楔。求其体积。

(55)

o R y

x

x

y

R2 x2

 

R

R

( R x )tan d x

tan

 R

R

R

A x x

V ( ) d

–R

R

.

. .

)tan (

R x

.

y tan

问题:

问题:

还有别的方法吗?

还有别的方法吗?

(x, y),

截面积

A(x)

.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截,得一圆柱楔。求其体积。

20.

.

(56)

o R y

x

–R

R

方法方法 22

.

20.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截,得一圆柱楔。求其体积。

(57)

o R y

x

–R

R

方法方法 22

A

B

C D

BC

tan

y R y

DC

2 R

2

y

2

. .

R

y R y α y

0

2

2

tan d

2

tan

 R

R

S y y

V ( )d

. .

截面积 S(y)

(x, y)

= 2x

= ytan

.

S(y)

.

20.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截,得一圆柱楔。求其体积。

(58)

h

R x

o

y

–R

求以半径为 R 的圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,

21.

高为 h 的正劈锥体的体积。

(59)

h

R x

o x

A(x)

A(x)

h

yh R

x

V =

R

R

A ( x ) d x

.

R

R

R x x

h d

θ θ h

R

π

d cos

2

2

0

2 2

R

h

...

–R

y

21.

.

求以半径为 R 的圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,

高为 h 的正劈锥体的体积。

y

(60)

x

f(x)

a b

曲边梯形:

y=f(x) , x=a,x=b,y=0

绕 x 轴旋转

22.

求旋转体体积

(61)

x

f(x)

a x b

.

.

111111111 ( x )

Af

2

( x )

b

a

f ( x )d x

.

曲边梯形:

y=f(x) , x=a,x=b,y=0

绕 x 轴旋

22.

求旋转体体积

V =

(62)

x=g(y)

y

0 x c d

曲边梯形:

x=g(y)x=0, y=c, y=d

绕 y 轴

23. 求旋转体体积

(63)

x=g(y)

y

0 x c d

曲边梯形:

x=g(y)x=0, y=c, y=d

绕 y 轴

.

23. 求旋转体体积

(64)

x=g(y)

y

0 x c

d

d

c

A y y

V ( ) d

) ( y y A

d

c

g y y

V ( ) d .

)

. 2

( y

g

. 23. 求旋转体体积

.

曲边梯形:

x=g(y)x=0, y=c, y=d

绕 y 轴

(65)

a b

f (x)

y

x 0

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

x

d x

(66)

a x b y

x 0

) ( π

2 xf x

内表面积

.

d x

.

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

(67)

b y

x

0 a

.

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

(68)

b y

x

0 a

.

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

(69)

0

y

0 a x b x

dx .

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

(70)

f (x)

Y

x

0

b

dx

0 y

z

.

b

a

xf x x

V ( ) d

a

.

曲边梯形

y= f (x) x=a,x=b,y=0

y

24.

求旋转体体积— 柱壳法

柱壳法

dV=2 x f (x)dx

(71)

x=g(y) y

0 x c d

x= g (y)

y

轴旋转

25.

求旋转体侧面积

A

(72)

x=g(y) y

0 x c d

x= g (y)

y

轴旋转

dA=2 g(y)ds y

d

c

π g y g y y

A 2 ( ) 1 [ ( )]

2

d

.

(ds

是曲线的弧微分 )

y y

g

s [ ( )] d

d

.

.

故旋转体侧面积

25.

求旋转体侧面积 A

ds

(73)

谢 谢 使 谢用 谢 使 用

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.

數據

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參考文獻

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