§2 §2 一元元函数积分学函数积分学§2 §2 一元元函数积分学函数积分学

§2 一 §2 元 元 函数积分学 函数积分学

5

7

8

9

10

11

12

13

14

主 目 录

主 目 录

^{（ （ 1–25 1–25 ） ）}

15

16

r

θ

r

θ

2

y

x

y

x

3

成图形的面积

切线所围 ,0)处的

)和点( 与其在点(0,

求抛物线 y  x²  4x 3 3 3

1

4

19

20

21

22

24

18

17

ρ

ρ

θ

求由双纽线 ^{( 2 2)2 2( 2 2 ) 2 2} 2 a2

y x

y x

a y

x    所围而且在圆周   内部的面积。

.

x

x

x

i

x

元素法元素法

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

i i

i

f x

S  

 (  )

3 积零为整

y

o x

y=f (x)

1

x





 ⁿ

i

i

i

x

f S

1

) (

a b

.

.

1.

f (

)

.

x

x

元素法元素法

4 取极限

y

o x

y=f (x)

令分法无限变细 .

a

b

.

.

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

3 积零为整





 ⁿ

i

i

i

x

f S

1

) (

i i

i

f x

S  

 (  )

1.

.

f (

)

x

x

元素法元素法

4 取极限

y

o x

y=f (x)

令分法无限变细 .

.

.

.

1 化整为零 2 以直代曲

( 以常代变 )

3 积零为整





 ⁿ

i

i

i

x

f S

1

) (

i i

i

f x

S  

 (  )

1.

.

f (

)





i

i

i

x

f

1

) ( lim

S = .



f ( x ) d x

S

.

a b

围成的面积

求曲线

y

x y

x

4

–2

。

。

0 y

x

2.

4

4

–4

解方程组：









^  

x y

x y

得交点：

^{(8, 4)}

问题：选谁为积分变量？

d )

( y y

y

S







18

切线所围成图形的面积

(3,0)

和点 处的

与其在点

求抛物线 y   x

  x   (0,   )

。

。

3.

x

y

o





–3









 

x y

由

得两切线的斜率为 k ^{  ,}

故两切线为 l ^: y ^{ }x ^{ ,}

其交点的横坐标为 ^{x } _^

d )]

(

[

x

x

x

x

 ^{ }







 

。





  k









 y  x

l :

d )]

3 4

( 3 4

[

2 3

0      

 ^{x x x x}

。

S =

l

l

⁽ ⁾

d

o



 +d 

r =  (  )

1 取极角



其变化区间为 [

,

 ^{ (  )}  ^{d }

d



  S

以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：

] [

,



. ^.

S



[

(

)]

d



4.

S dS

3

.

r



x

a

圆上任一点所画出的曲线。

5. 旋轮线

一圆沿直线无滑动地滚动，

x

来看动点的慢动作

圆上任一点所画出的曲线。

.

一圆沿直线无滑动地滚动，

5. 旋轮线

2a

2a

0

y

a x x = a (t – sint)

y = a (1– cost) t 的几何意义如图示

a t

当 ^t 从 0

2 ， x 从 0

2a

即曲线走了一拱

a

圆上任一点所画出的曲线。

5. 旋轮线

.

一圆沿直线无滑动地滚动，

x=a (t – sint) y=a (1– cost)

6. 旋轮线也叫摆线 单摆

x=a (t – sint) y=a (1– cost)

.

单摆

6. 旋轮线也叫摆线

单摆

.

6. 旋轮线也叫摆线

x=a (t – sint)

y=a (1– cost)

两个旋轮线形状的挡板 , 使摆动周期与摆幅完全无关。

在 17 世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆

线。

单摆

.

6. 旋轮线也叫摆线

x=a (t – sint)

y=a (1– cost)

x=a (t – sint)

B

A

答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B ，

当曲线是什么形状时所需要的时间最短？

y=a (1– cost) 7.

生活中见过这条曲线吗？

x=a (t – sint)

B

A

答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B ，

当曲线是什么形状时所需要的时间最短？

y=a (1– cost)

.

生活中见过这条曲线吗？

7. 旋轮线是最速降线

x=a (t – sint)

B

A

答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B ，

当曲线是什么形状时所需要的时间最短？

y=a (1– cost)

生活中见过这条曲线吗？

7. 旋轮线是最速降线

.

x=a (t – sint)

B

A

答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。

最速降线问题 :

质点在重力作用下沿曲线从固定点 A 滑到固定点 B ，

当曲线是什么形状时所需要的时间最短？

y=a (1– cost)

生活中见过这条曲线吗？

滑板的轨道就是这条曲线

7. 旋轮线是最速降线

.

x

y

o ^{a a}

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

8. 心形线 (

x

y

o ^a

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

8. 心形线 (

a

x

y

o ^{a a}

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

(

8. 心形线

x

y

o

r = a (1+cos  )

0    2

0  r  2a

P



r

一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

(

8. 心形线

x

y

o a

4 a

– a

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

9. 星形线 (

x

y

o a

– a

来看动点的慢动作

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

9. 星形线 (

x

y

o a

– a

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

来看动点的慢动作 ^.

9. 星形线 (

x

y

o

3 2 3

2 3

2

a y

x  

 











3 3

sin cos a

y

a

x ^{– a a}

0    2

或

.

P



.

一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

.

9. 星形线 (

 











) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

一直线沿圆周滚转（无滑动）

直线上一个定点的轨 迹

10. 圆的渐伸线

a

 











) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

一直线沿圆周滚转（无滑动）

直线上一个定点的轨 迹

.

a 10. 圆的渐伸线

再看一遍

 











) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

.

a

一直线沿圆周滚转（无滑动）

直线上一个定点的轨 迹

10. 圆的渐伸线

 











) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

.

a

一直线沿圆周滚转（无滑动）

直线上一个定点的轨 迹

10. 圆的渐伸线

0

a x

M

t t a

at

(x,y)

 











) cos (sin

) sin (cos

t t

t a

y

t t

t a

x

0 x

y

试由这些关系推出曲线的方程

.

一直线沿圆周滚转（无滑动）

直线上一个定点的轨 迹

10. 圆的渐伸线

1.

y= x

2.

x+y+a = 0 分析

3.

y = t x,

1 3

1 3

3 2 3









 

 

t y at

t x at

-1) ,

(-

t

t



,

 当

t

,



0

t

故在原点，曲线自身相交 .

,

t

) ,- (

(0,0)    动点由

t

,

当

(0,0) )

,

(    动点由

, t

当

(0,0) (0,0) 

动点由

线

.

) (

0 0

3

3

3

 y  axy  a 

11.

x

) 0 , 0 ( )

, (

x y

) 0 , 0 ( )

,

( x y

4.

0

x

y

x+y+

a = 0

) (

0 0

3

3

3

 y  axy  a 

x

曲线关于 y= x 对称

1 3

1 3

3 2 3

 



 



 

  t y at

t x at

曲线有渐近线 x+y+a=0

.

11.

即

0

x

y

a 2

P ,

2 a F

F  

) 0 , ( a

F  F (a,0)

^



F

F

到 ^{(  a2)}



r



²  r²  a²  2racos





²  r²  a²  2racos

4 2

2 2 2

2 2

2

( ) 4 cos

)

(   r  a  r a  a



 2 cos 2

2

a

r

^{cos 2}

^{0 , 2 )}

4 ( 7 4 )

, 5 4 ( 3 4 )

, 0

(

   

.

. .

. .

. .

... .

) (

2 )

(

x

y

a

x

y

曲线在极点自己相交，与此对应的角度为  ₌

₄ ^, 4 , 3

4 , 5

4

7

距离之积为 a

的点的轨迹

直角系方程

12.

0

x

y

a 2

 2 cos 2

2

a

r

.

所围面积

4



.



 

)d



(









 

  ^r

S

2a

..

由对称性 ^  

cos

d



 

 ^{ }



^a

.

12.

0 r

r =a 

曲线可以看作这种点的轨迹：

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

13. 阿基米德螺线

0 r

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

.

13. 阿基米德螺线 r =a 

0 r

动点在射线上作等速运动

同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线

请问：动点的轨迹什么样？

.

13. 阿基米德螺线 r =a 

0 r

.

13. 阿基米德螺线 r =a 

0 r

r =a 

.

13. 阿基米德螺线

0 r

r =a 

.

13. 阿基米德螺线

r

这里



^0

+ ⁸

r =a 

0

2a 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数

.

13. 阿基米德螺线

0 r

8



^0

r =a  –

.

13. 阿基米德螺线

 r

a

0 r

.

这里



^0

+ ⁸

a

0 lim





r

θ

极点是曲线的渐近点





sin r y

 





sin

 a

a

θ

y



lim

是曲线的渐近线

a

y



. .

14. 双曲螺线

 r

a

0 r

.

当



^0

– ⁸

a

.

14. 双曲螺线

x

y

o 15.

2

θ θ

π

d ) cos 1

2 (

1

3

0





. .

S =

 =1+cos 

3

r =3cos 

部分的面积

共

及

求曲线

r

cos θ r

cos θ

由 3cos

=1+cos

得交点的坐标

^θ

 

 

S S





3

2

d

2 cos

π

9

π

θ θ

2

3 π

. .

.

16.

1



部分的面积

共 分别所围成的图形的公

及

求曲线

r

sin θ r

cos

θ

0

x

y

令 cos2

= 0,



 



 k θ

由 sin

> 0,

 联立后得交点坐标 ^{θ  }_^{, θ  }_^

θ θ

π

π

cos2 d

2

4

1







 



 



 

...

θ θ

π

d sin

2 2

1

6

0 

[



S = 2

]

6 θ  π

.

4 θ  π

的面积。

部分 分割为两部分，求这两

被心形线

圆

ρ

1 ρ

1

cos θ

x

y

o 17.

1





   





( cos θ d ) θ





 

 

s

s

s

s



 

 _  





 

s

s



 

 _



 





. .

. .

. .

s

S =

 =1+cos 

求由双纽线

0

x

y

θ a

r

cos

..

2 12

a

π 

..

由对称性

.

18.



a

a

6 θ  π

)

( )

( 所围而且在圆周 a2²

y x

y x

a y

x^  ^{ }  ^{ }  ^{ }  ^ 

内部的面积。

双纽线化成极坐标





 



 



(

) a

令 r = 0, 

 



 k

θ



 



 k

θ



,



a

r

d 2 cos2

1

4 6

θ θ a

π



S = 4 +

.

4 θ  π

x

A(x)

dV=A(x)dx

x

已知平行截面面积为 A(x) 的立体



 ^b

a

A x x

V ( ) d

.

a V

以下是几个例子 以下是几个例子

19. 平行截面面积为已知的立体的体积

b

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成^角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。

2

2 x

R

y  

o R

x

y

20.

o ^R y

x

–R

R

20.

.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成^角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。

o ^R y

x

x

y







 







R

( R x )tan d x





tan



 R



 ^R

R

A x x

V ( ) d

–R

R

.

. .

 )tan (



 

R x

.

y tan





问题：

问题：

还有别的方法吗？

还有别的方法吗？

(x, y),

截面积

A(x)

.

半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成^角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。

20.

.

o ^R y

x

–R

R

方法方法 22

.

20.

o ^R y

x

–R

R

方法方法 22

A

B

C D



BC





tan

 





y R y

DC

^{2 R}

^y

. .

 ^



y R y α y

0

2

2

tan d

2





tan



 R



 ^R

S y y

V ( )d

. .

截面积 ^S(y)

(x, y)

= 2x

= ytan 

.

S(y)

.

20.

h

R x

o

y

–R

求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，

21.

高为 h 的正劈锥体的体积。

h

R x

o ^x

A(x)

A(x)

^h

^y  h R

 x

V = 

R

A ( x ) d x

.











R

R x x

h d

θ θ h

R

π

d cos

2

0

2 2





^{ } _ ^{ R}

^h

...

–R

y

21.

.

求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，

高为 h 的正劈锥体的体积。

y

x

f(x)

a b

曲边梯形：

y=f(x) ， x=a,x=b,y=0

22.

x

f(x)

a ^x b

.

.

111111111 ^{( x ) }

A  f

( x )





a

f ( x )d x

曲边梯形：

y=f(x) ， x=a,x=b,y=0

22.

V =

x=g(y)

y

0 x c d

曲边梯形：

x=g(y) ， x=0, y=c, y=d

23. 求旋转体体积

x=g(y)

y

0 x c d

曲边梯形：

x=g(y) ， x=0, y=c, y=d

.

23. 求旋转体体积

x=g(y)

y

0 x c

 d



c

A y y

V ( ) d



) ( y y A







c

g y y

V ( ) d ^.

)

( y



g

. 23. 求旋转体体积

.

曲边梯形：

x=g(y) ， x=0, y=c, y=d

a b

f (x)

y

x 0

24.

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

x

d x

a x b y

x 0

) ( π

2 xf x

内表面积

.

d x

24.

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

b y

x

0 a

.

24.

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

b y

x

0 a

.

24.

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

0

y

0 a x b x

dx ^.

24.

柱壳法

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

dV=2 x f (x)dx

f (x)

f (x)

Y

x

0

b

dx

0 y

z









a

xf x x

V ( ) d

a

.

曲边梯形

y= f (x) ， x=a,x=b,y=0

y

24.

柱壳法

dV=2 x f (x)dx

x=g(y) y

0 x c d

x= g (y)

y

25.

A

x=g(y) y

0 x c d

x= g (y)

y

dA=2 g(y)ds y



^{ }



c

π g y g y y

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