第三章 研究方法
第三節 中介式動態評量
中介式動態評量之設計是根據學生在試探性研究的錯 誤 方 式 而 來 ， 總 共 將 錯 誤 類 型 分 成 七 種 ， 分 別 稱 之 為 型 一、型二…等錯誤類型，再將此七種錯誤類型和三位普通 班數學老師討論，根據學生可能犯某種錯誤類型之原因及 所需之策略，共同發展出適合每一類型之策略。其動態評 量 之 架 構 結 合Mayer的 解 題 階 段 ， 如 圖 十 二 所 示 ， 而 在 策 略之下又依據提示量之多寡，給予由「抽象到具體」的協 助，每一種策略的提示步驟也有數量上的差異。因此，在 這一節當中先提及試探性研究的結果，再談「中介式動態 評量」的設計，最後並根據研究上的需要擬定出試探性研 究和「中介式動態評量」的實施方式和計分標準。
一、 試探性研究的重要發現
依據受試對象的解題結果並詢問其思考歷程，發現學 生在解「比較類」數學文字題時會發生的錯誤方式包括語 文和數學問題，語文問題可能是因為無法理解題意，或是 識字太少以致於無法閱讀題目，而數學問題可能包括計算 錯誤，或是能夠理解題意卻不會列出正確算式等等。在得
分 部 份 ， 滿 分 是2分 ， 得 分 2分 的 學 生 有 4人 ， 得 分 1分 有 3 人，得分0分有5人，由此可知，學生在「比較類」數學文 字題達滿分者佔少數，而12位受試對象在每一題之得分與 錯 誤 類 型 整 理 如 表 九 所 示 。 以 下 就 試 探 性 研 究 之 重 要 發 現，分別敘述之：
圖十二 本研究之動態評量架構
表九 受試對象之得分、錯誤表現與錯誤類型
編號 受試
對象 總分 題一 題二 學生錯誤表現 錯誤類型 1 9A 1 0 1 ‧ 識字部份沒問
題，對於不認 識的字採「有 邊讀邊」的策 略。
3. 計算錯誤
表九（續） 受試對象之得分、錯誤表現與錯誤類型
表九（續） 受試對象之得分、錯誤表現與錯誤類型
表九（續） 受試對象之得分、錯誤表現與錯誤類型
種反應，第一類是透過施測者協助唸題之後能開始解題，
另一類學生是即使唸題之後也無法理解。
2. 不知道已知條件及題目的要求
不 知 道 題 目 的 敘 述 有 何 意 義 或 是 不 能 理 解 題 目 的 要 求，無法掌握題目中主角和主角之間及主角和條件之間的 關係，因此容易誤解題目的意思。以題一為例，學生看到 小軒、小華、全班平均分數三者，就解讀為本題出現三位 人 物 ， 包 括 小 軒 、 小 華 和 「 全 班 」 ， 把 分 數 當 作 人 物 看 待；又如數學專有名詞的出現也會對學生的題意理解產生 困 擾 ， 學 生 不 清 楚 「 平 均 分 數 」 所 代 表 的 意 義 ， 只 知 道
「平均分數有除的概念」，造成誤用除法的情形發生。
3. 缺乏「關係句」的理解能力
觀察學生在此類題型的表現，歸納出學生會出現的三 種 反 應 ， 第 一 種 反 應 是 「 固 定 反 應 模 式 」 ， 認 為 「 高 、 多」就是用「加」，而「低、少」就是用「減」，雖然在 題一能獲得分數，但是在解題時不是依據理解整個題意而 來，很容易在其他相似的變化題中犯錯。第二種反應是能 夠知道有第一種反應的規則，也清楚知道此項規則並不是 適用於所有題目，所以是屬於能夠變通的一群學生。第三 種反應是對於「誰比誰多、誰比誰少」和「誰比誰高、誰 比誰低」的字句感到混亂，說詞反反覆覆，無法確定自己 的答案哪一個才是正確的，連帶影響之後的所有解題。
4. 不知道符號或數字所代表的意義
國中數學是以國小教過的基本概念為基礎，假設學生 已經都瞭解這些基本概念之後繼續延伸，廣度跟難度都在 增加，加入了許多符號或圖形。例如數字「6」和數字「-6」 有 不 同 的 含 意 ， 「 增加，加入了許多符號或圖形。例如數字「6」和數字「-6」 本 身 代 表 數 字 ， 而 「 -」 代 表 數 線上的方向性，國小學生應知道數字對應的數量關係，也 知道在數線上「正的在右邊、負的在左邊」，而到了國中 階段的學生除了必須具備國小已經教過的概念，也要學會
「 負 號 在 數 線 的 左 邊 ， 在0的 左 邊 由 -1開 始 往 下 數 」 ， 進 一 步 要 知 道 「-6比-1小，在正數剛好相反」；而在計算的 部份除了精熟國小已經教過的「負負得正、正正得正、正 負得負、負正得負」等口訣之外，還要知道這些口訣的適 用時機只在「乘除法、去括號」。假使學生對於數字或符 號 本 身 不 具 敏 感 度 ， 就 容 易 在 計 算 過 程 或 解 讀 時 產 生 誤 解。
5. 無法理解數學專有名詞
每一個科目都有其專有名詞，同一個專有名詞在不同 科 目 所 代 表 的 含 意 不 一 定 相 同 ， 例 如 在 數 學 科 所 指 稱 的
「角度」是幾何學的專有名詞，但是在語文科代表的是某 個觀點；又如數學中提及的「獨立」（independent）是指 兩個變數並無關聯性，但是語文科的詮釋是指獨當一面，
可 以 承 擔 責 任 ； 數 學 的 「 弦 」 常 常 是 用 來 指 幾 何 角 的 線 段，物理學有個「弦論」，這裡的「弦」是指分子之間的 引力。而專有名詞可能隱含一個或數個概念的總和，可以
是代表一個現象、一個具體物或抽象概念，當學生能夠熟 悉特定領域所使用的專有名詞，就能夠聯想到相關解釋及 意義，在數學科解題時就能迅速掌握題意，也不至於因為 無法理解專有名詞而有閱讀或推理上的困難。由此可知，
無法理解數學專有名詞的學生，可能會發生猜測專有名詞 的含意以致誤解，或是因為不瞭解專有名詞的意義而無法 作答。
6. 知道題意要求但不會列出算式
少數學生能夠知道題目的要求並快速求出答案，但並 不是用列出算式的方式來解題，要求嘗試寫出計算過程，
學生向施測者反應不會列式只會畫圖，因為畫圖比較簡單 而列式比較難。也有一些學生仍然使用國小慣用的直式列 式，答案是正確的但無法用國中慣用的表現方式呈現，雖 然不能完全算是錯誤類型之一，但是也有調整之必要。
7. 計算錯誤
此類學生能夠理解題意的要求，也能掌握題目的重要 字句及關係句中主角之間的相互關係，但是在列出算式之 後 可 能 會 出 現 計 算 的 錯 誤 ， 如47-6=40； 或 是 即 使 答 案 是 正確的但在列式過程中出現遺漏數字或符號的情形。
（二） 其他
觀察學生的解題過程可知，個性外向的學生較容易融 入互動的情境，遇到不會計算或無法瞭解的題目能主動告
知，其餘學生需要花費較多時間來產生互動，所以在詢問 學 生 問 題 或 給 予 輔 助 策 略 之 後 ， 需 給 予 一 段 思 考 的 緩 衝 期，讓學生有充足的時間整理思緒並回答。此外，受試對 象大多是長期處在數學成就不佳的狀態，以致於學習動機 低落，部份學生在未解題前的自信心不夠，看到題一出現 負數就以為題目很難，容易處於半放棄的心態，或是覺得 自己一定會做錯，因此適度的鼓勵是必要的，告知學生可 以多嘗試幾種解題方法。再者，解題表現依個人學習經驗 及自身狀況而異，有的學生看完題目馬上寫出正確答案；
有的習慣先用圖解方式代表題意再列式解答；也有部份學 生能寫出答案且用口頭說明之；更有學生沈默寡言，會用 手指出答案來回答問題，或偶而回答幾句話，所以在與學 生的互動過程中，只要能依自己慣用的解題方式來說明，
都可算是正確解題。
二、 中介式動態評量的設計
「中介式動態評量」之設計主要是用來協助學生在解 題過程中，針對不同的解題階段給予策略提示，期望學生 能成功解決此道題目。其策略依據試探性研究所歸結出的 錯誤類型加以設計，在各策略之下之提示符合「抽象到具 體」之排列，故越到後面之提示更為清楚，對學生的幫助 也最大。下列以試探性研究的試題說明各個策略的設計原 則和提示方式。
（一） 策略一
因為識字量少而無法閱讀題目之學生，先帶著學生唸 讀題目一次或數次，並逐步解釋題目中出現的所有主角、
所列出的條件、數字的意義、主角和主角之間的關係、題 目的要求等等。
1. 唸讀題目給學生聽
帶 著 學 生 唸 讀 題 目 ， 將 題 目 唸 完 之 後 解 釋 其 中 的 含 意，例如出現的主角有哪些、目前已知和未知的條件、每 個數字所代表的意義和題目要求算出什麼答案等。
題一：
主角：小華、小軒
已知條件： （1）小華的成績比全班平均少5分 （2）全班平均是84分
（3）小軒比小華多3分
主 角 之 間 的 關 係 ： 小 軒 的 成 績 比 較 高 ， 小 華 的 成 績 比較低
題目的要求：求出小軒的成績是幾分？
題二：
主角：爸爸、媽媽
已知條件： （1）爸爸是47歲
（2）爸爸年齡先當作0，媽媽當作－6 主 角 之 間 的 關 係 ： 爸 爸 的 年 齡 比 較 大 ， 媽 媽 的 年 齡 比較小
題目的要求：求出媽媽是幾歲？
2. 如果學生在經由唸讀協助之後可以大致瞭解題目，則 繼 續 作 答 ， 依 據 學 生 接 下 來 所 犯 之 錯 誤 類 型 給 予 不 同 的策略。
3. 如果學生在經由唸讀協助之後仍然無法瞭解題目，則 從 策 略 一 開 始 給 予 提 示 ， 直 到 所 有 策 略 都 提 供 完 畢 則 停止施測。
（二） 策略二
設計重點包括盡量將用詞及語句以白話呈現，或是以 範例解釋特殊的關鍵字詞，如果學生還是未能瞭解題目的 含意，則用畫圖方式輔助說明。
1. 以白話方式口頭解釋題意 題一：
這 一 次 小 華 的 數 學 小 考 分 數 比 班 上 同 學 少 5 分 ， 班 上同學是 84 分，現在小軒比小華多了 3 分，小軒是 幾分？
題二：
爸爸是 47 歲，先把他當作 0，而媽媽的年齡先看做 是-6，那麼媽媽是幾歲？
2. 解釋關鍵字詞並引導學生回答問題 題一：
小 華 比 班 上 平 均 少5分，所以小華的分數比班上同學 低或高？
請算出小華的數學分數？
小軒比小華多3分，所以誰的分數比較高？高幾分？
小軒比小華多3分，所以誰的分數比較高？高幾分？