「正負數與數線」單元的課程與教材分析

由於本研究所選用之文字題改編自目前國中數學教材 的「正負數與數線」單元，故在此先說明「數線」在九年 一 貫 課 程 綱 要 之 重 要 性 ， 再 針 對 國 中 小 數 線 教 材 進 行 分 析。

一、 數線在課程綱要的各階段能力指標

根據我國教育部所頒佈的「國民中小學九年一貫課程 綱要」顯示，五大主題之一的「數與量」在國民小學的數 學教育佔有相當重要的位置，課程綱要中所列舉的能力指 標也是最多，國小課程包含認識數值與比較大小、解決一 階段和兩階段文字題、長度的測量與估算、分數和小數的 轉換、單位換算、面積和體積的計算、認識因數和倍數、

學習比與比值的概念等不同單元；國中階段延伸為認識正 負數、理解絕對值的意義、認識二次方根、辨識具規則性 的數列與等差級數的樣式等難度較高的單元。

本研究選用七年級的「正負數與數線」屬於五大主題 中「數與量」所包含的學習單元之一，其基本概念在國小 階段即開始出現，國中階段的相關課程逐漸加深加廣，並 教導負數的概念及應用。對照九年一貫課程綱要在此課程 的 各 階 段 能 力 指 標 ， 國 小 是 ：N-1-11 能 由 長 度 測 量 的 經

驗 ， 透 過 刻 度 尺 的 方 式 來 認 識 數 線 ， 並 標 記 整 數 值 、 N-1-12 能在數線上作整數加、減的操作、N-2-06 能理解分數 之「整數相除」的意涵、N-2-13 能做分數與小數的互換，

並 標 記 在 數 線 上 ； 國 中 的 能 力 指 標 為 ：N-3-08 能 認 識 負 數 ， 並 將 負 數 標 記 在 數 線 上 ， 以 理 解 正 負 數 之 比 較 、 N-3-09 能理解加、減運算在數線上的對應操作、N-3-10 能理 解絕對值的意義、N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算、

N-3-1 能認識指數的記號與指數律。進一步將各階段能力 指標再對應到每一個年級條列的具體細目，整理如表五所 示。

二、 國小數線教材分析

研究者分析現行國中小數學課本，以2006至2007年的 教 科 書 為 例 ， 選 取 學 校 常 用 之 出 版 社 （ 南 一 書 局 ， 2006a ； 南 一 書 局 ， 2006b ； 南 一 書 局 ， 2007a ； 南 一 書 局 ，2007b； 康 軒 文 教 ， 2006a； 康 軒 文 教 ， 2006b； 康 軒 文 教 ，2007a； 康 軒 文 教 ， 2007b； 翰 林 出 版 ， 2006a； 翰 林 出 版 ， 2006b ； 翰 林 出 版 ， 2007a ； 翰 林 出 版 ， 2007b） ， 欲 瞭 解 「 正 負 數 與 數 線 」 單 元 的 相 關 概 念 在 國 中小數學課程的分佈情形，其結果發現，在國小的數學課 程中，並無特定一個單元在教導正負數或是數線，且多以

「直尺」來代表數線的樣貌。

表五 各階段能力指標對應每一年級條列的具體細目

品，最後讓學生練習用手量的方式來進行估算，比對用尺 量和用手估算之間的差距。到了二年級上學期先與舊經驗 相結合，重新複習尺上的重要名稱，正式教導「公分」的 概念，除了讓學生用尺量物之外，還試圖在例題中說明區 辨「刻度」與「線段」兩者的不同，在表達物品的長度時 可以如何使用「刻度」和「線段」等名詞，此外，在這個 階段中要給予學生的重要觀念尚包括起點的改變，所以在 例 題 中 會 出 現 「 刻 度0畫 到 刻 度 6， 就 是 畫 了 6公 分 」 或 是

「 刻 度3開 始 畫 ， 畫 到 刻 度 9， 也 是 畫 了 6公 分 」 等 不 同 起 點的畫法，但都是代表著相同長度等敘述。而為了幫助學 生瞭解數線上的加減關係，善用不同顏色的數個相同具體 物（如：積木、筆、紙條、緞帶、筆芯盒），透過物品堆 疊或接合的方式來比擬數個線段的相加，再引導到列式的 部份。到了二年級下學期更運用數線量測的基本原理，將 測量物擴大到無法使用一般直尺來測量的長度，例如：黑 板、教室、學校走廊、操場跑道等等，除了希望學生具備 估算的能力，還要求學生學會「公分與公尺」的互換。

到了國小中高年級時，數線已經成為一種工具，不只 是會出現在直尺上，還會出現在生活當中的所有物品。所 以三年級上學期首先利用兩條數線垂直呈現的方式，由公 分引導出「平方公分」的概念，再由不同面積的實測過程 中學會面積的計算與大小的判斷。到了下學期用量杯倒入 各 種 液 體 的 呈 現 方 式 ， 將 量 杯 分 成10 個 等 分 ， 用 0.1 杯 水 、0.2杯 的 檸 檬 汁 、 0.4杯 的 紅 茶 等 不 同 的 陳 述 ， 藉 此 帶 出「小數」的觀念，學生必須學習如何用刻度說明每一杯

容器的容量，而這也是將數線活用的方式之一。四年級上 學期則以數線代表「時間線段圖」，欲讓學生瞭解凌晨、

中午和晚上的觀念，因此在一條長的數線上包含兩條短的 數線，左邊是0至12的數線，右邊是1是12的數線，將兩條 數 線 合 併 之 後 ， 以12為 界 線 ， 中 心 點 代 表 的 是 中 午 ， 12 之前的範圍設定為上午，而12之後的範圍是下午，再由例 題解釋如何使用此數線說明「小時」和「日」的含意。緊 接 著 四 年 級 下 學 期 結 合 之 前 已 經 學 會 的 「 公 分 」 和 「 公 尺」單元，重點在把不同單位的數字皆換算成相等單位，

並練習在數線上標示出此數，此外，也是屬於長度單位的

「公釐」、「公里」也開始在此單元出現，所以不只要習 得 公 分 與 公 尺 的 換 算 ， 還 需 精 熟 公 分 與 公 釐 、 公 尺 與 公 釐、公里與公尺、公里與公分、公里與公釐的轉換計算。

在高年級階段，雖然已經不再教導數線的相關概念，數線 還是出現在五年級上學期的課本中，把數線當成是一種例 題的設計題型之一，例如：「在下面的數線中，用藍筆圈 出3的倍數，再用紅筆圈出4的倍數。」

研 究 者 分 析 完 國 小 現 行 數 學 課 本 中 的 「 正 負 數 與 數 線」相關單元，大致可以將分析結果歸納出幾個重點：

（一） 正 負 數 與 數 線 的 概 念 開 始 於 國 小 低 年 級 階 段 的 課 程 ， 先 用 輕 鬆 活 潑 的 方 式 簡 要 介 紹 數 線 ， 等 學 生 熟 悉 數 線 的 要 素 之 後 ， 接 連 用 數 線 的 原 理 認 識 單 位轉換、面積、小數、時間等不同單元。

（二） 綜 觀 國 小 數 學 課 本 可 知 ， 數 線 僅 介 紹 「 正 數 」 的 部份，因此學生在此階段只需熟悉數線上0右邊的 數字及相對應的數值大小即可。

（三） 除了告知學生數線的起點為0之外，也在例題中特 別 舉 例 說 明 相 同 的 長 度 可 以 具 備 不 同 的 起 迄 點 ， 訴說起點的可改變性。

（四） 在 具 體 操 作 部 份 ， 要 求 學 生 使 用 兩 種 不 同 的 方 法

（ 用 尺 量 、 用 手 估 計 ） 來 量 測 物 品 ， 最 後 並 比 對

「 實 際 」 和 「 估 算 」 的 差 距 ， 似 乎 也 間 接 在 培 養 學生的估算能力。

三、 國中數線教材分析

在國中階段，開始出現一個特定的單元專門在教導正 負數，其單元名稱在三個出版社被命名為「數與數線」、

「整數的運算」或「整數與數線」，主要分佈在七年級上 學期的第一次段考期間，其教學內容包括部份國小已學過 的相關概念，所以在課程編排上屬於銜接性較高的單元。

分析此單元的教學內容與鋪陳方式可知，此單元的基 本 概 念 是 先 教 學 生 利 用 溫 度 計 認 識 「 負 數 」 （ 包 括 負 整 數、負分數、負小數），再教導「相反數」與「絕對值」

的概念，等學生熟悉負數的出現之後，開始學習「正負數 的四則運算」，最後再加入難度較高的「指數律與科學記 號」課程，而本研究所選取之「正負數與數線」即為此單 元，所以在難度上可以算是複雜度最低的課程，而本研究

只選定單元中的某一個部份進行研究。在課程內容的一開 始 先 分 別 以 「 大 於0」 及 「 小 於 0」 來 表 示 正 負 數 的 相 對 性，並在數線上呈現出一連串的正數與負數，此外，國小 數學課本曾經出現的「起點」，在國中階段以「基準點」

來取代。為了讓學生能活用正負數的概念，在此單元中的 題目大致可區分成六大類型，舉例說明如下所列。

（一） 有出現「關鍵字」

例題：以海平面為基準點，海平面之上與海平面之下 是相對的，若甲地高出海平面230公尺記為＋230，則乙地 低於海平面3公尺可記為？

說 明 ： 看 到 「 高 」 就 用 「 ＋ 」 ， 看 到 「 低 」 就 用

「－」，此為最基本的題型。

（二） 具有「相對位置」的概念

例題： 以中午十二點為準，下午五點記為＋5，那麼 上午五點可以記為？

說明：如果以數線來呈現，「以中午十二點為準」代 表先將十二點設為0，其他條件則都是以0為中心點向左或 向右移動。

（三） 「有比較的含意」並且「需要比較兩次」

例題：如果利用等臂天平比較甲、乙、丙、丁四個物 品的重量，已知乙＞甲、甲＞丙、丁＞乙，請問下列敘述

何者正確？（1）丙＞丁（2）乙＞丙（3）丁＜甲（4）乙

＜甲。

說明：從已知條件「乙＞甲、甲＞丙、丁＞乙」中可 以知道，前兩個條件可以再濃縮成乙＞甲＞丙，如果再加 上第三個條件就變成丁＞乙＞甲＞丙，因此學生在解題時 可以先從題目中整理出所有數的大小關係，或是直接推論 每一個選項是否具有合理性。

（四） 具有「差距量」的概念

例題：瑋琪自家門口向東走6公里，再向西走4公里，

最後的位置在哪裡？

說明：「東」和「西」是完全相反的方向，如果在一 條直線上從某一定點先往東走6步，再折返往西走4步，圖 示 法 可 以 用 圖 十 來 呈 現 ， 也 可 用6-4=2來 表 示 ， 最 後 會 在 家門口向東2公里處。

圖十 例題：具有「差距量」的概念

（五） 將「關鍵字轉換成賺或賠」的概念

例 題 ： 德 龍 、 東 強 兩 兄 弟 各 自 經 商 ， 德 龍 每 月 賺8萬 元，東強每月賠3萬元，5個月後兩兄弟共賺多少元？

說明：「每月賺8萬元」代表每個月都以＋8的數量在 增加，「每月賠3萬元」表示每個月都是以－3的數量在遞 減。

（六） 「關鍵字無法提供固定解題方法」

例 題 ： 合 歡 山 某 日 早 晨 的 氣 溫 為 －6度 ， 中 午 的 氣 溫 為－2度，中午的氣溫比早晨的氣溫高幾度？

說 明 ： 如 果 學 生 以 固 定 對 應 解 題 策 略 來 解 題 ， 看 到

「高」就用「＋」的方式，此題就可能解出－2＋（－6）

＝ －8 的 答 案 ， 所 以 此 題 的 關 鍵 字 無 法 提 供 固 定 解 題 方 法。

四、 小結

本研究根據國中數學教材「正負數與數線」單元之分 析結果，在編擬正式研究題本時，依照本單元所區分而成

本研究根據國中數學教材「正負數與數線」單元之分 析結果，在編擬正式研究題本時，依照本單元所區分而成