數學文字題

根據我國教育部（2003）公告之國民中小學課程綱要 中 明 示 ， 數 學 內 容 分 為 「 數 與 量 」 、 「 幾 何 」 、 「 代 數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，美國數學 教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，

簡 稱 NCTM ） 於 1980 年 提 出 「 問 題 解 決 」 （ problem solving）應為學校數學教育的焦點，此觀念一反過去只注 重計算教學的趨勢，認為學生應具備使用數學知識來解決 問題的能力（楊美伶、蔣治邦，1992），在1989年也針對 幼稚園至四年級、五年級至八年級、九年級到十二年級分 段 提 出 「 數 學 課 程 與 評 鑑 標 準 」 （Rivera, 1997） ， 國 中 小階段的細項雖然跟台灣版本不完全一致，但學生應該學 習到的數學內容架構是相似的。國內的國民小學階段數學 目標是：期望學生在小學畢業前能熟練小數與分數的四則 計算，能利用常用數量關係解決日常生活的問題，能認識 簡單幾何形體的幾何性質並理解其面積與體積公式，能報 讀簡單統計圖形並理解其概念；到了國中階段，數學課程 連結舊有的學習經驗逐漸加深加廣。而國民中小學課程綱 要中的具體目標之一則是學習應用問題的解題方法，雖然 文字題首先出現在國小階段的課程中，但是國中階段的文 字題和國小階段的不同之處是：在此題型架構之下加入了

更多的新符號與抽象概念，且學生仍舊必須依照題意的條 件進行情境的模擬，以求出正確的解答。

經由以上的分析可以得知：數學文字題是國中小階段 都會出現之題型，也是九年一貫之國民中小學數學課程綱 要所明示之具體目標，透過數學文字題的學習，提供學生 模擬生活中數學問題的情境，最後得以培養問題解決的能 力。

二、 數學文字題的解題步驟

數 學 家Polya（ 1945） 提 出 的 解 題 四 階 段 論 與 認 知 心 理 學 家Mayer（ 1992） 提 出 的 數 學 解 題 理 論 ， 對 數 學 文 字 題 之 相 關 研 究 有 極 大 的 影 響 。Polya （ 1945 ） 在 其 專 書

「How to solve it: a new aspect of mathematical method」將 數 學 文 字 題 解 題 分 成 瞭 解 問 題 （ understanding the problem ） 、 擬 定 計 畫 （ devising a plan ） 、 執 行 計 畫

（carrying out the plan）及驗算與回顧（looking back）四 階段，每一階段的重點分述如下：

（一） 瞭 解 問 題 ： 知 道 已 知 數 、 未 知 數 、 條 件 有 哪 些 ， 透 過 畫 圖 的 方 式 、 搭 配 合 適 的 記 號 或 符 號 來 表 達 題意，並將條件整理後一一列出。

（二） 擬 定 計 畫 ： 嘗 試 找 出 已 知 數 和 未 知 數 之 間 的 關 聯 性 ， 如 果 試 了 幾 次 之 後 仍 無 法 發 現 其 關 聯 性 ， 可 以 回 想 舊 有 經 驗 中 曾 經 遇 到 的 相 似 題 型 ， 善 用 學 過 的 公 式 定 理 ， 亦 或 是 將 題 目 重 新 敘 述 一 遍 ， 用

不 同 的 語 詞 詮 釋 。 在 找 到 了 所 有 跟 已 知 數 有 關 的 線 索 後 ， 考 慮 與 問 題 相 關 的 必 要 觀 念 ， 就 應 該 能 想出解題計畫。

（三） 執 行 計 畫 ： 在 計 畫 擬 定 之 後 ， 即 一 步 一 步 執 行 先 前 擬 定 的 計 畫 ， 並 逐 一 檢 視 各 個 步 驟 是 否 都 正 確 無誤。

（四） 驗 算 與 回 顧 ： 解 題 的 最 後 階 段 是 要 能 重 新 驗 算 所 得 的 答 案 ， 檢 驗 計 算 過 程 是 否 正 確 ， 並 能 用 另 外 一 種 驗 算 方 式 求 證 出 相 同 的 結 果 。 此 外 ， 反 思 自 己 是 否 能 將 解 題 結 果 及 解 題 過 程 所 用 到 的 方 法 應 用到其他的問題上。

Mayer（1992）在其著作「Thinking, problem solving, cognition」一書中，認為在解決數學文字題時，解題者應 包 括 語 言 知 識 （ linguistic knowledge ） 、 語 意 知 識

（ semantic knowledge ） 、 基 模 知 識 （ schematic knowledge） 、 策 略 性 知 識 （ strategic knowledge） 和 程 序 性知識（procedural knowledge）等五種知識，分別代表瞭 解文意、瞭解事實知識、區辨問題類型、運用不同變項來 解題與監控解題歷程、進行一系列運算的能力。而解題歷 程共分為兩大層次四個階段，內容說明如下：

（一） 問題表徵（problem representation）：包含問題轉 譯和問題整合階段。

1. 問題轉譯（problem translation）：解題第一步就是能 夠 將 題 目 中 出 現 的 每 一 個 陳 述 轉 譯 成 內 在 表 徵 ， 此 時 需 要 的 是 語 言 知 識 和 語 意 知 識 。 也 就 是 能 夠 重 述 問 題 的 已 知 條 件 和 解 題 目 標 ， 知 道 題 目 給 予 的 所 有 訊 息 ， 並從中挑選出有用的資訊。

2. 問 題 整 合 （ problem integration） ： 在 問 題 轉 譯 階 段 之 後 ， 尚 須 進 一 步 分 辨 題 目 的 類 型 ， 用 圖 示 表 徵 方 式 或 是 利 用 方 程 式 來 重 新 呈 現 問 題 ， 而 這 就 是 基 模 知 識。

（二） 問題解決（solution planning and monitoring）：包 含解題計畫及監控與解題執行階段。

1. 解題計畫及監控（planning & monitoring）：一旦瞭解 題 意 即 蒐 集 相 關 訊 息 ， 將 題 目 轉 換 成 方 程 式 ， 策 劃 可 以 如 何 解 決 方 程 式 ， 並 能 掌 握 程 序 的 進 行 ， 此 為 策 略 性 知 識 的 運 作 。 而 問 題 解 決 的 策 略 又 可 包 含 五 種 ， 分 別 是 ： 盡 可 能 以 畫 圖 方 式 呈 現 、 找 出 歸 納 性 的 參 數 、 考 慮 矛 盾 之 處 、 考 慮 變 數 較 少 的 相 似 問 題 、 嘗 試 建 立 次目標。

2. 解 題 執 行 （ solution execution） ： 最 後 一 個 階 段 就 是 將計畫付諸實行，進行四則運算，此為程序性知識。

如以下列的例題來說明，可以在表一看出每階段的解 題歷程和所需知識的差異（Mayer, 1992）。

例題：地磚是以每邊30公分的正方形出售，假如每塊

欲瞭解學生是否具備識字能力、知道題目的已知條件以及 題意要求、轉譯關係句的能力；在「問題整合」階段，欲 探討的能力包括：是否知道符號或數字所代表的意義、理 解數學專有名詞的能力；在「解題計畫及監控」階段，想 瞭解學生能否依照題意列出算式；在「解題執行」階段，

想測試學生的計算能力。

三、 數學文字題的類型與難度

文 字 題 根 據 語 意 結 構 可 區 分 成 改 變 類 （change）、合 併 類 （ combine ） 、 比 較 類 （ compare ） 和 等 化 類

（equalize） ， 有 關 每 一 種 類 型 的 例 題 舉 例 如 下 （ Garcia, et al., 2006；Riley, Greeno, & Heller, 1983）。

改變類

小 明 有18張 郵 票 ， 他 的 朋 友 小 美 給 他 6張 ， 小 明 一 共 有幾張郵票？

合併類

草 原 上 有12隻 綿 羊 ， 4隻 黑 色 ， 其 餘 的 是 白 色 ， 共 有 多少隻白綿羊？

比較類

小明買了一支鉛筆花了12元，和一本筆記本比鉛筆貴 9元，筆記本要多少錢？

等化類

我 的 裙 子 有12顆 扣 子 ， 假 如 我 姊 姊 的 裙 子 再 多 5顆 就 會跟我一樣，姊姊的裙子有幾顆扣子？

所謂「改變」是指一個數量經過改變（增加或減少）

後，形成另一個數量的問題；「合併」則是指兩數量的總 和問題；「比較」則是兩數量進行大小或多少關係比較的 問題；「等化」也是指一個數量經過改變（增加或減少）

的 歷 程 ， 但 是 最 後 必 須 達 到 兩 個 數 量 之 間 的 均 等 （ 周 台 傑、詹士宜，1993；Garcia, et al., 2006）。依照未知量的 性質（the role of unknown set）加以細分，在「改變」中 又 可 分 為 「 起 始 量 未 知 」 （ beginning unknown or compared unknown）、「改變量未知」（change unknown or referent unknown ） 與 「 結 果 量 未 知 」 （ result unknown） ； 在 「 合 併 」 中 又 可 分 為 「 總 數 未 知 」 （ sum unknown ） 、 「 子 集 合 未 知 」 （ subset unknown ） ； 在

「比較」中則可分為「差異量未知」、「被比較量未知」

和「參照量未知」。從問題的句型來看，主要包括三個部 份，陳述句（assignments）是說明事物與數量間的直接關 係，如「小明有8元」；關係句（relations）是說明兩事物 間 在 數 量 上 的 比 較 關 係 ， 如 「 小 明 比 小 英 多5元 」 ； 問 題 句 （questions）則是說明問題中所要求的目標，如「問小 英有幾元？」。因此，數學文字題在分類上可分成四種類

型，所有研究也都是針對其中幾類或特定某一類型進行深 入的探討。

從國內的文獻中得知：這四種類型中的「比較類」數 學文字題因為會出現「比較」的句型，使得學生容易因無 法釐清「關係句」的含意而在解題上遭遇許多困難，這也 是國內研究普遍選擇以「比較類」進行研究的原因。林淑 玲（1999）探討國小三、四年級數學學習障礙學生在「比 較類」文字題的解題歷程及困難，其研究結果發現解題表 徵通過率由高而低為「被比較量未知題」、「差異量未知 型」、「參照量未知型」，初步再將「比較類」文字題的 難度進行了區分。翁嘉英（1988）欲瞭解國小二、三年級 兒童對「比較」文字題的解題表現，結果顯示在「被比較 量未知」題裡，學生解「比多」較「比少」的問題更易出 錯 ； 在 「 參 照 量 未 知 」 的 問 題 裡 ， 則 是 「 比 少 」 較 「 比 多 」 的 問 題 更 易 出 錯 。 而 蔣 治 邦 （1993） 欲 探 討 兩 步 驟

「改變類」數學文字題依未知量位置是否也有難度上的差 異，其結果發現「改變量未知」的兩步驟問題較「結果量 未知」困難，因此「改變類」數學文字題也有難度上的區 別。

由上述可知，數學文字題依其語意結構共可分成四種 類型，研究顯示其中又以「比較類」的難度最高，學生在 此種類型上遭遇最多困難；依未知量位置所區分的三種題 型，又可視學生的通過率而顯現出難度。

四、 數學文字題之相關研究

此處的相關研究將文字題類型分成「比較類」和包括 合併類、改變類及等化類的「其他類型」加以陳述。

（一） 「比較類」數學文字題之相關研究

有關數學文字題的研究，國內學者蔣治邦（1993）很 早以前即開始針對兒童在文字題的表現進行研究，而目前 文 字 題 的 類 型 與 難 度 已 經 區 分 出 來 ， 研 究 操 弄 的 變 項 包 括 ： 關 係 句 、 多 餘 資 訊 、 命 題 先 後 順 序 、 未 知 數 的 位 置 等。數學低成就學生或數學障礙學生在文字題上的表現缺 陷包括不瞭解題意或關鍵字、習慣採用關鍵字或隨意選擇 幾個數字來解題、受多餘資訊的干擾、在解題時使用僵硬 的 對 照 策 略 （ 看 到 「 多 」 就 用 「 ＋ 」 、 「 少 」 就 用

「－」）、無法自我監控解題歷程等，其過程與成果可以 從數個研究中得知。但許多研究者進行「比較類」數學文 字題的相關研究時，會將重點放在「關鍵字」的探討，所 以下列針對此部份加以論述。

謝毅興（1991）欲探討國小二、三年級兒童解「比較 類」數學文字題時是否有些特殊策略，其研究結果顯示解 題錯誤是因為誤用「關鍵字」所造成的不穩定表現。而梁 瑞真（2005）則分析國小四年級的學習障礙學生在應用問 題 題 意 理 解 上 的 認 知 表 現 ， 以 及 導 致 題 意 理 解 失 敗 的 因 素，結果顯示解題失敗的學生多是因為單就關係句中的線

謝毅興（1991）欲探討國小二、三年級兒童解「比較 類」數學文字題時是否有些特殊策略，其研究結果顯示解 題錯誤是因為誤用「關鍵字」所造成的不穩定表現。而梁 瑞真（2005）則分析國小四年級的學習障礙學生在應用問 題 題 意 理 解 上 的 認 知 表 現 ， 以 及 導 致 題 意 理 解 失 敗 的 因 素，結果顯示解題失敗的學生多是因為單就關係句中的線