數線的概念與應用

在我國的中小學數學教材中，數線的概念在國小課程 中便已出現，但直到國中階段才有其專屬的課程單元，用 以教導數線上的負數。在基礎課程部份，數線除可讓學生 瞭解長度的概念外，亦可進一步用來教導較艱深的數學知 識，如：二分逼近法、函數等等。以下分別就數線的定義 與概念、負數的發展與教學、數線應用等各層面分別闡述 之。

一、 數線的定義與概念

數線是依據某特定規則將實數（real number）定義在 一直線上，也就是能在這「直線上的點」找到與點相對應 之 「 實 數 」 ， 所 以 我 們 可 以 在 數 線 上 標 示 出 不 同 類 型 的 數，例如：只包括零和正整數的整數（whole numbers）、

正 有 理 數 （positive rationals） 、 整 數 （ integers） 、 有 理

數 （rationals ） 和 實 數 （ reals ） 。 數 線 有 三 項 特 徵 ： 第 一、數線上的長度是用來表示單位，且單位可反覆分割，

每 一 單 位 長 （unit ） 均 相 等 ； 第 二 、 數 線 屬 於 連 續

（continuous） 模 式 ， 數 線 上 的 任 意 兩 數 字 間 必 定 存 在 另 一個數；第三、數線上必須標出數字符號，並定義兩個參 考 點 （reference points），才能據其所顯示出的條件找出 其他點所代表的數值（黃怡娟，2004）。

具體而言，最常見的數線標示方式為：先在數線上選 擇 一 個 任 意 點 ， 設 定 其 為0（ 或 稱 原 點 ） ， 以 此 為 數 線 的 中心點；其次，在數線的右方選取第二個任意點，標示為 1， 而 0與 1間 的 長 度 則 當 作 一 基 本 單 位 ， 以 此 基 本 單 位 向 右 方 繼 續 增 加 命 名 ， 依 序 為2、 3、 …等 數 ； 在 0的 左 側 如 同 鏡 子 般 的 對 應 關 係 ， 依 序 標 示 為-1、 -2…等等。如將小 數套用在以上的基本規則，會發現小數具有以下幾點特性

（National Council of Teachers of Mathematics, 1968）：

（一） 可將數字用三分法來區分

1. 零（zero）：即0，不在負的或正的那一側，是正負數 的起點。

2. 正 整 數 （ positive integer） ： 此 數 在 正 的 那 一 側 ， 例 如：1。

3. 負 整 數 （ negative integer） ： 此 數 位 於 負 的 那 一 側 ， 例如：-5。

（二） 數與數之間具有比較關係

1. 任一數與0比較時，0會小於任一正整數，但會大於任 一負整數。

2. 假 使 整 數 都 有 一 相 對 的 符 號 ， 負 整 數 必 定 小 於 正 整 數，如：-5＜5。

3. 假使兩個正整數的第一個數字是相異的，數字小的數 值 較 小 ， 如 ： 39＜ 41； 如 果 兩 個 整 數 都 是 負 數 ， 規 則 與 正 數 剛 好 相 反 ， 數 字 大 的 反 而 較 小 ， 如 ：44＜ -43。

由 上 可 知 ， 數 線 是 一 條 可 以 標 示 出 實 數 的 線 ， 以0為 數線的中心點，0左右側的數字各自稱為負數和正數，0到 1的 距 離 設 定 為 基 本 單 位 。 此 外 ， 任 兩 數 都 具 備 大 小 的 比 較關係，位於數線右邊的數較大，且兩數之間尚可作無限 分割，找出其他數字。

二、 負數的發展與教學

（一） 負數概念的發展

歷史上以負數為基礎的算術是發展的相當緩慢，雖然 負數的出現在中國早期即有記載，但實際運用的部份則在 現代記帳時才得以發展。記帳是第一個運用負數系統的方 式，藉由阿拉伯數字的操作，瞭解目前資金的獲利情形，

處 於 賺 錢 或 賠 錢 的 狀 況 （ Mukhopadhyay, Pesnick &

Schauble, 1990） 。 由 此 可 見 ， 負 數 的 運 用 已 經 發 展 了 一

段時間，不論是以前或現在都與日常生活相關經驗緊密結 合。

在 文 獻 中 顯 示 ， 正 式 教 導 負 數 和 有 號 數 （signed numbers） 的 課 程 是 在 國 中 階 段 ， 雖 然 國 小 課 程 尚 未 出 現 負數單元，但是大部份的四、五年級學生其實已經具備基 本的負數概念，知道賺錢與賠錢的差異，也知道負數是數 線 上0左 側 的 數 字 ， 甚 至 還 能 進 行 簡 單 的 計 算 而 沒 有 遭 遇 困 難 （ Hativa & Cohen, 1995 ） 。 Mukhopadhyay 等 人

（1990） 欲 瞭 解 小 學 階 段 學 生 如 何 解 決 包 含 負 數 的 故 事 題，以56位二至五年級的國小學生為對象，要求學生完成 一 題 以Sam為 故 事 主 角 的 數 學 題 。 已 知 條 件 是 Sam目 前 有 財務危機，並以畜養家禽和種植農作物維生，第一階段的 題目是要檢視學生在賺或賠錢的概念，第二階段則需完成 16題負數的加減法，其結果顯示學生知道Sam處於欠錢的 狀態，欠的越多即代表負數一直增加。由這個實驗的結果 可 以 推 知 ， 小 學 階 段 的 學 生 確 實 已 經 具 備 簡 單 的 負 數 概 念 ， 只 不 過 學 生 是 以 「 欠 錢 」 （debt ） 的 概 念 來 代 表 負 數。而如果學生真的能夠在小學就學會負數的基本概念，

到 國 中 階 段 的 負 數 及 有 號 數 學 習 應 該 不 會 遭 遇 太 大 的 困 難，但是事實上卻顯示出學生在此方面的學習還是有困難 的，綜其原因包括：在早期算術教學時，學生會知道1000 大 於100， 但 是 缺 乏 對 數 量 大 小 的 感 覺 ， 也 就 是 無 法 深 刻 體 會 兩 者 之 間 的 差 距 到 底 有 多 大 ； 再 者 ， 當 解 決 （1）

-（+2）題型時，對於兩個負號在此題中所表示的意義感到 混 亂 ； 最 後 ， 學 生 也 可 能 缺 乏 處 理 代 數 的 概 念 和 直 覺

（Hativa & Cohen, 1995）。所以在學習負數的過程中可能 會碰到以下幾個常見的問題（Voluntary Services Overseas, 1992）：

1. 因為在真實世界中較少經歷到負數的經驗，所以即使 知 道-10度 可 能 就 像 冰 箱 的 內 部 溫 度 一 樣 冷 ， 但 卻 無 法切深感受。

2. 當 我 們 要 寫 下 數 字 15時 很 少 寫 出 正 號 ， 但 是 +15是 一 個 新 的 概 念 ， 因 此 學 生 必 須 要 開 始 熟 悉 此 種 呈 現 方 式。

3. 記 號 （ notation ） 可 能 會 引 起 困 擾 ， 例 如 ： 需 分 辨

「+」在何處是代表正值，何處要表示成運算符號。

4. 學生可能無法比較出-5和-8的大小。

5. 在處理正負數加減運算的某些題型時可能會發生較多 的問題，例如：學生在計算（-3）-（-5）時，認為兩 個負號就會得到一個正號，求得答案+8。

（二） 負數的教學

學習有號數的教學方法在文獻上共有兩種，一種稱之 為 「 均 衡 模 式 」 （equilibrium model） ， 另 一 種 為 「 數 線 模 式 」 （number-line model ） ， 以 下 為 兩 種 模 式 之 介 紹

（Hativa & Cohen, 1995 ； Voluntary Services Overseas, 1992）。

1. 「 均 衡 模 式 」 ： 指 的 是 每 一 個 數 都 有 相 對 的 另 一 個 數 ， 就 好 像 白 與 黑 、 支 票 和 鈔 票 、 負 面 的 和 正 面 的 事 物 等 等 ， 把 「 加 法 」 界 定 為 「 結 合 」 ， 而 「 加 上 負 數 」 即 是 「 減 法 」 ， 所 以 在 解 決5+（-3）時，因為已 經 知 道-3是 3的 相 反 數 ， 所 以 「 加 上 -3」 就 等 於 減 3，

因此可以將這個式子改成5-3，求得答案是2。

2. 「 數 線 模 式 」 ： 在 數 線 上 會 同 時 呈 現 正 數 與 負 數 ，

「 加 法 」 指 的 是 「 正 數 的 結 合 」 ， 「 減 法 」 指 的 是

「 往 負 向 邊 增 加 」 ， 由 此 可 知 ， 計 算3-5時會先以3為 起 始 點 ， 再 往 左 邊 移 動5 格 即 為 正 解 。 依 循 此 種 方 法 ， 學 生 必 須 精 熟 的 概 念 包 括 ： 加 上 一 個 正 數 或 是 減 一 個 負 數 即 是 向 右 移 動 、 減 一 個 正 數 或 是 加 上 一 個 負 數就是要向左移動。

在 上 述 兩 種 模 式 當 中 又 以 「 數 線 模 式 」 廣 為 學 者 推 薦 ， 認 為 此 種 模 式 是 最 適 合 教 導 學 生 學 習 負 數 的 教 學 方 法，除此之外，更有學者直接指出不同學齡階段的學習任 務（Hativa & Cohen, 1995）。在中低年級階段的學生必須 知 道 負 數 是 位 在0的 左 側 ， 並 瞭 解 數 線 上 每 一 個 數 字 的 確 切位置，直到學生能說出一個負數都有其相對應的正數之 後，給予任意兩個數字進行大小的比較，當學生都能精熟 這些基本概念，學生開始大量練習 a+b、b+a、a-b、b-a、-a+b、 -b+a、 -a-b、 -b-a（ a、 b皆 大 於 0） 等 類 型 的 加 減 運 算。針對五至八年級的學生，先讓學生知道負數是正數的 延 伸 ， 使 他 們 能 夠 解 決x-y（ x＜ y且 x、 y皆 為 正 數 ） 的 問

題，再學習如何比較兩個負數的大小，最後進行負數的加 減運算。

三、 數線的應用層面

數 線 與 正 負 數 可 謂 數 學 學 習 的 碁 石 ， 其 應 用 範 圍 甚 廣 ， 可 以 用 來 教 導 基 本 的 加 減 法 計 算 、 小 數 與 分 數 的 概 念，更能進一步的運用在函數教學上，以下為各應用層面 的說明。

（一） 基本加減法計算

在小學階段，數線圖示法對於整數加減法學習扮演重 要 的 角 色 ， 透 過 此 種 方 式 可 瞭 解 整 數 加 法 的 概 念 （Ernest, 1985） 。 舉 例 而 言 ， 教 導 小 學 生 解 決 3+5=8這 道 題 目 時 ， 常 見 的 方 法 是 使 用 數 鈕 釦 的 方 式 ， 一 邊 先 數3顆 ， 另 一 邊 再數5顆，最後合起來一起數，共可得到8顆；另一種較成 熟 的 方 式 則 是 利 用 「 數 線 表 徵 」 （ number line representation）的方法，可能是徒手畫出一條線段，或是 直接使用有刻度的直尺來代替。

「 數 線 表 徵 」 的 教 學 共 可 分 成 三 種 方 式 ， 下 列 以 3+5=8 為 例 分 別 說 明 之 （ Baroody, Gannon, Berent &

Ginsburg, 1983 ； Education Development Center of University of Illinois, 1973；Ernest, 1985）：

1. 全部數數（counting all）：沿著數線移動，第一次移 動3格 ， 第 二 次 再 移 動 5格 ， 最 後 到 達 8的 位 置 。 隨 著

移 動 方 式 的 不 同 又 可 細 分 成 三 種 ， 圖 一 呈 現 的 是 以 一 格 為 一 個 單 位 ， 先 數 三 格 再 數 五 格 ； 圖 二 為 圖 一 的 簡 化 模 式 ， 但 移 動 的 歷 程 是 相 同 的 ； 圖 三 是 在 數 線 的 刻 度 上 移 動 ， 因 此 呈 現 的 方 式 與 前 兩 者 有 差 異 。 學 生 在 此 方 式 中 最 常 犯 的 錯 誤 是 把0當作1來數，所以最後的 答案只有7。

圖一 以一格為一個單位移動

圖二 以一個數為一個單位移動的簡化模式

圖三 在數線的刻度上移動

2. 第一個加數往上數（counting on）：一開始就在3的位 置 ， 再 往 後 多 數5即 到 8的 位 置 。 圖 四 是 以 3為 起 點 往 後 多 數5格；圖五也是先以3為起點，在數線的刻度上 往後多數5點。

圖四 以3為起點往後多數5格

圖五 以3為起點，在數線上往後多數5個刻度

3. 第 三 種 方 法 是 對 於 較 富 經 驗 的 學 生 而 言 ， 以 大 數 5為 基準，再向後加3（如圖六所示）。

圖六 以大數5為基準，再向後加3

「數線表徵」方式可從老師或同儕的學習經驗中累積 而得，在解數學題時可能會直接從記憶中提取知識，或與 舊有經驗相互連結產生解答，亦或使用上述各種「數線表 徵」方法來解題。文獻認為雖然「數線模式」較適合學生 學習，但是隨著心理成熟度的增加，仍會被其他更成熟的 方式取代（Ernest, 1985）。

（二） 小數與分數的概念

小 數 與 分 數 在 數 線 上 是 同 一 個 表 徵 系 統 （Pagni, 2004） ， 小 數 0.1等 於 分 數 的 十 分 之 一 ， 分 數 的 二 分 之 五 等 於 小 數 的2.5， 即 使 是 循 環 小 數 也 能 用 分 數 來 替 代 ， 兩 者間可以互相轉換。因此數線可以表示出整數、小數和分 數間的關係。

黃怡娟（2004）提到：分數的圖像表徵分成面積、離 散量和數線三種模式，在「數線模式」中，因為數線具有

黃怡娟（2004）提到：分數的圖像表徵分成面積、離 散量和數線三種模式，在「數線模式」中，因為數線具有