國中資源班身心障礙學生之文字題解題能力在動態評量的表現—以「正負數與數線」單元為例

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(1)國立台灣師範大學特殊教育學系碩士論文指導教授：洪儷瑜教授. 國中資源班身心障礙學生之文字題解題能力在動態評量的表現 ─以「正負數與數線」單元為例. 研究生：陳佩盈撰. 中華民國九十七年七月.

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(7) 誌謝韶光易逝誰與共，回首猶若黃粱一夢；糊塗難得我自知，放眼卻看明朝枯榮。師大的兩年歲月不覺就在指縫間悄然流轉，七百多個日子雖然在人生中就像櫻花般乍現無蹤，但卻也點滴在心。本文的付梓，當要感謝恩師洪儷瑜教授的指導與栽培，由於其治學嚴謹，所以才有這份研究成果的誕生；也非常感謝邱上真教授（國立高雄師範大學特殊教育學系）與吳昭容教授（國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系）在學生這一路上不辭辛勞地給予指引與建議。對於三位老師的恩情，佩盈當銘記在心、不敢或忘。感謝臺北市大理高中文宏學長、天母國中黃素老師、新興國中馨蘭老師、介壽國中冠儀老師、成淵高中鈺倫老師、景美國中美娟學姊及佳怡老師、內湖國中淑玲老師、和平高中曉婷老師、陽明高中嘉玲學妹，臺北縣秀峰高中沛璇老師、中平國中怡芳學姐、坪林國中家瑩老師、丹鳳國中雅玲學姐及敏惠老師、金山高中于真老師，由於你們的協助並不畏麻煩的替我聯繫施測相關事宜，讓我的研究漸臻完備。感謝在求學過程中一同努力的研究所同學，富有同理心的敏薰及沛璇、散播歡樂的祥妤及玉慧、熱心助人的奇錚、互相鼓勵的于真及珮筠，以及不斷給我加油打氣的學.

(8) 長姐們，因為有你們的陪伴，讓我在求學的路上不感孤獨。最後要感謝我親愛的家人，由於你們的包容與鼓勵，讓我在留職停薪的這兩年沒有後顧之憂，能夠專心在自己的課業和研究上，並順利完成學業。亦感謝戰友兼伙伴的慰慈，在研究過程中陪我跑遍台北縣市的學校，在課業上給予建議，在心情上給予支持，接下來，該是我們牽手度過一生的時刻了。佩盈. 于家中. 戊子荔月.

(9) 國中資源班身心障礙學生之文字題解題能力在動態評量的表現 ─以「正負數與數線」單元為例陳佩盈. 中文摘要本研究之目的在探討國中資源班不分類身心障礙學生在數學文字題的解題歷程及錯誤類型，且欲探究中介式動態評量（"Mediational" Dynamic Assessment）提升學生在文字題的解題能力之成效。研究依據國中數學教材中的「正負數與數線」單元來編擬六道題目和七種引導策略，以臺北縣市15所國中資源班之身心障礙學生共32人為研究對象，參與研究學生包括學習障礙、情緒障礙、聽覺障礙、語言障礙、自閉症、亞斯柏格等。資料分析先探討全體學生之解題表現，然後依據語文能力之高低、學障及非學障之分類進行分析，以觀察語文及障礙類別對學生解數學文字題之影響。結果發現：所有學生均具備基本的閱讀及計算能力，解題歷程以問題轉譯的表現較差；另經由中介式動態評量之後，有將近 80%的學生能獲得助益。此外，語文能力差者經中介式動態評量的成效最為明顯，且以使用圖示表徵策略來協助解題為最多。.

(10) 本研究結果對身心障礙學生於數學文字題之解題之研究和教學實務均提出具體建議。關鍵詞：數學文字題、身心障礙學生、中介式動態評量、語文能力.

(11) Dynamic Assessment of Performance of Mathematical Word Problems of the JuniorHigh-School Students with Disabilties —The Example of the Number Line in the Unit "Positive and Negative Numbers" Pei-Ying Chen. Abstract The major purpose of this study is to investigate the mathematical word problem solving process and the error types of the students with disabilities participating in resource-room program (RRP) of the junior high schools. Additionally, this study investigates the changes of the problem-solving ability of the RRP students through the mediational dynamic assessment (MDA). According to the scope of number line in the unit "positive and negative numbers" of junior-high-school mathematics textbooks, six self-defined mathematical word problems was designed to assess RRP students, and seven mediating strategies were administrated during the problemsovling process. There were 32 RRP students from 15 junior high schools in Taipei City or Taipei County participating in this study. The categories of these RRP students were learning disability, emotional disability, hearing handicap,.

(12) language disorder, autism, and Asperger. The main findings of this study are summarized as follows: 1) All of the students appear competent reading and computing abilities in the mathematic word problems; 2) The RRP students show more difficulties in the process of problem translation of mathematic word problems; 3) Almost 80% of RRP students reaped benefit from the MDA; 4) The RRP students with low reading ability benefit more from MDA, and the strategies of the picture representation to solve the mathematic word problems is used the most freguently. Several recommendations for the further studies of RRP students in the mathematic word problems and educational practice are made on the basis of the findings. Keywords: mathematical word problem, disability students, Mediational ability. Dynamic. Assessment,. reading.

(13) 目錄目錄. ...................................................................................... I . 圖目錄. ..................................................................................... V . 表目錄. ....................................................................................IX . 第一章 . 緒論 .............................................................................. 1 . 第一節研究動機 .................................................................. 1 第二節研究目的與問題 ...................................................... 7 第三節名詞解釋 .................................................................. 8 第二章 . 文獻探討 .................................................................... 11 . 第一節數學文字題 ............................................................ 11 第二節身心障礙學生之數學表現 .................................... 24 第三節數線的概念與應用 ................................................ 33 第四節「正負數與數線」單元的課程與教材分析......... 47 第五節動態評量 ................................................................ 56 第三章 . 研究方法 .................................................................... 71 . I.

(14) 第一節研究對象 ................................................................ 71 第二節研究工具 ................................................................ 76 第三節中介式動態評量 .................................................... 85 第四節研究程序 .............................................................. 109 第四章 . 研究結果 .................................................................. 115 . 第一節身心障礙學生在數學文字題的解題表現........... 117 第二節身心障礙學生在中介式動態評量的前後差異分數 .............................................................................. 128 第三節身心障礙學生在中介式動態評量所需之協助情形 .............................................................................. 139 第四節障礙類別和語文程度對解決數學文字題的表現差異 .......................................................................... 159 第五章 . 結果討論 .................................................................. 169 . 第一節身心障礙學生在數學文字題的解題表現........... 169 第二節實施中介式動態評量的效益 .............................. 179 第三節身心障礙學生在中介式動態評量所需之協助情形 II.

(15) .............................................................................. 184 第六章 . 結論與建議 .............................................................. 191 . 第一節結論 ...................................................................... 191 第二節研究限制 .............................................................. 194 第三節建議 ...................................................................... 195 參考文獻. .................................................................................. 201 . 附錄一：施測同意書 .................................................................. 223 附錄二：試探性研究對象基本資料 .......................................... 225 附錄三：試探性研究之學生解題歷程 ...................................... 227 附錄四：正式研究之題本（單元：「正負數與數線」）....... 233 附錄五：學生在中介式動態評量之解題歷程........................... 235 附錄六：學生在中介式動態評量使用策略記錄表................... 403 附錄七：學生在前測、半結構、策略的反應........................... 421 . III.

(16) IV.

(17) 圖目錄圖一 . 以一格為一個單位移動 ............................................ 40 . 圖二 . 以一個數為一個單位移動的簡化模式..................... 40 . 圖三 . 在數線的刻度上移動 ................................................ 40 . 圖四 . 以 3 為起點往後多數 5 格 ........................................ 41 . 圖五 . 以 3 為起點，在數線上往後多數 5 個刻度............. 41 . 圖六 . 以大數 5 為基準，再向後加 3 ................................. 41 . 圖七 . 二次逼近法配合的數線 ............................................ 44 . 圖八 . 利用兩條數線來繪製一元一次與一元二次方程式..... .................................................................................... 45 . 圖九 . 平行數線表示法及垂直數線表示法......................... 46 . 圖十 . 例題：具有「差距量」的概念 ................................ 54 . 圖十一 . 本研究受試對象之障礙類別 .................................... 75 . 圖十二 . 本研究之動態評量架構 ............................................ 86 . 圖十三 . 策略一，以畫圖解釋題意（題一）......................... 96 . 圖十四 . 策略一，以畫圖解釋題意（題二）......................... 97 V.

(18) 圖十五 . 圖示呈現「比多比少、誰高誰低」的觀念............. 98 . 圖十六 . 呈現數字在數線上的位置和相對位置的記法......... 99 . 圖十七 . 用圖示表徵的方式呈現專有名詞的概念............... 101 . 圖十八 . 把題目中出現的負數皆以正數呈現並說明之....... 102 . 圖十九 . 數線上呈現正數並說明「差異量」的概念........... 103 . 圖二十 . 研究步驟 .................................................................. 110 . 圖二十一正式樣本篩選過程 .................................................. 112 圖二十二所有學生的進步區間 .............................................. 129 圖二十三所有學生在錯誤類型一使用提示量的情形........... 130 圖二十四所有學生在錯誤類型二使用提示量的情形........... 132 圖二十五所有學生在錯誤類型三使用提示量的情形........... 134 圖二十六所有學生在錯誤類型四使用提示量的情形........... 135 圖二十七所有學生在錯誤類型五使用提示量的情形........... 136 圖二十八所有學生在錯誤類型六使用提示量的情形........... 138 圖二十九所有學生在錯誤類型七使用提示量的情形........... 138 . VI.

(19) 圖三十 . 學障組學生之進步區間 .......................................... 161 . 圖三十一非學障組學生之進步區間 ...................................... 162 圖三十二語文低組學生之進步區間 ...................................... 165 圖三十三語文高組學生之進步區間 ...................................... 165 . VII.

(20) VIII.

(21) 表目錄表一 . 例題分析：每階段的解題歷程和所需知識的差異..... .................................................................................... 15 . 表二 . 二分逼近法的求解法(I) ............................................ 43 . 表三 . 二分逼近法的求解法(II) ........................................... 44 . 表四 . 乘法表 ........................................................................ 46 . 表五 . 各階段能力指標對應每一年級條列的具體細目..... 49 . 表六 . 正式樣本分佈狀況 .................................................... 75 . 表七 . 預試階段之題目 ........................................................ 81 . 表八 . 正式研究之選題結果 ................................................ 82 . 表九 . 受試對象之得分、錯誤表現與錯誤類型................. 86 . 表十 . 「中介式動態評量」解題實施步驟....................... 105 . 表十一 . 本研究受試對象之數學能力 .................................. 116 . 表十二 . 本研究受試對象之閱讀能力 .................................. 116 . 表十三 . 各題目及其步驟會犯錯之總人數........................... 118 . 表十四 . 所有學生在題一之解題步驟的正確率................... 121 IX.

(22) 表十五 . 所有學生在題二之解題步驟的正確率................... 122 . 表十六 . 所有學生在題三之解題步驟的正確率................... 123 . 表十七 . 所有學生在題四之解題步驟的正確率................... 124 . 表十八 . 所有學生在題五之解題步驟的正確率................... 125 . 表十九 . 所有學生在題六之解題步驟的正確率................... 126 . 表二十 . 學生依協助情形的分組 .......................................... 141 . 表二十一學生在動態評量之診斷結果 .................................. 183 . X.

(23) 第一章. 緒論. 第一節. 研究動機. 在各學習領域中，數學被公認為是科學、技術及思想發展的碁石、文明演進的指標與推手，是現代國民必備的基本知識之一，而數學能力的具備在處理日常生活各層面事物具有相當程度的重要性；此外，藉由數學之學習可以增進邏輯推理及組織能力，對於其他學門知識的取得均有莫大的助益。我國教育部於民國八十九年公佈之九年一貫數學領域內涵中強調推理、解題思考過程及數學溝通的能力，由此可知問題解決能力之培養在現今數學教育的重要性。蔣治邦（1993）指出多數學童在進入國民小學之前已經能夠利用他們對情境的瞭解及配合具體物的輔助，使用非正式的數物策略來解決一些加減的應用問題；在進入國民小學後，學童開始學習數學符號及使用加減運算概念，用以理解及解決應用問題，進而培養解決複雜問題的能力。由此可知，加減運算概念是學童學習數學的起點，然而將此概念融入應用問題之後，透過情境的模擬來解決問題，其複雜度較高，也是目前國民小學數學教育的主要目標之一（教育部，2003）。解數學文字題除了需要一般語文閱讀理解能力外，更需要具備數學先備知識、數學閱讀的特殊技能及四則運算能力，所以解數學文字題的歷程包含多種不同的能力。由於在解數學文字題的過程中可以看 1.

(24) 出學生的數學及語文能力，故數學文字題可說是語文能力與數學能力間的橋樑。依據過去的研究結果可知，學生在數學文字題解題失敗的原因多是由於無法弄清題意、甚至忽略對題目的理解，僅由機械性的計算或依文字的表面意思（尤其是針對關鍵字）隨意拼湊出算式，而非透過題意理解後再根據情境來模擬解答，可以反應出其在問題轉譯方面的困難（翁嘉英，1988；謝毅興，1991）。因此有研究者（林美惠， 1996；葉雪梅，1990）藉由改變題目的呈現方式或增加更多線索等方法，讓學生能更瞭解題目的意涵進而促進解題的能力， Cummin（ 1991）則在研究中將問題稍加改寫，使問題的語意陳述更加清楚，希望能夠提升學生的數學解題表現，透過這些方式更能說明語意理解困難可能會影響學生在解數學文字題上的表現。而在傳統教學上也可以發現：教學者習慣以語文說明來輔助數學的學習，即使是圖表或抽象符號都會仰賴大量的語文講解，這可能是由於數學進一步的學習有時必須仰賴語文的思考所致，以上都與語文能力相關。本研究的重點在瞭解學生的解題歷程，如果以計算題題型進行研究就無法同時看出數學能力和語文能力，故選擇文字題作為研究題型。經由分析國內的博碩士論文數量後可得知：有關數學文字題的相關研究甚多，但大多數的研究選擇國小學童作為研究之對象（王雅蘭、張蓓莉，2004；林沅芝，2006；林秀燕，2004；林美惠，1996；林淑玲，1999，2003；翁 2.

(25) 嘉英，1988；陳明媚、張蓓莉，2003），對於國中階段學童的研究相對較少，只有詹士宜與周台傑（周台傑、詹士宜，1993；詹士宜，1991）曾針對智能障礙國中生進行數學文字題解題歷程的探討，其後在此階段的研究便甚少。由既有的研究成果，國小階段教師可以得知學生在數學文字題的解題表現、可能會發生的錯誤類型、解題過程會使用之策略等等，只有瞭解學生在數學方面的缺陷才能設計有效之補救教學方案，或進行適合學生能力之教材編輯；在掌握學生的數學能力之後，課程規劃或教學活動的設計才不致於與學生的真實能力落差過大，學生才能夠從中汲取知識。相較之下，由於針對學生在國中數學文字題的研究較少，國中階段的教師無從掌握學生在此類題型可能會遭遇的數學困難，也正因為無法確切得知學生的缺陷，教師就很難提供適當之策略來輔助，目前國中階段教師在教材編輯及教學設計常處於不斷摸索的過程，等於是間接浪費學生的學習時間；此外，國中教材是國小教材的延續，意義上是針對其內容逐漸加深加廣，在具體物之外加入大量的抽象符號，雖然同屬數學文字題題型，但在題目的陳述上更加複雜且艱深，抽象符號或新觀念的加入也讓國中學生在解數學文字題時的表現與國小學生相異。為瞭解國中階段學生解數學文字題之表現、及可能發生之錯誤類型與策略之使用，讓教師對學生有更清楚的瞭解，實有必要投入更多的研究在國中階段。本研究也希望其成果能在國中階段教師對學生在數學文字題表現的瞭解上有進一步的貢獻。 3.

(26) 目前關於數學文字題之類型與難度已經區分出來（陳立倫， 1999 ；鄧少林、蔣治邦， 1994 ；蔣治邦， 1993 ； Garcia, Jimenez & Hess, 2006），研究操弄之變項可能包括未知量的位置、關係句的描述以及命題先後順序等。在類型方面，從 Garcia等人（ 2006）的研究中可以知道：數學文字題依據語意結構被區分為四類，分別是合併類（ combine）、改變類（ change）、比較類（ compare）、等化類（ equalize）。由於本研究的受試對象設定為國中生，在國中數學課程挑選七年級上學期就會學到的「正負數與數線」單元進行探討，其理由除了正負數本身就具有比較的概念之外，此單元的文字題也較易納入「比較類」元素進行改編；而且「正負數與數線」單元所教導的觀念與題型的呈現雖然屬於國中課程，但是仍需要大量連結舊有經驗來進行解題，屬於銜接國小課程之單元。除此之外，研究結果發現數學文字題的四種類型中又以「比較類」的難度最高，因為題目含有關係句的描述，學生可能因為無法理解題意或是錯誤解讀而影響作答；依據未知量的位置又可分成「差異量」、「被比較量未知」和「參照量未知」，三者因為本身的難度差異造成學生在解題時也有不同的表現，所以此種題型最為複雜，學生普遍遭遇較多的困難（王雅蘭、張蓓莉，2004；邱佳寧，2001；林淑玲，1999；翁嘉英，1988）。綜合國內外研究又可以發現：研究學生在數學文字題上的表現尤以正常學生、閱讀障礙學生、數學障礙學生、雙重障礙學生（閱讀障礙／數學障礙）四類居多，其他障 4.

(27) 礙學生在文字題上的表現則以智障與聽障學生次之，但是這些研究中都是以探討單類或選取特定的幾種類型為研究對象（王雅蘭、張蓓莉，2004；周台傑、詹士宜，1993； Parmar, Cawley & Miller, 1994 ；. Ferkis & Zentall,. 1993），有關其他障礙類別學生在數學文字題的探討則較少。整理數篇研究結果也發現：不論是哪一障礙類別學生在數學文字題表現上均有其共通之處 ── 會受到智商和語文程度的影響（王雅蘭、張蓓莉，2004；周台傑、詹士宜， 1993 ；翁素珍， 1989 ；陳明媚、張蓓莉， 2003 ； Parmar, et al., 1994；Zentall & Ferkis, 1993），代表障礙類別學生都可能因其智商或語文能力不佳，致使解決數學文字題產生困難，因此，數學文字題研究或補救是否限某一種障礙類別學生，或在各種障礙類別有其他共同性，跨類別之研究便油然而生。另外依據各縣市通過之「國民中小學身心障礙資源班實施計畫」，目前各級學校資源班的設立採取不分類走向，資源班教師在進行分組教學時，優先考量學生的基本能力，將能力相仿的學生編制在同一組，並非以障礙類別作為分組之依據，因此在同一個小組之內勢必包含不同的障礙類別，此時教師需要瞭解的是所有障礙類別之數學表現，而非單獨一種障礙類別之深入研究。根據上述理由，以及更貼近教學現場的狀況與需求，本研究不特定選取某種障礙類別作為探討之對象，欲瞭解國中階段不分類的身心障礙學生在數學文字題的解題表現。此外，基於資源班中以學習障礙學生佔多數，本研究在分析時也會藉由比較學障組與非學障組學生，或不分障 5.

(28) 礙類別但依據語文能力分組探討其在文字題的解題表現，驗證兩種變項與數學文字題解題之關係。本研究欲探討的對象是身心障礙學生，其由於本身的缺陷及學業成就低落，可能無法經由傳統的教學方式獲得協助，在評量結果出現低分現象也是可預期的，故應採用動態評量方式來探討其解題歷程。採用此法之原因有三點：第一、學生在傳統式標準測驗可能無法測出學生真正的能力，發展出合適的評量方法是勢在必行，而動態評量透過一問一答的提示方式，施測者與受試者之間維持訓練者與受訓者的關係，以及在施測過程中給予適度的回饋和充裕的作答時間，種種優點不但可以發現學生的困難與問題所在，降低學生普遍遭遇的測驗焦慮，更能讓學生在解決問題時更具效率，是一種結合評量與教學的方式（朱經明、蔡玉瑟， 2000 ； Burns, Vye, Bransford, Delclos, & Ogan, 1987 ； Feuerstein ， 1979 ； Gerber, Semmel, & Semmel, 1994）。採用動態評量不但可以知道學生在經由提示之後的進步情形，也可以瞭解學生真正的學習潛能，所以動態評量是替代傳統式標準測驗的方式之一。第二、國內研究探討學生在數學文字題之解題歷程僅能呈現出某一事實，研究結果告訴我們的是「What」，可以看出學生解題的結果，但在學生解題歷程變化的陳述較少，動態評量方式不但可以得知學生在經由提示之後得到的結果，亦可清楚看出學生在整個學習歷程的變化，除了「What」之外還加上了「 How 」的訊息。第三、動態評量的模式甚多，雖然不同模式各有優劣，但文獻上已經顯示出學生在 6.

(29) 接受傳統式靜態評量（standard static method）、漸進提示模式（ graduated prompt method ）與中介式評量（mediational method）之後的表現有其差異，在傳統式標準化評量所受到的協助最少，而在中介式評量的協助最大，故本研究選取能讓學生獲益最多的中介式動態評量進行研究設計。綜合上述所有理由，本研究欲探討國中階段身心障礙學生在「比較類」數學文字題之表現，選擇國中七年級上學期之「正負數與數線」單元進行研究，期望在動態評量中瞭解學生的學習潛能，重新思考調整教學方法之必要性，或是針對學生之錯誤類型提供未來補救教學之參考。此外，本研究也蒐集目前資源班常用來作為學生能力分組之語文測驗－柯華葳（ 1999a）的「閱讀理解困難篩選工具」，進一步瞭解語文程度對數學解題的影響。. 第二節. 研究目的與問題. 一、研究目的本研究以中介式動態評量作為研究之架構，欲瞭解國中資源班的身心障礙學生在未經中介式動態評量前，解「比較類」數學文字題可能會遭遇的錯誤類型，並探討在中介式動態評量過程中不同錯誤類型所需的策略為何。研究並針對其結果提供具體建議，期望更加瞭解國中資源班. 7.

(30) 身心障礙學生之數學學習潛能，提供教師在教學上選用適當的提示系統來輔助學生解數學文字題之參考。二、研究問題基於上述目的，本研究擬探討下列問題：（一）國中資源班的身心障礙學生在數學文字題的解題表現為何？（二）國中資源班的身心障礙學生在中介式動態評量的前後差異分數為何？（三）國中資源班的身心障礙學生在中介式動態評量所需之協助情形為何？（四）障礙類別和語文程度對解決數學文字題的表現差異為何？. 第三節. 名詞解釋. 一、身心障礙類學生本研究所稱之「身心障礙學生」是指在國中階段接受特殊教育服務之對象，其來源經由台北縣市「特殊教育學生鑑定及就學輔導委員會」（簡稱鑑輔會）鑑定後確認具有身心障礙或疑似身心障礙資格，因此可以是資源班直接服務之對象，也可以是提供間接服務之學生。而經由鑑輔會確認具有特殊教育資格之身心障礙學生，或具有特殊教 8.

(31) 育需求之疑似身心障礙學生，特殊教育服務方式為普通班提供不分類資源班服務（簡稱資源班），學籍設籍並就讀普通班，但部份時間到資源班接受特殊教育課程或協助。二、動態評量動態評量依提示方式之不同分成多種類別，各家的分類不一。本研究所使用之動態評量為中介式動態評量（ mediational dynamic assessment），透過學習者與教學者間一問一答的進行方式，針對學生在解題時的錯誤類型給予適當之策略，期能經由提示後協助其解題，探討學生之最大學習潛能，並觀察其解題歷程、策略使用及錯誤類型。本研究選用之動態評量系統則是依據國中資源班的身心障礙學生之不同錯誤類型來進行策略設計，共可分為七種策略，其錯誤類型是「識字量少」、「不知道已知條件及題目的要求」、「缺乏關係句的理解能力」、「不知道符號或數字所代表的意義」、「無法理解數學專有名詞」、「知道題意要求但不會列出算式」、「計算錯誤」。而每一種策略之下又可依照提示量的多寡再細分成數種提示方式，其提示符合「由抽象到具體」的原則。三、數學文字題依據數學文字題的語意結構之不同，共可分成「比較類」、「合併類」、「改變類」和「等化類」（Garcia, et al., 2006），而四種題型中又以「比較題」讓兒童感到最困難（古明峰，1997；翁嘉英，1988；葉雪梅，1990）， 9.

(32) 因此本研究之數學文字題是選自國中七年級上學期的「正負數與數線」單元，並加入「比較題」元素加以設計之題本。. 10.

(33) 第二章. 文獻探討. 第一節. 數學文字題. 一、數學文字題與課程標準之關係根據我國教育部（2003）公告之國民中小學課程綱要中明示，數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM ）於 1980 年提出「問題解決」（ problem solving）應為學校數學教育的焦點，此觀念一反過去只注重計算教學的趨勢，認為學生應具備使用數學知識來解決問題的能力（楊美伶、蔣治邦，1992），在1989年也針對幼稚園至四年級、五年級至八年級、九年級到十二年級分段提出「數學課程與評鑑標準」（ Rivera, 1997），國中小階段的細項雖然跟台灣版本不完全一致，但學生應該學習到的數學內容架構是相似的。國內的國民小學階段數學目標是：期望學生在小學畢業前能熟練小數與分數的四則計算，能利用常用數量關係解決日常生活的問題，能認識簡單幾何形體的幾何性質並理解其面積與體積公式，能報讀簡單統計圖形並理解其概念；到了國中階段，數學課程連結舊有的學習經驗逐漸加深加廣。而國民中小學課程綱要中的具體目標之一則是學習應用問題的解題方法，雖然文字題首先出現在國小階段的課程中，但是國中階段的文字題和國小階段的不同之處是：在此題型架構之下加入了 11.

(34) 更多的新符號與抽象概念，且學生仍舊必須依照題意的條件進行情境的模擬，以求出正確的解答。經由以上的分析可以得知：數學文字題是國中小階段都會出現之題型，也是九年一貫之國民中小學數學課程綱要所明示之具體目標，透過數學文字題的學習，提供學生模擬生活中數學問題的情境，最後得以培養問題解決的能力。二、數學文字題的解題步驟數學家 Polya（ 1945）提出的解題四階段論與認知心理學家 Mayer（ 1992）提出的數學解題理論，對數學文字題之相關研究有極大的影響。 Polya （ 1945 ）在其專書「How to solve it: a new aspect of mathematical method」將數學文字題解題分成瞭解問題（ understanding the problem ）、擬定計畫（ devising a plan ）、執行計畫（carrying out the plan）及驗算與回顧（looking back）四階段，每一階段的重點分述如下：（一）瞭解問題：知道已知數、未知數、條件有哪些，透過畫圖的方式、搭配合適的記號或符號來表達題意，並將條件整理後一一列出。（二）擬定計畫：嘗試找出已知數和未知數之間的關聯性，如果試了幾次之後仍無法發現其關聯性，可以回想舊有經驗中曾經遇到的相似題型，善用學過的公式定理，亦或是將題目重新敘述一遍，用 12.

(35) 不同的語詞詮釋。在找到了所有跟已知數有關的線索後，考慮與問題相關的必要觀念，就應該能想出解題計畫。（三）執行計畫：在計畫擬定之後，即一步一步執行先前擬定的計畫，並逐一檢視各個步驟是否都正確無誤。（四）驗算與回顧：解題的最後階段是要能重新驗算所得的答案，檢驗計算過程是否正確，並能用另外一種驗算方式求證出相同的結果。此外，反思自己是否能將解題結果及解題過程所用到的方法應用到其他的問題上。 Mayer（1992）在其著作「Thinking, problem solving, cognition」一書中，認為在解決數學文字題時，解題者應包括語言知識（ linguistic knowledge ）、語意知識（ semantic. knowledge ）、基模知識（ schematic. knowledge）、策略性知識（ strategic knowledge）和程序性知識（procedural knowledge）等五種知識，分別代表瞭解文意、瞭解事實知識、區辨問題類型、運用不同變項來解題與監控解題歷程、進行一系列運算的能力。而解題歷程共分為兩大層次四個階段，內容說明如下：. 13.

(36) （一）問題表徵（problem representation）：包含問題轉譯和問題整合階段。 1.. 問題轉譯（ problem translation）：解題第一步就是能夠將題目中出現的每一個陳述轉譯成內在表徵，此時需要的是語言知識和語意知識。也就是能夠重述問題的已知條件和解題目標，知道題目給予的所有訊息，並從中挑選出有用的資訊。. 2.. 問題整合（ problem integration）：在問題轉譯階段之後，尚須進一步分辨題目的類型，用圖示表徵方式或是利用方程式來重新呈現問題，而這就是基模知識。. （二）問題解決（solution planning and monitoring）：包含解題計畫及監控與解題執行階段。 1.. 解題計畫及監控（planning & monitoring）：一旦瞭解題意即蒐集相關訊息，將題目轉換成方程式，策劃可以如何解決方程式，並能掌握程序的進行，此為策略性知識的運作。而問題解決的策略又可包含五種，分別是：盡可能以畫圖方式呈現、找出歸納性的參數、考慮矛盾之處、考慮變數較少的相似問題、嘗試建立次目標。. 2.. 解題執行（ solution execution）：最後一個階段就是將計畫付諸實行，進行四則運算，此為程序性知識。. 14.

(37) 如以下列的例題來說明，可以在表一看出每階段的解題歷程和所需知識的差異（Mayer, 1992）。例題：地磚是以每邊30公分的正方形出售，假如每塊地磚的價錢是 0.72元，那麼一個長 7.2公尺寬 5.4公尺的矩形房間鋪滿地磚一共要多少錢？表一. 例題分析：每階段的解題歷程和所需知識的差異. 解題階段. 知識類型語言知識. 問題轉譯語意知識問題整合. 基模知識. 解題計畫及監控. 策略性知識. 解題執行. 程序性知識. 地磚問題的例子每個地磚是30×30（cm）正方形房間是7.2×5.4（m）的矩形每個地磚是0.72元未知數是鋪地磚的總價錢正方形的四個邊等長 1m＝100cm 矩形面積＝長×寬找出可用資訊，排除無關訊息找出房間面積、所需的地磚數目及價錢 7.2×5.4＝38.88 0.3×0.3＝0.09 38.88÷0.09＝432 432×0.72＝311.04（元）. 綜合以上兩位學者所提出之數學解題理論，可知數學文字題之解題歷程包括理解題目的含意及要求、判斷題目給予之相關及無關訊息、依照問題情境列出算式、計算答案及再次驗證答案的合理性等步驟。而本研究欲探討之解題歷程以 Mayer的解題四階段為主，在「問題轉譯」階段 15.

(38) 欲瞭解學生是否具備識字能力、知道題目的已知條件以及題意要求、轉譯關係句的能力；在「問題整合」階段，欲探討的能力包括：是否知道符號或數字所代表的意義、理解數學專有名詞的能力；在「解題計畫及監控」階段，想瞭解學生能否依照題意列出算式；在「解題執行」階段，想測試學生的計算能力。三、數學文字題的類型與難度文字題根據語意結構可區分成改變類（ change）、合併類（ combine ）、比較類（ compare ）和等化類（ equalize），有關每一種類型的例題舉例如下（ Garcia, et al., 2006；Riley, Greeno, & Heller, 1983）。改變類小明有 18張郵票，他的朋友小美給他 6張，小明一共有幾張郵票？合併類草原上有 12隻綿羊， 4隻黑色，其餘的是白色，共有多少隻白綿羊？比較類小明買了一支鉛筆花了12元，和一本筆記本比鉛筆貴 9元，筆記本要多少錢？. 16.

(39) 等化類我的裙子有 12顆扣子，假如我姊姊的裙子再多 5顆就會跟我一樣，姊姊的裙子有幾顆扣子？. 所謂「改變」是指一個數量經過改變（增加或減少）後，形成另一個數量的問題；「合併」則是指兩數量的總和問題；「比較」則是兩數量進行大小或多少關係比較的問題；「等化」也是指一個數量經過改變（增加或減少）的歷程，但是最後必須達到兩個數量之間的均等（周台傑、詹士宜，1993；Garcia, et al., 2006）。依照未知量的性質（the role of unknown set）加以細分，在「改變」中又可分為「起始量未知」（ beginning unknown or compared unknown）、「改變量未知」（change unknown or referent unknown ）與「結果量未知」（ result unknown）；在「合併」中又可分為「總數未知」（ sum unknown ）、「子集合未知」（ subset unknown ）；在「比較」中則可分為「差異量未知」、「被比較量未知」和「參照量未知」。從問題的句型來看，主要包括三個部份，陳述句（ assignments）是說明事物與數量間的直接關係，如「小明有8元」；關係句（relations）是說明兩事物間在數量上的比較關係，如「小明比小英多 5元」；問題句（ questions）則是說明問題中所要求的目標，如「問小英有幾元？」。因此，數學文字題在分類上可分成四種類. 17.

(40) 型，所有研究也都是針對其中幾類或特定某一類型進行深入的探討。從國內的文獻中得知：這四種類型中的「比較類」數學文字題因為會出現「比較」的句型，使得學生容易因無法釐清「關係句」的含意而在解題上遭遇許多困難，這也是國內研究普遍選擇以「比較類」進行研究的原因。林淑玲（1999）探討國小三、四年級數學學習障礙學生在「比較類」文字題的解題歷程及困難，其研究結果發現解題表徵通過率由高而低為「被比較量未知題」、「差異量未知型」、「參照量未知型」，初步再將「比較類」文字題的難度進行了區分。翁嘉英（1988）欲瞭解國小二、三年級兒童對「比較」文字題的解題表現，結果顯示在「被比較量未知」題裡，學生解「比多」較「比少」的問題更易出錯；在「參照量未知」的問題裡，則是「比少」較「比多」的問題更易出錯。而蔣治邦（ 1993）欲探討兩步驟「改變類」數學文字題依未知量位置是否也有難度上的差異，其結果發現「改變量未知」的兩步驟問題較「結果量未知」困難，因此「改變類」數學文字題也有難度上的區別。由上述可知，數學文字題依其語意結構共可分成四種類型，研究顯示其中又以「比較類」的難度最高，學生在此種類型上遭遇最多困難；依未知量位置所區分的三種題型，又可視學生的通過率而顯現出難度。. 18.

(41) 四、數學文字題之相關研究此處的相關研究將文字題類型分成「比較類」和包括合併類、改變類及等化類的「其他類型」加以陳述。（一）「比較類」數學文字題之相關研究有關數學文字題的研究，國內學者蔣治邦（1993）很早以前即開始針對兒童在文字題的表現進行研究，而目前文字題的類型與難度已經區分出來，研究操弄的變項包括：關係句、多餘資訊、命題先後順序、未知數的位置等。數學低成就學生或數學障礙學生在文字題上的表現缺陷包括不瞭解題意或關鍵字、習慣採用關鍵字或隨意選擇幾個數字來解題、受多餘資訊的干擾、在解題時使用僵硬的對照策略（看到「多」就用「＋」、「少」就用「－」）、無法自我監控解題歷程等，其過程與成果可以從數個研究中得知。但許多研究者進行「比較類」數學文字題的相關研究時，會將重點放在「關鍵字」的探討，所以下列針對此部份加以論述。謝毅興（1991）欲探討國小二、三年級兒童解「比較類」數學文字題時是否有些特殊策略，其研究結果顯示解題錯誤是因為誤用「關鍵字」所造成的不穩定表現。而梁瑞真（2005）則分析國小四年級的學習障礙學生在應用問題題意理解上的認知表現，以及導致題意理解失敗的因素，結果顯示解題失敗的學生多是因為單就關係句中的線索作判斷，致使無法掌握題意，容易依據關鍵字來解答所 19.

(42) 有問題。綜上所述，「關鍵字」解題策略的固定反應模式已經頻繁出現在低數學成就或數學學習障礙學生的解題方式上，是故對於未來之教學實有調整與再探討之必要。「關鍵字」的使用不失為是一個有效的策略，朱經明與蔡玉瑟（1993）設計一套動態評量模式欲改善數學學習障礙在文字題的表現，其中一種提示系統也是「關鍵字」策略，認為雖然此法遭受許多批評，但關鍵字的提示通常可顯示出應採用何種四則運算方法，仍有其價值所在。但是如果學生不能瞭解整體題意的要求，看到「比多」就使用加法、「比少」就使用減法，容易形成刻板的運用模式，非但缺乏彈性思考的能力，也容易因為題意的稍微改變而解題錯誤。因此鄧少林與蔣治邦（ 1994）探討 120位國小三、五年級高、低數學成就兒童在「被比較量未知」及「參照量未知」的解題表現，結果顯示：「關鍵字」策略使用的多寡可以區分高、低數學成就者，高數學成就兒童隨著年級增長使用「關鍵字」策略的機會越來越少，較多學童將注意力集中在題目的語意結構；但是低數學成就兒童隨年級增加，數學能力並沒有隨之提昇太多，其依賴使用「關鍵字」策略的機會仍舊頻繁。對於兒童習慣使用「關鍵字」策略的原因並沒有定論，不過仔細回想在數學教學中，數學教學是以語文說明來輔助數學的學習，當學生無法理解題意或是無法成功的解題時，部份教學者習慣以「速記法」或是使用「關鍵字」來說明，可能容易出現要學生記下「看到多就用加、 20.

(43) 看到少就用減的」方式，藉以加深對題型的印象，但是卻可能也扼殺了學生理解的機會。楊美伶與蔣治邦（1992）分析國小數學科的課本與習作後發現，課本和習作都有將近七成以上可以透過使用「關鍵字」策略來解題，違反此策略的題目類型變化很少，只有少部份的題目在使用「固定對應模式」時是無法解出正確答案，也可能是造成學生依賴使用「關鍵字」策略來解題的原因。本研究查閱經由九年一貫課程改革之後的數學教科書，選擇目前國小常用的翰林出版社版本進行分析，蒐集 2006年或2007年國小一至十二冊的課本，從教材的編排可以知道小學一至三年級之前的文字題多強調在學習加減法的運算，一年級上學期仍在一步驟的加減文字題，下學期開始加入兩步驟的加減文字題；二年級的數學文字題在數值部份越來越大；三年級雖然也有數學文字題，但可以完全依據關鍵字來解題；之後開始加入不能運用關鍵字策略來解題的反例，隨著年級越高，課程的難度越來越深，但是「關鍵字」在一至十二冊都是普遍出現在文字題中。整理一至十二冊中曾經出現的關鍵字包括「共」、「剩下」、「比…多」、「比…少」、「合起來」，在一、二年級的題目中看到「共」、「比…多」、「合起來」就用「加」，「剩下」或「比 …少」就用「減」的正確率很高，其原因是這些題目的認知難度較低，此種現象在低年級階段尤為明顯。以第一冊課本為例，第三單元有14題文字題，全部都可以使用此策略來解題；第七單元有16題，有12題可以使用此策略，其比例高達八成；對照其習作也 21.

(44) 發現第三單元和第七單元的文字題分別佔有 100%和五成以上的正確率。由此可知：學生使用關鍵字題目來學習數學文字題的機會很高，在進入高年級階段之後，如果無法跳脫此種解題模式，則容易在一開始看到題目時就習慣先搜尋題目中的關鍵字來進行解題。從以上的研究可知：目前有關「比較類」數學文字題的研究大多探討學生在此種題型之錯誤方式，以瞭解學生是否真的能夠理解題意，而研究中又以探討「關鍵字」策略居多。（二）其他類型數學文字題之相關研究由於大多數研究者的研究範圍多為「比較類」數學文字題，有關「合併類」及「改變類」的相關實徵研究較少，而「等化類」更是甚少被研究者所提及，所以在此只談論有關「合併類」及「改變類」的相關研究。學生在未學習正式課程的加減運算前，即能透過具體物的操作，模擬出事物增加或減少的改變情形，進而決定未知的數量（蔣治邦，1993；Riley, et al., 1983），若以語意結構來區分，學生最先發展的題型為「合併類」之總數未知及「改變類」之結果量未知（陳明媚、張蓓莉， 2003；Riley, et al., 1983）。從大量的實徵研究中發現，除了「比較類」的題型讓學生感到困擾之外，「合併類」的子集合未知也是屬於較困難的題型。. 22.

(45) 蔣治邦（ 1993 ）即是少數探討「改變類」的學者之一，欲瞭解學生在解決起使量未知及改變量未知時，是否能夠進行「部份－整體」的分析，推論出合理的運算方式，而不是依賴固定的解題策略，例如：看到題目中出現的兩個數字，即使用大數減小數的計算方法，或是因偏好使用加法或減法來運算，於是假設在「無多餘數字資訊」和「有多餘數字資訊」的題目之下，如果學生具備「部份－整體」的概念，在解決上述兩種題目時都能有正確的表現。其結果顯示小學三、四年級學生在「無多餘數字資訊」而能正確反應，表示已建立問題情境與運算方法之間的對應連結；但是加入「有多餘數字資訊」的題目卻受到干擾，表示學生在加減概念的部份是尚有缺陷的。而在陳明媚與張蓓莉（2003）的研究中，探討五名聽覺障礙學生解文字題的歷程，使用「合併類」、「改變類」及「比較類」所設計的一步驟及兩步驟文字題來測試，其結果顯示只要是處理「比較類」的一步驟或兩步驟問題都遭遇較多困難，與諸多研究結果是一致的。但處理「合併類＋合併類」的兩步驟問題也讓學生感到困擾，其原因在於此題屬於「子集合未知」題型，需涉及學生「部份－整體」的分析能力，在受試對象答對的比例只有五分之一的情況之下，可以見得大部份學生運用「部份－整體」概念的能力還未穩定，而此研究也與蔣治邦（1993）的研究成果有相同結論。. 23.

(46) 綜上所述，語意結構本身不足以完全決定問題的難度，未知量的位置也是一個重要因素，而學生在處理未知量位置的發展，也透過實徵研究加以驗證，「合併類」或「改變類」都以「結果量未知」最不為學生困擾，「起使量未知」最難，而「改變量未知」次之。而從研究結果也可以反映到實際教學，教師如何強化學生在問題情境與運算方法之間的連結性，提升「部份－整體」概念的運用能力也是一個重要課題。五、總結由於「比較類」數學文字題的難度較高，也是大部份學生易犯錯之處，故為本研究所選取之題型，此外，為瞭解學生的解題歷程，以 Mayer（ 1992）所提出的解題四階段來進行探討，分析學生在解題歷程中所犯之錯誤類型，其錯誤方式是否如文獻所示，亦或有其他之解題表現。. 第二節. 身心障礙學生之數學表現. 身心障礙學生因為本身的缺陷會影響學業上的表現，隨著年紀增長雖在數學成就方面有逐漸進步的趨勢，但落後同儕的現象是普遍存在的（盧台華，1995），而課程難度亦逐漸加深以致於身心障礙學生在學業上越感挫敗。 Montague與 Jitendra（ 2006 ）認為有數學困難的學生在中學呈現挫敗是可預期的，因為中學和小學階段的數學老師對學生的期待並不相同，教師們預期學生在學習中學的數 24.

(47) 學課程前都已經能夠精熟基本的數學技巧，也預期學生有學習高階課程所應具備的陳述性和程序性知識、能夠自我指導和連結舊有的知識，但身心障礙學生在國小數學課程的學習已經落後同儕，尚未具備完整的基礎知識之下，更難以勝任國中階段較艱深的課程。以下引用文獻來說明身心障礙學生的數學表現及其缺陷，以協助我們瞭解學生在數學題上常出現錯誤的原因。一、智能障礙學生之數學表現智能障礙學生因為受限於智力因素，理解能力低落，在學習數學時需大量依賴文本上的語文線索，但語文資訊的錯誤解讀常造成文字題的解題有誤，且高階層的數學基模知識無法發展，也讓問題解決時的計畫擬定和運用策略呈現困難（周台傑、詹士宜， 1993 ； Erez & Peled, 2001）。詹士宜（1991）及周台傑與詹士宜（1993）的研究指出，智能障礙學生在數學計算能力的表現和相同心理年齡的正常兒童相仿，但是在數學文字題方面不僅比同實足年齡的正常兒童要差，也較同心理年齡的正常兒童落後，而問題理解不佳是影響智能障礙學生解題失敗的重要因素。進一步探討可得知，國中輕度智能障礙學生在解「比較類」數學文字題時，高分組智能障礙學生能正確閱讀問題，亦能在要求下或引導後正確重述題意，並且能夠瞭解題目中數字與事物的關係；低分組在問題句具有比較意涵則容易錯誤解讀，無法理解問題中兩事物的比較關係。林 25.

(48) 敏慧（2000）針對國小智能障礙學生進行不同策略之實驗研究，發現學生的解題錯誤也大多發生在理解階段，主要是在「整體語意的理解」、「陳述句語意的理解」、「關係句語意的理解」和「問題句語意的理解」方面產生困難，表示智能障礙學生在每個階段的理解都會發生問題。而張馨尹（ 2002）探討 4名國小輕度智能障礙學生在加減法數學文字題的解題歷程，分析結果發現學生在加減法文字題之整體理解表現，會受到題目的敘述用詞與不同題型之關係句意涵的影響，在解題過程時多繪圖、少列式，或在解題後不會主動驗算答案；即便有驗算的能力，也只停留在數字的再次計算而非思考解題之合理性。對照國外之研究， Parmar等人（ 1994）比較智能障礙和學習障礙學生在基本概念、聽覺詞彙、數學文字題和除法的能力的差別，以206位和295位八至十四歲的智能障礙學生及學習障礙學生為研究對象，在數學文字題的得分結果顯示出智能障礙學生不如學習障礙學生，即使十四歲組的智能障礙學生獲得該組別的最高分，也只等同於九歲組學習障礙學生的表現，顯示出智能障礙學生受到智商因素的影響頗大，在數學表現方面落後其他群體的學生。除此之外，尚有文獻進一步指出，學生因為缺乏能夠轉化比較關係的基模，解決「比較類」數學文字題時遭遇的困難更多，而在計算過程中可以看出學生具備數數和基本加減法運算能力，但減法對智能障礙學生的難度較高（ Erez & Peled, 2001）。 26.

(49) 綜上所述，國內外研究均顯示智能障礙學生具有基本的加減法計算能力，但缺乏成熟的解題技巧，所以仍停留在初學數學時所用之策略。而高階基模知識的缺乏，使得解決問題的計畫和執行功能無法發揮，也可能是在智商因素之外致使數學能力低落的成因之一。二、聽覺障礙學生之數學表現語文能力會影響數學成就在實徵研究上已是一個不爭的事實（王瑋樺，2001；黃俊仁，2003；趙旼冠，2006； Cummins, Kintsch, Reusser & Weimer, 1988 ； Hudson, 1983），而聽覺障礙學生因為語文能力不佳，學習數學時對計算題的影響層面較小，對於需要仰賴理解文字意義的文字題則顯得困難許多（王雅蘭、張蓓莉， 2004；洪美連，1995；翁素珍，1989；陳明媚、張蓓莉，2003；黃桂君，1995）。大體而言，聽覺障礙學生的數學能力約低於正常學生五個年級，隨著年級增加與正常學生的差距越大，而造成此落差的因素除了語文因素也包括智力因素（林寶貴、李如鵬，1990）。翁素珍（1989）利用調查訪問方式欲瞭解國小聽覺障礙學生之數學表現，歸納出學生在數學文字題表現困難的核心問題在詞彙太少，語文能力低落，亦或即使可以唸讀出每一個字詞，但是並無法瞭解其意義，對於「比較類」題型也遭遇較大的困難。陳明媚與張蓓莉（ 2003 ）以 Mayer提出的四個解題階段探討國小聽覺障礙學生在一步驟和兩步驟文字題的表現，進而分析學生在文字題上的錯 27.

(50) 誤類型，於是選擇 5位三年級的啟聰資源班學生進行研究，研究結果發現學生會發生的錯誤包括：語意理解有問題、加減法概念不清楚、自我監控的能力差、計算過程有對位錯誤的問題等等，而在這些錯誤中，聽障學生又在語意理解的部份最感困擾。王雅蘭與張蓓莉（2004）更進一步探討國小聽覺障礙學生在四種類型（改變類、合併類、比較類、等化類）都包含之加、減法文字題的閱讀理解能力，並比較中、高年級聽覺障礙學生能力之差異，經由蒐集較多的樣本（83位）進行研究，其結果得知學生在文字題的閱讀理解能力及區辨不同語意結構句型的能力低落，高年級比中年級呈現較多的系統性錯誤（學習過程中主動建構之錯誤表現已僵化而無法更改），學生在「比較類」數學文字題中的大多數句型都出現問題，唯有「…和…一樣多」是沒有問題的，在「比多」類型的表現又較「比少」類型為佳，而在施青豐（1999）的研究也顯示出相同的結果，都是在關鍵字和語意關係對應的錯誤。綜上可知，聽覺障礙學生因為閱讀理解能力之缺陷，連帶可預期其在需要語文能力和數學能力的數學文字題有困難，而其缺陷表現在區辨不同語意結構句型的能力低落，本身的詞彙量太少造成理解上的困難，或是在解「比較類」數學文字題時倚賴使用「關鍵字」策略等等。三、學習障礙學生之數學表現數據上顯示，六年級學習障礙者的加法運算能力如同三年級正常同儕（Fuchs & Fushs, 2001），兩者之間數學 28.

(51) 能力的落差約三個年級，研究上也證實在諸多數學題型中，文字題常讓學生感到挫敗。而文字題的四種類型當中，學習障礙學生遭遇最多阻礙的仍是「比較類」數學文字題。謝毅興（1990）欲探討國小二、三年級學生在解「比較類」數學文字題時所犯的錯誤類型，研究結果顯示約有三分之一的學生在使用錯誤策略，其原因是無法理解「比較」語句；林淑玲（1998）探討國小三、四年級數學學習障礙學生在「比較類」加減法數學文字題的表現，結果顯示出現表徵困難最多的是在解題表徵中的「理解」階段，其中尤以使用「關鍵字」策略來解題的表徵困難類型居多；邱佳寧（ 2001）針對 5名四年級的國小數學學習障礙學生和正常學生進行研究，欲比較兩種學生在改變類、比較類、合併類和等化類數學文字題的表現差異，也發現數學學習障礙學生在四種文字題類型的表現上均低於正常學生，主要錯誤在於關係句的理解錯誤、無法排除多餘訊息和目標監控錯誤等；梁瑞真（2005）的研究也有一致的結論，指出數學學習障礙學生單就關鍵字來解題而導致題意理解錯誤的現象是很普遍的，依賴使用關鍵字致使未能掌握整題語意，因而造成解題的不穩定表現。鄭博信等人（2000）探討國小一至三年級數學學習障礙學生在解文字題之解題策略及錯誤類型，針對 799位學生進行大量施測，再對其中10位解題錯誤較多的學生進行深度訪談，結果發現數學學習障礙學生在一年級就會有數 29.

(52) 學解題的困擾，隨著年級增加的數學能力並未跟著提升而多停滯在某一個階段，其錯誤類型包括欠缺語言的知識、語意的知識、基模的知識、策略的知識和程序性的知識，具體表現方式在無法理解題目中出現的字、詞、數字，解題第一步大多會先尋找關鍵字，以其判斷所需要的運算方式，或是多半無法監控自己的解題錯誤，即使知道答案有錯也無法判斷自己的錯誤是出自何處。可見數學學習障礙學生常利用「關鍵字」策略來解題，如果關鍵字能夠符合題意要求則能正確解題，反之則會發生錯誤；國外文獻也針對此類學生進行相關研究，亦可得到相同的結論。 Geary在 2002年和 2004年提出數學學習障礙學生本身具有記憶和認知的缺陷，在解決簡單的數學文字題時常會使用手指輔助計算的方式，數字或語文的轉譯部份會產生困難；與正常學生相較，數學學習障礙學生在計算過程也常使用不成熟的計算方式。 Montague 與 Applegate （1993）欲瞭解學習障礙學生在解決數學文字題時所用之策略是否異於正常同儕，於是挑選30位學習障礙學生、資優學生和正常學生作為研究對象，並觀察上述三組學生在六題文字題上的表現差異，其結果發現學習障礙學生不論是在策略的使用或是解題正確率都低於資優學生與正常學生。經由以上文獻可得知，數學學習障礙學生在解題過程會遭遇「理解」困難，使用「關鍵字」策略的學生佔了大多數，而利用此策略的原因是因為無法掌握題目中出現的 30.

(53) 字詞或數字資訊，故以此種方式作為解題的優先策略，而運算時所使用的不成熟計算技巧也讓運算過程無法自動化，致使較正常學生耗費更多時間。四、其他障礙學生之數學表現解文字題的第一步驟是要能解讀題目的含意，故需要能夠專注在閱讀題目之上，對於注意力缺陷過動症（Attention Deficit / Hyperactivity Disorder，簡稱ADHD）的學生而言無疑是一種負擔。文獻上提及，這群學生不但會在文字題發生錯誤，其計算速度和正確性也低於正常同儕（Ferkis & Zentall, 1993）。 Zentall等人（ 1994）研究七至十四歲共 121位國小正常學生和 107位 ADHD學生在閱讀、計算和數學文字題的表現差異，並欲進一步瞭解其障礙特徵是否會影響數學的概念和操作，於是針對兩組學生實施了限時的計算題（辨識符號、加法、減法、乘法）和六種題型的文字題（加法：物體；減法：物體、顏色；乘法：距離、買賣、容器），也觀察 ADHD學生在解題時的行為表現。結果顯示這群 ADHD學生在文字題和計算的整體正確率都低於正常學生，閱讀短文的速度也比正常學生慢，但高年級的閱讀能力較低年級為高，其文字題的表現也相對較好。 Ferkis 與 Zentall（ 1993）也指出注意力缺失症（ Attention deficit disorder）學生和ADHD學生的數學表現比正常同儕差，在「起始量未知」和「改變量未知」的數學文字題遭遇較大. 31.

(54) 的困難， ADHD學生和正常學生在數學文字題上的表現差異是肇因於閱讀理解較差的關係。宋慧敏（ 2004）曾以個案研究的方式探討 1位六歲亞斯柏格症學生（Asperger Syndrome）在加減法數學文字題的解題歷程，其結果顯示學生在大多數題目的讀題上並無困難，但對於「比較類」數學文字題中的關鍵字有理解上的問題，無法解釋「共」的意義或「單位」所代表的含意，但能夠依照對題意的瞭解，正確且彈性的選擇使用加減法來解題，運算過程多以心算與指算來輔助計算，解題後卻缺乏回顧題目或檢驗答案的監控歷程。綜上所述， ADHD 、 ADD 和 AS 學生在數學文字題上的表現低於正常學生，在識字上可能沒有問題，但是解題過程會受到閱讀理解能力的影響，雖然能夠依照題意要求選用適當之解題策略，使用的解題技巧較不符合同年齡學生所用之方式，自我監控的能力也較低。在計算部份則表現出具備基本的加減法運算能力，但計算後沒有重新回顧題目，檢視答案的合理性，故缺乏多元驗証答案的能力。五、結語由上可知，影響學生解數學文字題的重要因素包括智商和閱讀能力的高低，而且諸多研究也反映出語文能力對於解數學文字題具有極重要的影響，幾乎大部份的學生都因語意理解有問題而造成其在解題上的困難。在「比較類」數學文字題方面，由於學生無法掌握整體題意，所以 32.

(55) 依賴使用「關鍵字」策略來解題，但此種「固定對照模式」並不能解決所有的問題，在解題的表現上並不穩定。不論是智能障礙學生、注意力缺陷過動症學生、數學學習障礙學生或其他的身心障礙類學生，在數學文字題所遭遇的困難大致相同，這表示各類型身心障礙學生在數學科的學習上都有相同之需求，屬於跨障礙類別的補救教學，而這也是本研究欲針對身心障礙學生進行研究，但不選取單類身心障礙學生來進行探討的原因。. 第三節. 數線的概念與應用. 在我國的中小學數學教材中，數線的概念在國小課程中便已出現，但直到國中階段才有其專屬的課程單元，用以教導數線上的負數。在基礎課程部份，數線除可讓學生瞭解長度的概念外，亦可進一步用來教導較艱深的數學知識，如：二分逼近法、函數等等。以下分別就數線的定義與概念、負數的發展與教學、數線應用等各層面分別闡述之。一、數線的定義與概念數線是依據某特定規則將實數（real number）定義在一直線上，也就是能在這「直線上的點」找到與點相對應之「實數」，所以我們可以在數線上標示出不同類型的數，例如：只包括零和正整數的整數（whole numbers）、正有理數（ positive rationals）、整數（ integers）、有理 33.

(56) 數（ rationals ）和實數（ reals ）。數線有三項特徵：第一、數線上的長度是用來表示單位，且單位可反覆分割，每一單位長（ unit ）均相等；第二、數線屬於連續（ continuous）模式，數線上的任意兩數字間必定存在另一個數；第三、數線上必須標出數字符號，並定義兩個參考點（ reference points），才能據其所顯示出的條件找出其他點所代表的數值（黃怡娟，2004）。具體而言，最常見的數線標示方式為：先在數線上選擇一個任意點，設定其為 0（或稱原點），以此為數線的中心點；其次，在數線的右方選取第二個任意點，標示為 1，而 0與 1間的長度則當作一基本單位，以此基本單位向右方繼續增加命名，依序為 2、 3、 …等數；在 0的左側如同鏡子般的對應關係，依序標示為 -1、 -2…等等。如將小數套用在以上的基本規則，會發現小數具有以下幾點特性（National Council of Teachers of Mathematics, 1968）：（一）可將數字用三分法來區分 1.. 零（zero）：即0，不在負的或正的那一側，是正負數的起點。. 2.. 正整數（ positive integer）：此數在正的那一側，例如：1。. 3.. 負整數（ negative integer）：此數位於負的那一側，例如：-5。. 34.

(57) （二）數與數之間具有比較關係 1.. 任一數與 0比較時， 0會小於任一正整數，但會大於任一負整數。. 2.. 假使整數都有一相對的符號，負整數必定小於正整數，如：-5＜5。. 3.. 假使兩個正整數的第一個數字是相異的，數字小的數值較小，如： 39＜ 41；如果兩個整數都是負數，規則與正數剛好相反，數字大的反而較小，如： -44＜ 43。由上可知，數線是一條可以標示出實數的線，以 0為. 數線的中心點，0左右側的數字各自稱為負數和正數，0到 1的距離設定為基本單位。此外，任兩數都具備大小的比較關係，位於數線右邊的數較大，且兩數之間尚可作無限分割，找出其他數字。二、負數的發展與教學（一）負數概念的發展歷史上以負數為基礎的算術是發展的相當緩慢，雖然負數的出現在中國早期即有記載，但實際運用的部份則在現代記帳時才得以發展。記帳是第一個運用負數系統的方式，藉由阿拉伯數字的操作，瞭解目前資金的獲利情形，處於賺錢或賠錢的狀況（ Mukhopadhyay, Pesnick & Schauble, 1990）。由此可見，負數的運用已經發展了一 35.

(58) 段時間，不論是以前或現在都與日常生活相關經驗緊密結合。在文獻中顯示，正式教導負數和有號數（ signed numbers）的課程是在國中階段，雖然國小課程尚未出現負數單元，但是大部份的四、五年級學生其實已經具備基本的負數概念，知道賺錢與賠錢的差異，也知道負數是數線上 0左側的數字，甚至還能進行簡單的計算而沒有遭遇困難（ Hativa & Cohen, 1995 ）。 Mukhopadhyay 等人（ 1990）欲瞭解小學階段學生如何解決包含負數的故事題，以56位二至五年級的國小學生為對象，要求學生完成一題以 Sam為故事主角的數學題。已知條件是 Sam目前有財務危機，並以畜養家禽和種植農作物維生，第一階段的題目是要檢視學生在賺或賠錢的概念，第二階段則需完成 16題負數的加減法，其結果顯示學生知道 Sam處於欠錢的狀態，欠的越多即代表負數一直增加。由這個實驗的結果可以推知，小學階段的學生確實已經具備簡單的負數概念，只不過學生是以「欠錢」（ debt ）的概念來代表負數。而如果學生真的能夠在小學就學會負數的基本概念，到國中階段的負數及有號數學習應該不會遭遇太大的困難，但是事實上卻顯示出學生在此方面的學習還是有困難的，綜其原因包括：在早期算術教學時，學生會知道1000 大於 100，但是缺乏對數量大小的感覺，也就是無法深刻體會兩者之間的差距到底有多大；再者，當解決（ -1）（+2）題型時，對於兩個負號在此題中所表示的意義感到混亂；最後，學生也可能缺乏處理代數的概念和直覺 36.

(59) （Hativa & Cohen, 1995）。所以在學習負數的過程中可能會碰到以下幾個常見的問題（Voluntary Services Overseas, 1992）： 1.. 因為在真實世界中較少經歷到負數的經驗，所以即使知道 -10度可能就像冰箱的內部溫度一樣冷，但卻無法切深感受。. 2.. 當我們要寫下數字 15時很少寫出正號，但是 +15是一個新的概念，因此學生必須要開始熟悉此種呈現方式。. 3.. 記號（ notation ）可能會引起困擾，例如：需分辨「+」在何處是代表正值，何處要表示成運算符號。. 4.. 學生可能無法比較出-5和-8的大小。. 5.. 在處理正負數加減運算的某些題型時可能會發生較多的問題，例如：學生在計算（-3） -（-5）時，認為兩個負號就會得到一個正號，求得答案+8。. （二）負數的教學學習有號數的教學方法在文獻上共有兩種，一種稱之為「均衡模式」（ equilibrium model），另一種為「數線模式」（ number-line model ），以下為兩種模式之介紹（ Hativa & Cohen, 1995 ； Voluntary Services Overseas, 1992）。. 37.

(60) 1.. 「均衡模式」：指的是每一個數都有相對的另一個數，就好像白與黑、支票和鈔票、負面的和正面的事物等等，把「加法」界定為「結合」，而「加上負數」即是「減法」，所以在解決 5+（ -3）時，因為已經知道 -3是 3的相反數，所以「加上 -3」就等於減 3，因此可以將這個式子改成5-3，求得答案是2。. 2.. 「數線模式」：在數線上會同時呈現正數與負數，「加法」指的是「正數的結合」，「減法」指的是「往負向邊增加」，由此可知，計算 3-5時會先以 3為起始點，再往左邊移動 5格即為正解。依循此種方法，學生必須精熟的概念包括：加上一個正數或是減一個負數即是向右移動、減一個正數或是加上一個負數就是要向左移動。在上述兩種模式當中又以「數線模式」廣為學者推. 薦，認為此種模式是最適合教導學生學習負數的教學方法，除此之外，更有學者直接指出不同學齡階段的學習任務（Hativa & Cohen, 1995）。在中低年級階段的學生必須知道負數是位在 0的左側，並瞭解數線上每一個數字的確切位置，直到學生能說出一個負數都有其相對應的正數之後，給予任意兩個數字進行大小的比較，當學生都能精熟這些基本概念，學生開始大量練習a+b、b+a、a-b、b-a、a+b、 -b+a、 -a-b、 -b-a（ a、 b皆大於 0）等類型的加減運算。針對五至八年級的學生，先讓學生知道負數是正數的延伸，使他們能夠解決 x-y（ x＜ y且 x、 y皆為正數）的問 38.

(61) 題，再學習如何比較兩個負數的大小，最後進行負數的加減運算。三、數線的應用層面數線與正負數可謂數學學習的碁石，其應用範圍甚廣，可以用來教導基本的加減法計算、小數與分數的概念，更能進一步的運用在函數教學上，以下為各應用層面的說明。（一）基本加減法計算在小學階段，數線圖示法對於整數加減法學習扮演重要的角色，透過此種方式可瞭解整數加法的概念（ Ernest, 1985）。舉例而言，教導小學生解決 3+5=8這道題目時，常見的方法是使用數鈕釦的方式，一邊先數 3顆，另一邊再數5顆，最後合起來一起數，共可得到8顆；另一種較成熟的方式則是利用「數線表徵」（ number line representation）的方法，可能是徒手畫出一條線段，或是直接使用有刻度的直尺來代替。「數線表徵」的教學共可分成三種方式，下列以 3+5=8 為例分別說明之（ Baroody, Gannon, Berent & Ginsburg,. 1983 ； Education. Development. Center. of. University of Illinois, 1973；Ernest, 1985）： 1.. 全部數數（ counting all）：沿著數線移動，第一次移動 3格，第二次再移動 5格，最後到達 8的位置。隨著 39.