二元一次方程式迷思概念

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第二章 文獻探討

本研究主要目的是在探討國中七年級學生對於二元一次方程式圖形單元學 習錯誤類型及迷思概念，並透過補救教學進行澄清概念與檢核其學習成效。期望 透過此補救教學能夠澄清學生在學習二元一次方程式的相關概念，建立正確的觀 念，具體化方程式的樣貌，以利爾後學習函數之概念銜接。因此，本章文獻探討 分為三部分，第一節為「二元一次方程式迷思概念」，第二節為「二元一次方程 式教學方法」，第三節為「圖形化教學」，說明本研究補救教學之理念及探討各種 學習方法、實施流程、教學活動的原理與教學策略作為補救教學設計之參考。

第一節 二元一次方程式迷思概念

在二元一次方程式圖形的相關行動研究中，已有許多學者進行不盡相同的比 較及分析，本節針對部分學者在研究國中生在此單元中所歸納出的迷思概念類型 進行分析與整合，加以說明及提供實際學生錯誤題型之探討。後依據教育部九年 一貫課程能力指標之規定，將學生在學習二元一次方程式圖形單元所發現迷思概 念之錯誤類型作整體的區分，以下區分為三大點迷思類型，其又可細分為幾項概 念不清之說明如下：

一、二元一次方程式代數的迷思

（一）無法清楚了解二元一次方程式的定義和解的意義

二元一次方程式的意義即為一多項式中，由次方最高次為一次的兩 個未知數所組合而成，但學生缺乏二元一次方程式的完整概念，以至於容 易忽略其次數之意義而無法正確判斷代數式為二元一次方程式(簡銘賢，

2012)。

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（二）無法了解文字符號的意義

學生在學習數學的歷程，數字運算轉換到代數的文字符號（letters）

過程中，學生常把文字符號視為固定數，無法隨著文字符號轉換來調整自 己的解題策略，因此，在某些情境問題中學生無法把文字符號做自由的替 換。此外，當學生在解應用問題時，由於對題意不暸解導致無法自行解讀 文字符號所代表的意涵(陳彥廷、柳賢，2009)。

（三）不熟悉文字符號的運算規則

在未知數的概念延伸到一元一次方程式時，學生常會把文字符號視 為一個數字，當存在著兩個文字符號於方程式中，學生會自動地把兩個文 字符號或是數字與文字符號併在一起做處理，此外，在解二元一次聯立方 程式中，同一文字符號但前面係數不同時，因概念模糊導致學生會直接把 文字符號刪除，導致解題過程發生問題，造成環環相扣的錯誤結果(陳彥 廷、柳賀，2009 ; 簡銘賢，2012)。

二、直角坐標系的迷思

（一）不了解象限的正負號意義

由於學生不暸解象限上之符號規則，判斷可能是因為基本數線的正 向與負向概念模糊，造成無法透過數字之正、負號來判斷象限的位置。因 此，當學生畫出其方程式圖形後，無法正確判斷出其方程式未通過或有通 過哪些象限(李佩珊，2007 ; 陳秀湘，2011)。

（二）不了解點座標的概念

學生因直角坐標概念模糊不清，無法了解數對的意義，導致於看到 數字就直觀的使其併在一起看為一個點座標，造成描點上錯誤，如圖1。

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圖 1 點座標概念模糊 三、二元一次方程式幾何的迷思

（一）不了解二元一次方程式圖形為直線，反之亦同

游鯉謙(2004)的研究有提到，學生在學習二元一次方程式圖形觀念 時無法將其連結到直線概念。有時學生會利用代數式求出一解，繪製於直 角坐標系上卻會把同一點區分開來描點，如圖2。代表學生對於此一解在 直角坐標系上與此一方程式的意義有迷思概念，且對於求出兩點即可連成 一直線之概念較為模糊。

圖 2 方程式作圖概念模糊

（二）不了解直線上的點為二元一次方程式的解

學生在描繪二元一次方程式時，並不了解直線上任一點皆為其一解，

因此，當二元一次聯立方程式求解後，無法與畫出來的兩條線型圖形相交 的點做結合(李佩珊，2007 ; 游鯉謙，2004)。

（三）無法理解直線上的所有點皆為此方程式的解，常認為直線上僅有兩點 透過教師提問學生回答的過程中，發現學生在觀念上的迷思可能受到 教師的講述方式干擾，方程式的形成一直線之原因是有無限多組解（無限

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多個點）所連貫而成的，但為了提高作答效率以及教師教學便利，故教師 在學生還未內化後就大多主要以「兩點可連成一直線」來教導學生做圖，

判斷可能因為如此，造成學生爾後誤認為一條直線上只會有兩點的錯誤觀 念(戴文賓、邱守容，2000)。

（四）誤把二元一次方程式的係數當成點座標

在二元一次方程式單元上，學生較缺乏覺察直線方程式的未知數與係 數關係，誤把 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐中的係數當作方程式的解，如圖 3。學生會直 觀的把此方程式中的係數直接當成點座標來描繪直線圖形，造成答題錯 誤。

圖 3 方程式求解概念模糊

（五）無法畫出鉛直線或水平線的方程式圖形（如𝑥 = c 或 𝑏𝑦 = 𝑑）

學生對於特例直線圖形無法確實作圖，分析因素可能是學生對於從兩 軸中找出方程式的解概念不清楚，導致當方程式僅有一個未知數時，會不 知道其樣貌如何，甚至變得不知如何求解找點(李佩珊，2007 ; 游鯉謙，

2004)。較常發生的錯誤類型為學生缺乏鉛直線與水平線與其方程式之關 係，故會把𝑎𝑥 = c誤畫成水平，𝑏𝑦 = 𝑑 誤畫成鉛直(莊雅清，2006)，如圖 4。

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圖 4 直角坐標系橫軸縱軸混淆

如圖 5，當學生看到方程式僅有一個未知數，並未有正確的基本概 念找出任意兩點來符合此方程式的解，甚至把兩個方程式依照自己的方式 合成為一座標，故未依照題意在平面直角坐標上畫出兩條線型方程式，反 而以(0 , −3)與(4 , 0)兩座標作圖，然而，學生又於空白處寫出(−3 , 4)座標，

猜測應該處於未認真書寫的狀況，因不會寫或不願意努力思考推敲，故含 糊拼湊出從題目即可找出的數字來作答，此結果可發現學生在「一坐標為 此方程式之解」概念未正確建構，並且也未察覺到 𝑥 = −3 此二元一次方 程式中的 𝑦 項係數為0，相同地，𝑦 = 4 此方程式中的 𝑥 項係數為0，才會 導致解題錯誤(吳淑琳，2001 ; 李佩珊，2007 ; 游鯉謙，2004)。

圖 5 不了解題意造成的錯誤

（六）無法了解聯立方程式的解為兩直線的交點

當學生在做單純二元一次聯立方程式求解時，透過加減消去法或者代 入消去法皆可輕易求解，但因為不知道其解的意義，加上兩個未知數代入 方程式求解錯誤，造成無法順利在直線平面上畫出相對的線型圖形，使自

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己的作答面臨窘境(蕭中璽，2014 ; 簡銘賢，2012 ; 李佩珊，2007)，如圖 6。

圖 6 方程式中未知數求解錯誤