第四章 研究結果與討論
第一節 補救學生二元一次方程式圖形迷思概念分析
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第四章 研究結果與討論
本研究的主要目的有二：一是探討六位被篩選出來之八年級學生在補救教學 活動前對於「二元一次方程式圖形」單元的常見錯誤類型及迷思概念；二是探究 六位學生在補救教學活動的過程中之學習成效，以及學生於補救教學活動後的迷 思概念改變情形。期盼能澄清學生的迷思概念，增加學生的信心，以利往後課程 的學習，故最後研究者根據整個補救教學的歷程進行省思，分析補救教學是否具 有成效，提供予往後相關教學探究之參考。也因此，本章根據研究目的及研究待 答問題，分為四個部分說明本研究所獲得的結果並探究其中之發現。第一節主要 描述研究對象於教學前紙筆測驗結果，進而探討其對於「二元一次方程式圖形」
的相關迷思概念。第二節主要呈現「二元一次方程式圖形」補教教學之實施歷程，
以及研究對象的學習情形。第三節主要描述在補救教學活動後之評量結果分析，
進而探討研究對象對「二元一次方程式圖形」的迷思概念改變與相關概念保留之 情形。第四節主要根據此研究實施之「二元一次方程式圖形」補救教學活動進行 綜合的討論及省思。
第一節 補救學生二元一次方程式圖形迷思概念分析
本節以紙筆測驗做探討，實施二元一次方程式圖形迷思概念的對象作為研究 者服務學校的國中八年級學生，此試卷區分為三大部分，第一部分為直角坐標系，
共 2 題。第二部分為二元一次方程式代數概念，共 4 題。第三部分為二元一次方 程式幾何概念，共 9 題。先讓台東市兩所規模較大的國中進行預試，檢驗其試卷 的信度與效度，透過專家審題與研究者溝通，預試結果得以發現測驗結果良好，
並無需要增刪及修改的題目，最後給予研究者任教導師班學生進行正式施測，篩 選出接受補救教學者六人。也因此，本節將分兩個部分作探討，一是呈現導師班
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表 9
學生在「象限與正負號的意義」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
一、1-1 6 33
一、1-2 4 22
一、1-3 5 28
一、1-4 2 11
一、1-5 4 22
從表 7 顯示結果中，可發現這一大題的五小題之錯誤率皆低於 50%，顯示 大多數學生是清楚象限與直角坐標系中正負號的意義，並會依點座標來判斷其對 應之位置上，其中第一小題相較於其他題錯誤率偏高一些，此外，在第三小題也 有 28%的答錯率，藉由分析學生作答情形與分別詢問學生的過程中，教學者發現 少數學生對於負數的概念仍有模糊概念，例如：有學生把數線的正負號記反了，
故像(-3,5)會作答為第三象限，分析答錯原因可能為垂直 y 軸並不如水平 x 軸較 常見，故學生會把 y 軸的正負數混淆，做出錯誤的判斷。此外，其他學生加上過 程中可能太快作答並未加以驗證和思考，故寫出了錯誤的相對座標位置，此情形 透過教師試後的提點，答錯的學生會露出恍然大悟的神情並馬上更改為正確的答 案，代表學生其實是懂的，在此題意理解上也清楚知道題目之檢測目標，只是或 許受到一些因素干擾故影響到學生記憶的提取。
二、了解點座標的意義
此題型目的是在了解學生是否具備點座標的概念，在直角座標平面中第二題 有六組數對，主要在驗證學生是否會依其在直角坐標平面上標出正確的點座標。
此外，在二元一次方程式幾何部分的第三題中也有複合性題型檢測學生是否了解 座標軸的方程式和其符合的點座標關係，下表 10 分別說明學生在此題中的答錯 人數及錯誤率，加以敘述及分析學生的作答情形與答錯之學生可能發生的迷思概 念。
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題目：一、2-1~2-6
在坐標平面上標出下列各點的位置： (直角坐標平面圖略)
A( 0, 2) 、 B(−1, −3) 、 C(2, 3) 、 D(−3, 0) 、 E(1, −1) 、 F(−2, 4) 題目：三、3-1~3-2
在直角坐標平面上有六個點：A(−4 , 0)、B(0 , 4)、C(0 , 0)、D(7, 0)、
E(5, −5)、F(0 , −1)，則：
（1）以上六個點中，在 𝑦 軸上的有哪幾個點？
( 2 ) 請自己再找出一個也在 𝑦 軸上的點，並寫出來。
表 10
學生在「了解點座標的意義」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
一、2-1 4 22
一、2-2 5 28
一、2-3 3 17
一、2-4 3 17
一、2-5 4 22
一、2-6 4 22
三、3-1 7 39
三、3-2 3 17
根據上表 8 顯示結果分析，可以發現其兩大題共八小題中學生作答結果較可 觀，答錯率皆偏低，表示學生在點座標的概念理解上具備正確的先備觀念，其中 探討相對於其他題錯誤率較高的第三部分的第三大題，錯誤率達 39%，分析過程 中教學者察覺此作答迷思在於學生對於 y 軸與 x 軸的文字表示方式較模糊，無法 把其與方程式作為聯結，但部分學生幾乎都了解當點座標落在兩軸上時，代表其 座標中某一個數沒有上下或左右移動（即數字為 0），但混淆兩軸的位置關係，
導致有學生只要看到座標終有一者為 0 時就選為答案，或者記相反選擇 y 為 0 的 數對為答案造成答題錯誤，但研究者發現在接續的第二小題中，答錯率卻明顯低 於上一題，代表學生對於接收任意在 y 軸上寫出一點知指令是相較於概念清楚的。
此外，在標出點座標 B(−1, −3) 之答錯率 28%也相對於此大題其他小題偏高一
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些，表示學生可能對於兩者皆負數的數對仍有概念模糊或作答缺乏考慮之原因導 致作答錯誤。
三、了解二元一次方程式的意義
此題型目的是在檢測學生是否了解二元一次方程式的意義，在第二題中有六 組數對，驗證學生是否會依其在直角坐標平面上標出正確的點座標，下表 11 分 別說明學生在此題中的答錯人數及錯誤率，加以敘述及分析學生的作答情形與答 錯之學生可能發生的迷思概念。
題目：二、1
請問𝑥 = 2，𝑦 = 1 與 𝑥 = 3 ，𝑦 = 2 是否為 2𝑥 − 5𝑦 = 9 的解？請分別寫 出計算過程並說明理由。
表 11
學生在「了解二元一次方程式的意義」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、1 3 17
由上表 9 分析結果顯示，此部分因題意為直接告知學生兩者未知數所代換之 數字，故大部分學生可以很順利且正確的透過代入法求出等號左邊的數值，並加 以判斷是否等於右邊的數字，間接檢測學生是否具備等量公理概念。
四、文字符號的化簡
此題型為確認學生在七年級上學期學習的一元一次式單元與二元一次式單 元是否具備其先備知識，檢測學生對於未知數與數值統整的敏銳度，首先學生一 定需要了解未知數與未知數可以合併，常數與常數可以整理，並且知道未知數的 意義及概念，下表 12 分別說明學生在此題中的答錯人數及錯誤率，加以敘述及 分析學生的作答情形與答錯之學生可能發生的迷思概念。
題目：二、4
化簡下列式子：
(1) 3𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 =?
(2) 5𝑥 + 2𝑦 + 7 + 6𝑥 − 7𝑦 − 11 =?
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表 12
學生在「文字符號的化簡」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、4 2 11
由上表 10 結果分析，學生作答錯誤率較低，代表多數學生皆了解文字符號
（即未知數）的意義，並且會進行同類項整理與化簡，寫出正確的結果，少數學 生可能因為計算過程粗心導致答案錯誤，未清楚正負號需隨著後面數字一起移動，
及，例如：3𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 即會有學生直接 2+1 故常數項為 3，造成答題錯誤。
五、解二元一次聯立方程組
此題型的目的在檢測學生會利用代數法來求出 x 與 y 的解，並且能夠判斷無 解與無限多組解時的情況，下表 13 分別說明學生在此題中的答錯人數及錯誤率，
加以敘述及分析學生的作答情形與答錯之學生可能發生的迷思概念。
題目：三、7-3
求出二元一次聯立方程式 {3𝑥＋𝑦 = 4
3𝑥 − 𝑦 = 2 的解。
題目：三、8-3
求出二元一次聯立方程式 { 𝑥 + 𝑦 = 5
3𝑥 + 3𝑦 = 3 的解。
題目：三、9-3
求出二元一次聯立方程式 { 𝑥＋2𝑦 = 4
3𝑥 + 6𝑦 = 12 的解。
表 13
學生在「解二元一次聯立方程組」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
三、7-3 10 56
三、8-3 9 50
三、9-3 12 67
由上表 11 統計結果顯示，此三題的錯誤率皆高於 50%，表示需要進一步探 討學生的作答情形與迷思概念，研究者發現在代數法的解題過程中，可能加上此 單元的教學已經距離學生有點時間，導致學生一時忘記可以使用代入消去法以及
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加減消去法來求出二元一次聯立方程組的解，此部分主要檢測學生作答的技術層 面，其中，學生在幾何部分的第九題，即兩個方程式有無限多解時，研究者從學 生的計算過程中觀察出學生皆可以輕易發現兩者方程式相互為倍數關係，卻無法 意會其為重疊的狀況，意指兩條線是黏合故有無限多組交點（解），大部分學生 也因為忘記解題技巧而直接空白放棄作答。
六、應用問題列式
此題型的目的在於檢測學生的閱讀能力，並且透過題意的帶領把文字轉換成 未知數進而列出相對應的二元一次方程式，下表 14 分別說明學生在此題中的答 錯人數及錯誤率，加以敘述及分析學生的作答情形與答錯之學生可能發生的迷思 概念。
題目：二、2
雯雯到文具店買了 2 枝自動鉛筆和 3 個立可帶，若自動鉛筆一枝 x 元，立可 帶一個 y 元，請問她共用去多少錢？（請用二元一次式表示）
題目：二、3
真真和廷廷到文具店，真真買了 5 個修正帶和 3 枝原子筆，共花了 210 元 ; 廷廷則買了2 個修正帶和 3 枝原子筆，共花了 135 元。假設修正帶一個 x 元，原 子筆一枝
y 元，請依照題意列出二元一次聯立方程式。
表 14
學生在「應用問題列式」中，各試題之統計表（n=18）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、2 2 11
二、3 2 11
由上表 12 統計結果分析，此兩題答錯率 11%，代表學生在應用問題列式上 較具備正確的先備概念，了解題意並會依其列出正確的二元一次方程式，即探討 答錯的同學一位為資源班學生，另一位為被選為補救教學即轉學生，顯示其他同 學皆在此部分有正確的觀念。
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七、了解二元一次方程式圖形為直線（含作圖）
七、了解二元一次方程式圖形為直線（含作圖）