以圖形化教學澄清二元一次方程式之迷 思概念

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國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士學位論文

指導教授：鄭承昌 博士

以圖形化教學澄清二元一次方程式之迷 思概念

研究生：沈爭貞 撰

中華民國一○七年六月

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國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士學位論文

以圖形化教學澄清二元一次方程式之迷 思概念

研究生：沈爭貞 撰 指導教授：鄭承昌 博士

中華民國一○七年六月

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謝誌

回想當初就讀在職進修夜間部是被家人半說服半強迫後，懵懂的開始了白天 擔任代理教師晚上回歸學生兼考生的日子，兩年的時間，可能因為只有半個學生 身份的關係，日子過的挺快的，一轉眼以為有點難熬的兩年在一眨眼好像就也默 默的走到了最後，除了喜悅，心中更是充滿不捨及感謝。

首先，要特別感謝指導教授鄭承昌老師，儘管家庭及工作繁忙，仍不厭其煩 的與我們確認規律的 meeting 時間，除了指導論文內容更是我的心靈導師，提點 研究方向和協助解決盲點外也常常給予我信心和鼓勵，每次與老師聊到同樣喜愛 的馬拉松時都令我興奮，從老師身上常常可以挖掘到學術外的各種寶藏，獲益良 多，能讓您指導真是我的幸運。此外，也非常感謝每次 meeting 陪同在側的師母，

除了貼心的茶點外不時地給予關心的話語，讓有時遇到「碰壁期」而焦慮緊張的 我感到舒緩和平靜。感謝口委蔡東鐘老師、連廷嘉老師、王朱福老師，提供寶貴 的建議，使我察覺到自己論文研究上的不足並加以修正使其更完善，感謝這段期 間教導我以及給予解惑的教授們，讓我在各方面都成長許多。

再者，我要感謝雖然很少見面卻像家人般總是在最需要的時間給予溫暖、互 相打氣的同學們，多種身份互相轉換的我們有時會少了些動力或多了些猶疑，謝 謝我們最有領導力也一直給予我們這一班溫度的班代邢志強邢爸，忙碌中撥空聚 餐讓大家多了凝聚力，互相督促進度和協助解決困難。最難忘的是每週二、三晚 上的課程，各自下班配上筋疲力盡與厭世的臉匆忙進教室，卻總是充滿笑聲的下 課並一同走到停車場告別，也是種又愛又恨的回憶呢！終於，我們都撐過來了，

這兩年的路上感謝有你們。

最後，我要感謝我的家人，還好您們鼓舞我進修碩班夜間部，讓我有充實、

深刻與難忘的兩年，並默默地給予支持與鼓勵，家人的陪伴是我很大的動力，謝 謝你們深信我一定都能夠做的很好，平日工作住宿少回家，假日整日泡在咖啡廳 裡埋頭寫論文，從不過問我其他事情只盼我能專心完成自己的事情，無後顧之憂，

在最後半年的低潮期也給予我無微不至的照顧和關懷，我親愛的爸爸、媽媽，我 愛你們！我還要感謝我乖巧懂事的導師班孩子們，在我進行論文研究及撰寫過程 中表現的自主又穩重，讓我能少操點心。

我真的是個很幸運的人，在碩士學位的達標路上，要感謝的貴人實在太多太 多了，那就謝天吧！

爭貞 謹誌 中華民國 107 年 7 月

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以圖形化教學澄清二元一次方程式之迷 思概念

作者：沈爭貞

國立臺東大學教育學系

摘 要

本研究採行動研究法，針對數學科「二元一次方程式圖形」單元概念設計教 學活動，研究者透過自編前測試卷結果，診斷與篩選出台東縣某國中二年級一班 中在此單元學習有相當迷思概念的六位學生，作為研究對象進行補救教學，從教 學活動中探討及省思其教學成效，並提出相關教學上的建議。

研究者期盼能澄清學生學習「二元一次方程式圖形」單元相關的迷思概念，

增加學生學習數學的自信心，因此，依其研究目的與待答問題配合相關文獻的搜 集彙整，而獲得了以下的研究結果：

一、依據學生作答情形所發生的迷思概念與相關文獻探討不謀而合。共可歸納六 種常見的迷思概念，分別為「不了解文字符號的運算規則」、「不了解點座標 的概念」、「不了解二元一次方程式圖形為直線」、「不了解直線上的點為二元 一次方程式的解」、「不了解鉛直線或水平線的方程式圖形」、「不了解聯立方 程式的解為兩直線的交點」。

二、透過自編教學設計來澄清學生的迷思概念，教學者主要以直接教學法配合動 態幾何軟體 GeoGebra 輔助與實際操作的方式進行教學，其中以棋盤作為具 體物來讓學生藉由實物操作從具體到半具體了解其相關概念之建構，並從軟 體輔助提供其做中學機會，讓學生從半具體回歸於抽象之紙筆練習，從後測 結果可發現此教學活動對多數學生皆有成效，修正其迷思概念並建立正確觀 念，以利提升學生學習之成效與自信心，並提供教學者爾後教學之精進。

關鍵字：二元一次方程式圖形、迷思概念、澄清教學、錯誤類型、GeoGebra

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Teaching Students to Clarify the misconceptions about Two-variable Linear Equation Through Graphical

Representations Shen Cheng Chen

Abstract

The study was undertaken with action research. The purpose of the study was to develop teaching activities of two-variable linear equation graphic. The researcher chose six eighth-grade students in a junior high school in Taitung who had misconceptions about learning two-variable linear equation graphic through the result of the self-made protest and furthermore engaged the students in remedial teaching. The researcher inquired into and examine the effectiveness of remedial teaching, and then offered suggestions for math teaching.

The researcher excepted to clarify the students' misconceptions about learning two-variable linear equation graphic and furthermore increasing students' confidence in learning Mathematics. Thus, the researcher collected the literature reviews relevant to the purposes and research questions. The result is as following:

1. The misconceptions in students' answers correspond to the literature

reviews. There are six common misconceptions to be concluded, namely

unknown of algebra symbols operational rule, unknown of the

coordinates, unknown of the picture of linear equation with two variables

is a line, unknown of the point on the line is the solution to the

two-variable linear equation graphic, unknown of the equation graphic of

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vertical line and horizon line, and unknown of the answer to the simultaneous equations is the crossover point of two lines.

2. To clarify the students' misconceptions by self-made handout, the instructor implemented dynamic geometry software, GeoGebra in the classroom. Using the chessboard as an object to make students realize the concepts from concrete to half concrete objective. The software provides opportunities that students could learn by doing. Moreover, the students could be back in the paper exercises. The post-test result showed that the teaching method mended most of the students' misconceptions effectively and then helped them to build the correct concepts. It could enhance students learning outcomes and confidences; moreover, offer the instructors further teaching suggestions.

Keywords: two-variable linear equation graphic, misconceptions,

teaching clarifying, types of mistakes, GeoGebra

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目 次

摘 要... i

Abstract ... ii

目 次... iv

表 次... vi

圖 次... viii

第一章 緒論... 1

第一節 研究背景與動機 ... 1

第二節 研究目的與研究問題 ... 4

第三節 名詞釋義 ... 5

第四節 研究範圍與限制 ... 6

第二章 文獻探討... 9

第一節 二元一次方程式迷思概念 ... 9

第二節 二元一次方程式教學方法 ... 14

第三節 圖形化教學 ... 17

第三章 研究設計... 21

第一節 研究情境與研究對象 ... 21

第二節 研究架構 ... 24

第三節 研究工具 ... 27

第四節 教學規劃 ... 37

第五節 研究流程與步驟 ... 38

第四章 研究結果與討論 ... 41

第一節 補救學生二元一次方程式圖形迷思概念分析 ... 41

壹、 補救教學前的評量結果 ... 42

貳、 研究對象於補救教學前隱含之相關迷思概念 ... 54

第二節 二元一次方程式圖形補救教學之實施歷程 ... 65

壹、 教學內容 ... 66

貳、 教學過程 ... 67

第三節 評量分析研究對象之迷思概念改變情形 ... 86

第四節 二元一次方程式圖形補救教學綜合討論 ... 92

第五章 結論與建議 ... 99

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第一節 結論 ... 99

第二節 建議 ... 102

參考文獻... 104

壹、中文部分... 104

貳、外文部分... 106

附錄... 107

附錄 1 二元一次方程式圖形專家試題審閱 （修改前） ... 107

附錄 2 前測試題 ... 115

附錄 3 教師觀察紀錄表 ... 123

附錄 4 課堂學習講義及評量卷 ... 124

附錄 5 後測試題 ... 127

附錄 6 二元一次方程式圖形教案範例 ... 135

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表 次

表 1 六位學生的數學學習狀況及迷思概念分析 ... 22

表 2 研究工具總表 ... 27

表 3 「二元一次方程式圖形基本概念測驗試題」之雙向細目表 ... 29

表 4 專家效度名單 ... 30

表 5 專家審題修改對照表 ... 30

表 6 台東市兩所國中學生預試分析結果（總人數為 103 人） ... 35

表 7 教學規劃摘要表 ... 37

表 8 國中八年級某班學生二元一次方程式圖形的迷思概念測驗之結果分析 （N=18） ... 42

表 9 學生在「象限與正負號的意義」中，各試題之統計表（

N

表 10 學生在「了解點座標的意義」中，各試題之統計表（

N

表 11 學生在「了解二元一次方程式的意義」中，各試題之統計表（

N

表 12 學生在「文字符號的化簡」中，各試題之統計表（

N

表 13 學生在「解二元一次聯立方程組」中，各試題之統計表（

N

表 14 學生在「應用問題列式」中，各試題之統計表（

N

表 15 學生在「了解二元一次方程式圖形為直線（含作圖）」中，各試題之統計 表（

N

表 16 學生在「了解方程式的解與圖形關係」中，各試題之統計表（

N

表 17 學生在「了解二元一次聯立方程組的相互關係」中，各試題之統計表（

N

表 18 接受補救學生之前測分析表 ... 55

表 19 補救教學學生在「象限與正負號的意義」作答情形 ... 56

表 20 補救教學學生在「了解點座標的意義」作答情形 ... 57

表 21 補救教學學生在「了解二元一次方程式的定義」作答情形 ... 58

表 22 補救教學學生在「文字符號的化簡」作答情形 ... 59

表 23 補救教學學生在「解二元一次聯立方程組」作答情形 ... 59

表 24 補救教學學生在「應用問題列式」作答情形 ... 60

表 25 補救教學學生在「了解二元一次方程式圖形為直線(含作圖)」作答情形 61 表 26 補救教學學生在「了解方程式的解與圖形關係」作答情形 ... 63

表 27 補救教學學生在「了解二元一次方程組的相互關係」作答情形 ... 64

表 28 研究對象在補救教學前「二元一次方程式圖形」之相關迷思概念彙整 ... 65

表 29 教學活動設計表 ... 66

表 30 一、四個主題單元整體相同之教學方式 ... 69

表 31 接受補救學生之後測分析表 ... 86

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表 32 研究對象前、後測作答情形（總題數 35 題） ... 87

表 33 「象限與正負號的意義」前、後測答題情形 ... 88

表 34 「了解點座標的意義」前、後測答題情形 ... 88

表 35 「解二元一次聯立方程組」前、後測答題情形 ... 89

表 36 「了解二元一次方程式圖形為直線（含作圖）」前、後測答題情形 ... 90

表 37 「了解方程式的解與圖形關係」前、後測答題情形 ... 91

表 38 「了解二元一次聯立方程組的相互關係」前、後測答題情形 ... 91

表 39 澄清迷思概念之對應教學策略與教學流程表 ... 94

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圖 次

圖 1 點座標概念模糊 ... 11

圖 2 方程式作圖概念模糊 ... 11

圖 3 方程式求解概念模糊 ... 12

圖 4 直角坐標系橫軸縱軸混淆 ... 13

圖 5 不了解題意造成的錯誤 ... 13

圖 6 方程式中未知數求解錯誤 ... 14

圖 7 研究架構圖 ... 25

圖 8 二元一次方程式之教材地位分析圖 ... 28

圖 9 教師觀察記錄表 ... 36

圖 10 研究流程圖 ... 39

圖 11 澄清迷思概念之教學過程 ... 68

圖 12 澄清迷思概念之教學方式 ... 71

圖 13 利用實物操作及資訊融入教學 ... 73

圖 14 澄清點座標在兩軸及象限之迷思概念 ... 73

圖 15 澄清二元一次方程式解的意義之迷思概念 ... 75

圖 16 澄清聯立方程式求解之迷思概念 ... 76

圖 17 從點座標引導學生發現其方程式圖形為直線之歷程 ... 78

圖 18 澄清二元一次方程式圖形之迷思概念歷程 ... 79

圖 19 澄清特殊方程式圖形之迷思概念 ... 81

圖 20 澄清聯立方程組相互關係之迷思概念 ... 83

圖 21 澄清二元一次方程組解與圖形關係之迷思概念 ... 85

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第一章 緒論

本研究主要目的是在七年級的代數課程中，運用自我創新教學法融合代數教 學策略，改變教室的教師教學及學生學習模式，探討教師於圖形化教學設計與教 學實施的行動歷程，以及教師於教學中運用代數教學策略的過程及省思，並觀察 記錄學生於澄清教學中的課室表現。

本章共分成四小節，分別說明研究者進行本研究背景與動機、研究的目的與 擬定的待答問題、並對本研究提到的重要觀念作名詞釋義，最後敘述本研究的範 圍與限制。

第一節 研究背景與動機

面對傳播媒介、電腦與網路的普及，資訊時代隨之來臨，數位科技的使用已 是人們生活中不可或缺的存在。學習的方法和管道也在這資訊爆炸的環境中推陳 出新，打破了以往傳統式的制式化教學，利用多媒體融入來提昇學習成效和品質，

教育之領導者們也為順應這日益更新的時代潮流不斷地檢討、鋪設新的政策與指 標，因此，教育部於2001 年公布中小學資訊教育總藍圖，訂定教師在教學活動 中需運用20％之資訊融入時間(教育部，2001) ; 2003 年公布九年一貫課程綱要，

針對未單獨設科的資訊教育以「運用科技與資訊的能力」編列於十大基本能力中，

以強調將資訊科技融入各學習領域教學中(教育部，2003) ; 2008 年教育白皮書也 提出教師應當善用資訊科技以提升教學品質和效能，這項願景不僅代表著台灣未 來教育上發展多元數位教學資源的一大目標，也顯示教育工作者更加支持資訊融 入教學之重要性(教育部，2008)。

然而，拜科技進步所賜，可以從網路上搜尋到許多幫助教學的軟體作為提高 學習效率的工具，這樣的改變不僅縮短了現代人學習上花費的時間，也幫助了整

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個社會體系得以發覺出更多樣的相關可能性，人們會隨機應變從傳統與新穎的資 訊媒介中找尋屬於自己的最佳學習流程與問題解決機制，這也是為何教育部近年 來針對十二年國民基本教育改革，積極提倡與推動多項「活化教學」之原因，所 謂活化教學包含了有效教學、差異化教學、補救教學、多元評量、翻轉教室、澄 清教學、合作學習等之教學策略(教育部，2016)，這些新興教育教學典範及議題 之共通點皆以學生為主體，改善傳統完全由教師講授，學生聽講的教學方式，教 師給予學生更多的自我啟發空間，培養學生自主學習的能力，能針對科學化的教 學模式作有效的運用，以及評量的診斷與分析(何慧群、永井正武，2015)。

在國中的數學課程中，主要區分為代數與幾何兩部分。然而，在研究單元的 挑選上，此研究以二元一次方程式圖形單元作為澄清教學之行動研究探討。原因 有二，其一，由於二元一次方程式為代數之衍生概念，而圖形的呈現方式是屬於 幾何，因此，綜合兩部分之學習指標，此單元其實是從直角坐標平面到二元一次 方程式作為融合的範疇，對於學生所學過的代數及幾何的能力，在這單元可以一 窺究竟，故也可稱為國中數學課程中正式把數學從代數橫跨到幾何的重要銜接概 念。

其次，就教學效能以及學生學習狀況來探討，教學者在教學現場中發現學生 在學習二元一次聯立方程式圖形單元時常會受困於迷思概念或錯誤觀念，追溯問 題的根源覺察出較多數學生在二元一次方程式的意義與意涵中已出現迷茫的狀 態了，因為不了解所以只能用模仿和記憶來解題，但這般錯誤的學習方法非長久 之計，當遇到衍生之應用複合型問題時，就會全面陣亡，此外，當探討兩兩方程 式的相互關係，也就是二元一次聯立方程式時，學生也容易淪為解題機器，如果 請其解說為何解題的話幾乎無法清楚地表達，這樣的景況主要是因為學生對於方 程式圖形之概念過於抽象，所以未真正了解每一方程式所代表的圖形特性和樣貌，

又加上學生易較沒耐性及定性去思考迷思題型，所以教學者不斷地思考為了使學 生對於二元一次方程式做新舊知識連結以及圖形概念之釐清，要如何透過有效方 法來針對此單元對學生做澄清教學呢？

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研究者對於自我教學的批判與檢討省思從未停止，在教學知能和技巧上也不 斷精進自我及提升數學素養，有一本書提到：「擁有一顆勇於冒險的心，是所有 數學家的特質。」在教學現場上，教師與學生是互相學習教導的角色，儘管班上 只有一兩位學生提出較特殊或與多數不同的數學思維時，那就是個非常值得給予 大大讚賞的時機(胡守仁譯，2006)但許多時候，迫於配課的限制與教學進度的追 趕，教學理念與方式往往與教學效能相互拔河，開放多元及理想的教學方式常在 不知不覺中，敗給了盲目追求解題方法與解題速度的刻板教學模式。許多人會有 個迷思，對於孩子的學習，就是不斷的重複練習再練習，但失焦的是，學習者是 否真正了解與吸收，如果在未真正了解「自己在做什麼」的情況下，機械式地不 斷練習容易反而導致學習者失去探索知識的熱情甚至感到生活無趣、乏味，此外，

教學者也會感到無力與灰心(何琦瑜、賓靜蓀、張瀞文，2012)。

教育是門藝術，除了瞻前顧後，不斷的省思修正且對症下藥是教育工作者持 續在做的事情，為了讓學習者能順利融會貫通，教師需要針對學生的迷思概念，

運用不同的解題思維與活化的教學模式來改善教學的氣氛及學生學習回饋效能，

然而，隨著現今社會的變遷，以及多元化的教學媒材，教學者如何將多媒體資源 配合班級學生學習個性，設計出一套教學模式以澄清學生迷思觀念，亦為本研究 的研究動機。

綜合上述，在教學歷程中，每當教到二元一次聯立方程式圖形單元時，從學 生形成性以及診斷性評量的分析，得以窺探出學生在先前的概念就存在著不盡相 同的迷思與錯誤概念，因此，教學者欲透過整合先前相關單元迷思概念之研究錯 誤類型，與現階段班級內學生發生之錯誤概念進行媒合，省思及改變教學方法及 策略，突破以往「一隻粉筆走天下」之單一教學，以提升學生學習效率、增加學 習動機以及澄清學生學習上迷思概念作為目標，針對其個案進行補救教學，並利 用動態幾何軟體融入教學活動中，讓學生透過自己操作了解其原理與精神，也對 於方程式圖形之概念更加具體，進而融會貫通，改正迷思觀念，以利銜接未來函 數單元之概念。

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第二節 研究目的與研究問題

壹、研究目的

研究係對台東縣某國中一個八年級的學生進行測驗，了解學生在學習此單元 時，所產生的錯誤類型及其錯誤原因，並試圖從中找出學生學習上的迷思概念，

配合學校第八節行政編制課程，挑出有相當程度迷失概念之學生進行補救教學。

期望藉由這樣的補救教學，能了解學生在學習此單元時所產生的迷思及困難，及 經過補救教學釐清概念、鞏固概念後，學生學習上迷思概念改變的情形，以及在 補救教學實施的過程中，不斷進行教學反思，修正自我教學上的盲點，來增進自 我教學專業的能力。因此，以九年一貫訂定的能力指標做輔助，研究過程依據國 中七年級翰林版教科書第二冊二元一次方程式圖形單元為內容，設計一些符合接 受補救教學學生可接受程度的教學計劃及教學活動，例如學習單製作以及實際教 學演練，來幫助學生學習，期望透過扎實的補救教學鞏固學生的基本觀念，讓學 生從中找回成就感及自信心，逐漸地喜歡上數學課，願意與數學做朋友，進而提 升其數學基本能力。

故本研究的研究目的有以下兩點：

一、 瞭解國中生學習「二元一次方程式圖形」單元的錯誤類型及迷思概念。

二、 探討教師針對學生迷思概念，設計適當的教學活動進行澄清教學及教學成 效探討。

貳、研究問題

根據以上的研究動機及目的，本研究將提出以下兩點研究問題：

一、 國中生在學習二元一次方程式圖形單元常見錯誤類型有哪些？較常發生錯 誤類型的迷思概念有哪些呢？

二、 教師在指導學生此單元之迷思概念時，可以使用哪些教學方法和教學活動 來澄清教學以增進教學效能呢？

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第三節 名詞釋義

本研究主要研究如何透過創新教學提升學生在二元一次程式圖形單元的學 習成效，為了便於分析與討論，故在此先行界定相關名詞，說明如下：

一、動態幾何軟體

GeoGebra：

本研究採用動態幾何軟體 GeoGebra 6.0 版進行教學，依據教學活動循序漸 進的設計，為了增加學生的視覺化概念建構，本研究將於一開始的課程活動進行 教學，教師以課本內容設計GeoGebra 教學活動，採取由教師解說、學生實作的 方式進行教學。

二、二元一次方程式圖形：

本研究所提及的「二元一次方程式圖形」單元，是依據教育部所頒布「國民 中小學九年一貫數學學習課程綱要」國中數學第二冊第二章的課程範圍，其內容 包括：直角座標平面、二元一次方程式圖形及二元一次聯立方程式圖形。本研究 所提及的「二元一次方程式」，二元是指兩個不同的變數，一次是指此二變數的 最高次數為一次，形如 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 或 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 之方程式在直角坐標平面上 所畫出來的圖形，皆稱為二元一次方程式圖形。

三、迷思概念：

學生在學習一項新的概念時，可能會自己去建構獨自的思考模式和基模概念，

但與教學能力目標與教師教學目的不相同，故造成學生學習上錯誤率提升以及無 法貫通此概念之精神。

四、錯誤題型：

在數學解題過程中所產生的錯誤，依據所錯誤的關鍵性區分成幾種類型，就 稱之為錯誤題型。

五、補救教學：

本研究之補救教學主要是依據在教學現場中，學生對於學習「二元一次方程 式圖形」相關概念所遭遇的困難，經由前測與訪談蒐集學生之迷思概念，針對問

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題進而設計適合之相關補救教學活動，共有3 個活動，以三個大方向為主軸進行 相對應之教學活動，共歷時七節課，每節課為45 分鐘。

第四節 研究範圍與限制

本研究的研究範圍以研究對象、研究設計與教材內容三個項目為主，研究限制則 以人力考量、時間因素逐一說明：

壹、研究範圍

一、研究對象

研究對象先針對台東縣某國中的一班八年級共十八位學生作為研究對象，所 指學生為已學過二元一次方程式圖形單元。為探討學生學習二元一次方程式圖形 的錯誤類型與迷失概念，再根據自編測驗題型分析及雙向細目表結果，從中選出 在二元一次方程式圖形的學習上有相當程度迷失概念的七位學生，作為補救教學 對象。

二、研究設計

此研究採行動研究法，先分析接受補救教學學生的迷思概念，再根據其迷思 概念設計教學計畫，來實施補救教學，了解補救教學的實施是否有成效。

三、教材內容

以教育部公佈的數學科補救教學為主，以國中數學翰林版二元一次方程式圖 形單元為教材內容，教材共分成三個概念，分別為二元一次方程式圖形的運算及 應用題。

貳、研究限制

一、人力考量

本研究的樣本採用研究者所服務的學校，以台東縣某國中的一班八年級共十 八位學生作為研究對象，針對國中二元一次方程式圖形單元為範圍，探討學生學

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習此單元的錯誤及迷失概念，以及找出接受補救教學的學生。因考量研究者本身 人力有限，研究對象僅以七位學生為補救教學的對象，又因受限於研究者任教於 某偏鄉學校，因此在結果的引用較只能推論到與研究樣本背景相似的學生，故不 宜過度引用。

一、時間因素

本研究課程僅以國中數學翰林版二元一次方程式圖形單元為教材內容，探討 學生迷思概念。因受限於研究者的時間因素，無法針對學生的迷思概念進行循環 式的教學歷程，只能以單次的教學歷程進行教學行動研究。

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第二章 文獻探討

本研究主要目的是在探討國中七年級學生對於二元一次方程式圖形單元學 習錯誤類型及迷思概念，並透過補救教學進行澄清概念與檢核其學習成效。期望 透過此補救教學能夠澄清學生在學習二元一次方程式的相關概念，建立正確的觀 念，具體化方程式的樣貌，以利爾後學習函數之概念銜接。因此，本章文獻探討 分為三部分，第一節為「二元一次方程式迷思概念」，第二節為「二元一次方程 式教學方法」，第三節為「圖形化教學」，說明本研究補救教學之理念及探討各種 學習方法、實施流程、教學活動的原理與教學策略作為補救教學設計之參考。

第一節 二元一次方程式迷思概念

在二元一次方程式圖形的相關行動研究中，已有許多學者進行不盡相同的比 較及分析，本節針對部分學者在研究國中生在此單元中所歸納出的迷思概念類型 進行分析與整合，加以說明及提供實際學生錯誤題型之探討。後依據教育部九年 一貫課程能力指標之規定，將學生在學習二元一次方程式圖形單元所發現迷思概 念之錯誤類型作整體的區分，以下區分為三大點迷思類型，其又可細分為幾項概 念不清之說明如下：

一、二元一次方程式代數的迷思

（一）無法清楚了解二元一次方程式的定義和解的意義

二元一次方程式的意義即為一多項式中，由次方最高次為一次的兩 個未知數所組合而成，但學生缺乏二元一次方程式的完整概念，以至於容 易忽略其次數之意義而無法正確判斷代數式為二元一次方程式(簡銘賢，

2012)。

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（二）無法了解文字符號的意義

學生在學習數學的歷程，數字運算轉換到代數的文字符號（letters）

過程中，學生常把文字符號視為固定數，無法隨著文字符號轉換來調整自 己的解題策略，因此，在某些情境問題中學生無法把文字符號做自由的替 換。此外，當學生在解應用問題時，由於對題意不暸解導致無法自行解讀 文字符號所代表的意涵(陳彥廷、柳賢，2009)。

（三）不熟悉文字符號的運算規則

在未知數的概念延伸到一元一次方程式時，學生常會把文字符號視 為一個數字，當存在著兩個文字符號於方程式中，學生會自動地把兩個文 字符號或是數字與文字符號併在一起做處理，此外，在解二元一次聯立方 程式中，同一文字符號但前面係數不同時，因概念模糊導致學生會直接把 文字符號刪除，導致解題過程發生問題，造成環環相扣的錯誤結果(陳彥 廷、柳賀，2009 ; 簡銘賢，2012)。

二、直角坐標系的迷思

（一）不了解象限的正負號意義

由於學生不暸解象限上之符號規則，判斷可能是因為基本數線的正 向與負向概念模糊，造成無法透過數字之正、負號來判斷象限的位置。因 此，當學生畫出其方程式圖形後，無法正確判斷出其方程式未通過或有通 過哪些象限(李佩珊，2007 ; 陳秀湘，2011)。

（二）不了解點座標的概念

學生因直角坐標概念模糊不清，無法了解數對的意義，導致於看到 數字就直觀的使其併在一起看為一個點座標，造成描點上錯誤，如圖1。

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圖 1 點座標概念模糊 三、二元一次方程式幾何的迷思

（一）不了解二元一次方程式圖形為直線，反之亦同

游鯉謙(2004)的研究有提到，學生在學習二元一次方程式圖形觀念 時無法將其連結到直線概念。有時學生會利用代數式求出一解，繪製於直 角坐標系上卻會把同一點區分開來描點，如圖2。代表學生對於此一解在 直角坐標系上與此一方程式的意義有迷思概念，且對於求出兩點即可連成 一直線之概念較為模糊。

圖 2 方程式作圖概念模糊

（二）不了解直線上的點為二元一次方程式的解

學生在描繪二元一次方程式時，並不了解直線上任一點皆為其一解，

因此，當二元一次聯立方程式求解後，無法與畫出來的兩條線型圖形相交 的點做結合(李佩珊，2007 ; 游鯉謙，2004)。

（三）無法理解直線上的所有點皆為此方程式的解，常認為直線上僅有兩點 透過教師提問學生回答的過程中，發現學生在觀念上的迷思可能受到 教師的講述方式干擾，方程式的形成一直線之原因是有無限多組解（無限

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多個點）所連貫而成的，但為了提高作答效率以及教師教學便利，故教師 在學生還未內化後就大多主要以「兩點可連成一直線」來教導學生做圖，

判斷可能因為如此，造成學生爾後誤認為一條直線上只會有兩點的錯誤觀 念(戴文賓、邱守容，2000)。

（四）誤把二元一次方程式的係數當成點座標

在二元一次方程式單元上，學生較缺乏覺察直線方程式的未知數與係 數關係，誤把 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐中的係數當作方程式的解，如圖 3。學生會直 觀的把此方程式中的係數直接當成點座標來描繪直線圖形，造成答題錯 誤。

圖 3 方程式求解概念模糊

（五）無法畫出鉛直線或水平線的方程式圖形（如𝑥 = c 或 𝑏𝑦 = 𝑑）

學生對於特例直線圖形無法確實作圖，分析因素可能是學生對於從兩 軸中找出方程式的解概念不清楚，導致當方程式僅有一個未知數時，會不 知道其樣貌如何，甚至變得不知如何求解找點(李佩珊，2007 ; 游鯉謙，

2004)。較常發生的錯誤類型為學生缺乏鉛直線與水平線與其方程式之關 係，故會把𝑎𝑥 = c誤畫成水平，𝑏𝑦 = 𝑑 誤畫成鉛直(莊雅清，2006)，如圖 4。

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圖 4 直角坐標系橫軸縱軸混淆

如圖 5，當學生看到方程式僅有一個未知數，並未有正確的基本概 念找出任意兩點來符合此方程式的解，甚至把兩個方程式依照自己的方式 合成為一座標，故未依照題意在平面直角坐標上畫出兩條線型方程式，反 而以(0 , −3)與(4 , 0)兩座標作圖，然而，學生又於空白處寫出(−3 , 4)座標，

猜測應該處於未認真書寫的狀況，因不會寫或不願意努力思考推敲，故含 糊拼湊出從題目即可找出的數字來作答，此結果可發現學生在「一坐標為 此方程式之解」概念未正確建構，並且也未察覺到 𝑥 = −3 此二元一次方 程式中的 𝑦 項係數為0，相同地，𝑦 = 4 此方程式中的 𝑥 項係數為0，才會 導致解題錯誤(吳淑琳，2001 ; 李佩珊，2007 ; 游鯉謙，2004)。

圖 5 不了解題意造成的錯誤

（六）無法了解聯立方程式的解為兩直線的交點

當學生在做單純二元一次聯立方程式求解時，透過加減消去法或者代 入消去法皆可輕易求解，但因為不知道其解的意義，加上兩個未知數代入 方程式求解錯誤，造成無法順利在直線平面上畫出相對的線型圖形，使自

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己的作答面臨窘境(蕭中璽，2014 ; 簡銘賢，2012 ; 李佩珊，2007)，如圖 6。

圖 6 方程式中未知數求解錯誤

第二節 二元一次方程式教學方法

根據許多學習研究結果顯示，學習數學之動機與學習成效有顯著的關聯性，

教學者若能於教學活動進行中透過靈活且正確的教學策略，來激發學生的內在動 機，進而引導且鼓勵學習者增進數學邏輯的思考，當學生有意願且自發性地學習，

即連動著學習氛圍及成效將會有相當的提升(張家偉，2012)。本研究目的即探討 學生學習二元一次方程式圖形單元所產生的迷思概念，配合教育政策所規範的補 救教學課程，教學者如何從中透過教學方式的改變與教學設計的創新來作為澄清 教學的行動研究。茲以彙整相關有效的教學方法及多元媒體工具之使用作為探討，

並針對研究者本身教學方法及效率做檢討省思，進而改變自我教學，以學生為主 體來設計本研究之澄清教學設計的建構與方法。以下針對此研究二元一次方程式 圖形單元歸納出以下三種教學方法，分別說明其意義與重要性：

一、 精熟教學法：

在教育現場中，教學者應當先確立合適明確的學習目標，並引發學習者的

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學習動機，引導學生朝向正確的學習目標邁進(林寶山，1998)。精熟學習（mastery learning）乃在於為使學習者成功達到「教」與「學」所提供的方法，藉由小步 驟的教學、充足的練習機會和寬裕的學習時間進行補救教學，進而讓學生在每一 步學習目標上達到精熟(毛連溫、陳麗華，1987 ; Block，1971 ; Guskey，1997）。

Carroll(1963 ; 1985)及 Bloom(1976 ; 1981)等多位教育專家發展出透過精熟 教學法來改善學生的學習成效，以區分學生的學習速度與成就水準，提出學生具 體的學習程度差異的關係式，並明確表達了所謂「精熟」達到與否的檢核標準，

Bloom(1984)也指出，學習工作必須發生在學生身上，學習才是有意義的。因此，

精熟教學和行為學派的理論一致，強調明確的行為目標、經常性的評量學生的表 現、有系統的使用回饋和增強以及有組織的教學內容。

有鑑於此，此研究教學單元為二元一次方程式圖形，學生的迷思概念可能 追朔到二元一次方程式的意義不了解，或甚至下修到一元一次方程式代數的敏感 度不足而導致此章節需要重新澄清與補救，故教師在教學中為使學生的學習達到 熟練目標，貫通知識的脈絡，除了給予學生適當的熟練時間以外，需要先將教學 內容分成連續性之小單元，精熟教學成功之要素在於進行補救教學策略。在形成 性測試後，藉由教師或或挑選出來的精熟小老師，針對未達精熟者之個別缺失，

進行相關之補救教學活動以發揮效果。

二、 合作學習教學法：

合作學習是一種有系統、有架構的學習方法，依照學生能力、性別、個性 等因素，將其分配到一異質小組中，教師透過各種途徑和方式，鼓勵各組成員間 彼此相互協助、支持與合作，共同討論和澄清想法、探究思考、推理及解決問題，

以提升個人的學習成效，並同時達到團體目標(黃政傑，1992 ; 黃政傑、吳俊憲，

2006 ; Slavin，1985)。

此種教學方法自1970年開始，許多教育學者因為教育環境注重競爭的氛圍，

而開始進行解決策略及探討的一系列研究，因此合作學習備受矚目而發展出許多 方法，較常見的方法如學生小組成就區分法 (Student's Team Achievement

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Division[STAD])、小組遊戲競賽法 (Team-Games-Tournament[TGT])、共同學習 法(Leaning Together[LT])等等(李榮通，2006 ; 教育部分組合作學習手冊，

2013)。眾而觀之其精神在異質性分組後的合作學習中，每位學生不只對自己的 學習負責，更要對其他組員的學習情況擔任共同之責任(黃政傑、林佩璇，1996)。

故張添洲(2000)把為何要進行合作學習的理由分成以下兩種：1. 學習者可以藉 由其方法促進相互合作能力，也可訓練學生適應未來社會上合作的需要。2. 學 習者可以藉由其方法提升全體學生學業上之學習成效，進而培養健康之心態，互 相包容鼓勵。

合作學習的團體運作裡，學生藉由小組成員共同達成任務的互動過程中，

相互刺激和鼓勵，達到彼此概念的澄清與建構，與前述精熟教學較為不同的在於，

教師是只為了學生提供協調與諮詢而存在的，小組成員中彼此溝通與分享資訊是 主要教學活動佔較重之比例(郭英彥，2006)。因此，研究者在施行教學活動流程 時，僅會於部分堂課中進行合作教學，針對此研究對象的個案學習情況，研究者 將進行異質性分組，配合單元活動之進行，鼓勵學生相互指導與討論，教師從中 進行協助與補充。

三、資訊科技融入教學法：

徐新逸與吳佩謹(2002)的研究提到，資訊科技融入教學就是教師配合所規劃 的授課內容與教學策略之需求，透過多媒體網路的特性，以資訊科技做為一種教 學工具進行教學活動。Dias(1999)的研究也提到，教學者在教學活動過程中應用 及整合資訊科技，以支持與延伸課程學習目標，使學生能進行有意義之學習活動。

隨著資訊爆炸的時代來臨，教學不僅以板書書寫為主而已，應當善用教具輔助課 程教學，將多媒體資源轉變成最佳的教學輔助工具，配合實際的教學現場之需要，

發展出適合學習者學習的課堂教學環境(林建任，2002)，因此，資訊科技融入教 學之目的是期望藉由多媒體與學習領域的整合，進以提升學生的學習成效，同時，

學生的資訊素養也相對得以增強，故其教學法欲讓學習者在學習領域及資訊知能 上能相輔相成(邱瓊慧，2002)。Yang 與 Tsai(2010)的研究結果顯示，在數學課

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堂中將資訊科技融入其教學中，能提升學生的學習動機與學習表現。這項改變與 以往數學課的差別在於，學生只能完全聆聽教師的講述而未實際進行實物的操作，

因此，當學生被授權於課堂上使用電腦時，可以發現學生在探索與討論數學的表 現及學習氛圍中是相當積極的。

綜合上述，資訊科技融入教學為教師運用多媒體的技術於教學活動上，目 的在於培養學生「運用科技與資訊」的能力與「主動探索與研究」的精神，讓學 生能「獨立思考與解決問題」，並完成「生涯規劃與終身學習」。資訊科技融入 教學不只是教師會使用電腦而已，而是能夠藉由多媒體資源有效地協助學習者達 到教學目標。將資訊科技中可擷取之優勢資源與媒體，平順且適切地置入各科教 學過程的環節中，以多元的教學方式改善傳統教學模式，提升學生學習意願進而 主動學習(徐新逸、林燕珍，2003)。針對此研究二元一次方程式圖形之單元，根 據學習者迷思概念統整分析，學生對於圖形的概念缺乏實際操作的圖形具體化，

因此，研究者欲藉由資訊科技融入教學運用在其教學活動中，從說明多媒體輔助 資源到透過實際帶領學生於資訊教室進行操作，讓學生能夠從難以想像的數學概 念中，透過電腦視覺化輔助，釐清並加深數學概念。

第三節 圖形化教學

在學習數學的過程中，為了追朔長久數學精神及歷史，擁有過多文字上的 表達，是較為抽象和難以理解的，因此，在教與學的策略中，會利用圖形化來釐 清某些學習目標和意義，展鵬(2006)在其著作《資訊教育綜合教材》中指出在人 類的學習過程中，最先也是從使用圖像來表示出自己的感受或所見事物，藉由衍 伸出文字的書寫、口語的表達，才有所改變。學校教育從學齡期開始，也是大量 使用實體教具，讓學生透過外形的圖像記憶，來理解數字的奧妙，進而推演出以 文字性為主的情境式問題(陳秀湘，2011)。此研究單元以二元一次方程式圖形為 主題，教導學生從二元一次方程式的概念中理解其圖象表徵的意義，透過自己動

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手畫來對應抽象文字的精神，進而解決問題，然而每位學習者的認知發展與學習 程度不盡相同，如何在教學活動中藉由有效得教學策略給予學生幫助，以釐清及 建立正確觀念，此亦為研究者欲探討之目的。以下將介紹傳統手繪教學方法與動 態幾何軟體(GeoGebra)兩種教學方法，進行探討與分析優缺點：

一、傳統手繪教學法：

在學習數學的歷程中，為了提高學習效率與效能，教學者會藉由實際操作 增加學習者對於抽象概念轉為具體之經驗，從中得到較深刻的知識建立，在直角 坐標系章節中，以往教師會藉由讓學生實際從橫軸與縱軸的描點，到知其多個座 標可連成一條直線的反覆練習中，達到此章節之學習目標。主要實務操作之工具 為紙、筆和直尺，經過教師示範，學生仿寫的方式，進而讓學生精熟相關圖形之 描繪。

二、動態幾何軟體(GeoGebra)：

如何利用現代資訊科技融入課堂以幫助學生的學習，一直是許多教育專家 努力的方向。教材以課堂授課為導向的呈現方式，除了傳統的黑板、粉筆外，利 用多媒體的結合，能帶給學習者不同的視覺刺激與啟發(洪榮忠，2008)。陳秀湘 (2011)也提過教師在進行教學歷程中，透過資訊科技工具來進行補救教學時，發 現學生上課態度及狀態會較為活躍與積極，且經由實務操作及圖形的觀察，部分 學生可自行發現其差異與關聯性，在圖形表徵以及符號表徵之變換較為進步。此 外，透過教師適時的介入及引導思考，可以協助學習者彙整自我想法、釐清迷思 概念與建立正確觀念，提升其學習表現。

GeoGebra 是一套針對中學教育以上所設計的動態數學軟體，它包含了原本 動態幾何尺規作圖、幾何轉化等功能，還結合了函數繪圖、代數運算與基本微積 分功能，是一套線上免費和多平台之動態繪圖軟體，源於美國佛羅里達州雅特蘭 大學的數學專家 Markus Hohenwarter 所設計的，榮獲過歐洲多項軟體大獎。

GeoGebra 軟體之名稱可拆解為 Geo+Gebra，是結合了幾何(Geometry)以及代數 (Algebra)之教育軟體，使用者可以用點、向量、線段、直線和函數等來作圖，

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並隨後動態修改。除此之外，GeoGebra 也有處理變數的能力（不論變數是一個 數字、角度、向量或點座標）。若於該軟體的幾何視窗(繪圖區)畫出圓或直線，

代數視窗就會顯示所對應之方程式，反之，若是於指令列輸入代數方程式，幾何 視窗便會出現其圖形。該軟體的操作方式與 GSP(Geometry Sketch Pad)有些類 似，並且此軟體是以 Java 程式所設計的，能將所描繪出的圖形儲存成網頁畫面，

且可以於網頁界面上直接操作，目前該軟體也發展了多國語言轉換（30 多國），

以及跨平台(Windows、Mac、 Linux)的數學繪圖軟體，目前其繪圖功能仍然持續 加強中(Hohenwarter, Hohenwarter & Lavicza, 2008)。

在中學的課程中，教師能利用此動態軟體來輔助學生學習於教授基本方程式 概念以及意義後，透過找出兩點是否為某方程式其中的解，讓學生從一方程式為 一線型圖形之概念乃源於其方程式無限多組解中所建構而成的，因此，當學生有 了直角坐標系基本概念後，教師透過投螢幕展現給學生並介紹動態幾何繪圖軟體 (GeoGebra)，在舉例示範操作給學生看，並講解介面的呈現方式以及隨機發問讓 學生來回答幾何視窗與代數視窗所發展圖形之關係。如果時間允許，教師也可以 直接挑選學生到台前操作，甚至透過借用學校電腦資訊教室或是使用班級平板等 硬體設備，讓學生每個人皆可透過實務操作來增加圖形視覺化的刺激，並加深對 於代數方程式轉換成圖形之關係，以提升建構知識的效率與效能。

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第三章 研究設計

本研究目的在探討國中七年級學生學習二元一次方程式圖形單元中出現的 迷思概念情形，分析學生的錯誤題型與錯誤的原因，挑選出在學習此單元中具有 迷思概念與錯誤觀念的學生，並根據學生的迷思觀念設計有效的教學活動，進行 補救教學。期望能幫助學生在二元一次方程式圖形上澄清迷思概念並建立正確觀 念，成功達到單元學習之目標。

本研究透過參考相關文獻資料，了解及彙整學生學習二元一次方程式的迷思 概念後，透過自我教學的改變和創新，運用資訊科技融入及小組合作等方式，加 深學生對方程式的具體化及視覺化，並且為了能更深入了解學生的學習歷程與改 善學習數學的品質，研究者透過觀察、訪談、文件資料等方式搜集資料，採用行 動研究為本研究方法，並藉由紀錄、評量、訪談與省思等過程，以質性之方法進 行分析。本章共分成研究對象與研究情境、研究架構、研究工具（資料搜集與分 析）、教學規劃及研究流程與步驟五小節來做說明。

第一節 研究情境與研究對象

本節針對研究者的教學背景說明研究情境，並介紹其研究對象，即針對數學特定 單元中，篩選出有相當的迷思概念且參與補救教學之學生。

一、研究情境

研究者畢業於某私立大學應用統計學系，修習完教育學程後順利考取教師資 格，仍再努力考取正式教師，目前於台東縣某國民中學擔任數學科代理代課教師 兼導師，專心用心致力於教學工作上。以往教學模式大都是以傳統講述法進行，

藉由隨機挑選學生上台演練掌握學生的學習狀況。但在教授二元一次方程式圖形 單元中，發現每一屆所佔較多比例之學生幾乎在從此代數橫跨到幾何重要指標單

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元學習中，產生許多瓶頸，造成每當在講授此單元時，一定要重新複習與回顧直 角坐標系以及二元一次聯立方程式解題意義等概念，在提問的過程中也發現少數 學生無法把方程式做圖形化的解釋和聯想，原因除了先備觀念代數的基本運算能 力薄弱外，主要是對於圖形缺乏具體感，故無法理解圖形是從何而來。因此，研 究者為了嘗試與以往不同的教學方法，也讓學生體驗不同的教學方式，在教學活 動上安排利用融入動態幾何軟體（GeoGebra）並允許學生自行操作電腦回答問 題，從自我摸索中得到知識，提升學習動機也可以學以致用，藉由前後測觀察此 自我創新之教學成效，達到澄清教學與補救教學之目的。

二、研究對象

（一）如何篩選出接受補救教學的對象

本研究先以研究者所服務學校八年級導師班的學生為研究對象，總人數為 18 人，透過研究者由二元一次方程式圖形前測試題的施測（題目區分為三大部 分共 15 大題，其中因複合題型故包含小題總共有 35 題，設定滿分為 35 分），

挑選出答錯率高於 53％的學生共計 8 人，研究者參酌學生平時上課、學習狀況 及施測表現，排除資源班的學生以及平時整體表現良好，但施測時因某些因素未 達應有水準者，總得分在 1~20 分之間者，最後挑選了六位學生作為補救教學的 對象。

（二）學生的學習狀況以及迷思概念分析

這六位學生中有一位女生，另五位為男生，下列表 1 乃根據個別的數學學習 狀況以及透過前測試題書寫情況分析其可能迷思概念加以說明。

表 1

六位學生的數學學習狀況及迷思概念分析

學生 性別 學習態度 迷思概念分析 前測分數

S1 女

數學程度低落

，但上課認真，

學習動機尚可。

1. 不了解象限與坐標軸的定義。

2. 不了解二元一次方程式的圖 形為直線。

3. 無法利用代數法找出方程式

15 分

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的解。

4. 無法理解坐標軸的方程式。

5. 無法區分點座標與方程式的 差異。

6. 無法畫出二元一次方程式與 特殊方程式的圖形。

7. 無法找出聯立方程式的解。

8. 不了解聯立方程式的解與圖 形之相互關係。

S2 男

數學程度低落

，上課常恍神，

缺乏信心，但 肯學習。

1. 不了解象限的定義。

2. 無法利用代數法來找出其方 程式的解。

3. 無法畫出二元一次方程式與 特殊方程式的圖形。

4. 無法找出聯立方程式的解。

5. 不了解聯立方程式的解與圖 形之相互關係。

18 分

S3 男

數學程度相較 為低落，上課 常放空恍神，

缺乏信心，但 肯學習。

1. 不了解象限與坐標軸的定義。

2. 無法正確在直角坐標平面上 描繪出點座標。

3. 無法利用代數法找出方程式 的解。

4. 無法依題意正確列出二元一 次方程式。

5. 不了解二元一次方程式的圖 形為直線。

6. 無法從方程式中找出任意解。

7. 無法畫出二元一次方程式與 特殊方程式的圖形。

8. 無法找出聯立方程式的解。

9. 不了解聯立方程式的解與圖 形之相互關係。

1 分

S4 男

數學程度尚可，

但上課常放空，

缺乏自信，但肯 學習，不懂會主 動發問。

1. 不了解象限與坐標軸的定義。

2. 無法正確在直角坐標平面上 描繪出點座標。

3. 無法利用代數法來找出其方 程式的解。

4. 無法從方程式中找出任意解。

13 分

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5. 無法畫出二元一次方程式與 特殊方程式的圖形。

6. 無法找出聯立方程式的解。

7. 不了解聯立方程式的解與圖 形之相互關係。

S5 男

數學程度尚可，

上課偶爾分心，

但學習意願高，

理解力尚可。

1. 不了解象限的定義。

2. 不了解二元一次方程式的圖 形為直線。

3. 無法畫出二元一次方程式的 圖形。

4. 無法理解坐標軸的方程式。

5. 無法找出聯立方程式的解。

6. 不了解聯立方程式的解與圖 形之相互關係。

18 分

S6 男

數學程度尚可，

上課專注，較 缺乏信心，但 學習意願高。

1. 不了解象限的定義。

2. 無法正確在直角坐標平面上 描繪出點座標。

3. 無法畫出二元一次方程式與 特殊方程式的圖形。

4. 無法找出聯立方程式的解。

19 分

從表 1 中發現：六位學生的共同點皆為數學程度低落、對數學學習沒有信心、但 上課認真、有學習意願的學生。根據研究者亦為導師家訪了解，此地區學生的數 學概念全來自於學校的教師，多數家長無法於課後指導其子女學習，學生也無額 外上課的地方。此外，六名學生中有兩位閩南生，三位原住民生，與一位新住民 生。

第二節 研究架構

本研究方法採用行動研究法來進行。研究時間為民國一百零七年 2 月至 3 月，利用每周一與周五第八節補救教學進行概念釐清之研究程序，每次上課以表 定一節課45 分鐘為限，七堂課共計 315 分鐘。進行課程乃依據教育部規定國中 數學正式課綱翰林版七年級二元一次方程式圖形單元內容，教材共分四個概念，

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分別為直角坐標平面系、二元一次方程式的代數概念、二元一次方程式的幾何概 念、二元一次方程組的綜合應用。研究者先利用平時學生上課吸收情形與形成性 評量，了解學生在學習二元一次方程式圖形時所產生的迷思概念，從中篩選出此 單元學習困難的六位學生進行補救教學，根據此六位接受補救學生的迷思概念來 設計課程活動並進行教學，期盼透過這樣的教學歷程，能釐清學生的迷思觀念，

並以實際教學後的省思提出有效教學上的建議。

本研究雖以行動研究方式進行，但考量研究者的能力與時間，其教學歷程只 針對二元一次方程式圖形單元相關概念進行了解學習迷思概念，與進行補救教學 後的改變情況，因此無法對未能改善的部份做反覆的修正和澄清，研究目的主要 透過研究者了解學生學習此單元產生的迷思概念後的澄清教學，改變自我教學方 法來提升學生學習動機和學習成效，以及在實施期間研究者所遭遇的困難與解決 辦法。

圖 7 研究架構圖 發現問題

文獻探討 與分析

確定研究工具

（前、後測試卷）

教學活動設計與實施

歸納錯誤類型 與迷思概念

成效評估與省思 學習講義

與安排

篩選研究 對象

教學日誌 與評量 硬體設備

與運用

觀察記錄 與訪談

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以下針對架構中的主軸三大元素加以說明：

一、發現問題

藉由研究者在教學過程中的發現，學生在學習二元一次方程式圖形單元時，

常會產生迷思概念，以至於接續的能力指標難以達成，推斷可能是源於先備知識 的不足或錯誤觀念，例如代數或直角坐標系的基礎。也就是說，從數的計算橫跨 到以符號表示數，再以幾何的方式呈現，如同具體數字轉銜到抽象符號，學生會 經過一個過渡期。然而，窺探國中的教材，皆以代數的部分居多，若基礎未建構 好，對學生日後的學習必有相對的影響，導致學生對學習數學沒信心和產生自卑 感，甚至討厭數學和放棄理解數學。基於如此，研究者挑選此單元作為研究主題，

透過自我教學的改變與創新，帶領學生體會不一樣的教學方式，針對其迷思概念 來增加學生學習數學抽象代數的具體化，藉由，來提升學生學習的效率。因此研 究者參考國中各版本之數學教材資料蒐集試題，並針對學習目標設計相關概念進 行施測(前測)，了解學生在此單元所產生之迷思概念，並從中找出接受補救教學 之學生。

二、教學活動設計與實施

藉由前測試題了解學生的迷思概念與教學者盲點後，彙編成一個研究藍圖，

並依其學生的錯誤觀念來設計教材內容，編寫學習單與講義提供學生練習與重新 建構正確概念的機會，並尋找可應用的多媒體作為輔助，增加學生電腦視覺化，

安排融入其科技軟體於教學活動流程來增加學生的學習動機與增加資訊使用的 基本素養。最後利用評量與觀察學生學習過程的紀錄，來討論是否達到所設定之 教學目標。

三、成效評估與省思

當教學活動結束後，對補救教學的學生進行總結性評量(後測)，比較學生學 習前後之改變，並記錄下來，做為未來教學改進之參考。此外，透過與學生實際 訪談，自我省思整個教學流程與活動設計，了解學生的心路歷程以及解題模式的 改變，做為日後教學時應當注意之重點。

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第三節 研究工具

本研究之研究工具包括自編前、後測試題卷、觀察紀錄表、訪談紀錄表、單元學 習單以及評量卷，將其使用時機說明如表 2，再分別說明如下：

表 2

研究工具總表

研究工具 使用時機 附錄

前測試題 選擇研究對象 附錄 2

後測試題 檢視補救教學的成效 附錄 5

教師觀察紀錄表

教學過程中學生學習情形 以及教學的省思

附錄 3

學習講義及評量卷

檢視學生學習的情形以及 吸收情況，做為教學回饋

附錄 4

一、 自編前、後測試題卷 （一）編選前測試題卷

研究者為了確實瞭解國中生在學習七年級課程中二元一次方程式圖形單元 的錯誤觀念及迷思概念，透過九年一貫課程綱要數學領域的內容，並參考康軒、

翰林、南一等教師手冊、相關文獻及其他參考資料，分析本單元之教材地位（如 圖8），配合雙向細目表（如表 3）的方式，彙整成三大部分（直角坐標系概念、

二元一次方程式代數概念與二元一次方程式幾何概念）以編撰專家試題審閱，請 見附錄1。

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圖 8 二元一次方程式之教材地位分析圖

已習教材 本章教材 未習教材

能使用 2 個未知數將生活情 境所遇問題列成聯立方程式

了解二元一次方程式之意義

能將數字代入二元一次式檢 驗是否為其解

能依照題意列舉情境中所有 可能結果並加以驗證

能進行二元一次式的化簡

能使用代入消去法 解二元一次聯立方程式

能使用加減消去法 解二元一次聯立方程式

能從生活情境問題中列出的 二元一次聯立方程式求解 以符號代表數

(國小六年級)

數的四則運算 (國小六年級)

使用逆運算形式 求解(國小六年

等量公理 (國小六年級)

移項法則 (國中第一冊)

一元一次方程 式

直角坐標系 (國中第二冊)

二元一次方程 式在座標平面

上的圖形 (國中第二冊)

線性函數 (國中第二

二元一次聯立 方程式判別式

(高中教材)

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表 3

「二元一次方程式圖形基本概念測驗試題」之雙向細目表

教 學 內 容

概念迷思類型

教學目標

合計 基本概念 基本運算 理解與應用 題數

象限與正負號的意義 一、1-1～1-5 5 了解點座標的意義 一、2-1~2-6 三、3-1

三、3-2 8 了解二元一次方程式

的定義 二、1 1

文字符號的化簡 二、4 1

解二元一次聯立方程 組

三、7-3 三、8-3 三、9-3

3

應用問題列式 二、2

二、3 2

了解二元一次方程式

圖形為直線(含作圖) 三、1

三、4 三、5 三、6

三、7-1 三、8-1 三、9-1

7

了解方程式的解與圖 形關係

三、7-4 三、8-4 三、9-4

三、2-1 三、2-2 5

了解二元一次方程組 的相互關係

三、7-2 三、8-2 三、9-2

3

合計題數(含小題) 15 14 6 35 註：「一」為第一部分直角坐標系的概念 ; 「二」為第二部分二元一次方程式 的代數概念 ; 「三」為第三部分二元一次方程式幾何概念。則一、1 為第一部分 第一題 ; 一、1-2 為第一部分的第一題之二小題，以此類推。

本試題除了與指導教授討論並修正後，也煩請了六位教學經驗豐富的國高中 數學領域專家（如表 4）協助審題，審核前測試題是否需要加以修改或刪除，以 達到前測試卷的信度與效度，審題修改對照表見表 5。最後形成前測試題，請見 附錄 2。

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表 4

專家效度名單

姓名 服務學校 服務年資

王 O 綺 台東縣台東高中 23 年

楊 O 如 台東縣鹿野國中 20 年

馬 O 怡 台東縣東海國中 16 年

簡 O 隆 台東縣大武國中 10 年

鍾 O 志 台東縣都蘭國中 4 年

曾 O 華 台東縣桃源國中 4 年

為了詳實紀錄其建言以下將專家由上而下編碼為 T1、T2、T3、T4、T5、T6。

表 5

專家審題修改對照表 單元迷思概念

（題號）

修改前 修改後 專家建議

了解點座標的 意義

一、2

在坐標平面上標出下 列各點的位置：

A( 0, 2)、B(−1, −3)

、C(2, 5)、D(−5, 0)

在坐標平面上標出下 列各點的位置:

A( 0, 2)、B(−1, −3)

、C(2, 3)、D(−3, 0)、

E(1, −1)、F(−2, 4)

T1、T5：為確實 檢測到學生的基 本概念，增加第 四與第二象限座 標。

了解二元一次 方程式的定義 二、1

請問下列何者為 2x－5y＝9 的解？

（2 ,－1）、（3 , 2）、

（0 , 3）、（－3 , 4）、

（7 , 1）、（5 ,－2）

請問𝑥 = 2，𝑦 = 1 與 𝑥 = 3 ，𝑦 = 2 是否為 2𝑥 − 5𝑦 = 9 的 解 ？ 請分別寫出計算過程 並說明理由。

T2：目的在於了 解學生是否了解 方 程 式 解 的 意 義，故勿給予過 多的點干擾學生 作答。

T4：為了解學生 解題思維，請學 生呈現其歷程。

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應用問題列式 二、2

雯雯到文具店買了 2 枝 自動鉛筆和 3 盒 2B 的 筆蕊，若自動鉛筆一枝 x 元，2B 的筆蕊一盒 y 元，請問她共用去多少 錢？（請用二元一次式 表示）

雯雯到文具店買了 2 枝自動鉛筆和 3 個立 可帶，若自動鉛筆一 枝 x 元，立可帶一個 y 元，請問她共用去多 少錢？（請用二元一 次式表示）

T1、T2、T3、T4：

不因商品名稱混 淆學生作答，故 更改為明確差異 大的品項。

應用問題列式 二、3

奕 奕 和 譁 譁 到 文 具 店，奕奕買了 5 個修正 帶和 3 枝原子筆，共花 了 214 元，譁譁則買了 2 個修正帶和 3 枝原子 筆，另外還買一個 20 元 的 橡 皮 擦 ， 共 花 了 138 元，假設修正帶一 個 x 元，原子筆一枝 y 元，請依照題意列出二 元一次聯立方程式。

真 真 和 廷 廷 到 文 具 店，真真買了 5 個修 正帶和 3 枝原子筆，

共花了 210 元 ; 廷廷 則買了 2 個修正帶和 3 枝原子筆，共花了 135 元。假設修正帶一 個 x 元，原子筆一枝 y 元，請依照題意列出 二 元 一 次 聯 立 方 程 式。

T3：避免干擾學 生作答，故更換 為學生較熟悉的 名字。

T4：目的為了解 學生是否會列式 即可，勿多一樣 品項干擾學生。

文字符號的化 簡

二、4-1

化簡：

(1)3𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 =?

(2)5𝑥 + 2𝑦 + 7 + 6𝑥

−7𝑦 − 11 =?

T2、T6：研究單 元之目的是了解 學生是否會做文 字符號的合併，

故修改為化簡較 恰當不離題。

文字符號的化 簡

二、4-2

刪除

T3、T4、T5：非 本研究單元檢測 重點，僅出一題 即可。

了解二元一次 方程式圖形為 直線

三、1

請問方程式x − 2y = 4 在 直 角 坐 標 平 面 上 的 圖形為何?

刪除

T1、T2、T5：方 向偏記憶性，且 容易靠其他題目 猜到答案，未檢 測出學生的迷思 概念。

了解方程式的 解與圖形關係 三、2

有 一 點 𝑝(1 , −2) 在 直線 3x + 5y = c 上，則 c =?

刪除

T2：解題思維需 兩段式，與檢測 目標不符，故不 需轉彎考學生。