步驟三： 當學生有一些解題經驗後，教師可以幫助學生察覺圖形底和高的變化對面 積的影響，直接透過「1× 1
3 ＝ 1
3 」，得到平行四邊形乙的面積是平行四邊 形甲的面積的 1
3 倍的答案。
第 23 題：
內容領域 幾何 認知歷程向度 概念理解
分年細目 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。
題目
下列哪四根木棒的長度可以圍成四邊形？
① 60 公分、18 公分、16 公分與 14 公分
② 60 公分、18 公分、24 公分與 26 公分
③ 60 公分、18 公分、17 公分與 21 公分
④ 60 公分、18 公分、22 公分與 15 公分
古典理論 (CTT) 選項分析
--- 選 項 1 2* 3 4
--- 選項率 0.16 0.49 0.16 0.15 通過率：0.49
---高分組 0.07 0.75 0.08 0.1 鑑別度：0.46
低分組 0.23 0.28 0.22 0.17
---（一）試題品質分析
1. 本題鑑別度為 0.46，試題品質良好；通過率為 0.49，試題難易度適中。
2. 本題給定四組 4 條線段的長度，要求學生找出可以圍成四邊形的那組長度，評量學生是 否能延伸三角形任意兩邊和大於第三邊的性質，利用四邊形任意三邊和大於第四邊 的性質來解題。
3. 本題正確答案為選項 2，通過率為 49％，顯示超過五成的學生，無法延伸三角形任意兩 邊和大於第三邊的性質，利用四邊形任意三邊和大於第四邊的性質來解題。建議教 師參考下面補救教學的建議，針對全班進行補救教學。
4. 分別有 16%、16%及 15%的學生選擇選項 1、3、4，這些學生可能無法理解「三角形任意 兩邊和大於第三邊」的意義；也可能理解「三角形任意兩邊和大於第三邊」的意義，
但是無法推廣至其它多邊形。
（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-s-02（92 課綱）：能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。
乙、 5-s-02（97 課綱）：能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。
先備的知識（97 課綱）：
甲、 2-s-05：認識簡單平面圖形的邊長關係。
乙、 3-s-02：能認識周長，並實測周長。
丙、 4-s-01：能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。
丁、 4-s-02：能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。
延伸的知識（97 課綱）：
6-s-01：能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。
（三）補救教學建議
下面先提出三種「三角形任兩邊的和大於第三邊」的教學方法給教師們參考，再說明如 何幫助學生解題。
1. 三種「三角形任兩邊的和大於第三邊」的教學方法：
最常見「三角形任兩邊的和大於第三邊」的教法，就是提供很多不同長度的竹籤，
要求學生任意選出三根竹籤來圍三角形，學生有時能圍成三角形，有時不能圍成三角 形。接著要求學生將注意力放在竹籤的長度上，找出能圍成三角形與不能圍成三角形時 邊長的關係，希望學生察覺「三角形任兩邊的和大於第三邊」。
學生不易察覺「三角形任兩邊的和大於第三邊」，因為最長邊及次長邊的和大於最 短邊，以及最長邊及最短邊的和大於次長邊是很明顯的事實，學生不會去討論，也就是 說，學生察覺的是「三角形較短兩邊的和大於最邊」時，才能圍成一個三角形。
很多教師誤認為學生察覺「較短兩邊的和大於最長邊」，就等同於理解「三角形任 兩邊的和大於第三邊」，其實不然，學生得到「三角形較短兩邊的和大於最長邊」的結 果後，如果沒有教師的幫助，學生很難自行將「三角形較短兩邊的和大於最長邊」推廣 至「三角形任兩邊的和大於第三邊」。
下面提出三種方法，幫助教師說明「三角形任兩邊的和大於第三邊」。
i. 第一種方法：
如【圖一】，藍色線段的長為m、紅色線段的長為n，黑色線段和藍色及 紅色線段接起來一樣長，m＋n＝p，所以黑色線段的長為p。
【圖一】 【圖二】 【圖三】
接下來以黑色線段為三角形的底邊，藍色及紅色線段為三角形的兩邊（如
【圖二】），紅色及藍色線段無法相交於一點，無法圍成一個三角形，必須延長 藍色及紅色線段，讓它們交於一點，才能圍成一個三角形（如【圖三】），學生 可以發現三角形的一邊比m長，另一邊比n長，這兩邊加起來一定比底邊長，
請注意，學生察覺的是「三角形兩邊和一定大於底邊的結果」，不是「三角形 任兩邊的和大於第三邊」。
【圖四】 【圖五】 【圖六】
以藍色及紅色線段為邊時，有很多不同的畫法，教師不宜只出現黑色線 段與紅色線段夾角為銳角的情形（如【圖四】），教師應以黑色線段與紅色線段 的交點為圓心畫圓，幫助學生查覺，當黑色線段與紅色線段夾角為直角（如【圖 五】）或鈍角時（如【圖六】），也可能圍成一個三角形，該三角形也滿足三角 形兩邊和一定大於底邊的結果。
ii. 第二種方法：
以A、B為端點可以有很多不同的路徑，數學上稱連接兩點最短路徑的長 度為這兩點的距離，在這些連接A、B兩點的路徑中，連接A、B兩點直線段路 徑的長度最短，因此AB線段的長度就是A、B這兩點的距離。
如果低年級學生已有上述兩點距離的概念，教師只要透過下圖復習兩點 距離的解題經驗，就可以幫助學生察覺「三角形任兩邊的和大於第三邊」。
iii. 第三種方法：
「任兩邊的和大於第三邊就能圍成三角形」只是「任n－1 邊的和大於第 n邊（n≧3）就能圍成n邊形」的一個特例，前面二種想法都只針對三角形的 問題，對以後解n邊形問題時，並沒有太大的幫助。
假設有AB、CD、EF三條線段，滿足AB≧CD≧EF的關係，我們將最長的 線段AB放在下面，比較短的兩條線段CD和EF接起來的長度與AB長度間有下 列三種關係：
【圖七】 【圖八】 【圖九】
甲、 CD和EF接起來比AB長（如【圖七】），當C和A重合、F和B重合時，D和 E會交於一點，這三條線段能圍成一個三角形。
乙、 CD和EF接起來比AB短（如【圖八】），當C和A重合、F和B重合時，D和 E無法交於一點，也就是說，這三條線段無法圍成一個三角形。
丙、 CD和EF接起來和AB一樣長（如【圖九】），當C和A 重合、F和B重合時，CD和EF線段接起來就是AB線段，這三條線段無法圍
成一個三角形。由上面的說明可以知道，當比較短的兩邊和大於最長邊時，
這三邊才可以圍成一個三角形。
相同的理由，假設有AB、CD、EF、GH四條線段，滿足AB≧CD≧EF≧GH 的關係，當比較短的三條線段接起來比AB長（如【圖十】），一定能圍成一 個四邊形；當比較短的三條線段接起來比AB短（如【圖十一】），就不能圍 成一個四邊形。也就是說，當比較短的三邊和大於最長邊時，這四邊一定可 以圍成一個四邊形。
【圖十】 【圖十一】
2. 幫助學生解題：
建議教師以利用上面第三種方法，透過下列步驟幫助學生解決問題。
步驟一： 選項中的最長邊都是 60 公分，先畫出最長邊 60 公分。
步驟二： 哪些選項中，剩下三邊的長度和比 60 公分短，畫出這些選項剩下的三邊，
想想看，可以圍成一個邊形嗎？如果學生還是無法解題，教師可以拿出實 際長度的竹籤讓學生操作。
步驟三： 哪些選項中，剩下三邊的長度和比 60 公分長，畫出這些選項剩下的三邊，
想想看，可以圍成一個邊形嗎？如果學生還是無法解題，教師可以拿出實 際長度的竹籤讓學生操作。
第 24 題：
內容領域 統計與機率 認知歷程向度 概念理解
分年細目 5-d-03 能整理有序資料，並繪製成折線圖。
題目
下列的統計圖缺少橫軸名稱及標題，請問下列何者可能是這張統計圖的標 題？
① 大大量販店 2014 年 5 月某週一到週日來店人數統計圖
② 來富便利超商 2014 年 7 月每日收入統計圖
③ 快速美髮店 2014 年 4 月某週一至週日收入統計圖
④ 美味蔥油餅連鎖店 2014 年 6 月連續 7 天賣出蔥油餅張數統計圖
古典理論 (CTT) 選項分析
--- 選 項 1 2 3* 4
--- 選項率 0.09 0.15 0.63 0.11 通過率：0.63
---高分組 0.02 0.04 0.91 0.03 鑑別度：0.61
低分組 0.17 0.24 0.3 0.19
---（一）試題品質分析
1. 本題鑑別度為 0.61，試題品質良好；通過率為 0.63，試題難易度中偏易。
2. 本題定缺少橫軸名稱及標題的折線圖，要求學生選出正確的橫軸名稱及標題，評量學生
繪製長條圖的能力。
3. 本題正確答案為選項 3，通過率為 63％，顯示超過六成的學生已經掌握繪製成折線圖的 能力。低分組的通過率只有 30%，建議教師參考下面補救教學的建議，針對低分組與 答錯的學生進行補救教學。
4. 有 9％的學生選擇選項 1，這些學生可能只注意橫軸中「週一至週日」，滿足題意的要 求，但是沒有注意縱軸的單位是「元」而不是「人」，而選擇了選項 1。
5. 有 15％的學生選擇選項 2，這些學生可能只注意縱軸中的單位是「元」，滿足題意的要 求，但是沒有注意橫軸是 7 月每日的收日，而選擇了選項 2。
6. 有 11％的學生選擇選項 4，這些學生可能只注意橫軸中「週一至週日」，滿足題意連續 7 天的要求，但是沒有注意縱軸的單位是「元」而不是「張」，而選擇了選項 4。
（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-d-02（92 課綱）：能報讀生活中有序資料的統計圖。
乙、 4-d-01（97 課綱）：能報讀生活中常用的長條圖。
丙、 4-d-02（97 課綱）：能報讀生活中常用的折線圖。
先備的知識（97 課綱）：
甲、 1-d-01：能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。
乙、 1-d-02：能將紀錄以統計表呈現並說明。
丙、 3-d-01：能報讀生活中常見的表格。
延伸的知識（97 課綱）：
甲、 6-d-01：能整理生活中的資料，並製成長條圖。
乙、 6-d-02：能整理生活中的有序資料，並繪製成折線圖。
丙、 6-d-03：能報讀生活中常用的圓形圖，並能整理生活中的資料，製成圓形圖。
（三）補救教學建議
下面先說明如何幫助學生報讀折線圖，再說明如何幫助學生找出給定折線圖的橫軸名稱 及標題。