5. 有 6％的學生選擇選項 2，這些學生可能誤解題意，誤將整數乘以分數的文字題解讀為 除法問題，得到 5
3 ÷2 的答案。
6. 有 7％的學生選擇選項 4，這些學生可能誤解題意，誤將整數乘以分數的文字題解讀為 除法問題，而得到 2÷ 5
3 的答案。
（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-n-07（92 課綱）：能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。
乙、 5-n-08（97 課綱）：能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。
先備的知識（97 課綱）：
甲、 3-n-04：能熟練三位數乘以一位數的直式計算。
乙、 4-n-03：能熟練較大位數的乘除直式計算 丙、 4-n-07：理解分數之「整數相除」的意涵。
丁、 4-n-08：能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同 分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。
延伸的知識（97 課綱）：
6-n-05：能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。
（三）補救教學建議
下面先說明如何幫助學生解決整數乘以真分數、積是分數的問題，再說明如何幫助學生 解題（整數乘以假分數、積是分數的問題）。
生不易掌握解題的意義。
步驟二： 當學生有一些解題成功的經驗後，教師可以要求學生用算式「5× 3
8 ＝ 15 8 」 把問題和答案記下來，並說明以後遇到這類問題時，可以直接利用整數乘 以分數的算式「5× 3
8 ＝ 15
8 」算出答案。
2. 幫助學生解題：
當學生有足夠整數乘以分數文字題的解題經驗後，就知道可以利用「2× 5 3 」算 出「一瓶汽水 2 公升， 5
3 瓶汽水是多少公升？」的答案。如果學生還是無法列式，
教師可以透過下列步驟，幫助學生列式，教師請注意，這只是透過類比的方式幫助 學生列式，學生可能無法掌握整數乘以分數問題解題的意義。
步驟一： 「一瓶汽水 2 公升，5 瓶汽水是多少公升？」，如何算出答案？
步驟二： 「一瓶汽水 2 公升，5 瓶汽水是多少公升？」，可以用「2×5」算出答案是 10 公升，「一瓶汽水 2 公升， 5
3 瓶汽水是多少公升？」也可以用「2× 5 3 」 算出答案。
第 8 題：
內容領域 幾何 認知歷程向度 程序執行
分年細目 5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與 垂直關係。
題目
下圖為長方體，請問下列敘述何者正確？
① 面ABCD與面EFGH互相垂直
② 面ADHE與面DCGH互相垂直
③ 面ABFE與面EFGH互相平行
④ 面DCGH與面ABFE互相垂直
古典理論 (CTT) 選項分析
--- 選 項 1 2* 3 4
--- 選項率 0.11 0.69 0.12 0.05 通過率：0.69
---高分組 0.02 0.94 0.03 0.01 鑑別度：0.6
低分組 0.24 0.34 0.22 0.1
---（一）試題品質分析
1. 本題鑑別度為 0.6，試題品質良好；通過率為 0.69，試題難易度中偏易。
2. 本題給定長方體的透視圖，要求學生選出互相平行或互相垂直的面，評量學生判斷長方 體哪兩個面互相平行或互相垂直的能力。
3. 本題正確答案為選項 2，通過率為 69％。顯示約七成的學生已經掌握判斷長方體哪些面 互相平行或互相垂直的能力。低分組的通過率只有 34%，建議教師參考下面補救教學
的建議，針對低分組及答錯的學生進行補救教學。
4. 分別有 11％、12％、5％的學生選擇選項 1、3、4，這些學生可能誤解題意，或混淆「兩 平面互相平行」與「兩平面互相垂直」的意義，而選擇 1、3 或 4 的答案。
（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-s-08（92 課綱）：能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平 行與垂直關係。
乙、 6-s-04（97 課綱）：能認識面與面的平行與垂直，線與面的垂直，並描述正方體與 長方體中面與面、線與面的關係。
丙、 92 年課程綱要只要求認識面與面的平行與垂直的關係，97 年課程綱要多要求認識 線與面的垂直關係（沒有引入線與面的平行關係）。
先備的知識（97 課綱）：
甲、 2-s-02：能認識生活周遭中平行與垂直的現象。
乙、 3-s-04：能認識角，並比較角的大小。（同 3-n-17）
丙、 4-s-06：能理解平面上直角、垂直與平行的意義。
延伸的知識（97 課綱）：
6-s-05：能理解簡單直柱體的體積為底面積與高的乘積。
（三）補救教學建議
下面先與教師們溝通平面與平面的關係、角柱與角錐的面與平面的關係、平面的法向 量、檢驗兩平面是否互相垂直、兩平面互相平行的意義、以及檢驗兩平面是否互相平行；再 說明如何幫助學生解題。
1. 平面與平面的關係：
在空間中的兩相異平面，也可以透過兩平面是否相交，將兩相異平面分區分成沒有 相交以及有相交兩個部份，兩平面如果沒有相交，這兩個平面一定互相平行，兩平面如 果相交，它們的交集會是一條直線，並形成一個兩面角，可以透過所夾的兩面角是否為 直角，將相交的兩平面區分成互相垂直（兩面角是角），與不垂直（兩面角不是直角）
兩部份。
兩相異平面如果相交，其交集是一條直線，這兩個平面所夾的角稱為兩面角，教室 中兩面牆壁所夾的角，地板與一面牆壁所夾的角都是兩面角，國小階段只要討論兩個相 異平面是否互相垂直，不宜引入兩面角的概念與名詞。
2. 角柱與角錐的面與平面的關係：
數學上的面向四面八方無限的延伸，而角柱或角錐的面是封閉的多邊形區域。在檢 驗角柱或角錐的底面和側面是否互相垂直時，常將角柱或角錐的底面平放在桌面上來檢 驗，當底面在桌面上時，無法檢驗底面和側面是否互相垂直，只能檢驗桌面和側面是否 互相垂直，許多學童無法掌握角柱或角錐的底面與桌面之間的包含關係，不知道角柱的
側面和桌面互相垂直時，角柱的側面也和底面互相垂直。
下面以長方體（四角柱）為例，建議教師依下列四個步驟，幫助學童掌握角柱或角 錐的底面與桌面之間的包含關係：
步驟一： 製作上底和下底是空的，而側面都存在的長方體燈籠骨架模型，將下底平放在 桌面上。
步驟二： 幫助學生察覺：燈籠骨架模型的底面都在桌面上，底面和桌面都是同一個平 面，底面和桌面重合。
步驟三： 幫助學生察覺：燈籠骨架模型側面的邊和桌面互相垂直時，側面的邊和底面也 會互相垂直。
步驟四： 拿出一個四角柱（長方體），要求學童檢驗側面和桌面是否互相垂直，幫助學 童類推出當四角柱（長方體）的側面和桌面互相垂直時，側面和底面也會互相 垂直。
3. 平面的法向量：
數學上稱與平面垂直的向量為該平面的法向量，下圖中的OP向量就是平面E的法 向量，如果A1、A2、…、An是平面上任意的點，且這些點不共線，過O點在平面上畫OA1、 OA2、…、OAn等直線，這些直線和法向量OP一定互相垂直。
國小學生無法理解法向量的意義，可以利用與法向量重合的直線來討論直線與平面的垂 直關係。如果在平面E上畫OA、OB兩條直線，其中A、O、B三點不共線，如果OA和 OB都和OP直線垂直，稱直線OP和平面E互相垂直。
可以延伸平面上兩直線夾角的意義，透過與平面垂直法向量的想法，將E、F兩個 平面法向量的夾角，定義為E、F兩個平面的夾角；將E平面法向量與直線L夾角的補 角，定義為平面E和直線L的夾角，當E、F兩個平面的夾角是直角時，稱E、F這兩個 平面互相垂直。當E平面法向量與直線L的夾角是直角時，稱平面E和直線L互相垂直。
4. 檢驗兩平面是否互相垂直：
國小學童無法掌握法向量的意義，下面提出兩種方便國小學生檢驗兩平面是否互相 垂直的方法：
i. 第一種方法：
假設E、F是兩相異平面，它們的交集是直線L，可以在直線L上任取一點P， 先在平面E上畫PA直線垂直於L，接著在平面F上畫PB直線垂直於L，如果PA和 PB兩直線互相垂直，我們稱平面E和平面F互相垂直，如果PA和PB兩直線不垂直，
我們稱平面E和平面F不垂直。
教師宜提醒學生，不可以過P點任意在平面E及平面F上畫兩直線，任意畫出 的兩直線是否互相垂直，並無法判斷這兩個平面是否互相垂直，必須畫出的兩直線 都和直線L垂直，且畫出的兩直線互相垂直，才能確定平面E及平面F互相垂直。
ii. 第二種方法：
當學生已經察覺正方體（長方體）相鄰的面互相垂直，就能夠以正方體為檢驗 兩平面是否互相垂直的工具。拿出一個正方體，讓正方體的底面在平面E上面，如 果正方體的另一面與平面F緊密的結合，我們稱平面E和平面F互相垂直；如果正 方體的另一面與平面F無法緊密的結合，我們稱平面E和平面F不垂直。
教師請注意下列兩個常見的問題：
1. 無法直接檢驗大廳中的柱體的側面和底面是否互相垂直，因為摸不到也找不到 柱體的底面，但是可以檢驗柱體的側面和地面是否互相垂直。
2. 不易直接檢驗鐵櫃的側面和底面是否互相垂直，因為搬動鐵櫃很困難，但是可 以利用鐵櫃的底面包含於地面的關係，透過檢驗鐵櫃的側面和地面是否互相垂 直，也可以得到鐵櫃的側面和底面是否互相垂直的答案。
5. 兩平面互相平行的意義：
平面上以「同時垂直於另一條直線的兩條直線互相平行」，當做兩直線互相平行的 定義，部份教師延伸平面上兩直線互相平行的定義，以「空間中，同時垂直於另一個平 面的兩個平面互相平行」，當做兩平面互相平行的定義，這是不正確的定義方式，如下 圖，我們可以在桌面上垂直擺放兩張圖畫紙，這兩張圖畫紙同時和桌面垂直，【圖一】
的兩張圖畫紙互相平行，但是【圖二】的兩張圖畫紙不平行。
【圖一】 【圖二】
相異兩個平面E與F，如果平面E與平面F的法向量相等，數學上稱平面E與平面 F互相平行，也可以延伸平面上兩直線互相平行的定義，以「空間中，同時垂直於一直 線的兩平面互相平行」，當做兩平面互相平行的定義。
6. 檢驗兩平面是否互相平行：
只要分別找出和E、F兩平面互相垂直的直線段，再檢驗這兩條線段是否互相平行，
就知道E、F這兩個平面是否互相平行。教師也可以將一個平面E平放在地面上，或假 設平面E是地面，先做出和地面互相垂直的直線，再判斷該直線是否也和另一個平面F 互相垂直，或做出和F互相垂直的直線，再判斷該直線是否也和地面互相垂直。
7. 幫助學生解題：
建議教師透過下列步驟幫助學生解題：